文档文本内容
4.8 三角形中的中线、角平分线及其有关的范围(最值)问题
6 大考点汇总
考点01 三角形的中线问题
考点02 三角形的角平分线问题
考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围
考点04 求三角形面积的最值或范围
考点05 几何图形中的计算
考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
题型专练
考点01 三角形的中线问题
1．已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，
(1)求角A；
(2)若a=2，
的面积为❑√3，求b，c；
(3)若a= ❑√3，且
为锐角三角形，D 为BC 的中点，求中线AD 的取值范围．
【答案】(1)A =π
3
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；
（2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于
的二元方程组即可求解；
（3）利用中线向量公式与余弦定理将
转化为关于
的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐
角三角形的范围限制即可求解.
【详解】（1）
，
由正弦定理可得
，
∴
，
即
，
，
因为
，所以
，所以
，
即
，即
，
又A ∈(0,π)，∴
，则A =π
3 ．
（2）由（1）及题设可得
，即
，
整理得
，解得c =2（负值舍去），故
．
（3）因为D 为BC 的中点，所以
，
两边平方得
，
在
中，由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos A =b
2+c
2−bc，即
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，
则
，解得π
6 <B<π
2 ，
所以
，所以
，则
，
即
，
所以
，所以中线AD 的取值范围是
．
2．在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
且c =2.
(1)求角C 的大小；
(2)求b 的取值范围；
(3)边AB 的中点为D，求中线CD 的长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正
弦余弦公式进行求解即可；
（2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可；
（3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性
质进行求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
因为
，所以
，
则
，即
，
整理可得
，即
，
所以
，
所以
.
（2）由正弦定理得
，
因为锐角
，所以
，
所以
，所以
；
（3）由余弦定理可得
，
又
，
则
，
由正弦定理可得
，
所以
，
所以
由（2）知
，则
，
所以
，
则
，
则
，
故中线
的长度的取值范围为
.
3．在
中，AB =5，
，AC =7，D 为BC 的中点，则中线
______．
【答案】
【详解】法1：由余弦定理，
.
所以
.
又⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC)，
所以
=28，
所以
.
法2：在
中，由中线长定理可知
，
则
，解得
．
4．（多选）若
的内角A，B，C对边分别是
，
，，
，且
，
则（ ）
A．
外接圆的半径为❑√3
B．
的周长的最小值为3+2❑√3
C．
的面积的最大值为
D．边
的中线
的最小值为❑√3
【答案】AC
【详解】A 选项，
，由正弦定理得：
，
即
，
所以
，
即
，
因为A ∈(0,π)，所以
，所以
，则
，
因为B∈(0,π)，则
， 令
外接圆的半径为R，
所以
，即
，所以A 选项正确；
B 选项，
，即：
，则
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
时等号成立，此时
的最大值为3+2❑√3，所以B 选项错误；
C 选项，
，
，当且仅当
时等号成立，
因为
，所以S△ABC的最大值为
，所以C 选项正确；
D 选项，因为
为
边上的中线，
所以
，
，
得
，因为
，所以
的最小值为
，所以D 选项错误.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
，
，，A为钝角，且
，
．
(1)证明：
．
(2)求A．
(3)若△ABC的中线
，求△ABC的面积．
【答案】(1)
，
，
.
，B均为△ABC的内角，且A为钝角，则B为锐角，得
；
.
(2)
(3)
【分析】（1）由
和
，得到
；根据A为钝角，则B为锐角，确定
的范围，进而得到
；
（2）根据
，得到
，代入
，整理得
；根据A为钝角，
，
确定A的大小；
（3）根据中线长定理
，得到
，再结合余弦定理求出各边长度，最后利
用三角形面积公式
计算面积.
【详解】（1）略
（2）由（1）得，
，则
，
，
，
为钝角，
，即
；
或
，解得
或
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，此时
，不符合题意，
综上所述，
.
（3）由（2）得
，
，
，
，
，
，
为△ABC的中线，
，得
，
由正弦定理得
，
得
，
，
，
，解得
，
.
，
，
，
，
∴△ABC的面积为❑√3.
