合并高等数学专题讲义（题目留白版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义_必考专题—高等数学

第 01 节 二重积分的计算（一） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分的解题步骤（套路）：（背熟练） （1）画出积分区域. （2）拆分积分区域D D D （区域的对称性）. 1 2 （3）拆分被积函数 f  gh（函数的奇偶性）. （4）直角坐标（先考虑极坐标，再考虑直角坐标，现在是二者结合） (1) 积分区域具有圆的特征：  x y (2) 被积函数：(x2  y2),f( ),f( )；  y x （5）极坐标 (3) 积分区域边界：x y a,x y b；  (4) 积分区域边界：x2  y2  x y．  (5) 特殊曲线：高次曲线 （6）轮换对称性：积分区域D关于y  x对称 1  f(x,y)d f(y,x)d f(x,y) f(y,x)d. 2 D D D （7）分块区域上的二重积分：绝对值函数，符号函数，最值函数. g(x,y), (x,y)D , f(x,y) 1 h(x,y), (x,y)D ．  2 则  f(x,y)d g(y,x)dh(y,x)d D D D 1 2 （8）积分区域用极坐标表示：心形线，双纽线（两种）. （9）积分区域用高次曲线表示. （10）积分区域用参数方程表示：摆线，星形线（数学一、数学二要求）. （11）雅克比变换计算二重积分（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 【重点】（1）极坐标交换积分次序； （2）轮换对称； （3）分块区域上的积分. 【高分】（4）特殊的积分区域（极坐标表示，参数方程表示）； （5）计算能力. 【难点】雅克比变换（高分要求掌握）.二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 符号说明： 【例题】上课讲解的题； 【练习】课上练习题目； 【作业】课后作业题目； 【选做】难题！计算量大！ 一、累次积分交换积分次序 1. 直角坐标系累次积分计算：设 f(x,y)在有界闭区域D上连续 （1）向x轴投影，其中D：a xb,(x) y(x)，则 1 2 b（右） (x（)上）  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy． a（左） (x（)下） 1 D （2）向y轴投影，其中D：c yd,(y) x (y)，则 1 2 d（上） (y（)右）  f(x,y)dxdy dy 2 f(x,y)dx． c（下） (y（)左） 1 D 2.直角坐标下累次积分交换积分次序 （1）正向投影：数轴的正向到负向引出射线穿过区域D，找到D在数轴上的投影区域； （2）反向投影：反向穿过区域D，先交区域D边界为下限，后交区域D边界为上限； 右 上 上 右  f(x,y)dxdy dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx. 左 下 下 左 D b (x) d (y)  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy dy 2 f(x,y)dx. a (x) c (y) 1 1 D （3）内侧积分的上下限：用外侧变元的函数表示.【例题1】交换积分次序 2 2xx2 （1） dx f(x,y)dy. 1 2x 2 2y （2） dy f(x,y)dx. 0 y2 2 2x （3） dx f(x,y)dy. x2 6 1 4 1 【练习2】设函数 f(x,y)连续，则二次积分 dx f(x,y)dy等于（ ）．  sinx 2 1  1  （A） dy f(x,y)dx． （B） dy f(x,y)dx． 0 arcsiny 0 arcsiny 1 arcsiny 1 arcsiny （C） dy f(x,y)dx． （D） dy f(x,y)dx．   0 0 2 2 （2007年，数学二，数学三，数学四） 3. 二重积分的极坐标计算：设D：,r()r r ()，则 1 2  r()  f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrd d2 f(rcos,rsin)rdr．  r() 1 D D 4.直角坐标和极坐标转换 （1）的变化范围：x轴逆时针旋转，先切区域边界为下限，后切区域边界为上限. （2）r的变化范围：从原点O引出射线，穿过区域， 先交区域边界为下限，后交区域边界为上限（若区域包含原点，则下限为0）. （3）内侧积分上下限：用外侧变元的函数表示.【例题3】将二重积分 f(x,y)d表示为极坐标形式下的累次积分. D 积分区域D分别如下，其中a  0为常数. （1）x2  y2 a2. （2）x2  y2 2ax. （3）直线y0,xa,y  x所围成的区域. （4）直线y 0,x0,x ya所围成的区域. 