高等数学专题第01-04节二重积分（作业手写版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义_必考专题—高等数学

专题：二重积分的计算 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥二重积分计算（一） 【作业1】设函数 f(x)在0,1上连续，证明： 1 dx x f (y)dy   1 ( x x2)f (x)dx. 0 x2 0 解 由题 设 y y I D 侧 oxsl.is ywx yo i fdxffmdy 𨰻 fdyffmdx 不 对ㄨ积分 情作常数 ffnwgy3dy ffmlfx.MN ⼆t t 【作业2】设 f(x)为连续函数，F(t) dy f(x)dx，则F(2)等于（ ）． 1 y （A）2f(2)． （B） f(2)． （C）f(2)． （D）0． （2004年，数学一） 解 由题设 不妨没 tin y ⼈ i 加 侧 1 yet guy 了 0 1 t 下化 fdxffmdy fax 1 dx 刘 䉋 积分 作常数 则 Ht 灿 ⼼ F 2 扣 这 13 注 积分区域 ⼝靠近 ㄨ 轴 向ㄨ轴投影2 x 【作业3】 dx f ( x2  y2)dy （ ）． 0 3x   2sec 2sec （A）3d f(r)rdr . （B）4d f(r)dr.   0 0 4 3   2 2 4 （C） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r   2 2 4 （D） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r 解 由题没 D xisoxsz.xayeiiynlffdxffl.it dy yi t Ǘanrdr 2ix do 0 z D ⼼ it are air ⼋ 4 Ǘdrǜfrd0 If zirnifdrfifmrd0 zrzar.in i o i i 6 故选4【作业4】将下面极坐标交换积分次序  1 （1）2dsin f(r)rdr.  0 4 解 由题没⼝ ⼼ 迅 达 ns.inr ⼋ 原⾮ lifan rdoljiiatfdrffcnrdooi.io r 2 arccos （2） rdr 2 f(rcos,rsin)d. r 0 arccos 2 解 由题没 D 仙⼭ ⼩ 2ianniosarcnf.fr2 ⽐ 原式 ⼆ fiefflrno.rsingrdr.io(x y)2 x2  y2 【作业5】设D   (x,y) 1 x y 2,0 y x  ，计算I   dxdy． x3 D 解 由题没 y n fine riots iirrdr fo 上 E Hi 州 2 mina T 乏 了 x I 对你只分 啃作常数 的 将变换⽅程 代⼊边界 曲线 ⾏恐品 分别 y 1 Xty 2 kmino.kaismoi.fknotsinoijkao.in a doo MO K not since If i do i 红⼗1吅州 fsecodtano 其中 fiseddefseo.seiof seotanoi ftaio.se do ffiyse.edu EF fiddotfseodo rz fseddotlnlseottanoihiii.fi do that1 故 Àd do Gthhy  【作业6】已知平面区域D  (x,y) y2 x 4 y2 ,0 y2 ， (x y)2 计算I   dxdy． （2022年，数学一、数学二、数学三） x2  y2 D 【注】分块区域极坐标最简洁 ⼋ y 解 由题设 将积分区域拆分 X班 4 y 2 D 叶 ⻅ 川 i 㡮 少 siirdr fyidoifdoff fysnoi.ir do 2Egǘǜ do 2sina.se 2ffdo 4fsmods.no fi È 不 4 不 2注 将 ⼼ 吣 代⼊边界曲线 ⼩⽕ 2 ksmio y rsMQ fyid fdofsnhnfihrdr co i 对积分 0看作 常数 Efio fco sinof ir do 2Èd0 ⺎ _ ⼗ 不2⼗ㄤ 2不2【作业7】设有界区域D是圆x2  y2 1和直线y  x以及x轴在第一象限围成的部分， 计算二重积分I  e(xy)2 (x2  y2)dxdy． （2021年，数学三） D 解 由题没 ixfl.ge I Ryjdr D i o