2025年10月10日高等数学专题第02节--二重积分计算（二）（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 02 节 二重积分的计算（二） 金榜时代 @考研数学薛威 硕哥 二重积分计算 一、直角坐标、极坐标累次积分+交换积分次序 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 三、极坐标+参数方程确定的积分区域 四、雅克比矩阵（大纲没要求，考试有出现，高分要求的可以参考） 二、轮换对称+分块区域上的二重积分 积分区域D关于直线y  x对称（关于变量x和y 有轮换对称性），则 1  f(x,y)d f(y,x)d  f(x,y) f(y,x)d． 2 D D D （1）轮换对称 【例题1】设区域D  (x,y) x2  y2 4,x0,y0  ， f(x)为D上的正值连续函数， a f(x)b f(y) a,b为常数，则 d ( )． f(x) f(y) D ab ab （A）ab． （B） ． （C）(ab)． （D） ． 2 2 （2005年，数学二） x2 y2 【例题2】设区域D为x2  y2  R2，则(  )dxdy  . a2 b2 D （1994年，数学一）   x2ln(x2  y2) 【例题3】设D (x,y) 1 x2  y2 e2,x0,y0 ，计算I   dxdy． x2  y2 D【例题4】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算 I  e(xy)2 (sin2 xcos2 y)dxdy． D 【例题5】设D  (x,y) x y1,x0,y0  ，计算  x y x y x y I    sin cos tan  dxdy．  x y x y x y D   【例题6】设D (x,y) x2  y2 4,x0,y0 ， f(x,y)在D上连续，且 f(x,y) x2  y2 sinxsin y f(x,y)(x2  y2)dxdy， D 求 f(x,y)． （2）分块区域上的二重积分 【例题7】设二元函数  x2, x  y 1,  f(x,y) 1 , 1 x  y 2,  x2  y2  计算二重积分 f(x,y)d，其中D  (x,y) x  y 2  ． D （2007年，数学二、数学三、数学四） 【例题8】计算二重积分 x2  y2 1d，其中D  (x,y) 0 x1,0 y1  ． D （2005年，数学二、数学三、数学四）   x2  y2 xy 【作业1】设区域D (x,y) x2  y2 1,x0,y0 ，计算I   dxdy. x2  y2 D xe(xy)2 【作业2】设D  (x,y) 1 x y2,x0,y0  ，计算I   dxdy． x y D  【作业3】设D (x,y) x2  y2 1,y0 ，连续函数 f(x,y)满足 f(x,y) y 1x2 x f(x,y)dxdy， D 求xf(x,y)dxdy． （2020年，数学三） D 【注】直角坐标计算最简洁. 【作业4】设D  (x,y) 0 x1,0 y1  ，计算I e max  x2,y2 dxdy． D 【作业5】已知平面区域D  (x,y) (x1)2  y2 1  ，计算二重积分 x2  y2 1dxdy． D （2023年，数学三）   【选做6】设D (x,y) x2  y2 4 ，计算I   2xx2  y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！分块+极坐标（平移处理）   【选做7】设D (x,y) 0 x2,0 y 2xx2 ，计算I   x y2 dxdy． D 【注】难！计算量大！，拆分区域 1 1 【作业8】设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy  ,xy 3与直线y  x,y 3x 3 3 围成，计算(1x y)dxdy． （2024年，数学二、数学三） D 【注】分别采用直角坐标和极坐标两种方法来做.  x 【作业9】已知平面区域D (x,y) 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy． x2  y2 D （2024年，数学一）