2 【练习4】I   3d cos f(r,)rdr改写成直角坐标系下的累次积分.  0 4 x y 【例题5】设D  (x,y) x2  y2  x y  ，计算I   d. x2  y2 Dx2  y2 【练习6】设平面区域D由直线x1,x2,y  x及x轴围成，计算 dxdy． x D （2020年，数学二）5. 极坐标交换积分次序 【例题7】将下面极坐标交换积分次序  2acos （1）I   2 d f(rcos,rsin)rdr.   0 4  1 （2）2dsin f(r)rdr.  0 4【例题8】设D  (x,y) x2  y2 1,x0,y0  ，计算I  2xyex2y2 dxdy． D【作业1】设函数 f(x)在0,1上连续，证明： 1 dx x f (y)dy   1 ( x x2)f (x)dx. 0 x2 0t t 【作业2】设 f(x)为连续函数，F(t) dy f(x)dx，则F(2)等于（ ）． 1 y （A）2f(2)． （B） f(2)． （C）f(2)． （D）0． （2004年，数学一）2 x 【作业3】 dx f( x2  y2)dy （ ）． 0 3x   2sec 2sec （A）3d f(r)rdr . （B）4d f(r)dr.   0 0 4 3   2 2 4 （C） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r   2 2 4 （D） dr3 f(r)rd dr3 f(r)rd.  2 0 2 2 arccos 4 r【作业4】将下面极坐标交换积分次序  1 （1）2dsin f(r)rdr.  0 4 r 2 arccos （2） rdr 2 f(rcos,rsin)d. r 0 arccos 2(x y)2 x2  y2 【作业5】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I   dxdy． x3 D  【作业6】已知平面区域D (x,y) y2 x 4 y2 ,0 y2 ， (x y)2 计算I   dxdy． （2022年，数学一，数学二，数学三） x2  y2 D 【注】分块区域极坐标最简洁【作业7】设有界区域D是圆x2  y2 1和直线y  x以及x轴在第一象限围成的部分， 计算二重积分I e(xy)2 (x2  y2)dxdy． （2021年，数学三） Dy (x y)2 【选做8】设D  (x,y) 1 x y2,0 y x  ，计算I  ( )3 dxdy． x x2  y2 D  xy 【选做9】设D (x,y) x2  y2 1,0 y x ，计算I   dxdy． 1x2  y2 Dx 【选做10】设D  (x,y) 0 y1x,0 x1  ，计算I  exydxdy． D【选做11】设D  (x,y) 1 x y2,0 x2,0 y2  ，计算I  e(xy)2 dxdy. D第 02 节 二重积分的计算（二） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 积分区域D关于直线y  x对称（关于变量x和y 有轮换对称性），则 1  f(x,y)d f(y,x)d  f(x,y) f(y,x)d． 2 D D D （1）轮换对称 【例题1】设区域D  (x,y) x2  y2 4,x0,y0  ， f(x)为D上的正值连续函数， a f(x)b f(y) a,b为常数，则 d ( )． f(x) f(y) D ab ab （A）ab． （B） ． （C）(ab)． （D） ． 2 2 （2005年，数学二）x2 y2 【例题2】设区域D为x2  y2  R2，则(  )dxdy  . a2 b2 D （1994年，数学一）   x2ln(x2  y2) 【例题3】设D (x,y) 1 x2  y2 e2,x0,y0 ，计算I   dxdy． x2  y2 D【例题4】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算 I  e(xy)2 (sin2 xcos2 y)dxdy． D【例题5】设D  (x,y) x y1,x0,y0  ，计算  x y x y x y I    sin cos tan  dxdy．  x y x y x y D  【例题6】设D (x,y) x2  y2 4,x0,y0 ， f(x,y)在D上连续，且 f(x,y) x2  y2 sinxsin y f(x,y)(x2  y2)dxdy， D 求 f(x,y)．