6．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)证明：
；
(2)求C；
(3)若
，边
上的中线
，求边a，b 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
，
或a=2，
【分析】（1）由正弦定理边角互化得
，再整理即可证明；
（2）由（1）可得
，进而得到
即可求解；
（3）根据余弦定理可得
，再利用双余弦
得到
，再解方程
组即可．
【详解】（1）证明：由正弦定理得：
，
即
；
（2）解：因为
，
即
.
则
，
因为C ∈(0,π)，
所以
；
（3）解：因为
，由余弦定理知：
，
即
，
，
，
即
，
，
，
故
，
解得：
，
或a=2，
.
考点02 三角形的角平分线问题
7．在锐角三角形
中，角
的对边分别为
，若
，
.
(1)求角A的大小；
(2)求边
的值；
(3)角A的角平分线
与边
交于点
，求角平分线
长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得
，即可求得角A；
（2）利用正弦定理将所给等式转化为关于
的等式，结合余弦定理即可求出
；
（3）利用三角形面积公式，将角平分线
表示为
，对边对角模型，
，转化为三角
函数求值域．
【详解】（1）由
及正弦定理得：
，
因为
，所以
，
所以
，又
，所以
.
（2）由正弦定理
，得
，
由
得：
，
即
，
由余弦定理得，
，
联立解得a= ❑√3.
（3）
如图所示，由（1）知A =π
3 ，由于
，
，
，
由（2）知
，
因为A =π
3 ，所以
，
则
令
，则
，
因为△ABC是锐角三角形，则
，
则
，
令
，由解析式可知
在
单调递增，
所以
，即
即
长度的范围为
8．在
中，角
所对的边分别是
，且
.
(1)求角B的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围；
(3)若角B的角平分线交
于
点，求
长度的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得；
（2）利用正弦定理化简得出
，根据锐角三角形求出
，求三角函数的值域即
可；
（3）利用余弦定理和基本不等式得出
，再利用等面积得出
，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）
，
则由
和正弦定理可得，
，
因为
，所以
，又
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
.
（2）由正弦定理，
，
所以
.
由三角形为锐角三角形可知，
，解得
，
所以
，
所以
的取值范围为
.
（3）由余弦定理，
，
即
，当且仅当
时，等号成立.
又
，
化简可得，
.
所以
，当且仅当
时等号成立.
故
长度的最大值为
.
9．在
中，角
的对边分别为
，已知c =2，
．
(1)若
为锐角三角形，求其周长的取值范围；
(2)若角C的角平分线交
于
，满足
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角C，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值；
（2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算
长度．
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，整理得
，
所以
，
又因为C ∈(0,π)，所以
，
因为c =2，由正弦定理得
，
所以
，
，
因为
，所以
，
则
，
又
，则π
6 <B<π
2 ，即
，
所以
，
，即
，
所以
，即
周长的取值范围是
，
（2）因为
，由角平分线定理得
，即b=2a，
在三角形
中，c =2，由余弦定理得
，
，
；
因为
，所以
，得
，
所以
．
10．在
中，设角
所对的边分别为
，已知a= ❑√3且
.
(1)求角A；
(2)若
，求边
上的角平分线
的长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
❑√3
6
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）先利用余弦定理求出
，再利用等面积法
，即可求解；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将
的范围转化为
的范
围，再结合锐角三角形以及角A，求得角B的范围，即可得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
又由余弦定理得，
，
故A =π
3 .
（2）
由余弦定理可知，
，代入
，
可得
，解得
.
设AD = x，∵S△ABC = S△ABD+ S△ACD
，即
，
解得x =
❑√3
6 ，因此
.
（3）由余弦定理得，
，
即
.
，两边平方得
.
由正弦定理可知，
，故
，
因此
，
又因为
是锐角三角形，故
，解得π
6 <B<π
2
，
故
，
，
，
即
，则
.
11．在
中，角
的对边分别为
，且
(1)求A；
(2)若
，点
在
外，
，求四边形
面积的最大值；
(3)若A为钝角，A的角平分线交
于点
，求
面积的最小值.
【答案】(1)A =π
3 或
(2)
(3)4 ❑√3
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得
，进而求得答案；
（2）由题意知
为等边三角形，设
，进而结合余弦定理，三角形面积公式得
，再根据三角函数性质求解即可；
（3）由题意知
，进而根据等面积法得
，再结合基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，最后根据面积公式求解即可.
