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第10 讲：第二章 函数与基本初等函数
章节总结
题型一：函数的定义域
1．（24-25 高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得
，得
且
．
即函数
的定义域为
，
故选：D
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
的定义域为R，则实数
a 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【详解】由题意知
恒成立，所以
恒成立，所以
，又
且
，所以
或
．所以实数a 的取值范围是
．
3．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
的定义域为
，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【详解】若函数
的定义域为
，则
对任意
恒成
立．当
时，不等式
化为
，恒成立；当
时，需满足
，解得
．综上所述，实数a 的取值范围是
．
4．（24-25 高二下·北京平谷·期中）函数
的定义域为 ．
【答案】
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解.
【详解】
的定义域满足
，解得
且
，
故定义域为
，
故答案为：
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
的定义域为
，则函数
的
定义域为 ．
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域
【详解】由函数
的定义域为
得
，解得
．
题型二：函数的值域(最值）
1．（24-25 高三上·广东韶关·阶段练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性
求最值或值域
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出函数的定义域，再根据函数单调性求出函数的
值域.
【详解】由
，得
，则
的定义域为
．
易得
是增函数，所以
，即
的值域为
．
故选： B.
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
的定义域为
，则其值域为
．
【答案】
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域
【详解】当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
．
所以值域为
．
3．（2025·安徽·一模）函数
的值域为 .
【答案】
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求指数函数在区间
内的值域
【分析】由函数的单调性即可求解.
【详解】因为
与
在
上均为减函数，
且当
时，
，所以
，
故
的值域为
.
故答案为：
4．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）函数
的值域为 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】将问题转化为半圆
与直线
存在交点，画图象，再数形
结合即可.
【详解】令
，则
，
则半圆
与直线
存在交点，
半圆方程为：
，
画出图象如图：
当直线
过点
，即图中直线
时，
；
当直线与半圆相切时，即图中直线时，
，得
（
舍），
故
，即值域为
.
故答案为：
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）（1）已知
的定义域为
，求
的定
义域．
（2）求下列函数的值域：
①
；
②
．
【答案】（1）
；（2）①
；②
．
【知识点】抽象函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值
域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【详解】解：（1）在函数
中，
，则
．因此在函数
中，
，解得
，所以函数
的定义域为
．
（2）①函数
的定义域为
，
，当且仅当
时，等
号成立，所以函数
的值域为
．
②函数
的定义域为
，
，当且仅当
时，等号成立，所以函数
的值域为
．
题型三：求函数的解析式
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】令
，利用换元法求解析式即可．
【详解】令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
．
故选：B．
2．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知函数
满足
，则函
数
．
【答案】
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】构造关于
的方程组后可解得.
【详解】由题知用
代换
得到，
，
与
两式联立，消去
，
解得
．
故答案为：
.
3．（24-25 高三上·广西柳州·开学考试）（1）已知函数
是一次函数，且
，求函数
的解析式；
（2）已知
，求函数
的解析式；
【答案】（1）
（2）
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】（1）首先设出函数
的解析式，然后根据
求出参数，进而得
到函数
的解析式.
（2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式.
【详解】（1）因为函数
是一次函数，则设
.
由于
，所以
所以
.化简得：
这是一个恒等式，所以
，且
.
所以
.
所以函数
的解析式为
.
（2）
，
令
，
.
所以
.
所以函数
的解析式为
.
4．（24-25 高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知
，求
的表达
式；
（2）已知奇函数
的定义域为
，当
时，
．求函数
的解析
式．
【答案】（1）
（2）
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式
【分析】（1）在原式中用
替换
，得
，与原式联立方程组，求解
即可．
（2）设
，可得出
，求出
的表达式，利用奇函数的性质可得出函数
在
时的解析式．
【详解】在
中用
替换
，得
，
于是有
，
消去
，得
．
所求函数的表达式为
．
（2）
奇函数
的定义域为
．
当
时，
，又当
时，
，
，
．
故
．
5．（23-24 高三上·云南红河·）根据下列条件，求
的解析式.
(1)已知
；
(2)已知
是二次函数，且满足
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的解析式
【分析】（1）利用换元法，可求得函数解析式；
（2）利用待定系数法，即可求得答案.
