文档内容
第二章 函数与基本初等函数（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））设全集 ，集合 ，
则 （ ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
【答案】D
， ，
所以 ，
故选：D.
2．（2022·山西·高二阶段练习）若函数 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
令 ，则 ， ，
， ，所以 .
故选：C.
3．（2022·山西运城·高二阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯
函数，例如： ．已知函数 ，则函数 的值域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为 ，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 ；故选：D.
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
令 ，
， 是R上的奇函数，
，即 ，
又 ，所以 ．
故选：A．6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数 对任意实数x都有 ，并
且对任意 ，都有 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由函数 对任意实数 都有 ，可得函数 关于 对称，
又由对任意 ，都有 ，
可得函数 在区间 上单调递减函数，则在区间 上单调递增函数，
由 ，所以A不正确；
由 ，所以B不正确；
由 ，所以C正确；
由 ，所以 ，所以D不正确.
故选：C.
7．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若 是定义在 上的增函数，实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为 是定义在 上的增函数，
所以 ，解得 ，
故选：B
8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知函数 ，若函数 有三
个零点，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
（1）当a<0时， ，
令 ，得 ，或 （舍去），
令 ，得 ，令 ，得 ，
若函数 有三个零点，则 ，无解，即不可能有三个零点；
（2）当a=0时， ，由（1）知有 ，或 ， 三个零点，满足题
意；
（3）当a>0时， ，
当 时有一个零点 ， 是函数的一个零点，所以当 时函数只有一个零点，
令 ，得 ，或 （舍去），
令 ，得 ，即不论a取大于0的何值， 是函数的一个零点，
故有三个零点，
综上，实数a的取值范围是
故选: A
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东茂名·高一期末）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲
购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一
次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（
）
A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多
【答案】AD
解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为： 元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为： 元，
故选：AD.
10．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）若 ，则下列说法中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】CD
由于
对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误
对于选项B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误
对于选项C：由于 ，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确
对于选项D： ，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以
，故选项D正确
故选：CD
11．（2022·全国·高三专题练习）设函数 是定义在区间 上的奇函数 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
解：根据题意，函数 是定义在区间 上的奇函数，
则 ，
即 ，则 ，
解可得 或 （舍），
即 ，则 ，解可得 ，
故 ，即 的取值范围为 ，
故选：AC.
12．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）已知函数 ，则下列结
论中正确的是（ ）
A．函数 的定义域是
B．函数 是偶函数
C．函数 在区间 上是减函数
D．函数 的图象关于直线 对称【答案】BD
解：函数 ，
由 可得 ，故函数定义域为 ，A选项错误；
的定义域为 ，设 所以
即 是偶函数，B选项正确；
，
当 时， 是减函数，外层 也是减函数，所以函数 在区间 上是增
函数，故C选项错误；
由 ，可得f (x)的图象关于直线 对称，故D选项正确.
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若 是奇函数，当 时， ，则
___________．
【答案】
∵ 是奇函数，当 时， ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为： .
14．（2022·河北沧州·模拟预测）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的
生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 为相邻
两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 （ 为常数）来描述该物种累计
繁殖数量 与入侵时间 （单位：天）之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得
出 ， .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加 倍所需要的时间为（ ，
）____________天.
【答案】24.8##
解： ， ， ， ，解得： ．
设初始时间为 ，初始累计繁殖数量为 ，累计繁殖数量增加 倍后的时间为 ，则 （天 ．
故答案为： ．
15．（2022··模拟预测（理））已知函数 ，则不等式 的解集为
___________.
【答案】
函数 的定义域为 ， ，
所以，函数 为偶函数，
当 时， 为增函数，
因为 ，则 ，
所以， ，所以， ，所以， ，
因为 ，故 恒成立，
由 可得 ，解得 .
因此，原不等式的解集为 .
故答案为： .
