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4.5 三角函数的图象与性质
10 大考点汇总
考点01 三角函数的定义域
考点02 三角函数的值域和最值
考点03 利用三角函数的值域和最值求参数
考点04 三角函数的周期性
考点05 三角函数的对称性
考点06 利用三角函数的对称性求参数
考点07 三角函数的奇偶性
考点08 利用三角函数的奇偶性求参数
考点09 三角函数的单调性
考点10 利用三角函数的单调性求参数
题型专练
考点01 三角函数的定义域
1．函数
的定义域是______．
【答案】
/
【分析】列出使函数有意义的不等式，结合正弦函数性质求解.
【详解】要使函数
有意义，需满足被开方数非负，即
，整理得
，
根据正弦函数的性质，对任意实数
，都有
恒成立，因此
对所有实数
都成立.
即函数
的定义域为R（或
）
2．函数
的定义域为__________.
【答案】
【分析】先应用同角三角函数关系化简结合三角函数值域得出
，最后应用正弦函数值域得出定义域.
【详解】函数
满足
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以函数定义域为
.
3．函数
的定义域为________．
【答案】
【分析】由题意得
，结合余弦函数的图象性质求出在一个周期
上的解集，再推广到实数集
的解集即可.
【详解】函数
有意义，等价于
即
，
由余弦函数的性质，在一个周期
上，不等式
的解集为
，
则在实数集上不等式的解集为
，
即函数的定义域为
．
4．函数
的定义域为______．
【答案】
【详解】由题意得
，即
，
解得
，
所以函数
的定义域为
.
5．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】要使函数有意义，则
，即
，所以函数的定义域为
．
6．函数
的定义域为______．
【答案】
【分析】由二次根式下被开方数非负及分母不为0 可得.
【详解】由题意
，解得
，所以
.
考点02 三角函数的值域和最值
7．已知函数f (x)= ❑√3cos x sin x +sin
2 x.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数
在区间[−π
3 ,π
6 )上的最大值和最小值.
【答案】(1)
；[−π
6 + k π,π
3 +k π)，k ∈Z
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据二倍角公式化简函数，再利用最小正周期公式以及整体代入法求单调区间即可.
（2）通过x∈[−π
3 ,π
6 )，求出2 x−π
6 ∈[−5π
6 ,π
6 )，进而求出最大值和最小值.
【详解】（1）f (x)= ❑√3cos x sin x +sin
2 x =
❑√3
2 sin 2 x−1
2 cos2 x + 1
2
=sin(2 x−π
6 )+ 1
2，
所以函数
的最小正周期为2π
2 =π ，
令−π
2 +2k π≤2 x−π
6 ≤π
2 +2k π，k ∈Z，则−π
6 + k π≤x ≤π
3 +k π，k ∈Z，
所以函数
的单调递增区间为[−π
6 + k π,π
3 +k π)，k ∈Z.
（2）因为x∈[−π
3 ,π
6 )，所以2 x−π
6 ∈[−5π
6 ,π
6 )，
则sin(2 x−π
6 )∈[−1, 1
2)，所以f (x)∈[−1
2 ,1)，
所以函数
在区间[−π
3 ,π
6 )上的最大值为1，最小值为
.
8．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
所以当
时
取到最大值1
8，当|sin x)=1时
取到最小值
，
所以
的值域为
．
9．函数
的值域为______.
【答案】
【分析】利用倍角公式化简后换元求值域
【详解】利用
，代入原函数：
.
令
，则原函数转化为：
，
为开口向上的二次函数，对称轴
;
对称轴
在区间
的右边，即
在
单调递减.
当
(即
)时，
；当t =−1(即
)时，
，
所以函数f ( x)的值域为
10．已知函数
.
(1)求f ( x)的单调递减区间和对称轴；
(2)求f ( x)的最大值，以及f ( x)取得最大值时x 的值；
(3)求f ( x)在
上的值域.
【答案】(1)
，对称轴为
.
(2)
(3)
【详解】（1）由
，解得
，
所以f ( x)的单调减区间为
.
由
，得
，f ( x)的对称轴为
.
（2）当
即
时，f ( x)取得最大值，最大值为
.
（3）由
，得
，则
，
，
故f ( x)在
上的值域为
.
11．（1）函数
的定义域为________；
（2）函数
的值域为________．
【答案】
【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可；
（2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由
，k ∈Z，得
，k ∈Z，
即函数的定义域为
．
（2）令
，∵
，
∴由正切函数的单调性可知
，
∴原函数可化为
，
，
∵二次函数
的图象开口向上，对称轴为u=1，
∴当u=1时，
，
当
时，
，
∴原函数的值域为
．
故答案为：
；
12．函数
，
的值域为____________
【答案】
【分析】令
，得到
，再利用正切函数的性质求解即可.