【详解】（1）令
，则
，
所以由
，
得
，
所以
；
（2）由题意设
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，得
，
所以
.
题型四：分段函数问题
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
，满足对任意实数
，都有
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据分段函数的单调性求参数
【详解】由题意知，函数
在
上为减函数，所以
，即
，解得
，所以实数a 的取值范围是
．
故选：D.
2．（多选）（24-25 高三上·全国·课后作业）已知函数
的图象如图所示，则下列解析
式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【详解】当
时，
；当
时，
，所以
即
，A 错误，C 正确；则
，
B 正确，D 错误．
3．（24-25 高三上·全国·课后作业）设函数
若
，则实数
．
【答案】
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【详解】由题意，函数
即
当
，即
时，令
，解得
；当
，即
或
时，令
，解得
（舍去），故
．
4．（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，则
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据指对
幂函数零点的分布求参数范围
【分析】作出函数的图象，依题意
即函数
与直线
的交点横坐标，利
用函数解析式，结合图象易得
，
，
，利用二次函数的性质即可
求得
的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设
，依题意，
，
且
，
，解得
，
，
故
，因函数
在
上单调递减，故
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
a 为实数，若
有最大值，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、分段函数的值域或最值
【详解】作出
的图象如图所示，由
解得
或
，则
或
对于二次函数
，函数的图象开口向下，对称轴为
直线
，当
时，
．对于指数型函数
，当
时，
．对于函数
当
时，
；当
时，
；当
时，
没有最大值．综上所述，a
的取值范围是
．
题型五：函数的单调性
1．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数
在
内单调递增，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单
调性求参数
【分析】根据同增异减可得
的增减性，故可求实数
的取值范围.
【详解】设
，因为
为
上的增函数，
而
在
内单调递增，
故
为
内的增函数，且
在
内恒成立，
故
，故
，
故选：D.
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
在
上是减函数，且
，
则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性
【详解】因为
在
上是减函数，
，所以
，A 正确；
又
，所以
，
，B，C 正确，D 错误．
3．（24-25 高三上·四川巴中·阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数.
(1)求
的值；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)
是
上的增函数，证明见解析
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、由奇偶性求
参数
【分析】（1）根据
为奇函数可得
，即可得解；
（2）利用函数单调性的定义求解即可.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
所以
，
检验：因为
，故满足题意，
所以
；
（2）
是
上的增函数，证明如下：
设任意
，
，
，
∵
，∴
，
，
，
，
∴
是
上的单调增函数.
4．（2025·江苏盐城·三模）已知函数
（
，且
）．
(1)讨论
的奇偶性；
(2)若
，不等式
恒成立，求t 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等
式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；
（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可.
【详解】（1）函数
（
，且
）的定义域为R，且
当
时，
，即
恒成立，
所以
，即
，此时
，定义域为R，
，
所以
是R 上的奇函数；
当
时，
，即
恒成立，所以
，即
，此时
，定义域为R，
，
所以
是R 上的偶函数；
当
且
时，
，此时
既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当
时，
是R 上的偶函数；当
时，
是R 上的奇函数；
当
且
时，
既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数
中，由
，得
，而
，
所以
，则
，由（1）知
是R 上的奇函数；
因为函数
都是R 上的增函数，则
是R 上的增函数，
不等式
，
因此
，即
，则
，
解
，得
或
；
解
，即
，得
.于是
，
所以t 的取值范围是
.
5．（24-25 高一下·浙江·期中）已知
为奇函数，且定义域为
，
.
(1)求
的值，判断
的单调性，并用定义法证明；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数
，
，使
，且
.
求实数的取值范围.
【答案】(1)
，增函数，证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参
数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）由奇函数性质求参数，进而判断函数的单调性，应用单调性定义证明即可；
（2）由（1）所得单调性列不等式求参数范围；
（3）由题设可得
，且令
，则
能成立，结合二次函数的性
质列不等式求参数范围.
【详解】（1）因为
为奇函数，定义域为
，
所以
，得
，经验证满足题设，
在定义域
上为增函数，证明如下：
任取
，
，且
，
，
，
所以，
在定义域上为增函数；
（2）由（1）得
，解得
；
（3）
，
，
，即
，
，
，
，
令
，
，
，
，
，则存在一个实数
，使
成立，
只需
或
，解得
或
，
综上：
.
