高等数学专题二重积分作业（作业合并）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义_必考专题—高等数学

第 01 节 二重积分计算（一） 【作业1】设函数 f(x)在0,1上连续，证明： 1 dx x f (y)dy   1 ( x x2)f (x)dx. 0 x2 0t t 【作业2】设 f(x)为连续函数，F(t) dy f(x)dx，则F(2)等于（ ）． 1 y （A）2f(2)． （B） f(2)． （C）f(2)． （D）0． （2004年，数学一）2 x 【作业3】 dx f( x2  y2)dy （ ）． 0 3x   2sec 2sec （A）3d f(r)rdr . （B）4d f(r)dr.   0 0 4 3   2 2 4 （C） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r   2 2 4 （D） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r【作业4】将下面极坐标交换积分次序  1 （1）2dsin f(r)rdr.  0 4 r 2 arccos （2） rdr 2 f(rcos,rsin)d. r 0 arccos 2(x y)2 x2  y2 【作业5】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I   dxdy． x3 D  【作业6】已知平面区域D (x,y) y2 x 4 y2 ,0 y2 ， (x y)2 计算I   dxdy． （2022年，数学一、数学二、数学三） x2  y2 D 【注】分块区域极坐标最简洁【作业7】设有界区域D是圆x2  y2 1和直线y  x以及x轴在第一象限围成的部分， 计算二重积分I e(xy)2 (x2  y2)dxdy． （2021年，数学三） Dy (x y)2 【选做8】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I  ( )3 dxdy． x x2  y2 D  xy 【选做9】设D (x,y) x2  y2 1,0 y x ，计算I   dxdy． 1x2  y2 Dx 【选做10】设D  (x,y) 0 y1x,0 x1  ，计算I  exydxdy． D【选做11】设D  (x,y) 1 x y2,0 x2,0 y2  ，计算I  e(xy)2 dxdy. D第 02 节 二重积分计算（二）   x2  y2 xy 【作业1】设区域D (x,y) x2  y2 1,x0,y0 ，计算I   dxdy. x2  y2 Dxe(xy)2 【作业2】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算I   dxdy． x y D  【作业3】设D (x,y) x2  y2 1,y0 ，连续函数 f(x,y)满足 f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy， D 求xf(x,y)dxdy． （2020年，数学三） D 【注】直角坐标计算最简洁.【作业4】设D  (x,y) 0 x1,0 y1  ，计算I e max  x2,y2 dxdy． D【作业5】已知平面区域D  (x,y) (x1)2  y2 1  ，计算二重积分 x2  y2 1dxdy． D （2023年，数学三）  【选做6】设D (x,y) x2  y2 4 ，计算I   2xx2  y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！分块+极坐标（平移处理）  【选做7】设D (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！，拆分区域1 1 【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做.  x 【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy． x2  y2 D （2024年，数学一）第 03 节 二重积分计算（三） 【作业1】设区域D  (x,y) 0 x3,0 y3  ，且  1 3  x2  y2, 0 x3, x y 3x, f(x,y) x2  y2 3   0, 其他. 计算I   f(x,y)dxdy． D   【作业2】设D(r,) 2r 2(1cos),  ,f(x,y)在D上连续，  2 2 1x x2  y2 且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)． x2  y2 D  【作业3】设D (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ， 计算I  (x2  y2 xy)dxdy． D【作业4】已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ， x y 计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二） x2  y2 D【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2 1 与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二） 3x2  y2 Dx1cost, 【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域， y tsint 计算(2x y)dxdy． D第 04 节 二重积分计算（四） 1 1 【作业1】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】采用雅可比变换来做.【作业2】求抛物线y2 mx,y2 nx和直线y x,y x所围成区域的面积， 其中0mn,0.