高等数学专题二重积分作业（作业合并）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义_必考专题—高等数学

第 01 节 二重积分计算（一）
【作业1】设函数 f(x)在0,1上连续，证明： 1 dx x f (y)dy   1 ( x x2)f (x)dx.
0 x2 0t t
【作业2】设 f(x)为连续函数，F(t) dy f(x)dx，则F(2)等于（ ）．
1 y
（A）2f(2)． （B） f(2)． （C）f(2)． （D）0．
（2004年，数学一）2 x
【作业3】 dx f( x2  y2)dy （ ）．
0 3x
 
2sec 2sec
（A）3d f(r)rdr . （B）4d f(r)dr.
 
0 0
4 3
 
2 2 4
（C） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.
 2
0 2 2 arccos
4 r
 
2 2 4
（D） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.
 2
0 2 2 arccos
4 r【作业4】将下面极坐标交换积分次序
 1
（1）2dsin f(r)rdr.

0
4
r
2 arccos
（2） rdr 2 f(rcos,rsin)d.
r
0 arccos
2(x y)2 x2  y2
【作业5】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I   dxdy．
x3
D 
【作业6】已知平面区域D (x,y) y2 x 4 y2 ,0 y2 ，
(x y)2
计算I   dxdy． （2022年，数学一、数学二、数学三）
x2  y2
D
【注】分块区域极坐标最简洁【作业7】设有界区域D是圆x2  y2 1和直线y  x以及x轴在第一象限围成的部分，
计算二重积分I e(xy)2 (x2  y2)dxdy． （2021年，数学三）
Dy (x y)2
【选做8】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I  ( )3 dxdy．
x x2  y2
D  xy
【选做9】设D (x,y) x2  y2 1,0 y x ，计算I   dxdy．
1x2  y2
Dx
【选做10】设D  (x,y) 0 y1x,0 x1  ，计算I  exydxdy．
D【选做11】设D  (x,y) 1 x y2,0 x2,0 y2  ，计算I  e(xy)2 dxdy.
D第 02 节 二重积分计算（二）
  x2  y2 xy
【作业1】设区域D (x,y) x2  y2 1,x0,y0 ，计算I   dxdy.
x2  y2
Dxe(xy)2
【作业2】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算I   dxdy．
x y
D 
【作业3】设D (x,y) x2  y2 1,y0 ，连续函数 f(x,y)满足
f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy，
D
求xf(x,y)dxdy． （2020年，数学三）
D
【注】直角坐标计算最简洁.【作业4】设D  (x,y) 0 x1,0 y1  ，计算I e max
 x2,y2
dxdy．
D【作业5】已知平面区域D  (x,y) (x1)2  y2 1  ，计算二重积分 x2  y2 1dxdy．
D
（2023年，数学三） 
【选做6】设D (x,y) x2  y2 4 ，计算I   2xx2  y2 dxdy．
D
【注】难！计算量大！分块+极坐标（平移处理） 
【选做7】设D (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy．
D
【注】难！计算量大！，拆分区域1 1
【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x
3 3
围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三）
D
【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做.  x
【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy．
x2  y2
D
（2024年，数学一）第 03 节 二重积分计算（三）
【作业1】设区域D  (x,y) 0 x3,0 y3  ，且
 1 3
 x2  y2, 0 x3, x y 3x,
f(x,y) x2  y2 3

 0, 其他.
计算I   f(x,y)dxdy．
D  
【作业2】设D(r,) 2r 2(1cos),  ,f(x,y)在D上连续，
 2 2
1x x2  y2
且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)．
x2  y2
D 
【作业3】设D (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ，
计算I  (x2  y2 xy)dxdy．
D【作业4】已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ，
x y
计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二）
x2  y2
D【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2
1
与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二）
3x2  y2
Dx1cost,
【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域，
y tsint
计算(2x y)dxdy．
D第 04 节 二重积分计算（四）
1 1
【作业1】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x
3 3
围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三）
D
【注】采用雅可比变换来做.【作业2】求抛物线y2 mx,y2 nx和直线y x,y x所围成区域的面积，
其中0mn,0.