【详解】（1）解：因为
，
所以
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，所以A =π
3 或
，
（2）解：因为
，所以A =π
3 ，
，
所以
为等边三角形，
如图，设
，
在△ACD中，
所以
因为θ∈(0,π)，
，
所以，当
时，
取得最大值
.
（3）解：由A为钝角得
，因为A的角平分线交
于点
，
所以
因为
，即
，
所以
，整理得
，
因为
，当且仅当b=c时等号成立，
所以
，解得
，当且仅当
时等号成立，
所以
12．已知
的内角
的对边为
，且
.
(1)求角A；
(2)若
的面积为4 ❑√3，
为
的中点，且
，
，求
中线
的长及内角A的角平分
线
的长.
【答案】(1)
(2)
；
【详解】（1）由正弦定理得：
，
，
，又A ∈(0,π)，
.
（2）由（1）知：A =π
3 ，
，解得：
；
为
的中线，
，
，
，即中线
的长为
；
为内角A的平分线，
，
，
，
.
考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围
13．
的内角A，B，C的对边分别为
，
，，已知a(sin
2 A −sin
2C)=b(sin
2B−) sin
2C)，
．
(1)求角C；
(2)若
，
的面积为
，求
的值；
(3)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过正弦定理角化边，因式分解后结合余弦定理求角；
（2）直接代入面积公式求解参数；
（3）利用正弦定理边角互化，结合三角函数值域求周长范围.
【详解】（1）由a(sin
2 A −sin
2C)=b(sin
2B−)sin
2C )和正弦定理，可得a(a
2−c
2)=b(b
2−c
2)，
化简得
.
因为
，则
，故有
.
又由余弦定理cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
=−ab
2ab =−1
2，
又
，得
.
（2）由S = 1
2 absinC =
❑√3
4 ab=2❑√3可得ab=8，
又a=2b，联立解得
.
（3）由正弦定理得
，故
.
因B = π −A −C =π
3 −A，易得
，又
，则
，
则
，
因
，故
，得
.
因此周长
.
14．已知
的内角A ，B ，C 的对边分别为
，
， ，且
，sin A = 1
2 tanC
(1)求角C ；
(2)若
，求△ABC 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可求出A =π
6 ，再根据
，即可求解；
（2）结合（1）的结果求出
，再利用正弦定理求出
，即可求得答案.
【详解】（1）由于在
中，
，
故
，结合A ∈(0,π)，得A =π
6 ，
而
，故
，
结合C ∈(0,π)，得
.
（2）由（1）可知B =π−(
π
4 +π
6 )，故
sin B =sin[π−(
π
4 +π
6 ))=sin(
π
4 +π
6 )=
❑√2
2 ×
❑√3
2 +
❑√2
2 × 1
2 =
❑√6+ ❑√2
4
，
由正弦定理得
，即
，
可得
，
故△ABC 的周长为
.
15．已知
分别为
三个内角
的对边，且
(1)求角C；
(2)已知
，
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角
C；
（2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简
，再由锐角三角形约束A的范围，
最后结合正弦函数的单调性即可得出
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理
得：
，
因为A ∈(0,π)，所以
，则
，
即
，
，
因为
，则
，所以
，即
.
（2）因为
，
，所以
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，
所以
，
所以
，
所以
．
16．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2csin(A +π
3 )= ❑√3b ．
(1)求C．
(2)c =2❑√3．
（ⅰ）若
的周长为4+2❑√3，角C 的平分线交
于点D，求
的长；
（ⅱ）若
为锐角三角形，⃗AE =⃗EB，求
的取值范围．
【答案】(1)C =π
3
(2)（ⅰ）CD =
❑√3
3 ；（ⅱ）(❑√7 ,3]
【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可；
（2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于
的方程并求解，再结合面积公式求解
；
（ⅱ）通过向量运算建立⃗CE
2和
的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围.
