2025年10月10日高等数学专题第01节--二重积分计算（一）（题目留白版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 01 节 二重积分的计算（一） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分的解题步骤（套路）：（背熟练） （1）画出积分区域. （2）拆分积分区域D D D （区域的对称性）. 1 2 （3）拆分被积函数 f  gh（函数的奇偶性）. （4）直角坐标（先考虑极坐标，再考虑直角坐标，现在是二者结合） (1) 积分区域具有圆的特征：  x y (2) 被积函数：(x2  y2),f( ),f( )；  y x （5）极坐标 (3) 积分区域边界：x y a,x y b；  (4) 积分区域边界：x2  y2  x y．  (5) 特殊曲线：高次曲线 （6）轮换对称性：积分区域D关于y  x对称 1  f(x,y)d f(y,x)d f(x,y) f(y,x)d. 2 D D D （7）分块区域上的二重积分：绝对值函数，符号函数，最值函数. g(x,y), (x,y)D , f(x,y) 1 h(x,y), (x,y)D ．  2 则  f(x,y)d g(y,x)dh(y,x)d D D D 1 2 （8）积分区域用极坐标表示：心形线，双纽线（两种）. （9）积分区域用高次曲线表示. （10）积分区域用参数方程表示：摆线，星形线（数学一、数学二要求）. （11）雅克比变换计算二重积分（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 【重点】（1）极坐标交换积分次序； （2）轮换对称； （3）分块区域上的积分. 【高分】（4）特殊的积分区域（极坐标表示，参数方程表示）； （5）计算能力. 【难点】雅克比变换（高分要求掌握）.二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 符号说明： 【例题】上课讲解的题； 【练习】课上练习题目； 【作业】课后作业题目； 【选做】难题！计算量大！ 一、累次积分交换积分次序 1. 直角坐标系累次积分计算：设 f(x,y)在有界闭区域D上连续 （1）向x轴投影，其中D：a xb,(x) y(x)，则 1 2 b（右） (x（)上）  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy． a（左） (x（)下） 1 D （2）向y轴投影，其中D：c yd,(y) x (y)，则 1 2 d（上） (y（)右）  f(x,y)dxdy dy 2 f(x,y)dx． c（下） (y（)左） 1 D 2.直角坐标下累次积分交换积分次序 （1）正向投影：数轴的正向到负向引出射线穿过区域D，找到D在数轴上的投影区域； （2）反向投影：反向穿过区域D，先交区域D边界为下限，后交区域D边界为上限； 右 上 上 右  f(x,y)dxdy dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx. 左 下 下 左 D b (x) d (y)  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy dy 2 f(x,y)dx. a (x) c (y) 1 1 D （3）内侧积分的上下限：用外侧变元的函数表示.【例题1】交换积分次序 2 2xx2 （1） dx f(x,y)dy. 1 2x 2 2y （2） dy f(x,y)dx. 0 y2 2 2x （3） dx f(x,y)dy. x2 6 1 4 1 【练习2】设函数 f(x,y)连续，则二次积分 dx f(x,y)dy等于（ ）．  sinx 2 1  1  （A） dy f(x,y)dx． （B） dy f(x,y)dx． 0 arcsiny 0 arcsiny 1 arcsiny 1 arcsiny （C） dy f(x,y)dx． （D） dy f(x,y)dx．   0 0 2 2 （2007年，数学二，数学三，数学四） 3. 二重积分的极坐标计算：设D：,r()r r ()，则 1 2  r()  f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrd d2 f(rcos,rsin)rdr．  r() 1 D D 4.直角坐标和极坐标转换 （1）的变化范围：x轴逆时针旋转，先切区域边界为下限，后切区域边界为上限. （2）r的变化范围：从原点O引出射线，穿过区域， 先交区域边界为下限，后交区域边界为上限（若区域包含原点，则下限为0）. （3）内侧积分上下限：用外侧变元的函数表示.【例题3】将二重积分 f(x,y)d表示为极坐标形式下的累次积分. D 积分区域D分别如下，其中a  0为常数. （1）x2  y2 a2. （2）x2  y2 2ax. （3）直线y0,xa,y  x所围成的区域. （4）直线y 0,x0,x ya所围成的区域. 2 【练习4】I   3d cos f(r,)rdr改写成直角坐标系下的累次积分.  0 4 x y 【例题5】设D  (x,y) x2  y2  x y  ，计算I   d. x2  y2 Dx2  y2 【练习6】设平面区域D由直线x1,x2,y  x及x轴围成，计算 dxdy． x D （2020年，数学二）5. 极坐标交换积分次序 【例题7】将下面极坐标交换积分次序  2acos （1）I   2 d f(rcos,rsin)rdr.   0 4  1 （2）2dsin f(r)rdr.  0 4【例题8】设D  (x,y) x2  y2 1,x0,y0  ，计算I  2xyex2y2 dxdy． D【作业1】设函数 f(x)在0,1上连续，证明： 1 dx x f (y)dy   1 ( x x2)f (x)dx. 0 x2 0t t 【作业2】设 f(x)为连续函数，F(t) dy f(x)dx，则F(2)等于（ ）． 1 y （A）2f(2)． （B） f(2)． （C）f(2)． （D）0． （2004年，数学一）2 x 【作业3】 dx f( x2  y2)dy （ ）． 0 3x   2sec 2sec （A）3d f(r)rdr . （B）4d f(r)dr.   0 0 4 3   2 2 4 （C） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r   2 2 4 （D） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r【作业4】将下面极坐标交换积分次序  1 （1）2dsin f(r)rdr.  0 4 r 2 arccos （2） rdr 2 f(rcos,rsin)d. r 0 arccos 2(x y)2 x2  y2 【作业5】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I   dxdy． x3 D  【作业6】已知平面区域D (x,y) y2 x 4 y2 ,0 y2 ， (x y)2 计算I   dxdy． （2022年，数学一，数学二，数学三） x2  y2 D 【注】分块区域极坐标最简洁【作业7】设有界区域D是圆x2  y2 1和直线y  x以及x轴在第一象限围成的部分， 计算二重积分I e(xy)2 (x2  y2)dxdy． （2021年，数学三） Dy (x y)2 【选做8】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I  ( )3 dxdy． x x2  y2 D  xy 【选做9】设D (x,y) x2  y2 1,0 y x ，计算I   dxdy． 1x2  y2 Dx 【选做10】设D  (x,y) 0 y1x,0 x1  ，计算I  exydxdy． D【选做11】设D  (x,y) 1 x y2,0 x2,0 y2  ，计算I  e(xy)2 dxdy. D