（2）分块区域上的二重积分 【例题7】设二元函数  x2, x  y 1,  f(x,y) 1 , 1 x  y 2,  x2  y2  计算二重积分 f(x,y)d，其中D  (x,y) x  y 2  ． D （2007年，数学二、数学三、数学四）【例题8】计算二重积分 x2  y2 1d，其中D  (x,y) 0 x1,0 y1  ． D （2005年，数学二、数学三、数学四）  x2  y2 xy 【作业1】设区域D (x,y) x2  y2 1,x0,y0 ，计算I   dxdy. x2  y2 Dxe(xy)2 【作业2】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算I   dxdy． x y D  【作业3】设D (x,y) x2  y2 1,y0 ，连续函数 f(x,y)满足 f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy， D 求xf(x,y)dxdy． （2020年，数学三） D 【注】直角坐标计算最简洁.【作业4】设D  (x,y) 0 x1,0 y1  ，计算I e max  x2,y2 dxdy． D【作业5】已知平面区域D  (x,y) (x1)2  y2 1  ，计算二重积分 x2  y2 1dxdy． D （2023年，数学三）  【选做6】设D (x,y) x2  y2 4 ，计算I   2xx2  y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！分块+极坐标（平移处理）  【选做7】设D (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！，拆分区域1 1 【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做.  x 【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy． x2  y2 D （2024年，数学一）第 03 节 二重积分的计算（三） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 三、特殊曲线确定的积分区域 （1）心形线    【例题1】设D(r,) 2r 2(1cos),  ， f(x,y)在D上连续，  2 2 且满足 f(x,y) x y f(x,y)dxdy，求 f(x,y)． D（2）双纽线（两种） 【例题2】设平面区域D由曲线(x2  y2)2  x2  y2 (x0,y0)与x轴围成， 计算二重积分(x2  y2 xy)dxdy． （2021年，数学二改） D【练习3】设D  (x,y) (x2  y2)2 2xy  ，计算(x2  y2 xy)dxdy． D（3）高阶多项式函数确定的曲线   【例题4】设D (x,y) x yxy1,x2  y2 1,x0,y0 ．且  x y1, x y1,  f(x,y) 1 , x y 1．  x2  y2  计算I   f(x,y)dxdy． D（4）反函数的定义域 【例题5】设D是由y  1x2 ,y  4x2 与x y 0及x轴所围且位于x y0 x2  y2 部分的区域，计算I   dxdy． x2 2y2 D（4）反函数的定义域   【例题5】设D (x,y) 1x2  y 4x2 ,yx,y0 ， x2  y2 计算I   dxdy． x2 2y2 D（5）摆线和星形线（数学一、数学二要求） xtsint, 【例题6】设平面区域D由曲线 (0t 2)与x轴围成， y 1cost, 计算二重积分(x2y)dxdy． （2018年，数学二） Dxcos3t,  【例题7】设D为由L： (0t  )所围成的区域， y sin3t, 2 计算 I  (x2  y2 1)dxdy. D【作业1】设区域D  (x,y) 0 x3,0 y3  ，且  1 3  x2  y2, 0 x3, x y 3x, f(x,y) x2  y2 3   0, 其他. 计算I   f(x,y)dxdy． D   【作业2】设D(r,) 2r 2(1cos),  ,f(x,y)在D上连续，  2 2 1x x2  y2 且满足 f(x,y)  yf(x,y)xdxdy，求 f(x,y)． x2  y2 D  【作业3】设D (x,y) (x2  y2)2 2xy,x0,y0 ， 计算I  (x2  y2 xy)dxdy． D【作业4】已知平面区域D  (x,y) x  y,(x2  y2)3  y4 ， x y 计算二重积分 dxdy． （2019年，数学二） x2  y2 D【作业5】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2  y2 xy 1,x2  y2 xy 2 1 与直线y  3x,y 0围成，计算 dxdy. （2023年，数学二） 3x2  y2 Dx1cost, 【作业6】设曲线L为 (0t 2)，D为L与y轴所围区域， y tsint 计算(2x y)dxdy． D第 04 节 二重积分的计算（四） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 