fofiotsiiig s.no rdr ⼆Ǖdof 凸⼼ 𠴕 razor dr r n fdrfii.r.io do 0 对0积分 请作常出来 i 6 Èfě rdrfidrs.no 0 Edr RSM20 Ǐ fire 0 0 etr in dr if fir dr ifirdr jej fifjle ze.tly (x y)2 【选做8】设D   (x,y) 1 x y 2,0 y x  ，计算I  ( )3 dxdy． x x2  y2 D 解 由题 没 liiirdr mine fitaio.gtsnoifkcuiudokmismo fled it and do zft.ci do zf.io if seio tanodf f y it Emin E.tn 州 2 f t t h f i i h2 州 令 了 x  xy 【选做9】设D  (x,y) x2  y2 1,0 y  x ，计算I   dxdy． 1x2  y2 D 解 由题没 i 焩 㯑 iiiii.ir i s iifiiirdrnnifdrfirino dolthnzo.it fdrfminodlrhg 本 tfr.in Hino ǒiidr tfrfhatryqr fflnatry.dk yntryi ffiiidi ffiidr2 fy ftfhhtmj.fr f fmzx 【选做10】设D   (x,y) 0 y 1x,0 x1  ，计算I  exydxdy． D 解 由题没 y n ⼼⼼ I 0tǖiolrdr Iffy ǐ 对积分 0看作常数 o ⽂ Knots li oiio.ir do ifeiiio.y.it 叫 ⼼ 以 以 ⽐ ⼼ diii de do gyu knotsmop Ēědciii i if i ěè ⼆ ⼼ z【选做11】设D   (x,y) 1 x y 2,0 x2,0 y 2  ，计算I  e(xy)2 dxdy. D 解 由题 没 gn 灲 2 mnèhiiirdr TTfi.sn 鱤 对积分 情作 o mi 了 1 fdfminofGotsiiigoyopdlhotsii7cnois.no 2 kminou 吖 叫 佻 if ⼆ ciiē r noimo ifgi.nu ⽐ 烑 t.tt Ēesnhizd0 ftē4 Ēcsciid0 ⼼⼼ ⽐仙划 È ⼼ 妙 ⼆ 年 ⼀二重积分计算（二）   x2  y2 xy 【作业1】设区域D  (x,y) x2  y2 1,x0,y0 ，计算I   dxdy. x2  y2 D 解 由题 没 D关于 ⼩X 对称 灯么 ǙǗǛM dr o ⼆ if Ǘdoffrdr Ēsina.no.fr do ⼆ if i is Fi sina.cn 些 ⼆xe(xy)2 【作业2】设D   (x,y) 1 x y 2,x0,y0  ，计算I   dxdy． x y D 解 由题没 咲于 ⼩ㄨ对称 y⼋ 飕飕 品 灲 2 咏 地 i i own yfgwtierhots.no irg 呻伈 对积分 0看作常数 ⽐ Ē灲 ⼼ 吃 吖 ⼼⽐ 哒 I yyopdrgtsnoicnots.no Ecuj.insnoikna.io do ⼆ 本 Finds no E le do goin 4fie.fi niaid0 E acid0 fate fit ⼀ ⽐ 0 i i 姚 ⽐  【作业3】设D  (x,y) x2  y2 1,y 0 ，连续函数 f(x,y)满足 f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy， D 求xf(x,y)dxdy． （2020年，数学三） D 【注】直角坐标计算最简洁. 解 设 ⽔炒 ⼼ A 则 刈红 flxiiytxztAX i to 等式两边在区域⼝上积分得 咲 于1轴对称 A ⽔州 ⼼ yim tt A A fdxffjtxdy 刘 崔 积分 作常数 gǐiiiiidx 㶽出数 Èdx 2 ffidx if 也 x intjiiiitfiidt ixz EE 不故 f 们 y init in 婍 fxfxindr fxyinidrtinfidr ffdofrio.rdrz.FI To do.f Pdr f ㄤ E i Ǜi【作业4】设D   (x,y) 0 x1,0 y 1  ，计算I e max  x2,y2 dxdy． D 解 由题没 y i y X I 刈 知 f y ⻅ efxlEDz.o.nl Dj p either