2025年10月11日高等数学专题第04节--二重积分计算（四）（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 04 节 二重积分的计算（四） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 四、雅克比变换矩阵 设D是xOy平面上的有界闭区域， f(x,y)在区域D上连续， （1）变换x x(u,v),y  y(u,v)在区域D上有连续偏导数， （2）将xOy平面上的区域D变换为uOv平面上的区域D（一对一对应）， x x u v （3） J  0，则 f(x,y)dxdy  f(x(u,v),y(u,v))J dudv. y y D D u v xrcos, 【定理】极坐标系下二重积分：极坐标变换 且 y rsin, x x r  cos rsin J   r ， y x sin rcos r  xrcos 则  f(x,y)dxdy  f(rcos,rsin)rdrd． y rsin D D 【例题1】计算 ydxdy，其中D是由x2,y 0,y 2以及曲线x 2y y2 所围成. D【练习2】平移变换下的二重积分： u  xa, 设D为平面有界闭区域， f(x,y)在区域D连续，平移变换 其中xOy平面 v yb, 上的区域D在该变换下，变为uOv平面上的区域D．有  f(x,y)dxdy  f(ua,vb)dudv， D D   【例题3】设D (x,y) x2  y2  x y ，计算I  (x y2)dxdy． D   【例题4】设D (x,y) 4x2  y2 1,x0,y0 ，计算I  (112x2  y2)dxdy. D （2022年，数学一改） 【例题5】计算I  xydxdy，其中D是由xy 1,xy 2,y  x,y 4x，围成的 D 闭区域在第一象限的部分． 【例题6】设D  (x,y) x y1,x0,y0  ，计算  x y x y x y I    sin cos tan  dxdy．  x y x y x y D （以下内容，数学一要求） xrsincos,  【例题7】球坐标系下的三重积分：球变换变换y rsinsin,其中  z rcos,  x x x r   sincos rcoscos rsinsin y y y J   sinsin rcossin rsincos r2sin，则 r   cos rsin 0 z z z r    f(x,y,z)dxdydz  f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindddr．  【例题8】设是由锥面x2 (yz)2 (1z)2 (0 z 1)与平面z 0围成的锥体， 求的形心坐标． （2019年，数学一） 1 1 【作业1】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】采用雅可比变换来做. 【作业2】求抛物线y2 mx,y2 nx和直线y x,y x所围成区域的面积， 其中0mn,0.