6．（2025·上海杨浦·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数.
(1)当
时，
，求
时，
的表达式；
(2)当
时，
，若实数满足
，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等
式、解不含参数的一元一次不等式
【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可；
（2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的偶函数，即
当
时，
，
所以
，
所以
.
（2）当
时，
，
由幂函数和指数函数的单调性可得
为递增函数.
又函数为偶函数，
所以
，
两边平方后展开可得
，即
，
解得
.
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
1．（多选）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，当
时，
单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称B．函数
为奇函数
C．
D．
【答案】BC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用、对数的运
算
【分析】由题意可得
，可判断A；令
，可得
，进而可判断B；由已知可得
是偶函数，进而计算可得
，进而可得
，
，进而计算可判断C；
利用作差法可得
，进而求得
在区间
上单调递减，可得结论判断
D.
【详解】因为
，所以
，所以
关于点
中心
对称，故A 错误；
令
，所以
，又
，
所以
，故
为奇函数，故B 正确；
又因为
，所以
是偶函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
是周期为4 的函数，
令
，得
，令
，得
，令
，得
，
所以
，故C 正确；
，
又
，
故
，又因为当
，
单调递减，且
，
所以
，所以
关于点
中心对称，
所以
在区间
上单调递减，所以
，
所以
，故D 错误.
故选：BC.
2．（多选）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函
数，
为偶函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
【答案】ACD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方
程根的个数
【分析】A 先由条件得出
，
即可得出
的一个周
期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B 先证明
是偶函数，再结合
周期性以及
在
上的单调性即可；C 利用偶函数以及周期性可得；D 画出
与
的图象，判断两个图象的交点个数即可.
【详解】
为奇函数，故
，即
①，
又
为偶函数，故
②，
则由①②可得，
，
则
，则
的一个周期为4，
在①中令
有
，
又当
时，
，则
，则
，
所以
，
故A 正确；
由②可得，
，则
，
即函数
是定义在
上的偶函数，
因
时，
，则
是
上的增函数，
则
是
上的减函数，
因是
的一个周期，则
是
上的减函数，故B 错误；
因为函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
函数
的零点个数可以转化为
与
图象的交点个数，
由题意得
与
的图象如下：
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
结合图象可知，函数
在
上存在1 个零点，
当
时，
，
当
时，
，
由此可得
与
的图象有5 个交点，
所以
有5 个零点，故D 正确．
故选：ACD．
3．（多选）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
关于点
对称
B．函数
关于直线
对称
C．函数
的周期为4
D．
【答案】AC
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性
求函数值
【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性
即可求解.
【详解】对于A，因为
为奇函数，所以
，
所以函数
关于点
对称，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称，故B 错，
对于C，因为
，所以
，所以
，为常
数，
因为
，所以
，所以
，
取
，可得
.所以
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以
，所以函数
是周期函数，且周期为
，
又
，即
，
所以函数
也是以
周期得周期函数，故C 正确；
对于D，因为
，
，
所以
，即
，
所以
，则
，
所以
，
，无法确定该值，故D 错误.
故选：AC.
4．（多选）（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数
是奇函数，
是
的导函数
，
且
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
D．函数
的周期为4
【答案】ABD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性、简单复合函数的导数
【分析】首先由条件可得
，即可判断函数的周期，并求值判断
A，根据条件等式，两边取导数，判断BCD.
【详解】由条件可知，
，即
，
所以函数
是周期为4 的函数，
，故A 正确；
由
，两边取导数，得
，即
，所以
是偶
函数，故B 正确；
由
，两边取导数，得
，即
，
令
，得
，即
，故C 错误；
因为
，两边取导数，得
，即
，所以函数
的周期为4，故D 正确.
故选：ABD
5．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
满足关系式
，
，且
在
上的解析式为
，
为
的导函
数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇函数
【答案】ACD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、导数的运算法则、由函
数的周期性求函数值
【分析】先根据关系式
，
，求出对应的对称轴和对称中
心，进而得到周期，再结合
时，
，可画出
的图像，即可解决问
题.
【详解】由
，可得到函数
图像的对称轴为
，
由
，可得到函数
图像的对称中心横坐标为
，
所以函数
的周期
.