【详解】（1）2csin(A +π
3 )= ❑√3b ，即c(sin A + ❑√3cos A)= ❑√3b ，
由正弦定理可得sinC sin A + ❑√3cos A sinC = ❑√3sin B ，
又sin B =sin( A +C)=sin A cosC +cos A sinC ，
所以sinC sin A = ❑√3sin A cosC ，
因为A ∈(0,π)，所以sin A ≠0 ，
所以sinC = ❑√3cosC ，即tanC = ❑√3，
又C ∈(0,π)，所以C =π
3 ．
（2）（ⅰ）因为
，
的周长为4+2❑√3，所以
，
由余弦定理可得cos∠ACB = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2，即a
2+b
2−12=ab ，
即(a+b)
2−12=3ab ，得ab= 4
3 ，
所以
的面积为S = 1
2 absin∠ACB = 1
2 × 4
3 ×
❑√3
2 =
❑√3
3 ，
则1
2 a⋅CD⋅sinπ
6 + 1
2 b⋅CD⋅sinπ
6 = 1
2
(a+b)⋅CD⋅sinπ
6 =
❑√3
3 ，
所以CD =
❑√3
3 ．
（ⅱ）因为⃗AE =⃗EB，所以E 是
的中点，所以⃗CE = 1
2 (⃗CA +⃗CB)，
则⃗CE
2= 1
4 (⃗CA +⃗CB)
2= a
2+b
2+ab
4
= (a+b)
2−ab
4
，
又(a+b)
2−12=3ab ，所以⃗CE
2= 12+2ab
4
= 1
2 ab+3 ，
由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B =
c
sin∠ACB = 2❑√3
❑√3
2
= 4
，
所以a= 4 sin A ，b= 4sin B = 4sin(
2π
3 −A)，
所以ab=16sin A sin(
2π
3 −A)=16(
❑√3
2 sin A cos A + 1
2 sin
2 A)
= 4(❑√3sin2 A −cos2 A)+ 4 =8sin(2 A −π
6 )+ 4 ．
因为
为锐角三角形，所以¿，解得A ∈(
π
6 ,π
2 )，
所以2 A −π
6 ∈(
π
6 , 5π
6 )，所以sin(2 A −π
6 )∈(
1
2 ,1]，
所以ab∈(8,12]，所以⃗CE
2∈(7,9]，则
的取值范围是(❑√7 ,3]．
17．已知
的内角
所对的边分别为
，且
，
．
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求
的周长；
(3)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式求出
的值，再根据余弦定理求出a
2+c
2，进而求出
，最后求出周长；
（3）根据正弦定理表示出
，根据三角函数值的范围求解.
【详解】（1）
，且
.
整理得
由正弦和角公式：
，
由正弦定理
，代入得
两边除以
得
整理得
即
，即
因为
，所以
，
故
，得
.
（2）已知面积
，且
，
.
由面积公式
故
，得
.
由余弦定理
代入
，
：
整理得
而
，
因为
，故
.
因此周长为
（3）由正弦定理：
，
故a= 4 sin A，
.
又
，
，故
，其中
.
因为
，所以
，
则
，
故
.
18．在
中，AB =1，D 为BC 边上一点，且
．若AD 为
的平分线，且
为锐角三
角形，则边AC 的取值范围______．
【答案】
【分析】设
，由已知确定θ范围，在
与△ACD中分别用正弦定理，得到
与
的关系求解即可.
【详解】因为
为
的平分线，
所以可设
，则
，
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
,所以
.
在
中，由正弦定理得
，③
在△ACD中，由正弦定理得
，④
④÷③得
，
又AB =1，所以
，
设
，又
，
所以
，所以
在
上为增函数，
所以
．
考点04 求三角形面积的最值或范围
19．已知
的内角
的对边分别为
，且a
2+b
2−ab=c
2．
(1)求C．
(2)若
，且
边上的中线长为
，求
的面积．
(3)若角C的平分线长为❑√3，求
的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)3 ❑√3
(3)❑√3
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）在△ADC中使用余弦定理计算
，再由面积公式即可求解；
（3）由S△ABC = S△ACE+ S△BCE，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理c
2=a
2+b
2−2abcosC，又a
2+b
2−ab=c
2，
代入可得： 2cosC =1⇒cosC = 1
2，
又C ∈(0,π)，故
（2）
记
边上的中线为
，则
，
在△ADC中，由余弦定理得A D
2= A C
2+C D
2−2 AC ⋅CD⋅cosC，
化简可得：b
2−2b−3=0，解得
或
（舍），
所以S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×4×3×
❑√3
2 =3 ❑√3.