四、雅克比变换矩阵 设D是xOy平面上的有界闭区域， f(x,y)在区域D上连续， （1）变换x x(u,v),y  y(u,v)在区域D上有连续偏导数， （2）将xOy平面上的区域D变换为uOv平面上的区域D（一对一对应）， x x u v （3） J  0，则 f(x,y)dxdy  f(x(u,v),y(u,v))J dudv. y y D D u v xrcos, 【定理】极坐标系下二重积分：极坐标变换 其中 y rsin, x x r  cos rsin J   r ， y x sin rcos r  xrcos 则  f(x,y)dxdy  f(rcos,rsin)rdrd． y rsin D D【例题1】计算 ydxdy，其中D是由x2,y 0,y 2以及曲线x 2y y2 所围成. D 【练习2】平移变换下的二重积分： u  xa, 设D为平面有界闭区域， f(x,y)在区域D连续，平移变换 其中xOy平面 v yb, 上的区域D在该变换下，变为uOv平面上的区域D．有  f(x,y)dxdy  f(ua,vb)dudv， D D  【例题3】设D (x,y) x2  y2  x y ，计算I  (x y2)dxdy． D  【例题4】设D (x,y) 4x2  y2 1,x0,y0 ，计算I  (112x2  y2)dxdy. D （2022年，数学一改）【例题5】计算I  xydxdy，其中D是由xy 1,xy 2,y  x,y 4x，围成的 D 闭区域在第一象限的部分．【例题6】设D  (x,y) x y1,x0,y0  ，计算  x y x y x y I    sin cos tan  dxdy．  x y x y x y D（以下内容，数学一要求） xrsincos,  【例题7】球坐标系下的三重积分：球变换变换y rsinsin,其中  z rcos,  x x x r   sincos rcoscos rsinsin y y y J   sinsin rcossin rsincos r2sin，则 r   cos rsin 0 z z z r    f(x,y,z)dxdydz  f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindddr．  【例题8】设是由锥面x2 (yz)2 (1z)2 (0 z 1)与平面z 0围成的锥体， 求的形心坐标． （2019年，数学一）1 1 【作业1】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】采用雅可比变换来做.【作业2】求抛物线y2 mx,y2 nx和直线y x,y x所围成区域的面积， 其中0mn,0.2026 考研数学保命班 高等数学 @金榜硕哥 薛威 2025 年 10 月北京第 05 节 函数的极限 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 一、函数极限的计算 1. 幂指函数+指数差 2. 泰勒公式 3. 变限积分 4. 二重积分 1.幂指函数+指数差+泰勒公式 1 【例题1】求极限lim  1 sinx sint2dt x3 ． x0  0 x  (32tant)t 3tdt   【例题2】计算lim 0 ． x0 3sin3 x  x1x x 【练习3】求 lim  ．   x(1x)x ex  cos(tet)cos(tet)dt   【练习4】计算lim 0 ． x0 2(1cosx2) 2.变限积分+二重积分 x  tf(x2 t2)dt 【例题5】设 f(x)可导，且 f(0)0, f(0)1，计算lim 0 . x0 x41 2  x 4x2t2dt2x 2 0 【练习6】求lim ． x0 x3 x2  f(t)dt 【例题7】设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)0, f(0)1，计算极限lim 0 ．  2 x0 x  f(t)dt 0【例题8】求极限lim 2  t dx t e(xy)2dy． t0 t2 0 x 1 t t 【例题9】计算lim  dx sin(xy)2dy． t0 t6 0 x1 2sinxcosx2sinx 【作业1】计算lim   ． x0 1x  x  (2sint)t 2tdt   【作业2】计算极限lim 0 ． x0 etanx ex  1 2n 【作业3】求极限limne2   1  ． n   n  x  tsin x2 t2dt 【作业4】求极限lim 0 . x0 ln(1x3)x  x2 3sin(xt)2dt   【作业5】求极限lim 0 ． x0 sin7 x 【作业6】设 sin x sin(2 x), e3x e x),  3 8x  3 8x ．当x0时， 1 2 3 以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）． （A）, ,． （B） ,,． （C） ,,． （D）, ,． 