因为
时，
，根据对称性和周期性，可画出
的图像，如图所示.
由周期性可知，
，故A 正确；
根据周期性可知，
，故B 错误；
，由图可知，
，
，所以
，故C 正确；
由图可知，函数
在
轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即
为奇函数，故D 正确；
故选：ACD.
6．（多选）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
【答案】BCD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】由
可判断A，由
，得到
，可判断C，
由
和
可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，
，所以
不是奇函数，错误；
对于B：因为
为奇函数，
所以
，
由
，可得：
，
所以
，即
，
所以
，偶函数，正确；
对于C：由
，
可得
，所以
是周期为3 的周期函数，正确；
对于D，
，
所以
，
由周期性可得：
故选：BCD
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）多选（24-25 高三上·广东广州·期末）使不等式
对一切实数
都
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】充分条件的判定及性质、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】先求出不等式
对一切实数
都成立时
的取值范围，然后再看各个
选项是否在这个取值范围内.
【详解】当
时，此时不等式变为
，这个不等式对于一切实数
恒成立.
当
时，不等式
是一个二次不等式，要使其对一切实数
都成立，则二
次函数
的图象需开口向下，且与
轴无交点.开口向下：二次项系数
，即
. 与
轴无交点：判别式
.此种情况，解得
.
综合两种情况
不等式
对一切实数
都成立时
的取值范围是
.
分析各个选项：
A 选项：
满足
，所以
是不等式成立的一个充分条件.
B 选项：
不满足
，所以
不是不等式成立的充分条件.
C 选项：
满足
，所以
是不等式成立的一个充分条件.
D 选项：
满足
，所以
是不等式成立的一个充分条件.
故选：ACD.
2．（多选）（24-25 高三上·黑龙江鹤岗·期中）使函数
的定义域是
的一个充分不必要条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【知识点】根据充分不必要条件求参数、具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上
恒成立问题
【分析】转化为不等式恒成立问题，根据一元二次不等式的解法可得.
【详解】若函数
的定义域是
，则
恒成立，
当
时，
恒成立；
当
时，则
，解得
.
综上，函数
的定义域是
的充要条件为
，
所以函数
的定义域是
的充分不必要条件为
的真子集.
结合选项可知，选项AB 符合题意.
故选：AB
3．（多选）（23-24 高三上·辽宁大连·阶段练习）已知不等式
对任意
恒
成立，则满足条件的正实数a 的值可以是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
【答案】BCD
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】令
，则
，则
，化简后利用基本不等
式可求得其最小值为
，则问题转化为
，从而可求出
取值范围，
进而可得答案.
【详解】令
，则
.
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时等号成立,
所以要使
对任意正实数
恒成立,只需
即
，得
，
解得
（舍去），或
，得
，
故选：BCD.
4．（多选）（23-24 高二下·云南临沧·期中）已知
，且
，若不等式
恒成立，则
的值可以为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7.5
【答案】BC
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】根据基本不等式求出
的最小值，得
的取值范围，根据范围可得答案.
【详解】由
，且
，
可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
又因为不等式
恒成立，所以
，又
，结合选项，可得BC 符合题意.
故选：
.
5．（多选）（23-24 高三上·浙江嘉兴·期末）已知正实数x，y 满足
，若不等式
恒成立，则实数m 的值可以为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】BC
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果.
【详解】∵
，
∴
而
，
则
，
故选：BC.
题型八：不等式中的能成立问题
1．（23-24 高一上·北京·期中）已知存在
，使得
成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求二次函数的值域或最值
【分析】将问题转化为
，结合二次函数的最值性质即可得解.
【详解】依题意，令
，
则
，其图象开口向上，对称轴为
，
所以函数
在区间
上单调递减，则
，
因为存在
，使得
成立，
所以
，即
，
即
，解得
，
所以
的取值范围是
，
故选：C.
2．（23-24 高二上·浙江·期中）若关于
的不等式
在区间
上有解，
则实数
的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．
D．5
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值
【分析】把问题转化为
在区间
上有解，利用基本不等式求解.