f Dz ⼼我 life 1 州 ixiaxtfyěày ⼆ ⼼ i i t i i ⼼ e 1 e ⻔【作业5】已知平面区域D   (x,y) (x1)2  y2 1  ，计算二重积分 x2  y2 1dxdy． D （2023年，数学三） 解 由题 设 曲线交点 焖到 啡 iii si fi iii 到 州 y it D 叶只 其中 只 ⼝ D关于 X轴对称的 IN奸 州 ⼼ 1 讻 ⽕ ⼼ ⼗ 必 以 㤈 焱 也奸们 ⼼ 似 训 州 ⼀ 㤈 N 奸们 ⼼ 2 起 不 以1 do 到 ⼼ 将 分别 代⼊ 街 作皆岱 凶刊到 kz coso 焻 ⼭ ⼼ 州 ⼼ 2 jdof n ru 沃利斯公式 zfi uso fosiojdQ 4 fodo fjosodo ⼆ 4 E fi I 不 i - 4 ziinziin.rdr zjyio i.ci do Ǘyio 4jzdotii i dsino isi zlotisnzoyiti ilsio iG i.it 2 所 邀 i is_IT 故 hi 1 ⼼ 也奸们 ⼼ 2 逃5 1 do ⼆ 不 it2GB F 3冷 if  【选做6】设D  (x,y) x2  y2 4 ，计算I   2xx2  y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！分块+极坐标（平移处理） i 解 由题没 咲刮 轴对称 iz ⽓ 三 令 以 忙忙 4 师 ⼝ if 2 还ㄨ 到 drtftiz 2 xj D ar z zxldr fkxiyjdrtffqyiizxjdrD.tk D 倚出数 dat 娳 议 do 2ftii 其中 114划了 ⼼ flit 忊 ⼼ 只 移 114所以jdrjfoffryrdr E 只 v uhh Di Knitting Durkin ⼼ 出 癸 符 1 不 i yw 县 咒I 炮了 ⼼ ffofirdr 8元 D 故 2 t8元 9ㄤ  【选做7】设D  (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！，拆分区域 了 解 由题没 如 唞 2 y 2 ⼆ 州 2 2 灼 ⼼ jz xty.no 刈 2 x y 2 dr qyyidr fKx y drDHDz D 2 州 2 At 2 州 以 其中 她 21drfgfiin.MX 2 do ffy yzkiyityfiryz ztyydy z.li fGtyz ty2ty l dy ftl iyiitftil.it ftiItz l ftl Ed逃 了 ⼼ 2 她 ⼼ jdQfflrcnQtrsnoj.rdr 2 玩 f E tsinQj.jPETdo ff tsnQj.cn do ⼆ 不 ifioǜǜsnonog ⼆ 不 iiiEtzi.io Ǘ ⼆ 不 i if F i 故 2 G i t i 1  【选做7】设D  (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！，拆分区域 解 由题没 ⼼ 唞 2 y 2 州 2 114 ⼼⼼ iz B drtktndr do 州 2 fk.tn D 叶⻅ 2 她 2 dat 逃了 do 会 当 没 造出 1焭 太 1 叕 㗊 ⼼ dirt 4 以 以 2 世⼼2 此 ⼼ 2 妧⼠ 4 灬 dr 2 zfifiidrwtrsmojrdr itltfdofkrs.no rdrf.tl 2figiiututrsmojrdr tft is.no d r I 2Ǘ knots㖄 式 do it1 knots.no IEtjcnQE.IE Casino l yiopldQ z.tt1 E 32 i Ēytsmo dQ ify.io idQtif acnDEiiEs.yjdQ i Fi it iata i f i I1 1 【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做. ⽅法⼀ 直⻆坐标系下累次积分 ysn ti 解 由 题没 联⽅程求交点 鸞 了 ll i 㗰 绿 纱 啊 衢 ⽵ 3 积分区域 咲于 ⼩⽕对称 轮换对称 dr I do 4 刈 drifdx ytlty sc drtfffdyiayifdjdy fiidklki in Ein I 31叱 it in 了1 1 【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做. ⽅法⼆ 