（3）
设角C平分线交
于
，CE = ❑√3，
由S△ABC = S△ACE+ S△BCE得：
1
2 absinπ
3 = 1
2 ⋅b⋅❑√3⋅sinπ
6 + 1
2 ⋅a⋅❑√3⋅sinπ
6 ，
化简得ab=a+b ，由基本不等式a+b≥2❑√ab得ab≥2❑√ab，
解得：ab≥4 ，当且仅当
时等号成立，
故面积最小值Smin= 1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3.
20．已知
，
，分别为
三个内角A，B，C的对边，满足
．
(1)求A，
(2)若a=2，且
的面积为❑√3，求
的周长；
(3)若
是锐角三角形，且a=2，求
面积
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据
，利用正弦定理转化为
求解；
（2）由三角形的面积可得bc = 4，由余弦定理，可得
，从而可得答案；
（3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解.
【详解】（1）由
和正弦定理，可得
，
其中
，故sin B≠0．∴
，即
，
因为
，所以A =π
3 .
（2）因为
，所以bc = 4，
由余弦定理可得
即
，所以
，
所以
的周长为
.
（3）因为
是锐角三角形，A =π
3 ，
所以{
0<B<π
2
0< 2π
3 −B<π
2)
，解得π
6 <B<π
2 ，
由正弦定理，
，则
，
所以
，
，
由
得
，所以
，
所以
，
即
面积
的取值范围为
.
21．上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图
，设想在其中规划出三个功能区：
为露营区，△PAB为垂钓区，
为活动区．已知
为直角三角形，
，
，
，P为
内一点，且
．
(1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知
，求
的大小；
(2)求露营区面积的最大值．
【答案】(1)π
6
(2)❑√3
【分析】（1）应用正弦定理求解即可；
（2）由余弦定理及基本不等式得
，再由三角形面积公式求最大面积.
【详解】（1）由题设，
，
而
，即
，故
.
（2）由题设
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，即露营区面积的最大值❑√3.
22．已知锐角三角形
的内角A，B，C对应的边分别为
，
，，且满足
.
(1)求角A；
(2)若c =1，求
面积的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求
得
，从而求得A；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出
的取值范围，再由面积公式求得△ABC面积的取值范围.
【详解】（1）因为
，且B为锐角，所以
，
所以
，
即
.
由正弦定理，得
，
所以
，
所以
，
所以
.
因为A是锐角，所以sin A ≠0，
所以
，A =π
3 .
（2）因为c =1，所以
，
，得π
6 <B<π
2 .
由正弦定理可得，
，
因为
，所以
，
由π
6 <B<π
2 ，可知
，所以
，所以
.
所以
，所以
，
即
的面积的取值范围为
.
23．在
中，内角
的对边分别是
，若c =2，
，则
的面
积最大值为___________．
【答案】❑√3
【分析】由已知条件可得
，进而可得
，利用余弦定理结合基本不等式可得
，最后根
据
求出三角形面积最大值.
【详解】解：由
，则
，
化简整理得
，即
，
则
，此时
，则
，
或
，k ∈Z，则
，在三角形中不合题意，
因此，
，
由余弦定理可得c
2=a
2+b
2−2abcosC，又c =2，代入化简得
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
因此，
的面积最大值为❑√3.
24．在
中，内角
的对边分别为
．
(1)求C．
(2)当c =6时．
（i）求
周长的取值范围；
（ii）求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）9 ❑√3
【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得；
（2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得
，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余
弦定理，基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理得
而右式为
，
故得
，因为
，故
．
故cosC = 1
2，则
．
（2）（i）由正弦定理得
的周长
，
易得
，则
，故
，
所以
的取值范围是
；
（ii）由余弦定理得
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的面积
，
故
面积的最大值为9 ❑√3．
考点05 几何图形中的计算
25．如图，在凸四边形
中，AB =1，
，
，AC =CD，当
变化时，对角线
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，根据余弦定理，可得
的表达式，根据条件，可得
的表达式，根据正弦定理，
可得
，在△BCD中，根据余弦定理，可得
的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正
弦函数的性质，分析求解即可得答案.
【详解】在
中，设
，由余弦定理得
，
又AB =1，
，所以
，
由题意，△ACD为等腰直角三角形，则
，
，则
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
在△BCD中，由余弦定理得
，
当
时，
取得最大值，且为
，
所以对角线
的最大值为
.
