文档文本内容
4.7 正弦定理、余弦定理
5 大考点汇总
考点01 正余弦定理解三角形
考点02 利用正余弦定理边角互化
考点03 三角形的面积问题
考点04 判断三角函数解的个数
考点05 判断三角形的形状
考点06 正、余弦定理的实际应用
题型专练
考点01 正余弦定理解三角形
1．在△ABC中，BC = 4，
，
，则
__________．
【答案】
/
【详解】在△ABC中，
，所以
，
由正弦定理可得
.
2．已知
，
，分别为△ABC三个内角
，
，
所对的边，若
，
，c = ❑√2，则
（ ）
A．45°
B．30°
C．45°或
D．
【答案】A
【详解】在△ABC中，由正弦定理可得
，解得
，
由于
，则
，即
为锐角，故C = 45°.
3．在△ABC中，已知
，
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．❑√2
D．❑√3
【答案】B
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】在△ABC中，根据正弦定理得
，
所以
，
故
.
4．△ABC中，
，则c =__，△ABC外接圆半径为__．
【答案】 3
/
【分析】首先根据余弦定理求，再根据正弦定理求外接圆的半径.
【详解】
，
由a
2=b
2+c
2−2bc cos A，可得：
，可得：
，
解得：
或
（舍去），
，
设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理
．
故答案为：3，
．
5．在
中，
分别为角
所对的边，若
，
，
，则cos A =____________．
【答案】13
14
【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求cos A即可．
【详解】由余弦定理，
，
，
故
．
6．如图，在四边形
中，已知
，AD =10，AB =14，
，∠BCD =135°，则
的长（ ）
A．
B．14 ❑√2
C．8 ❑√3
D．
【答案】A
【分析】首先在△ABD中利用余弦定理求解BD的长度，再结合垂直关系得到
中的已知角，最后利用
正弦定理求解
的长度即可.
【详解】在△ABD中，
，
由余弦定理得
∴
整理得
，解得 BD =16 或
（边长为正，舍去）.
∵
，∴
，
∴
.
在
中，
，
，
，
由正弦定理得
∴
.
考点02 利用正余弦定理边角互化
7．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c−2bcos(B+C )=0．证明：
sin
2 A =sin
2B+2sin
2C.
【答案】因为cos(B+C)=cos(π−A)=−cos A，
则代入已知得c−2b(−cos A)=0，
所以c +2bcos A =0，即cos A =−c
2b ，
由余弦定理可得cos A =−c
2b = b
2+c
2−a
2
2bc
，
所以−c
2=b
2+c
2−a
2，所以a
2=b
2+2c
2，
因为正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R（R 为外接圆半径），
则a=2 Rsin A ，b=2 Rsin B ，c =2 RsinC，
代入上式：(2 Rsin A )
2=(2 Rsin B)
2+2(2 RsinC )
2
所以sin
2 A =sin
2B+2sin
2C．
【分析】先利用三角形内角和，将 cos(B+C) 转化为 −cos A，整理得 c +2bcos A =0，再代入余弦定
理，化简得到边的关系式 a
2=b
2+2c
2，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明.
【详解】略
8．已知△ABC的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且满足ccosB+bcosC =2acosC，则△ABC
中角
的大小为____________．
【答案】
π
3
【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化
简求解角C.
【详解】在
中，设其外接圆半径为R，由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R，
即a=2 R sin A，b=2 R sin B，c =2 R sin C，
则由
，可得
，
由两角和的正弦公式，左边可化简为
， 又
，
因此等式化为sin A =2sin A cos C 由于
，故sin A ≠0，
两边同除以sin A得
，又C ∈(0,π )，因此C = π
3 .
9．记△ABC的内角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．2❑√3
C．❑√13
D．❑√15
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于
的三角等式，求出cos A的值，再代入余弦定理计算边
．
【详解】由正弦定理得
a
sin A =
c
sinC ，则
，
又
，所以
，
所以
，所以
为锐角，
由
，得
，
由余弦定理得
，
所以
．
10．△ABC的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若a=10，
且
，则c =（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】A
【分析】根据正弦定理及二倍角公式对
化简，求得
，再利用三角形内角和为
，求得
，最后利用正弦定理得到的值.