【详解】关于
的不等式
在区间
上有解，
等价于
在区间
上有解，
即
在区间
上有解，
又
，当且仅当
时，
取最小值6．
故
，可得
，则实数
的最小值为5．
故选：D．
3．（24-25 高三下·广东珠海·开学考试）若命题“
，使得
”为假
命题，则实数
的取值范围 ．
【答案】
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】由题意可得“
，使得
”为真命题，分离参数可得
在
内有解，利用基本不等式求出
即可.
【详解】因为“
，使得
”为假命题，
所以“
，使得
”为真命题，
即
在
内有解，即
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
.
4．（24-25 高三上·江苏南通·期末）已知命题“
，使得
”为假命
题，则实数a 的范围为 ．
【答案】
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可；
【详解】由题意可得命题“
，使得
”为真命题，
即
在
上有解，
令
，
，则
，
在
为减函数，所以
，
所以
，即实数a 的范围为
.
故答案为：
.
5．（24-25 高三上·广东肇庆·期中）若关于
的不等式
在
上有解，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】只需求函数
在
上的最大值，即可得答案.
【详解】由题意，
在
上有解，
∴
在
上有解，
即
，其中
，
在
中，
，
对称轴
，
∵
，二次函数开口向上，
∴函数在
单调递减，在
上单调递增，
∴函数在
上取最大值，
，
∴
，
故答案为：
.
题型九：函数的图象
1．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数
图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数图像的识别、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】根据
的解析式得到
的定义域和奇偶性，再根据
的取值情况得到符
合题意的选项．
【详解】由已知，
定义域为
，
，
所以
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除B,C；
又
，故D 错误，A 正确．
故选：A．
2．（24-25 高二下·浙江温州·期中）函数
（为自然常数）的大致图像是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数图像的识别、求已知指数型函数的最值
【分析】由函数的奇偶性可排除D；由
，可排除B；当
趋近正无穷时，
趋近
可排除C，即可得出答案.
【详解】因为
的定义为
，
所以
，所以
为奇函数，排除D，
又因为
，所以排除B，
当
趋近正无穷时，
趋近
，故C 错误.
故选：A.
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图为函数
在
上的大致图象，则
的解析
式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶性及
正负即可判断.
【详解】由图像可知函数为奇函数，
选项A，
，故
为偶函数，其图象关
于
轴对称，A 错误；
选项D，
，故
为偶函数，其图象关
于
轴对称，D 错误；
选项B，因为
，所以B 错误.
对于C：
，奇函数，且
，符合，
故选：C.
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断
【分析】函数图象关于
轴对称，排除A ，C，由
排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于
轴对称，则函数是偶函数，
对于A，
,
,
,
即函数
是奇函数，故A 错，
对于B，
，
，
，
是偶函数，
当
时，
，故B 错，
对于C ，
，
，
，
是奇函数，故C 错，
对于D，
，
，
，
是偶函数，
，符合题意，故D 正确.
故选：D
5．（多选）（2025·广东广州·三模）函数
的图象被称为牛顿三叉戟
曲线，以下图象可能为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【知识点】函数图像的识别、求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】求出
的零点和极值点，对
，
在取不同符号的值的情况下
可能的图象
进行分类讨论，选出符合题意的图象．
【详解】令
，得
，
，令
，得
，
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
，
，
递减，
，
，
递增，故D 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
时，
，
递减，故B 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
时，
，
递增，故C 错误；
若
，
，
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
，
，
递增，
，
，
递减，故A 错误；
综上，A,C 错误，B,D 正确．
故选：BD．
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
1．（浙江省五校联盟2024-2025 学年高二下学期5 月教学质量检测数学试题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象有对称轴
B．
的图象有对称轴
C．
的图象有对称中心
D．
的图象有对称中心
【答案】D
【知识点】函数对称性的应用、对数函数的概念判断与求值
【分析】只需计算
，验证
即可求解.
【详解】
，
，所以
，所
以
的图象有对称中心
，故A 错误，D 正确；
，
，
所以
，
，故B 错误，C 错
误，
故选：D.
2．（2025·江西·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【知识点】比较对数式的大小
【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得
，
则
；
又由
，则
，
因为
，可得
，所以
，所以
.
故选：A.
3．（2025·天津河西·模拟预测）设
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】
，结合指数函数单调性得到
，又
，得到结论.