26．如图，在
中，AB =2，
，点
在线段
上．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)4 ❑√3
3
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解
的值，进而得到
的值，再结合正
弦定理即可求解
的长度；
（2）结合已知的面积、
长度和
，求解
的长度，再根据
得到
、DC的长度，进而分
别在
和△ACD中使用正弦定理，结合
与∠ADC互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得：
，
即
，
因为A ∈(0,π)，则
，故
，则B为锐角，
所以
，
因为
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，解得
．
（2）
，则
由
，得
，
.
由余弦定理可得：
.
在
中，由正弦定理可得
，
故
，
在△ACD中，由正弦定理可得
，
故
，
因为
，
所以
．
27．如图，在四边形
中，
，∠BAC =∠DAC，
．再从条件①，条件②这
两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求
的值；
(2)求∠ADC的大小．
①
面积
；
②
．
【答案】(1)
(2)π
6 或5π
6
【分析】（1）若选①：根据面积公式求出
，根据余弦定理求出
，根据面积公式求出
；若选②：根据两角差的正弦公式可求出结果；
（2）若选①：根据正弦定理解得
，可求出结果；若选②：利用正弦定理可得
，进
而可求∠ADC的大小.
【详解】（1）选①：由
，得
，
由余弦定理可得
，得
，
，所以
；
选②：在
中
，所以
，
.
（2）选①：因为∠BAC =∠DAC，所以
，
在
中，由正弦定理可得
，解得
，
又因为
，
所以满足这样的三角形有两解，所以
或5π
6 ；
选②：在
中，由正弦定理可得
，解得
，
因为∠BAC =∠DAC，则
，
在
中
，解得
，
又因为
，
故满足这样的三角形有两解，故
或5π
6 ．
28．如图，在
中，
，
，D、E 为为BC 上的点．若
，则
______．
【答案】
/
【详解】因为
，所以△ABC为等腰三角形，故∠B =∠C，
而又有
,则
，
故
，则CE = BD，
而
，
，则
，
而由等腰三角形性质可知，
，则
，
由锐角三角函数可知，在△ACD中，
，
因为
，所以
，
则
，
因为C为锐角，所以
，因此
，
所以
，故
.
29．如图，在
中，AC =1，D，E 为线段
上两点，且
平分
，AE⊥BC（
在
的左
侧）.
(1)若
，
，求△ADE的面积；
(2)若AB =2❑√3，
，求tan B的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解；
（2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得
的值，再根据正切的诱导公式即可求
解.
【详解】（1）因为
，所以在Rt△ABC中，
.
又
，即
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
.
因为
平分
，所以
，
解得
，
所以
所以
.
（2）设
，
则
，
即
，
整理得
，
又
，
故
，即
，解得
.
30．在平面四边形
中，已知AC =2❑√7，
，
.
(1)求∠ADC；
(2)若AD⊥AB，BC ⊥CD，求
.
【答案】(1)
2π
3
(2)
【详解】（1） 在
中，由余弦定理得：
，
因为
，所以
．
（2） 因为AD⊥AB，BC ⊥CD，所以
，
在四边形
中，
，
设
，在
中，
，
在
中，
，
因为
，所以
。
即
整理得
，解得
在
中，
．
考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
31．已知向量
，
，设函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及其图象的对称中心；
(2)已知a，b，c 分别为钝角三角形
的内角A，B，C 对应的三边长，A 为锐角，
，
，且
，求三角形
的面积.
【答案】(1)函数
的单调递增区间为
，图象的对称中心为
(2)
❑√3
4
【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得
，再由正弦函数
的单调性与对称性，即可得解；
（2）根据正弦函数取值可得A =π
6 ，再利用余弦定理求出b 的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面
积公式，即可得解．
【详解】（1）
，
.
所以
.
由
，得
.
即
.
由
，
得
，即−π
6 + k π≤x ≤π
3 +k π.
所以函数 f ( x) 的单调递增区间为
.
令
，得
，
此时 f ( x)=0，所以函数 f ( x) 的图象的对称中心为
.
综上所述，函数
的单调递增区间为
，图象的对称中心为
（2）由（1）知
，由
得
，
因为A 为锐角，所以0< A <π
2 ，则
，
所以
，解得
.