【详解】根据正弦定理，由
得
，
因为
，所以
，
又sin B≠0，所以cos B = 3
5，所以sin B = 4
5 .
在△ABC中，
，
所以
.
在△ABC中，由正弦定理得
，
所以
.
11．在△ABC中，角
所对边分别为
，
，则
__________．
【答案】2
【分析】先通过余弦定理将余弦转化为边，再代入
整理即可求得.
【详解】因为bcos A +acos B =2b，由余弦定理得，b⋅b
2+c
2−a
2
2bc
+ a
2+c
2−b
2
2ac
=2b，
又因为
，代入上式整理得：
，所以
.
12．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知
．若
，则
____________；若
，则
____________．
【答案】
3 ❑√6
8
【分析】利用正弦定理和余弦定理化简计算即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
，所以
．
所以
．
考点03 三角形的面积问题
13．在△ABC中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，面积为S，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】由S = 1
2 bc sin A代入，结合余弦定理即可求解．
【详解】由S = 1
2 bc sin A可得
，
由余弦定理
，
则
．
14．在△ABC中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．9
40
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边
的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果.
【详解】依题意，
，由正弦定理得，
，
所以
，由余弦定理可得，
，
即
，所以
，
即
，又因为
，所以
.
15．在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
的面积为5 ❑√3，则
的周
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意及三角形的面积公式，得
，即
，解得
，
根据余弦定理得
，即
，
所以△ABC的周长为
．
16．在△ABC中，
，外接圆半径为2❑√3
3
，且
，则△ABC的面积是________
【答案】❑√3
【分析】先利用正弦定理求得边b，再利用余弦定理结合
，求得a,c，再利用三角形面积公式求解.
【详解】在△ABC中，
，外接圆半径为2❑√3
3
，
所以
，则
，
由余弦定理得
，即
，
又因为
，解得
，
所以△ABC的面积是
，
17．在△ABC中，角
、
、
的对边分别为
、
、，△ABC的面积记为S，且
，
则
=（ ）
A．π
6
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解．
【详解】由
，
则
，
所以
，
在△ABC中，有C ∈(0,π)，
故
．
18．已知
分别为△ABC三个内角
的对边，且
(1)求
；
(2)若a=2，且△ABC 的面积为
，求
.
【答案】(1)A =π
3
(2)
【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角；
（2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长.
【详解】（1）由
，
结合正弦定理可得
，
展开右侧三角式得
，
消去同类项后化简为
，
整理得
，
由
，得
，解得
.
（2）由三角形面积公式
，
代入
，得bc = 4，
由余弦定理
，
代入
、
，得
，
联立
，解得
.
考点04 判断三角函数解的个数
19．在△ABC中，角
，
，
的对边分别为
，
，，其内切圆半径为r，半周长为．已知
，
b+c =6，r =
❑√3
2 ．
(1)求
；
(2)求
和△ABC的面积．
【答案】(1)bc =9
(2)
，△ABC的面积为9 ❑√3
4
【分析】（1）利用面积公式建立bc与
的关系，再结合余弦定理得到关于
的方程，求解得
和bc的值.
（2）根据
和b+c的值求出半周长，结合已知r，用面积公式S =rs算出面积.
【详解】（1）已知b+c =6，半周长s= a+b+c
2
= a+6
2
，
由面积公式可得： S =rs=
❑√3
2 ⋅a+6
2
=
❑√3(a+6)
4
，
又因为A =60
∘，由面积公式S = 1
2 bcsin A可得：
S = 1
2 bc⋅sin60
∘=
❑√3bc
4
，因为两式相等，所以约去
❑√3
4 得：
bc =a+6 ①，由余弦定理a
2=b
2+c
2−2bccos A可得：a
2=b
2+c
2−2bccos A，
又因为b
2+c
2=(b+c)
2−2bc，cos60
∘= 1
2，
所以a
2=(b+c)
2−2bc−bc =36−3bc ②
将①代入②得：a
2=36−3(a+6)，整理得a
2+3a−18=0，
解得正根
（负根舍去），因此bc =a+6=9.