1 2 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1【作业7】设 f(x),g(x)在x0的某邻域内连续， f(0) g(0)0，求 x2  f( x2 t)dt lim 0 ． 1 x0  x2g(xt)dt 0 1 1 【作业8】设函数 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)0，求极限lim[  ]. x0 x2 x2f(x2)  f(t)dt 0x4 4t t  dt sin du 0 x u 【作业9】求极限lim . x0 1 x8 e8 1 【作业10】设 f(x,y)在区域D：0 x1,0 y1上连续，且 f(0,0)1，计算 x2 t  dt f(t,u)du lim 0 x . x0 3 1x3 1第 06 节 单调有界原理 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 一、单调有界原理 （1）归纳法，常用不等式，辅助函数法证明有界性 （2）单调性：作差代换一个，构造函数证明不等式，求导，证明单调性 （3）单调性：作差代换两个，辅助函数单调（导数大于零），利用中值定理证明单调性 （4）单调性：作差代换两个，函数导数小于零（导数绝对值严格小于一，级数绝对收敛证明） 【例1】设数列x n 满足：x 1 0,x n ex n1 ex n 1(n1,2,  )．证明x n 收敛，并求limx n ． n （2018年，数学一、数学二、数学三）【练习2】设数列x n 满足：x 1 0,x n1 ln(ex n x n ) (n1,2,  )． x （Ⅰ）证明：limx 存在，并求其值； （Ⅱ）求lim n1 ． n n n x2 n【例题3】（Ⅰ）证明：方程x 12lnx在(e,)内有唯一实根； （Ⅱ）取x 满足e x ，令x 12lnx (n1,2, )，证明：limx ． 0 0 n n1  n n【练习4】（Ⅰ）证明：方程x2ln(1x)在(0,)内有唯一实根； （Ⅱ）取0 x ,x 2ln(1x ) (n1,2, )，证明：limx ． 0 n n1  n n1 【例题5】设函数 f(x)lnx ． x （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 1 （Ⅱ）设数列x 满足lnx  1．证明limx 存在，并求此极限． n n x n n n1 （2013年，数学二）【例题6】设 f(x)在0,1上可导，当x0,1时，0 f(x)1,0 f(x)1， 1 记F(x) x f(x)，证明： 4 （Ⅰ）存在唯一的(0,1)，使得 f()3； （Ⅱ）数列x 满足：x (0,1),x  F(x ) (n0,1,2, )，则limx ． n 1 n1 n  n n【作业1】设数列x 满足0 x ,x sinx (n1,2, )． n 1 n1 n  1  x x2 （Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算lim n1  n ． n n n x  n【作业2】（Ⅰ）证明：方程x 12lnx在(e,)内有唯一实根； （Ⅱ）取x 满足x ，令x 12lnx (n1,2, )，证明：limx ． 0 0 n n1  n n【作业3】设 f(x)在0,上连续，且 f(x)  x ef(t)dt． 0 （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）证明：方程2f(x) x在(0,)内有唯一实根； （Ⅲ）任取x 0,x 2f(x ) (n1)，证明：limx ． 0 n n1 n n4 【作业4】当x0时，函数 f(x) x . x2 （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 4 （Ⅱ）设数列x 满足x  3．证明limx 存在，并求此极限． n n x2 n n n11 【作业5】设 f(x)在0,1上可导，0 f(x)1,0 f(x)1，且F(x) x f(x)． 2 （Ⅰ）证明：方程F(x) x在(0,1)内有唯一实根； （Ⅱ）数列x 满足：x (0,1),x  F(x ) (n0,1,2, )，证明：limx ． n 1 n1 n  n n1 【选做6】设0 x 1,x   maxx ,tdt,n1,2, ，证明limx 存在，并求此极限． 1 n n1  n 0 n第 07 节 夹逼准则和定积分定义 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 1.夹逼准则 2.夹逼准则和定积分定义（和、积的形式） 3.幂指函数和定积分定义 4.不等式和定积分定义 5.函数最值和定积分定义 6.周期函数和定积分定义 7.变限积分和定积分定义 1.