【详解】
，
，
，
，故
，所以
，
，所以
.
故选：D
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单
调区间求参数值或范围
【分析】由复合函数的单调性得到
在
上单调递增，列出不等式
组，解之即得参数范围.
【详解】因为
在
上单调递增，由函数
在
上单
调递增，
可得
在
上单调递增且
恒成立，
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：C.
5．（24-25 高一下·上海宝山·阶段练习）已知
，
，且
，其中所有正确结
论的序号是 ．
1．
2．
3．
4．
【答案】
【知识点】求指数函数在区间内的值域、对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小
值
【分析】根据基本不等式判断1，根据对数运算及基本不等式判断2，根据指数函数的单调
性判断3，根据二次函数的性质判断4.
【详解】因为
，
，且
，所以
，当且仅当
时等号成立，所以
1 正确；
因为
，
，且
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，所以2 正确；
因为
，
，且
，所以
，且
，所以
，
即
，所以3 正确；
因为
，
，且
，所以
，且
，
所以
，因为
，所以
，所以4 错误.
故答案为：
6．（24-25 高一下·江西·期中）已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【知识点】对数型复合函数的单调性、对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参
数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据偶函数的性质
求出参数
的值，即可得到函数解析式，再
代入计算可得；
（2）依题意关于
的不等式
在
上有解，令
，
，利用作差法证明函数的单调性，即可得到
在
上的
单调性，从而求出
，即可得解.
【详解】（1）因为函数
为偶函数，所以
，
即
，
所以
，整理得
恒成立，
所以
，解得
，所以
，故
．
（2）由（1）可得，关于x 的不等式
在
上有解，
令
，
，取
，
则
．
因为
，所以
，
，
，
，
所以
，
，即
，
所以
在
上单调递增，
又
在定义域上单调递增，因此
在
上单调递增．
令
，
，
因为函数
与函数
在
上均单调递增，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
，故实数
的取值范围为
．
7．（2025 届上海市宝山区高考三模数学试卷）已知
，函数
.
(1)若
，求函数
的表达式及定义域；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好只有一个元素，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，定义域为
(2)
【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、根据集合中元素的个数
求参数
【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即
可；
（2）根据对数运算法则化简方程
，结合对数函数的性质
得方程
，分类讨论得方程的根从而得实数
的取值范围.
【详解】（1）
，令
，
则
因为
，所以
，又
得，解得
或
，
则函数
的定义域为
；
（2）由（1）得
方程
，
即
可转化为
，且
①当
即
时，
，符合题意；
②当
即
时，
（i）当
时，
符合题意
（ii）当
时，
且
时，要满足题意，则有
或
无解
综上可得，
的取值范围
.
8．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数
．
(1)关于
的不等式
的解集为
．
①求实数
，的值；
②若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
(2)若对任意的
，都有
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)①
，
；②
(2)
【知识点】判断指数函数的单调性、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在
实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）①利用不等式的解集和方程的根的关系可求答案；
②求出
的最小值，求解二次不等式可得答案；
（2）对参数分类讨论求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】（1）①不等式
，即
，
所以不等式
的解集为
，
所以
与
为
的两个根，
由韦达定理可得：
，
，
所以
，
；
②由①得
，
所以
，
又因为
，所以
，
又对任意
，
恒成立，
所以
，即
，解得
，
所以
的取值范围为
；
（2）设函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
所以对任意的
，
，都有
等价于
，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
①当
，即
时，
在
上单调递增，
则
，
，
即
，解得
，又
，即
；
②当
，即
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
由
，即
解得
，又
，即
；
③当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
由
．得
，
又
，即
；
④当
，即
时，
在
上单调递减，
，
，
由
，得
，
又
，即
，
综上所述，
的取值范围为
．
题型十一：函数中的零点问题
1．（河南省多校联考2025 届高三考前模拟考试数学试题）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的最值求参数、函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参
数范围、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得
，求出
后再检验即可
得解.
【详解】由
得
，
而
，
故
为偶函数.
由对称性，
，从而
当
时，
当
时，
，即
无零点，
由对称性，
时，
也无零点，从而
仅有一解
，即
满足题意.
