2025年10月11日高等数学专题第03节--二重积分计算（三）（题目留白版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 03 节 二重积分的计算（三）
金榜时代
@考研数学薛威 硕哥
二重积分计算
一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序
二、轮换对称+分块区域上的二重积分
三、极坐标+参数方程确定的积分区域
四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考）
三、特殊曲线确定的积分区域
（1）心形线
  
【例题1】设D(r,) 2r 2(1cos),  ， f(x,y)在D上连续，
 2 2
且满足 f(x,y) x y f(x,y)dxdy，求 f(x,y)．
D（2）双纽线（两种）
【例题2】设平面区域D由曲线(x2  y2)2  x2  y2 (x0,y0)与x轴围成，
计算二重积分(x2  y2 xy)dxdy． （2021年，数学二改）
D【练习3】设D  (x,y) (x2  y2)2 2xy  ，计算(x2  y2 xy)dxdy．
D（3）高阶多项式函数确定的曲线
 
【例题4】设D (x,y) x yxy1,x2  y2 1,x0,y0 ．且
 x y1, x y1,

f(x,y) 1
, x y 1．

x2  y2

计算I   f(x,y)dxdy．
D（4）反函数的定义域
【例题5】设D是由y  1x2 ,y  4x2 与x y 0及x轴所围且位于x y0
x2  y2
部分的区域，计算I   dxdy．
x2 2y2
D（4）反函数的定义域
 
【例题5】设D (x,y) 1x2  y 4x2 ,yx,y0 ，
x2  y2
计算I   dxdy．
x2 2y2
D（5）摆线和星形线（数学一、数学二要求）
xtsint,
【例题6】设平面区域D由曲线 (0t 2)与x轴围成，
y 1cost,
计算二重积分(x2y)dxdy． （2018年，数学二）
Dxcos3t, 
【例题7】设D为由L： (0t  )所围成的区域，
y sin3t, 2
计算 I  (x2  y2 1)dxdy.
D【作业1】设区域D  (x,y) 0 x3,0 y3  ，且
 1 3
 x2  y2, 0 x3, x y 3x,
f(x,y) x2  y2 3

 0, 其他.
计算I   f(x,y)dxdy．
D  
【作业2】设D(r,) 2r 2(1cos),  ,f(x,y)在D上连续，
 2 2
1x x2  y2
且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)．
x2  y2
D 
【作业3】设D (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ，
计算I  (x2  y2 xy)dxdy．
D【作业4】已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ，
x y
计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二）
x2  y2
D【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2
1
与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二）
3x2  y2
Dx1cost,
【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域，
y tsint
计算(2x y)dxdy．
D