夹逼准则  1 2 n  【例题1】求lim      ． nn2 n1 n2 n2 n2 nnn (nk)(nk1) 【练习2】求lim ． n n4 k1 2.夹逼准则和定积分定义 n k  k  【例题3】求lim ln  1 ． （2017年，数学一，数学二，数学三） n n2  n k1  2  sin sin  n n sin 【例题4】求lim     ． （1998年，数学一） n n1 n 1 n 1   2 n  3.幂指函数和定积分定义 1 【例题5】求lim n n(n1) (2n2)(2n1)．  nn1 2n 1 【练习6】求lim (nk)n ． nn2 k1 4.不等式和定积分定义 【例题7】（Ⅰ）证明当 x 充分小时，不等式0tan2 xx2  x4成立； n 1 （Ⅱ）设x tan2 ，求limx ． n n nk n k11 【练习8】（Ⅰ）证明：当x0时，x x3 sinx x； 6 n  k  k （Ⅱ）求极限lim  1  sin ． n  n n2 k1 5.函数最值和定积分定义 【例题9】设 f(x) x2,f(g(x))x2 2x3，且g(x)0． n k 1 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim  ． n n ng(x) k1【练习10】设 f(x) x2,f (x)x2 2x3，且 (x)0． 1 n k2(nk) （Ⅰ）求(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim  ． nn3 n(x) k1   【例题11】设 f(x) xsinxcosx,x 0, .    2    （Ⅰ）求 f(x)在 0, 上的最小值与最大值； （Ⅱ）求lim2 n f(x)f(x)dx．    2 n 06. 周期函数和夹逼准则 x 【例题12】设函数S(x) cost dt， 0 （Ⅰ）当n为正整数，且n x(n1)时，证明：2nS(x)2(n1)； S(x) （Ⅱ）求 lim ． （2000年，数学二） x x【练习13】设周期为的1周期函数 f(x) xx （x表示不超过x的最大整数）． n x n1 （Ⅰ）当n为正整数，且n xn1时，证明：  f(t)dt  ； 2 0 2 1 x （Ⅱ）求 lim  f(t)dt ． x x 07.变限积分和定积分定义 【例题14】设 f(x)是(,)上的偶函数， f(0)1,且当x 0时， 1 x 2x (n1)x f(x)lim 1cos cos  cos ．    nn n n n  （Ⅰ）求 f(x)和 f(0)； （Ⅱ）求 f(x)在,上的最大值．1 x 2x nx 【练习15】设 f(x)lim  arctan arctan   arctan  ,x0， nn n n n  f(x) （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）lim ． x0 xn  k n  【作业1】计算lim     ． n 2n2 k n2 k2  k1n  k k  k 【作业2】求lim    sin ． n nk1 n2  n k1n 1 n2k 【作业3】lim ln  ． n n 3n2k k1n  2nk nk 1 【作业4】lim  ln ln   ． n  2nk 3nk n k1 n  k  1  【选做5】lim  nln  1   (n1)   ． n  n2  2  k11 2n 1 【作业6】求lim (n2 k2)n . nn4 k11 【作业7】（Ⅰ）证明：当x0时，x x2 ln(1x) x； 2 n n2 k （Ⅱ）求极限lim ． n n2 k1【作业8】（Ⅰ）证明当x0充分小时，不等式0 xln(1x) x2成立； n k （Ⅱ）设x ln(1 )，求limx ． n n2 n n k1 【注】上一题的另一种形式【作业9】设 f(x) x2,f g(x)x2 2x3，且g(x)0． n 1 k2 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lim ln(1 )． n ng(x) n2 k1【作业10】设 f(x) x2, f g(x)x2 2x3，且g(x)0． n  k k 1 （Ⅰ）求g(x)及其定义域和值域； （Ⅱ）求lime n cos  ． n n ng(x) k1n  1 2  2 2  n 2 【参考1】limln  1   1      1  等于（ ）. n  n  n  n 2 2 （A） ln2 xdx． （B）2 lnxdx． 1 1 2 2 （C）2 ln(1x)dx． （D） ln2(1x)dx． （2004年，数学二） 1 1 1 1 1 【参考2】limn(    ) ． （2012年，数学二）  n 1n2 22 n2 n2 n21  1 2 n 【参考3】极限lim  sin 2sin   nsin   ． nn2  n n n （2016年，数学二，数学三） 1  1 2 n1 【参考4】lim ln 2ln  (n1)ln  ．    