由余弦定理得 a
2=b
2+c
2−2bc cos A，即
，整理得
，解得 b=1 或
.
当 b=1 时，
，
，此时 A =π
6 ，由正弦定理得
a
sin A =
c
sinC ，
即
，解得
，所以
或
，
若
，则
，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾;
若
，则
，此时三角形为钝角三角形，符合题意，
三角形面积
.
当
时，
，
，由余弦定理得
，
所以
，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去.
综上所述，三角形
的面积为
❑√3
4 .
32．已知函数
(1)求单调递增区间：
(2)在
中
的对边分别为
，求
的值和
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简
，再利用正弦函数的单调性即可得解；
（2）先由
求得角C，再利用余弦定理与正弦定理的边角变换得到关于
的方程组，进而利用三角
形的面积公式即可得解.
【详解】（1）因为
，
令
，得
，
所以
的单递增区间为
.
（2）因为
，即
，
又
，所以
，
所以
，故
，
因为
，所以
，即
①，
又
，由正弦定理得b=2a②，
由①②可得
，
所以
.
33．已知函数
，x∈R.
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)在
中，角A，B，C所对的边分别为
，
，.若
，
，
，求
的
长.
【答案】(1)T =π；
，k ∈Z
(2)
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数
的解析式，再求函数的最小正周期和单调递增
区间.
（2）先根据
求角A，再利用三角形的面积公式求
，再用余弦定理可求边
.
【详解】（1）因为
.
所以函数
的最小正周期为：
.
由
，k ∈Z
，k ∈Z.
所以函数
的单调递增区间为
，k ∈Z.
（2）由
，
因为A ∈(0,π)，所以
，所以
A = 2π
3 .
由
.
由余弦定理，
=7，
所以
.
34．锐角
中，满足
分别是
的对边.
(1)若
，求边c 的长；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)c =6
(2)
【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角B，再用余弦定
理求边并检验解的合理性，最终确定c =6；
（2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合B =π
4 将表达式化为含A的三角函数，最后通过
角的范围求出取值范围.
【详解】（1）由题
，
，∵△ABC为锐角三角形，
，
.
由余弦定理
，得
，
即
，解得c =2或c =6，
但c =2时，
，与已知条件不符，
而c =6时，
，符合条件，
；
（2）由正弦定理，得
，
，
.
35．已知函数
，其中
.
(1)若
，求f ( x)图象的对称中心；
(2)记f ( x)的最小正周期为T，将f ( x)的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，若
在区间
上单调递增，求ω的取值范围；
(3)已知
为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到
，整体法求出函数对称中心；
（2）求出
，根据单调递增区间得到不等式，求出ω的取值范围；
（3）由
，得到
，由余弦定理和正弦定理得到
，因为
为锐角三角
形，所以
，求出
的取值范围，得到答案．
【详解】（1）
，
当
时，
．
令
，得
，
所以
图象的对称中心为
.
（2）由（1）得
，且
，
所以
，即
，
因为将
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，
所以
，
因为x∈(
π
2 ,π)，则
，
又因为函数y =sin x在区间
上单调递增，
则
，
可得
，解得
，
可得
，即
，
且
，则k =1，所以ω的取值范围是
.
（3）由
得
，
因为
，即
，
且
为锐角三角形，则
，则
，
可得
，解得
．
由余弦定理c
2=a
2+b
2−2abcosC，即
，
可得
，
所以
．
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，得
，
则
，
，
可得
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，
即
，可得
，
所以
的取值范围是
．
36．在
中，内角A，B，C的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若
，
的面积为3 ❑√3，求
的周长；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理得到
，再利用余弦定理求角A.
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求b+c，进而得到三角形的周长.
（3）先根据
为锐角三角形，确定角B的取值范围，再将
化成
的形式求值域.
【详解】（1）由正弦定理，
，
所以
.
由余弦定理，
，且A为三角形内角，所以A =π
3 .
（2）由余弦定理，a
2=b
2+c
2−2bc cos A
.
又
.
所以
，
.
所以
的周长为
.
（3）因为
为锐角三角形，且A =π
3 ，所以
，且
，
所以
.
因为
，所以
，所以
，
所以
.