故选：A
2．（24-25 高一下·湖南湘潭·期中）已知函数
，方程
恰有
三个不同的实数解，则
可能的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数图象的应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】画出函数图象，数形结合得到
，得到答案.
【详解】画出
的图象，
显然当
时，方程
恰有三个不同的实数解，B 正确，ACD 错误.
故选：B
3．（24-25 高一下·云南曲靖·期中）已知函数
至少有一个零点，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用两曲线的图象特点进行求解即可.
【详解】令
，即
，可得
，
令
，
，原题意等价于曲线
与
至少有一个交点，
如图，注意到
与
的对称轴均为
，可得
，即
，即
，
.
故选：B.
4．（多选）（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数
，若方
程
有四个不同的零点
，
，
，
且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间
【分析】依题意作出分段函数的图象，利用函数零点概念，图象对称性，以及函数与方
程，对勾函数的单调性等知识点依次判断各选项即可.
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数
和
的图象，
对于A，由图象知，方程
有四个不同的零点，等价于
，故A 正确；
对于B，C， 因为
，
，
，
且函数
关于
对称，
由图象得
，
，
是
的两个根，
所以
，即
，所以
，
由
，
是
的两个根，所以
，
，故B 正确；
且
，故C 错误；
对于D，由
，可得
，
，
令
，
，易得函数
在
上单调递增，
则
，即
，故
，故D 正确.
故选：ABD.
5．（2025·山西·三模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意当
时，函数有一个零点，所以只要
时，函数
有一个零点
即可，利用二次函数的相关性质可解.
【详解】因为当
时，
解得
，函数
有一个零点；
因此，要使函数
有两个零点，只需
时，函数
有一个零点．
当
时，函数
对称轴为
，
若
，只需
，解得
；
若
，只需
，可得
；
若
，
有且只有一个零点，不满足条件，
综上，
的取值范围为
．
故答案为：
6．（辽宁省葫芦岛市2025 届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数
，当
时，方程
有实数解，则实
数m 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶
性的应用、根据零点所在的区间求参数范围
【分析】应用奇偶性定义确定
为奇函数，结合已知有
，问题化为
在
上有解，应用换元法及对勾函数的性质求参数范围.
【详解】由
，且
，所以
为奇函数，
由
，则
，
所以
，即
在
上有解，
令
，则
在
上单调递增，
所以
.
故答案为：
7．（2025 高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数
，
（
，且
）．
(1)求函数
的定义域；
(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(3)当
时，若
有两个零点，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据函数零点的个数
求参数范围
【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0 列出不等式组，解出即可；
（2）根据函数奇偶性定义判断；
（3）根据题意转化为
有两解，利用函数
的单调性求值域进
行求解.
【详解】（1）由题意得
，
由
得
，
所以
的定义域为
．
（2）因为
，定义域
关于原点对称，
，
所以
是偶函数．
（3）当
时，
．
令
，则
．
令
，
，
则
，函数
在
上单调递增，
，
易知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
要使
有两个零点，即
有两个解，
那么
，则
，所以实数m 的取值范围是
．
8．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
(1)求
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利
用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导，由
求解即可；
（2）求导，分析函数
的单调性，进而结合题意求解即可.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
令
，得
，
的单调递增区间是
.
（2）由已知得
，
则
，
，则当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
，
，
，
若
在
上有两个零点，则
，
，即
，
即实数
的取值范围为
.
题型十二：函数模型的应用
1．（24-25 高一下·湖南·期中）DeepSeek 以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关
注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋
势．假设一个热门话题的关注度
（
）与时间t（单位：月）的关系式为
，其中
为关注度的峰值，a 为常数，若经过半年关注度下降到峰值的
，则关注度下
降到峰值的
，至少需要的时间为（ ）
（参考数据：
）
A．23 个月
B．24 个月
C．25 个月
D．26 个月
【答案】C
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据题设函数模型，结合题意可得
，可得
，由
，进而得到
，进而求解即可.
【详解】设关注度下降到峰值的
，至少需要的时间为t 个月，
由题意得
，则
，
由
，则
，
所以
，
即
，又
，则至少需要的时间为25 个月.