nn2  n n n  （2025年，数学三）1  2 n 【参考5】lim  1cos  1cos    1cos  ． nn  n n n  （2002年，数学二）【注】参考题都是真题，不给答案.第 08 节 导数定义求函数表达式 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 【导数定义】 【例题1】设 f(x)在(,)内有定义， f(0)1，且对任意的x,y(,)，满足 f(x y) f(x) f(y)2xy． （Ⅰ）证明： f(x)在(,)内可导，并求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x).【例题2】设 f(x)在(,)内有定义， f(0)1，且对任意的x,y(,)，满足 f(x y) f(x)f(y)． （Ⅰ）证明： f(x)在(,)内可导，并求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x).【例题3】设 f(x)在(,)内有定义， f(0)e，且对任意的x,y(,)，满足 f(x y)ey f(x)exf(y)． （Ⅰ）证明： f(x)在(,)内可导，并求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x).【例题4】设 f(x)在(0,)内有定义， f(1)1，且对任意的x,y(0,)，满足 f(xy) yf(x)xf(y)． （Ⅰ）证明： f(x)在(0,)内可导，并求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x)．【作业1】设 f(x)在(,)内有定义， f(0)1，且对任意的x,y(,)，满足 f(x) f(y) f(x y) ． 1 f(x)f(y) （Ⅰ）证明： f(x)在(,)内可导，并求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x).【作业2】设 f(x)在(0,)内有定义， f(1)1，且对任意的正数x,y(0,)，满足 f(x) f(y) f(xy)  ． y x （Ⅰ）证明： f(x)在(0,)内可导，并求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x).2026 考研数学保命班 高等数学 @金榜硕哥 薛威 2025 年 10 月北京第 09 节 多元函数微分学 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 一、多元函数微分学 1. 全微分的充要条件 2. 偏微分方程转为常微分方程求解 3. 偏微分方程求参数 4. 偏微分方程求原函数 【例题1】设u(x,y)的全微分为du ex  f(x)ydx f(x)dy,f(x)有二阶连续导数，   且 f(0)1, f(0)1. （Ⅰ）求 f(x)； （Ⅱ）求 f(x)的极值．【例题2】设u  f( x2  y2)，其中 f(r)二阶可导，且lim f(r)0， r0 2u 2u 1    dudv． x2 y2 1u2 v2 u2v2x2y2 f(r) （Ⅰ）求 f(r)的表达式； （Ⅱ）若 f(0)0，求lim ． x0 r4f(t) 【练习3】设z  f( x2  y2)具有连续二阶偏导数，lim 0且满足 t0 t 2z 2z 1 z   4z 8 x2  y2 ， x2 y2 y y 试求函数z  f( x2  y2)的表达式．u  x2y, 2z 2z 2z 2z 【例题4】设变换 可把方程6   0化简为 0， v xay． x2 xy y2 uv 求常数a，其中z  z(x,y)有二阶连续的偏导数． （1996年，数学一）2u 【练习5】已知函数z u(x,y)eaxby，且 0，求a,b的值，使得z  z(x,y) xy 满足方程 2z z z   z 0. xy x yf f 【例题6】设可微函数 f(u,v)满足  (uv)euv，且 f(0,v)0． u v 若u  x,v x y． f(x,x y) （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的极值． x【作业1】设 f(t)有二阶连续导数， f(1) f(1)1．在x0的平面区域内， 存在函数u(x,y)，使得 y2 y   y  du(x,y) xf( ) dx yxf( ) dy．      x x   x  求 f(t)及 f(t)的极值．【作业2】设z  f( x2  y2)，其中 f(u)有二阶连续导数， f(0) f(0)0，且 2z 2z 1 z    z x2  y2 ， x2 y2 x x 求 f(u).