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第二章 函数与基本初等函数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数 的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
由复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为函数 的单调递减区间，
又函数 ，
即函数 为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数 的单调递减区间为 和 ，
即 的单调递减区间为 和 ．
故选：C．
2．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是 大小的特殊的几何图形，即441个点.
根据0和1的二进制编码规则，一共有 种不同的码，假设我们1万年用掉 个二维码，那么所有二
维码大约可以用（ ）（参考数据： ）
A． 万年 B． 万年 C． 万年 D． 万年
【答案】A【解析】 万年用掉 个二维码，
大约能用 万年，
设 ，则 ，
即 万年．
故选：A．
3．已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无最小值，
根据题意， 存在最小值，
所以 ，即 .
故选：A.
4．对函数 作 的代换，则不改变函数 值域的代换是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】因为函数 的定义域为 ，且不是周期函数，
当 时，其： ，
对于A项，当 时， ，即 ，这与 不符合，故A项不成立；
对于B项，当 时， ，即 ，这与 不符合，故B项不成立；
对于C项，当 时， ，即 ，故C成立；
对于D项，当 时， ，即 ，这与 不符合，故D项不成立；
故选：C．5．已知函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【解析】令 ，定义域为 ，
因为 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，
所以 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，
因为 ，
所以 为奇函数， 的图象关于原点对称，
所以 的最大值和最小值互为相反数，即 ，
所以 ，
故选：A.
6．直线 与函数 分别交于 两点，且 ，则函数
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，定义域为 ，
函数 在定义域内单调递增，函数 在定义域内单调递减，
则 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
故选：B.
7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B【解析】依题意， 为偶函数，
当 时， ，
由 可知 ，
解得 ，所以 .
故选：B
8．已知函数 方程 有两个不同的根，分别是 则
（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】由题意得： 为R上的增函数，且
当 时， ， ，
当 时， ， ，
方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个交点，
作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知 与 图象关于 对称，
则 两点关于 对称，中点 在 图象上，
由 ，解得： .
所以 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意知 ，则 ，当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
所以 的大致图象不可能为C，
而当 为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设 ，定义域为 ，此时A选项符合要求；
当 时，定义域为 ，且 ，
故函数 为奇函数，所以B选项符合要求，
当 时，定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，所以D选项符合要求.
故选：ABD
10．已知定义在R上的函数 满足 ，且 不是常函数，则下列说法中正确的有
（ ）
A．若2为 的周期，则 为奇函数B．若 为奇函数，则2为 的周期
C．若4为 的周期，则 为偶函数
D．若 为偶函数，则4为 的周期
【答案】ABD
【解析】对于A：若2是 的周期，则 ，
由 ，可得 ，
所以 ，所以 为奇函数；故A正确；
对于B：若 为奇函数，则 ，
由 ，可得 ，所以2是 的周期，
故B正确；
若4是 的周期，设 ，则 ，
该函数的最小周期为 ，故 为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确；
对于D：若 为偶函数，则 ，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以4是 的周期，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数 其中 ，且 ，则（ ）
A． B．函数 有2个零点
C． D．
【答案】ACD
【解析】 ，故A正确；
作出函数 的图象如图所示，观察可知， ，而 ，
故 ， 有3个交点，
即函数 有3个零点，故B错误；
由对称性， ，而 ，
故 ，故C正确；
b，c是方程 的根，故 ，
令 ，则 ，
故 ，而 ， 均为正数且在 上单调递增，
故 ，故D正确，
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数 为偶函数，则 .
【答案】
【解析】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
即 ，即 ，所以 ，
故答案为：
13．已知函数 ，若 ，则当 取得最小值时， ．
【答案】
【解析】由 得 ，即 ，令 ，
则
当且仅当 ，即 时， 取得最小值，此时z也取得最小值．
故答案为： .
14．已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则 在 上的零点个数的最
小值为 .
【答案】9【解析】由 ，可得 的图象关于点 对称，
又 是奇函数，所以 ，
则 的周期为3，所以 ，
，
而 ，则 .
故 在 上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数 ．
(1)画出函数 的图象；
(2)求关于 的不等式 的解集．
【解析】（1）由 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ， （5分）
画出函数 的图象如图所示．（7分）
（2）法一：当 时，原不等式转化为 ，得 ；
当 时，原不等式转化为 ，得 ； （9分）
当 时，原不等式转化为 ，无解．
综上，原不等式的解集为 ． （13分）
法二：当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
数形结合可知，当 时， （12分）
即原不等式的解集为 ． （13分）
16．（15分）
已知二次函数 的最小值为 ，且关于 的不等式 的解集为
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 与 的图象关于 轴对称，且当 时， 的图象恒在直线 的上方，求
实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 是二次函数，且关于 的不等式 的解集为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 ，
故函数 的解析式为 . （6分）
（2）因为函数 与 的图象关于 轴对称，
所以 ，
当 时， 的图象恒在直线 的上方，
所以 ，在 上恒成立，
即 ，所以 ， （9分）
令 ，则 ，
因为 (当且仅当 ，即 时，等号成立)，
所以实数 的取值范围是 . （15分）
17．（15分）
正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡
制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的
放置时间，每隔 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 ℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100℃经过 后温度变为 ℃，现给出以下三种函数模型：
① ；
② ；
③ ．
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到 ）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：
）
【解析】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，则 ，即 ，可得 ，
所以 且 . （5分）
（2）令 ，则 .
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为 . （12分）
（3）由 ，即 ，所以进行实验时的室温约为10℃. （15分）
18．（17分）
已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 是奇函数，给定
函数 .
(1)求函数 图象的对称中心；
(2)判断 在区间 上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， .若对任意 ，总
存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）设函数 的图象的对称中心为 ，则 ，
即 ，
整理得 ，
可得 ，解得 ，
所以 的对称中心为 . （4分）
（2）函数 在 上单调递增；
证明如下：
任取 且 ，
则 ，
因为 且 ，可得 且 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增. （8分）（3）由对任意 ，总存在 ，使得 ，
可得函数 的值域为 值域的子集，
由（2）知 在 上单调递增，故 的值域为 ，
所以原问题转化为 在 上的值域 ， （9分）
当 时，即 时， 在 单调递增，
又由 ，即函数 的图象恒过对称中心 ，
可知 在 上亦单调递增，故 在 上单调递增，
又因为 ， ，故 ，
因为 ，所以 ， ，解得 ，
当 时，即 时， 在 单调递减，在 单调递增， （11分）
因为 过对称中心 ，故 在 递增，在 单调递减，
故此时 ，
欲使 ，
只需 且 ， （13分）
解不等式，可得 ，又因为 ，此时 ；
当 时，即 时， 在 递减，在 上亦递减，
由对称性知 在 上递减，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
综上可得：实数 的取值范围是 . （17分）
19．（17分）
设n次多项式 ，若其满足 ，则称这些多
项式 为切比雪夫多项式.例如：由 可得切比雪夫多项式 ，由 可
得切比雪夫多项式 .
(1)若切比雪夫多项式 ，求实数a，b，c，d的值；(2)对于正整数 时，是否有 成立？
(3)已知函数 在区间 上有3个不同的零点，分别记为 ，证明：
.
【解析】（1）依题意，
，
因此 ，即 ，则 ， （4分）
（2） 成立.
这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式 .
首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得， ，
将 替换为 ，所以 .
所以对于正整数 时，有 成立. （9分）
（3）函数 在区间 上有3个不同的零点 ，
即方程 在区间 上有3个不同的实根，
令 ，由 知 ，而 ，则 或 或 ，
于是 ，
则 ，
而 ，
所以 . （17分）