16．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数 ，若函数
有4个零点 ， ， ， ，则 ____________；若关于 的方程
有 个不相等的实数根，则 的取值范围是____________．
【答案】
由题意，函数 ，
根函数的图象变换，函数 的图象关于 对称，
根据二次函数的性质，可得函数 的图象关于 对称，
在坐标系中作出函数 的图象，如图所示，函数 有4个零点 ， ， ， ，
可得 ，所以 ；
令 ，则方程 可化为 ，
因为 有8个不等的实数根，
则方程 必有4个实数根，所以 ，
所以 在 有2个不同的实数根，
令 ，可得其对称轴的方程为 ，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求 的值；(2)判断函数 的单调性并证明.
【答案】(1)1
(2) 在 上为减函数，证明见解析
(1)解：由 为定义在 上奇函数可知 ，解得 .
经检验，此时对任意的 都有
故 .
(2)解：由 递增，可知 在 上为减函数，
证明如下：
对于任意实数 ， ，不妨设 ，
则 .
∵ 单调递增，且 ，
∴ 即 ， ， ，
∴ ，∴ ，
故 在 上为减函数.
18．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知函数 ，且点 在函数 的图
象上.
(1)求函数 的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 的图象；(2)若方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，图象见解析(2)
(1)解：因为点 在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，
即 ，
其图象如图所示：
(2)解：将 化为 ，
因为方程 有两个不相等的实数根，
所以直线 与函数 的图象有两个公共点，
在同一坐标系中作出直线 与函数 的图象（如图所示），由图象，得 ，即 ，
即 的取值范围是 .
19．（2022·湖南·高一课时练习）某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查和预测， 产品的利润 （万
元）与投资额 （万元）成正比，其关系如图（1）所示； 产品的利润 （万元）与投资额 （万元）的
算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将 ， 两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入 ， 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能
使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
【答案】(1) ， ；
(2)当 产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为 万元，即4.0625万元．
(1)设投资额为 万元， 产品的利润为 万元， 产品的利润为 万元，
由题设 ， ，
由图可知 （1） ，所以 ，又 （4） ，所以 ，所以 ， ；
(2)设 产品投入 万元，则 产品投入 万元，设企业的利润为 万元，
， ，
令 ，则 ， ，
所以当 时， ，此时 ，
所以当 产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为 万元，即4.0625万元．
20．（2022·上海静安·模拟预测）因函数 的图像形状象对勾，我们称形如“
”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在 上是减函数，在 上是增函数．
(2)已知 ， ，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，值域为 ；
(3) .
(1)设 是任意两个实数，且任取 ，则
若 ，则 ， ，即 ， ，所以
所以 ，即 ，所以 在 上是减函数，
若 ，则 ， ，即 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 在 上是减函数，
所以对勾函数具有性质：在 上是减函数，在 上是增函数；(2) ，
令 ，因为 ，所以 ，则 ，
由对勾函数的性质，可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以 ， ， ，
综上可得， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，值域为 ．
(3)由（2）知 时，若存在 ，使得 成立，
只需 ，在 上有解即可，即 最小值，
令 ， 在 上是减函数，在 上是增函数，所以 最小值 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
21．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间 上的两个函数 和 ，其中
， .
(1)求函数 的最小值 ；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)由 ，则二次函数的对称轴为 ，
则当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
；
当 时， 在 上单调递减， ，
所以 ；
(2) ，当 时， ，又 在区间
上单调递增，所以 .
若对任意 ， 恒成立则 ，故 或
解得： .
22．（2022·河南焦作·高一期中）定义：如果函数 在定义域内的给定区间 上存在 （
），满足 ，则称函数 为 上的“平均值函数”， 为它的平均
值点．
(1)函数 是否为 上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数 是 上的平均值函数，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 为 上的“平均值函数”，1是它的平均值点(2)
(1)函数 是 上的“平均值函数”．
令 ，因为 ，
设 是它的平均值点，则有 ，解得 ， ，
故 为 上的“平均值函数”，1是它的平均值点．
(2)令 ， ，
设 是它的平均值点，则 ，即 ，
整理得 ．
令 ，则 ，则需方程 在 上有解，
令 ， ，
，
①当 在 内有一个实根时， ，即 ，
解得 ，或 ；②当 在 内有两个不等的实根时，需满足 ，
可得 ，无解．
综上，实数 的取值范围是 ．