【作业3】设u u( x2  y2)在D：x2  y2 4上有二阶连续偏导数，且满足 2u 2u 1 u   u  x2  y2,  x2 y2 x x  u(0,0)0,u(1,1)2cos 2, 求函数u的表达式及u在D的最大值．2u 【作业4】设函数u(x,y)具有二阶连续偏导数，且 0，求常数a,b的值， xy 使得z  f(x,y)eax2by2 u(x,y)，满足等式 2f f f 2y 4x 8xyz 0． xy x yf(u,v) f(u,v) 【作业5】已知可微函数 f(u,v)满足  2(uv)e(uv)， u v 且 f(u,0)u2eu. g(x,y) （Ⅰ）记g(x,y) f(x,yx)，求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式和极值． x （2022年，数学二）f(u,v) f(u,v) f(0,v) 1 【难题6】已知可微函数 f(u,v)满足  0，  ， u v v ev(1ev) 且 f(0,0)ln21. f(x y,y) （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式． y【作业7】已知函数 f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y) f(2x y,3x y) 2g 2g 2g 满足  6 1． x2 xy y2 2f f(u,0) 1 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ueu,f(0,v) v2 1，求 f(u,v)的表达式． uv u 50 （2024年，数学一）f(u,v) f(u,v) f(0,v) 1 【难题6】已知可微函数 f(u,v)满足  0，  ， u v v ev(1ev) 且 f(0,0)ln21. f(x y,y) （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 f(u,v)的表达式． y2026 考研数学保命班 高等数学 @金榜硕哥 薛威 2025 年 10 月北京第 10 节 多元函数极值反问题 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 一、多元函数极值反问题（含参数） 1. 无约束条件函数极值 2. 隐函数极值（一元、二元） 3. 等式约束条件极值（拉格朗日函数极值） 4. 不等式约束条件极值 5. 函数极值的反问题（求参数） 【例题1】求函数u  xy2yz在约束条件下x2y2z210下的最大值和最小值． （2010年，数学三）【例题2】求曲线x3xy y3 1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离． （2013年，数学二）【例题3】在第一象限内，过曲线3x2 2xy3y2 a上任一点作其切线，若切线 1 与坐标轴所围成三角形面积的最小值为 ，求a的值． 4【例题4】设a,b满足a2 b2 1,a0b，求曲线y  x2 ax与y bx所围区域 面积的最大值与最小值．【例题5】设函数 f(x,y) x3  y3 ax2 by2 (a0,b0)有极小值8， x2 y2 求a,b的值，使得  1所围面积最大． a2 b2【作业1】设可微函数 f(x,y)的全微分为df(x,y)(2x4y)dx(10y4x)dy， 且 f(0,0)0． （Ⅰ）求 f(x,y)； （Ⅱ）求原点O(0,0)到曲线 f(x,y)1上的点的距离的最大值与最小值．  【作业2】求z  x2 12xy2y2在区域D (x,y) 4x2  y2 25 上的最值．【作业3】设 f(x,y)3x4yax2 2ay2 2bxy． （Ⅰ）问a,b满足什么条件时， f(x,y)有唯一的极大值； （Ⅱ）问a,b满足什么条件时， f(x,y)有唯一的极小值．1 1 【作业4】设 f(x,y) x2  y2满足ax2 2xyby2 1，于点( , )处取得最大值， 2 2 求a,b的值．x2 y2 【作业5】设函数 f(x,y)(x1)2  y2 (y 0)在条件  1 (a0,b0) a2 b2 3 3 下于点 , 处取得最小值，求a,b的值．   2 2  【作业6】设函数 f(x,y) x2 2kxy y2 (k 0)满足x2  y2 1的最大值与最小值 3 分别为和． （Ⅰ）证明： 2； （Ⅱ）当 时，求k的值． 1 2 1 2 1 2【作业7】设P(x ,y )为椭圆3x2 a2y2 3a2 (a 0)在第一象限部分上的一点，已知 0 0  1  在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积最小值为2 3  1  .  4  （Ⅰ）求点P的坐标及a的值； （Ⅱ）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V .