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第09 讲 函数模型及其应用
A 夯实基础 B 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
（
为常数），其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系
数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中
，
当
时，学习率为0.25；当
时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05 以下所
需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知
）
A．31
B．32
C．33
D．34
2．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大
脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了
自己的遗忘曲线，得到其记忆率
（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经
过的时间
（单位：小时）的函数关系式为
，当记住的单词仅剩25 个时，则
离初次记忆经过了（ ）（参考数据：
）
A．100 小时
B．300 小时
C．1000 小时
D．3000 小时
3．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对
地震有所了解，例如，地震时释放出的能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关
系为：
.若记2025 年1 月7 日西藏日喀则发生里氏6.8 级地震释放出来的能
量为
，2022 年5 月20 日四川雅安发生里氏4.8 级地震释放出来的能量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek 是一款人工智能助手，其用户满意度评分
随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：
，其中
是常数．
若Deep Seek 在经过3 个月后评分增长到70，则满意度评分
为（ ）
A．60
B．61
C．62
D．63
5．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）溶液酸碱度是通过
计量的．
的计算公式为
，其中
表示溶液中氢离子的浓度（单位：
）．某强酸溶液加水
稀释后
值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为
（ ）
A．2
B．
C．100
D．
6．（2025·广东广州·二模）声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中
为
声强（单位：
）.轻柔音乐的声强一般在
之间，则轻柔音乐的声强
级范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中
会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发
育不受密度制约时，其增长符合模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增
长系数，
为时刻的种群个体数量.当
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若
，则
（ ）
A．300
B．450
C．600
D．750
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知一种治疗某种疾病的针剂注射到人体后，其主要成分
在血液中的含量
（单位：毫克）与注射时间（单位：时）的关系为
，那么这种主要成分在血液中含量的最大值为（ ）
A．2 毫克
B．3 毫克
C．4 毫克
D．6 毫克
二、多选题
9．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定
的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9 个等级，其中能量
（单位：焦耳）与里氏震级
的对应关系为
，则（ ）
A．若某次地震的震级不超过2 级，则产生的能量低于
焦耳
B．若某次地震的震级超过4 级，则产生的能量高于
焦耳
C．5 级地震的能量是4 级地震的能量的100 倍
D．3 级地震的能量是7 级地震的能量的
10．（24-25 高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商
场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200 元送40
元”的促销策略．某顾客计划消费
元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一
些，则（ ）
A．当
时，应进甲商场购物
B．当
时，应进乙商场购物
C．当
时，应进乙商场购物D．当
时，应进甲商场购物
三、填空题
11．（2026 高三·全国·专题练习）运货卡车以
的速度匀速行驶
，按交通法规
限制
（单位：
），假设汽油价格是每升6 元，汽车每小时耗油
，司机的工资是每小时46 元．则这次行车的总费用的最低值是 元．
12．（2025 高三·全国·专题练习）从金山区走出去的陈驰博士在《自然-可持续性》杂志上
发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主
导作用．已知某种树木的高度
（单位：m）与生长年限（单位：年，
）满足如
下的逻辑斯蒂函数：
，其中为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为
0．则需要经过 年，该树的高度才能超过5m．（精确到个位．）
四、解答题
13．（24-25 高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健
康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的
趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产
品的年固定成本为300 万元，最大产能为100 台，每生产
台，需另投入成本
万元，
且
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万
元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润
万元关于年产量
台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
14．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某同学有压岁钱10000 元，计划存入银行，
银行最新推出两种存款理财方案.
方案一：年利率为单利（单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期
利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式），每年的存款利率为
；
方案二：年利率为复利（复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周
期所积累利息总额来计息的计息方式），每年的存款利率为
；
(1)若该同学存款
年，其所获得的利息为
元，分别写出两种方案中，
关于
的函数关
系式；
(2)若该同学存款5 年，应选择哪种方案？若存款10 年，应选择哪种方案?请分别说明理由.
参考数据:
.
B 素养提升
19．（23-24 高一上·贵州遵义·期末）金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥
郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用
的水泡制，待茶水温度降至
时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好
的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间
变化的数据如下表：
时间
0
1
2
3
4
5
水温
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27
设茶水温度从
经过
后温度变为
，现给出以下三种函数模型：①
；②
；③
.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3 组数据求出该解析
式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数
据：
）
.
20．（23-24 高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023 年元旦且开始监测某实验水域
中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为
（单位：
），此后
每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了
，二月
底测得绿球藻的生长面积为
，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增
长越来越慢，绿球藻生长面积
（单位：
）与时间
（单位：月）的关系有两个函数模
型可供选择，一个是
；另一个是
，记2023 年元
旦最初测量时间
的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积
的7 倍？