（2）由（1）已得
，面积S =rs，代入可得：s= a+b+c
2
= 9
2，r =
❑√3
2 ，
所以S =
❑√3
2 × 9
2 = 9 ❑√3
4
.
20．在△ABC中，角
，
，
的对边分别为
，
，，S为△ABC的面积，若
，
则A =（ ）
A．π
6
B．
C．π
2
D．
【答案】C
【详解】在△ABC中，由余弦定理得
，
三角形面积S = 1
2 bc sin A，则
，
即
，
，
，
，
．
21．（多选）在△ABC中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，不解三角形，确定下列判断错误的
是（ ）
A．
，c = 4，b=5，有两解
B．
，c = 4，
，有一解
C．
，c = 4，
，有一解
D．
，c = 4，
，无解
【答案】ABC
【分析】通过比较
与
的关系，来确定三角形解的个数.
【详解】已知
，c = 4，
如图，过
作
，垂足为
．
．
①当
或
时，有一解；
②当
时，无解；
③当
时，两解．
结合四个选项，可知，ABC 三项判断错误．
22．在△ABC中，角
，
，
的对边分别为
，
，，a=15，b=18，
，则此三角形解的个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
【答案】C
【分析】根据
和
的关系确定正确答案.
【详解】由于
，
所以
，
所以三角形解的个数为
.
23．在
中，
，
，若满足上述条件的
恰有一解，则边长
的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意
或
即可求解.
【详解】如图，在平面内作出角
，在其中一条边上取点
，以点
为圆心，CB =2为半径画圆，
若满足条件的△ABC恰有一解，
则
或
，已知A =π
6 ，
，
当
时，
；
当
时，
，
所以边长
的取值范围为
.
24．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足a=9，
的△ABC有两解，则b 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b 的取值范围.
【详解】在
中，
，
，
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B 可得：
，
因为
，且
时A >B，a<b时
，
要使
有两解，
则
的取值有两个，一个锐角，一个钝角，
由于
，且
为三角形内角，
所以
的取值范围是
，
同时
有两解时
的取值要满足
，
由
，可得
，
又因为
，可得
，
综上，
的取值范围为
.
考点05 判断三角形的形状
25．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则△ABC解的个数为
________．
【答案】1
【分析】根据题意，利用正弦定理，求得
，结合
，得到
只有一解，即可得到
答案.
【详解】在△ABC中，因为
，
由正弦定理
，可得
，
因为
，所以
只有一个解，所以△ABC解的个数为1 个.
26．在△ABC中，内角
所对的边为
，下列结论中错误的是（ ）
A．若
，则
B．
，则△ABC为等腰三角形
C．若
，
，
，则符合条件的三角形有两个
D．若△ABC的面积为
，则A =π
3
【答案】B
【分析】由正弦定理判断A；由题意可得
或
，从而得△ABC为等腰三角形或直角三角形，
即可判断B；由题意可得
，即可判断C；由余弦定理及面积公式，求出
的值，即可判
断D.
【详解】对于A，因为
，由正弦定理可得
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
或
，
由于
,所以A = B或
，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；
对于C，因为
，故三角形有两个，故C 正确；
对于D，因为
，
又因为S = 1
2 bc sin A，所以
，所以
，又因为A ∈(0,π)，所以A =π
3
，
故D 正确.
27．在△ABC中，角A ，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【详解】由
及正弦定理，得
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
因为
，所以
，故
，因为
，所以
π
2 ，
即△ABC的形状为直角三角形．
28．已知△ABC的内角
，
，
的对边分别为
，
，且
，
，则
△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先根据
确定边，再由
求角
，最后根据
可确定三角形形状.
【详解】如图：
过
作CD⊥AB，垂足为
.