极坐标下累次积分 un 解 由题设 ⼝关于 ⼩⽕对称 则 ⼀⼼了 ⼼ xjdro.is 也不以 ⼼ 4x ytlty fdr.fi do fhinordrarctanjd3sinchofiiilsninoz.sn ⽐ 4 fctajinod03arctunj4farctan33antanjtand.ci of areturn ifarctanjtahdtanQw.tn im to fln3 antoni  x 【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy． x2  y2 D （2024年，数学一） 解 由题没 ⼝关于 ⽕轴对称 直⻆坐标系 偶 少 州到 iii I go.it 6 1 0 1 1111 zfiyziiiyzfti.gg 2 2ftp.dyzrztlnlrztl 其中 fti dy yinyzffy.dzdg IEIiijdy rz ftyzdyiffgdyfz.fi Hyzdytlnlytiityzlif M1 IIII.tl n ztzlnwuy ftp.dy  x 【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy． x2  y2 D （2024年，数学一） 少 州到 解 由题设 ⼝关于 ⽕轴对称 ID y偶 6 1 0 1 di fiidi 2 in 悱 zjdofimfrdrtzfdofrqyrdrfy llosddotfls.in 1 GO do if idea do iǜ condo so nai snoiinois.no ǜ In data if hnnnf.tn In wit1 2 上二重积分计算（三） 【作业1】设区域D   (x,y) 0 x3,0 y3  ，且  1 3  x2  y2, 0 x3, x y  3x, f(x,y) x2  y2 3   0, 其他. 计算I   f(x,y)dxdy． D 由题没⼝关于 ⽕ㄨ对称 则 ⼩成 y 解 3 B Dz inaroiNND.in ⼼ ⼆ 点 咏 了 3 2 fǖdof rdrtfdoff rdr f fddotfs.no do È 3lnlseottanolit3lnlcscai.to 3In 器 3In 了 3 21吅州 州 注 了 fsecxdx hlsecxttanxHC.fidx lncscix otxtC   【作业2】设D (r,) 2r 2(1cos),   , f(x,y)在D上连续，  2 2 1x x2  y2 且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)． x2  y2 D y⼈ 解 没 ⼩州 刈 ⼼ A 则 2件 ⼼ 步 z m 北⻔ Nfp txt Ay i o -2 故 北⻔ - ⼆ Nǜi Ay 对称 等式两边积分 得 咲 和轴 lǜiid A ⼩⼼刈 ⼼ 5 Ǘdoffrdr SMOĒ ⼆ 4Ēcnodo 4 4 故 北⻔ it 4g  【作业3】设D  (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ， 计算I  (x2  y2 xy)dxdy． D ⼋ y fix 解 由题没 咲于 y 对称 则 ī 将 代⼊曲线⽅程得 i The o y 吣 性 Esme zrcno rsno 4到4 刈 do 也许 xytj xiydr if rdr 刈 ⼼ ⼆ rcno rs no 对我分 崝作常数 i 20 fzsinzo ir 4 Ǚ do 2 ⽐ js io do jfsiit idt jfsintdt g it i 注 ⾼次曲线 幂次33 可以考虑极坐标表示【作业4】已知平面区域D   (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ， x y 计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二） x2  y2 D 解 将 in 代⼊曲线 进⾏ 了 y 4 得 y rsno 成 girls 个 积分区域关于刂轴对称 则 i i 从 i o ffio 2 to rdr iida fsno ir fsiotfcoi sn些 duo ⼆ fǜtuition iiinii 4 - no fi订 ⾼次曲线 幂次33 