概率统计专题第07节矩估计和似然估计（一）（作业手写版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 07 节 矩估计和似然估计（一） 【作业1】设总体X 的概率分布为 X 1 0 1 P  12  1 其中(0 ) 是未知参数，利用总体X 的如下样本值1,0,0,1,1. 2 求的矩估计值和最大似然估计值． 解 开 Ek H Q to 1-201 0 0 阶矩失效 Ekiot 024201 12 -Q 20 ⼜由于 㟱 烂 hit 0404 it i i 2 根据矩估计原理 ⽐ 20 i 解得 o_o 故0的矩估计值 Ei 函样本⽕ k ㄨ 5 的似然出数 5 ⼼⼆ 点 吣 州 ⼆𠮿 -1 ˋ P 灬 P 如 P 灬 P 灬 2 2 o 1-20 d d 1-20 取对数 InLN 3In0 21 n 1-20 以 对 㟈导 䘡 i i 0 解得 a i 由似然估计原住 0的似然估计值 Ei【作业2】设总体X 的概率密度为 , 1 x0,  f(x；,), 0 x1, 其中和是未知参数，  0, 其他．  利用总体X 的如下样本值0.5,0.3,0.2,0.6,0.1,0.4,0.5,0.8. 求的矩估计值和最大似然估计值． 解 由密度出数性质 Iixix pdmfxdntffdi at fl 故 frx EKIiflkixpdnffxdntfxfdn 可 ixtidfxkz x FI Ě xi jfo 5-lo to 20.6 - a1to 4 0.5-0.8 j 由矩估计原理 Ek ⼼ - 8 解得 ㄨ 85 故⼈的矩估计值为 85 画 在给定的 8个样本 值中属于 有5个 属于 a ㄍ1有 3个 样本么 ⼈ ⼀ ㄨ 8 的似然出数 5 了 ⼼ jflniix fl x fi x 取对数 In灬 5 hat 了In 仙 d 对球导 焽 i i a i 故义的似然估计值 i【作业3】设X ,X ,,X 为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本,Y ,Y ,,Y 1 2 n 1 2 m 为来自均值为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中(0)是   未知参数．利用样本X ,X ,,X ,Y ,Y ,,Y ，求的最大似然估计量，并求D()． 1 2 n 1 2 m （2022年，数学一、数学三） 解 可 没⽔ 加 - - 从总体为 X 炸 不总体为丫 由题没 xtlò 炡 划 则 Dkd 咋 402 且ㄨ与丫的 概率密度 分别 为 Ǜēǜ Òēǜ go 我 No fly 咋 0 其他 0 其他 没⽔ ⽔ - - 不 尔 yzi tn 为样本观测 值 则似然出数为 L 0 Ìfxijo Ěfyj 0 ǜēòiē no gpo 0 其他 取对数 In ⼼ n had Ěximhz_mhtǜĚyj对㟈导 令其为零得 d ⼼ 笓 Ǜtǜ Ěxiǒtǜ Ěyj o 解得 a min 信⼼ 㵄 故 0的最⼤似 然估计量 Qin 信 炪 赫 可 由于样本相互独⽴ 𠴕 ⼝ min信⼼涪州 㘅 nil ⼆ unilndti mg mǜ ⼆【作业4】设X ,X 是来自总体X ~U0,2的简单随机样本，Y ,Y ,Y 是来自总体 1 2 1 2 3 Y ~U0,4的简单随机样本，且两个样本相互独立，其中0未未知参数. 求    （Ⅰ）求的最大似然估计量； （Ⅱ）求E,D． 解可 由题没 从 0 0.20了 忆 0.40了 则密度出数分别为 XE 20 我 为 401 fm fxyfi 其他 0 其他 0 分布出数分别 为 第⼆问要⽤ ⼼ 蕊 叫 ǚi 不似 随 下 ⼩E40 I ⼼20 I y740 样本 x MY ⽕ 丫 似然出数为 了 0越⼩ ⼼越⼤ ⼈ ill 20.0 40 ⼼ 前我们 jfy ly 20 了 其他 0 取对数 从⼼ - 8In 251 no d 对 㟈导 䘡 ò so 似然 估计失效 由于 ⼼ 20 Y 40 则 以 必 ⼼ àyj 即 a max in ⽐ 你 划 2 4 则 根据 似然估计原理 tmall l li 划 2 划 了 1正 由分布函数定义 tfkpytkplmaxli in 你 划 划 侧 2 了 当 to 时 𤤙1 0i 当 odd 时 Fit P xpt kz t yi 4t tt 93 4t P Yet P 如叫 叫 川 咋 侧 叫 张州 ǜǖǜǜǜ ǒi 当⼼0 时 瓧⽐ 1 故 ò 的 密度出数 袋 at so fit 其他 o EE ft Ǜdt fi EE ft jfdt jo 故 吣 E 欧 幽 之 ridge if ⾾ 难题 注意解题思路【作业5】设二维总体随机变量(X ,Y)的概率密度函数为 xy  f(x,y)22e  ,0 x y ， 其中0为未知参数， (X ,Y),(X ,Y ),,(X ,Y )为总体(X ,Y)的一组简单随机样本． 1 1 2 2 n n     （Ⅰ）求的矩估计量，及E； （Ⅱ）求的最大似然估计量，及E． 解可 没2⼆ 州 利⽤卷积公式 先求2的密度 直接求矩估计 不好直接选Ex EY 或者 EM 所以考虑作变换 y 2 冬 以 y y i i o o ⼩⼼ 0 伙 4 X4 为 ⼼ 不⽕化 27424 ⼝ ǛEQ 0 2ㄨs a to ⼭ 北⻔ flx z sc 其他 0 z 1 区以 辽 当2 0时 f 廵 0 i fzmfiidn ci 当 270时 i 故2 的密度函数为 ǜē 秘 no 0 其他在样本 2 hi 不 求 0的矩估计量 其中2 炽 不灶⽕ Zi Xnth EIdl EXEDXtftxi EZ ffz iidz dfieidz io Go 20 根据矩估计原住 E2 20 i 款⼼们 则 0的矩估计量为 a 㟱 ⼼们 凶 在样本么 hi 不 求 0的似然估计量 其中2⼆ 州 Eh 忪 似然出数为 - Zixnth ǜǜ ⼼ 踟 ⼼ 叫 0 其他 In⼼ -2 nhdlhzi òĚzi d 喈 ǒlǜ Ězi o s o inĚzi 故 0的似然估计值 E 㟱 ⽟ i 点⼋代们