则
，
，所以
；
又
，所以△ABC为等腰三角形.
由
，得
＝
＝
，
所以
，C = π
3 ，又因为
，
则△ABC是等边三角形.
29．在△ABC中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到
或
，得到三角形形状
【详解】
，由正弦定理得
，
故
，
又
，
，
所以
，
所以
，
即
，所以
或
，
由
得
或
（舍去），
由
得C =π
2 ，
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
30．（多选）（多选题）在△ABC中，已知
，则△ABC的形状可能是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】BD
【详解】将
，
（R为△ABC外接圆的半径）代入已知条件，
得
，则
．
因为
，所以
，
所以
，所以
或
，
所以A = B或
，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
31．在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，若
，则△ABC的形状是
（ ）
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的平方关系将
转化为
，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断
角
，即可得答案.
【详解】因为
，所以
，即
，
由正弦定理角化边得
，即
，
故
．因为
，所以
是钝角，即
是钝角三角形．
32．（多选）在△ABC中，下列命题正确的（ ）
A．若
，则△ABC是等腰三角形
B．若A >B，则
C．若
，则△ABC为钝角三角形
D．若
，则△ABC为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】对于A，利用余弦定理化简即可判断；对于B，利用正弦定理与三角形边角关系即可判断；对于
C，利用和角的正切公式化简得
即可判断；对于D，利用正弦函数图象的性质结合角的范围
即可判断.
【详解】对于A，由
和余弦定理，可得
，
化简得a
2=b
2，即
，故△ABC是等腰三角形，A 正确；
对于B，由A >B，得
，再由正弦定理
，可得
，故B 正确；
对于C，因为
，
所以
，
若
，则
,
因
,则
中必有一个是钝角，故△ABC为钝角三角形，即C 正确；
对于D，因
,由
，则
或
，
即A = B或
，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D 错误.
考点06 正、余弦定理的实际应用
33．为了测量河对岸一座塔的高度
，测量员在河岸这边选取了两个观测点
和
，已知
，
两点的距
离为
米，且点
，
，
在同一水平面上，在点
处测得塔顶
的仰角为30°，
，
，则塔的高度
为（ ）
A．
米
B．50(❑√2+1)米
C．100(❑√3−1)米
D．100(❑√6−❑√2)米
【答案】A
【分析】先在水平面三角形
中利用正弦定理求出
的长度，再在直角三角形
中利用正切函数求
出塔高
.
【详解】由题意可知，
平面
，所以
为直角三角形，且
，
在
中，已知
，
， 所以
，
由正弦定理
， 得
（米）.
在
中，
， 所以
（米）.
34．位于某小岛
的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于
小岛
北偏东
且与该小岛相距10 海里的
处，并正以20 海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设
该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇．
(1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？
(2)若经过1 小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？
(3)假设快艇的最高航行速度只能达到10 ❑√3海里／时，试问快艇能否在1 个小时内（包括一个小时）完成送
货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小．
【答案】(1)20 ❑√3海里/时
(2)10 ❑√3海里/时
(3)能完成任务，航行方向为北偏西
，航行速度为10 ❑√3海里/时，相遇时间为1 小时.
【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；
（2）由1 小时可确定边BD，再利用余弦定理可得
及速度；
（3）设相遇时间为t(t >0) ，∠CAD =θ，在△ABD中，由余弦定理得到v
2= 400−200
t
+ 100
t
2 ，再结合
v
2≤300，求解即可.