可以考虑极坐标表示【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2 1 与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二） 3x2  y2 D 解 由题 设 描点法 y.si yxjyy I 110 1，1 o I 州刘 2 ⽂ 2 奸㤡 2 ⼼ ⼼冷 orz 0 02 如 吣 州 刘 1 将 代⼊边r界i曲o线smal.gr sino 奸⽕ ⻔ 2 Frhositz.ffdafhinuf.sn nidr nino fziio.hr do t.io no Ē Ǜsii 吃 d ⼆ 了 imzfitaniǜfilnzffzinodtano imz.fi 㬱 Hǜnpd flnz.arctanif fhzG.co i h2 元x 1cost, 【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域， y tsint 计算(2x y)dxdy． y ⼋ D 玩 没 解 由题 ⺎ 2xdoifgfzxdxozj inti.ci fxindy ff dt F43 ⽐ 3it it dt i.it dt fyi 3 E 2天 JT sitjds.int 5元 fdyfgdx fyd fy.xdydy ft.int 1 1叫 ⼼ d t fsi.it ftltostjatfsntintidt ⼆ ftp.cnttaitjdt f f 1 2 ntt That ftdt zffostdttiftcnztdt z.EE i zffdsmttdfitds.int 2 3元 故 化州 ⼼ 5元 3 亿二重积分计算（四） 1 1 【作业1】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】采用雅可比变换来做. 对称 解 由题没 D关于 ⼩⽕ 则 un - ⼼了 f Hmg d 5 94y do yin D D i i o i f H 1 y ⽕ ⼼ I do y D NY 且 设 ⽕⽕ 则 I dv yjuvi ru 烈 出 nizwvi 2 T ⼆ 烈 烈 ru Ǚ 汇Di 灬 jsus.it 3 V 4 刈 ⼼ I do 3 giǜav 11 ùdudv i h Dw Dw 0 j 3 ii.hu in ifdufidv【作业2】已知平面有界区域D   (x,y) y2  x,x2  y  ，计算二重积分 (x y1)2dxdy. （2025年，数学三） D 【注】采用雅可比变换来做. y yi 解 没 恼 则 纞 I ⼼ 氵 可 V 2 0 1 Nii 裂 㗊 5 i ii ii 烈 烈 I Dw ⼼ ⼼ 巡 1 1 2 0 iiiiiiiav ⼩⼼ 以 ⼀点 ⻅关于⼩⼋对珎 zuvtui zuij.in fiiituiitl ifdujiii 2 ⼼ 1 N jfhiii utijdu jfxftif.it1 i iaudv 注 ⻅关于1 ⽐对称 则 fiiidudv.fi【作业2】已知平面有界区域D   (x,y) y2  x,x2  y  ，计算二重积分 (x y1)2dxdy. （2025年，数学三） D 解 由题没 咲于⽕对称 则 I y2 刘州 的 好5 1 2刈⼗ 以2y do 2 0 1 i 如年 1 2xytzx zytititl zyxtzy zxjdsr xytljdoifdnfftixy.tl fyi dy fyiytjli xs xlx xtci.in d n ffi x4tf ix6 xiitx xidx i iii i.it iii【作业2】已知平面有界区域D   (x,y) y2  x,x2  y  ，计算二重积分 (x y1)2dxdy. （2025年，数学三） D 解 由题没 咲于 ⼼ 对称 则 2 I y 2 ⽉ 刘 州 ⼼ 这5 1 - 2刈⼗ 以 2y do 2 0 1 i 娳年 1 - 2xytzx zytititl zPL tzyzx d 5 ⽕到 2 - 2对卄 的 咲于 ⼼ 对称 您 雅 可⽐ 变换 2 州⽴ 州州 d5 2 fffixj zxytydy zfxn EHNRxG si 从4 不 ⼼ h 2 fix 4tjP ix 6 - R it ⼀ 2 d n 2 iti ititi in i【作业3】求抛物线y2 mx,y2 nx和直线y x,y x所围成区域的面积， 其中0mn,0.