故选：C．
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为
，其中r 为年收益率，t 为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，
为
初始资金，
为t 年后的资金，已知某产品年收益率
，则使初始资金翻倍至少需
要（参考数据：
）（ ）
A．12 年
B．13 年
C．14 年
D．15 年
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】由题意可得
，即可利用对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知
，代入公式可得
，
所以
所以
，所以至少需要14 年，
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发
出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水
波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强
与标准声强
（
约为
，单位：
）之比的常用对数称作声强的声强级，记作
（贝尔），即
，取
贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度
（分贝）与
喷出的泉水高度
（米）满足关系式
，现知
同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高
高度为2 米，若
同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10 倍，则
同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75 米
B．1.5 米
C．1.25 米
D．1 米
【答案】A
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】设
同学不用喇叭时的声强为
，喷出泉水高度为
，则
同学用喇叭时的声强
为
，喷出泉水高度为2 米.由题意知
及
，联立方
程组，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设
同学不用喇叭时的声强为
，喷出泉水高度为
，则
同学用喇叭时的声强
为
，喷出泉水高度为2 米.
由题意知，
，即
①.
又
，即
，即
②.
由
可得
，解得
.
故选：A.
4．（25-26 高一上·全国·课后作业）10 辆货车从
站匀速驶往相距
的
站，其速度
都是
．为安全起见，要求每辆车速度不得超过
，每辆货车间隔为
（
为常数，货车长度忽略不计）．将第一辆货车由
站出发到最后一辆货车到达
站所需
时间表示为的函数
．若
，则当
时，有最小值，为
．
【答案】
【知识点】分式型函数模型的应用
【详解】由题意，可得
．又
，
所以由“对勾函数”的性质知当
时，取得最小值，
．
5．（23-24 高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，
音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近
十年来＂国潮＂关注度增长了
＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了
年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于
时，则该厂就要考虑转
型，下表显示的是该厂近几年来年利润
（百万元）与年投资成本
（百万元）变化的一
组数据：（年利润率
）
年份
2019
2020
2021
2022
…
年投资成本
4
6
10
18
…
年利润
1
2
3
4
…
给出以下3 个函数模型：①
；②
③
(1)选择一个恰当的函数模型来描述
之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断当该厂年利润不低于6 百万元时，该厂是否要考虑转型.
【答案】(1)选择③来描述
之间的关系，函数解析式为
；
(2)该企业要考虑转型.
【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）利用表格中的数据分别计算判断，确定函数关系.
（2）利用（1）中结论，求出年利润率判断得解.
【详解】（1）点
不同在函数
的图象上，①不符合要求；
将
代入
，得
，解得
，
，
当
时，
，不符合要求；
将
代入
，得
，解得
，
，当
时，
；当
时，
，符合题意，
所以选择③来描述
之间的关系，函数解析式为
.
（2）由（1）知，
，当
时，
，解得
，
当
时的年利润率
，所以该厂要考虑转型.
6．（24-25 高一下·甘肃平凉·开学考试）平凉崆峒山是国家首批5A 级旅游景区，集奇险灵
秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸
引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10 月份以来，通过对
文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30 天计），每件的
销售价格
（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：
（
为常
数且
）．其销售量
（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
10
15
20
25
30
50
0
55
0
60
0
55
0
50
0
已知第10 天的日销售收入为5050 元．
(1)给出如下四个函数模型：①
②
③
④
请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量
与
时间的关系，并求出该函数解析式；
(2)设该纪念品的销售收入为
（单位：元），求
的最小值．
【答案】(1)选择②分段函数模型，
(2)4410 元．
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、指数函数模型的应用
（2）、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）所给函数①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模
型都是单调的，而表中数据显示销售量随时间先增大后减小且呈对称趋势，故选择②分段
函数模型较合适；
（2）由（1）得
的解析式，根据
求出
的值，再由
求
得
，通过分类讨论结合基本不等式和单调性求最小值
即可.
【详解】（1）由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势，
而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的，
故选择②分段函数模型．
将点
，
，
代入（2），得
，
解得
，故函数解析式为
．
分别将
和
代入
，解得
，
，与题中
数据相符，因此该函数模型合理．
（2）由（1）知
，
又由题意知
，
即
，解得
，
所以
，
故
．
当
时，
；
当
时，
，在
上单调递减，
所以
．
综上所述，销售收入的最小值为4410 元．