【详解】（1）
货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛
到货轮行驶航线的垂线段长度，
由题意得AB =10 海里，∠BAC =30
∘，最短航行距离AC = ABcos 30
∘=5 ❑√3海里，
此时货轮行驶路程BC = ABsin 30
∘=5 海里，行驶时间t = 5
20 = 1
4 小时，
故快艇航速v = 5 ❑√3
1
4
=20 ❑√3海里/时；
（2）经过1 小时，货轮行驶路程BD =20×1=20 海里，
在△ABD 中，AB =10 ，∠ABD =60°，
由余弦定理得：
A D
2= A B
2+ B D
2−2 AB⋅BD⋅cos∠ABD
=10
2+20
2−2×10×20×cos60° =300，
故AD =10 ❑√3海里，
故快艇航速v = 10 ❑√3
1
=10 ❑√3海里/时；
（3）设相遇时间为t(t >0) ，在△ABD中BD =20t ，
由余弦定理得： (vt )
2=10
2+(20t )
2−2×10×20t ×cos60° ，
整理得v
2= 400−200
t
+ 100
t
2 ，
若t ≤1 且v ≤10 ❑√3，则v
2≤300 ，
代入得： 400−200
t
+ 100
t
2 ≤300⇒100(
1
t −1)
2
≤0，
仅当t =1 时等号成立，此时v =10 ❑√3海里/时，符合最高航速限制，
设航行方向为北偏西θ ，即∠CAD =θ，
则tanθ = CD
CA = 20×1−10sin30°
10cos30°
= ❑√3，
得
，
即能完成任务，航行方向为北偏西
，航行速度为10 ❑√3海里/时，相遇时间为1 小时.
35．如图，
，
是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于
点北偏东
、
点北
偏西
的
点有一艘船发出求救信号，位于
点南偏西
且与
点相距4 ❑√3海里的
点的救援船立即前
往营救，其航行速度为30 海里/小时，则该救援船到达
点最快所需时间为（ ）
A．
小时
B．
小时
C．0.5小时
D．1 小时
【答案】A
【分析】先在
中用正弦定理得出
，再在△BCD中用余弦定理得出
，路程除以速度即可求得时
间.
【详解】由题意，在
中，
，
，
，
所以
，由正弦定理可得，
，
则
，
又在△BCD中，
，
，
由余弦定理可得，
，所以
，
因此救援船到达
点需要的时间为
小时．
36．位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角
高程测量法的示意图，现有A，B，C 三点，且A，B，C 在同一水平面的投影A1，
，C1满足
，
，在点C 处测得点B 的仰角为15°，B B1与C C1的高度差为30m，在点B 处测得点A 的仰角为
45°，则A，B 两点到水平面
的高度差
约为（ ）（❑√3≈1.732）
A．69m
B．72m
C．79m
D．82m
【答案】D
【分析】过
作
，垂足为
.过
作
，垂足为
.在
中求得
，从而得到
.
△A1B1C1中，由正弦定理求得
，从而得
.在
中，利用等边对等角，可求得AN，即A，B 两
点到水平面
的高度差
.
【详解】如图，过
作
，垂足为
.过
作
，垂足为
.
则
.
又
，
所以
中，
.
所以
.
△A1B1C1中，
，
，所以
.
.
由正弦定理得，
，
所以
.
在
中，
，所以
，
所以
.
即A，B 两点到水平面
的高度差
约为
.
37．如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(❑√3−1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°
方向，距A 处2 海里的C 处的我方缉私船奉命以10 ❑√3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10 海
里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所
需时间．
【答案】缉私船应沿北偏东
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
小时
【详解】设缉私船应沿
方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则
海里，
海里，
在△ABC中，由余弦定理，有
．
海里．又
，
，
∴∠ABC = 45°，∴B 点在C 点的正东方向上，
，
在△BCD中，由正弦定理，得
，
．
，∴缉私船沿北偏东
的方向行驶．
又在△BCD中，
，∠BCD =30°，
，
，即
．
小时．
∴缉私船应沿北偏东
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
小时．
38．小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2 米的垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为
、
，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其
中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45 米.则斜面的底
角
________.（结果用角度制表示，精确到0.01°）
【答案】
【分析】先根据在
处的杆子算出阳光和水平面的夹角的正切值，然后结合
处的杆子算出斜面的底角.
【详解】设阳光与水平面的夹角为
，则
，
设与斜面的接触点为
的杆子为
，
为长度为1.45 米的影子，
过点
作BD⊥CD于点
，其中
与水平面平行，设
，
则
，解得
，
则
.
