2025年10月11日高等数学专题第03节--二重积分计算（三）（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 03 节 二重积分的计算（三） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 三、特殊曲线确定的积分区域 （1）心形线    【例题1】设D(r,) 2r 2(1cos),  ， f(x,y)在D上连续，  2 2 且满足 f(x,y) x y f(x,y)dxdy，求 f(x,y)． D （2）双纽线（两种） 【例题2】设平面区域D由曲线(x2  y2)2  x2  y2 (x0,y0)与x轴围成， 计算二重积分(x2  y2 xy)dxdy． （2021年，数学二改） D 【练习3】设D  (x,y) (x2  y2)2 2xy  ，计算(x2  y2 xy)dxdy． D （3）高阶多项式函数确定的曲线  【例题4】设D (x,y) x yxy1,x2  y2 1,x0,y0 ．且  x y1, x y1,  f(x,y) 1 , x y 1．  x2  y2  计算I   f(x,y)dxdy． D （4）反函数的定义域 【例题5】设D是由y  1x2 ,y  4x2 与x y 0及x轴所围且位于x y0 x2  y2 部分的区域，计算I   dxdy． x2 2y2 D   【例题5】设D (x,y) 1x2  y 4x2 ,yx,y0 ， x2  y2 计算I   dxdy． x2 2y2 D （5）摆线和星形线（数学一、数学二要求） xtsint, 【例题6】设平面区域D由曲线 (0t 2)与x轴围成， y 1cost, 计算二重积分(x2y)dxdy． （2018年，数学二） D xcos3t,  【例题7】设D为由L： (0t  )所围成的区域， y sin3t, 2 计算 I  (x2  y2 1)dxdy. D【作业1】设区域D  (x,y) 0 x3,0 y3  ，且  1 3  x2  y2, 0 x3, x y 3x, f(x,y) x2  y2 3   0, 其他. 计算I   f(x,y)dxdy． D    【作业2】设D(r,) 2r 2(1cos),  ,f(x,y)在D上连续，  2 2 1x x2  y2 且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)． x2  y2 D   【作业3】设D (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ， 计算I  (x2  y2 xy)dxdy． D 【作业4】已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ， x y 计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二） x2  y2 D 【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2 1 与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二） 3x2  y2 D x1cost, 【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域， y tsint 计算(2x y)dxdy． D