【详解】设
，因为
，所以
．
因为正切函数
在
上单调递增，且
，
，
所以
．
故答案为：
考点03 利用三角函数的值域和最值求参数
13．已知函数
在
上有两个最值点，则
的取值范围为__________．
【答案】
【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
由正弦函数性质可知，要使函数
有两个最值点，
则
，且
，解得
且
，
所以
的取值范围为
.
14．设函数
，若
在
上恰有1 个零点，则实数
的最小值是（ ）
A．π
6
B．
C．π
2
D．
【答案】B
【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求
的最小值.
【详解】因为
，所以
，
要使
最小，需满足区间
包含且仅包含π这一个正弦函数的零点，即满足
，解得
，
所以
.
15．已知函数
的图象在区间
上有且只有4 个最高点，则实数
的取值范围
是__________.
【答案】
【分析】结合三角函数图象性质可列出与
有关不等式，结合
为整数计算即可得解.
【详解】当
时，
，
则有
，k ∈Z，
解得
，k ∈Z，
当
时，
，
，则不等式组无解；
当
时，有
，即
；
当
时，由
，
，则不等式组无解；
综上可得
.
16．函数
在
上有最小值，没有最大值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数.
【详解】函数
中，当
时，
，
函数
在
上有最小值，没有最大值，
得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
17．已知函数
在闭区间
上的最大值为4，最小值为2，则ab=（ ）
A．π
4
B．π
3
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的单调性分析
的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数
，
，即可求
出
.
【详解】解：由
在
上单调递增，则
单调递减，
所以
在同一单调区间上也单调递减，
由
在区间
上单调递减，则
，
所以
，
，
解得
，
，又
，所以
，因此
.
18．若命题“
，
”为真命题，则实数a 的取值范围为______.
【答案】(0,+ ∞)
【分析】由题设知：
，根据正切函数的性质求解最值，即可求得a 的取值范围.
【详解】因为命题“
，
”为真命题，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即实数a 的取值范围为(0,+ ∞).
故答案为：(0,+ ∞).
考点04 三角函数的周期性
19．函数
的最小正周期为（ ）
A．π
2
B．
C．2π
D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式即可求得.
【详解】由二倍角公式得：
，则
利用辅助角公式得：
，其中
，
所以最小正周期：
.
20．函数
的最小正周期为4，则实数
的值是________．
【答案】
【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式列方程求解
的值.
【详解】由函数
的最小正周期为4，代入公式得
，解得
，因此
。
21．（多选）下列函数中，最小正周期为π
2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由图象变换，
周期为π
2 ，则根据对称性，
周期为
，而
，
同理可判断各选项.
【详解】作
的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为
，故A 错误；
，周期为π
2 ，故B 正确.
由于
的周期为π
2 ，
周期为π
2 ，故C 正确；
由于
的周期为
，则根据对称性，
周期为π
2 ，故D 正确；
故选：BCD
22．已知函数
的最小正周期是
．则f ( x)在
上的最小值为（ ）
A．0
B．
C．−
❑√3
2
D．
【答案】B
【分析】根据最小正周期求出
，再根据余弦函数的单调性求解即可.
【详解】已知函数
的最小正周期是
，
则
，则函数
.
当
，
.
因为余弦函数
在
单调递减，因此函数在
时取最小值，
最小值为
，即f ( x)在区间
的最小值为
.
23．下列函数中，最小正周期为
且为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，因为
，该函数为常数函数，是偶函数，但所有非零实数均为其周期，
不存在最小正周期，故A 错误；
对于B，因为
，又
，
所以
是偶函数，且最小正周期为2π
2 =π，故B 正确；
对于C，由
，令
，
因为
，所以
是奇函数，不合题意，故C 错误；
对于D，因为
是奇函数，不合题意，故D 错误.
24．函数
的最小正周期为___________ .
【答案】π
2
/
【详解】函数
的最小正周期为
.
考点05 三角函数的对称性
25．（多选）下列函数的图象关于直线
对称的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
的图象关于直线
对称，A 正确．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，B 正确．
的图象关于直线
对称，且在
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，D 正
确．
26．（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上的最大值为2
D．将
的图象向左平移
个单位长度，可得到
的图象
【答案】ABD
【分析】AB 选项代入验证即可，C 项根据所给范围求出
的范围再求最值，D 项，根据“左加右减”的
规律化简即可
【详解】对于A，代入
，得
，即点
在
与
轴交点上，
符合三角函数关于与
轴交点中心对称，故A 对；
对于B，代入
，得
，即
时，
取得最值，
符合三角函数关于过取得最值处点的横坐标且与
轴平行的直线对称，故B 对；
对于C，当
时，
，所以
，故最大值为，不是
，C 错误；
对于D，向左平移
个单位长度后，得到新函数为
，故D 正确.
27．已知函数
，下列结论中：①函数
恒满足
；②直线x =π
3 是函
数
图象的一条对称轴；③点
是函数
图象的一个对称中心；④该函数在区间
上单
调递减.所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】根据题意，分析函数
的最小正周期、对称轴、对称中心，单调减区间，再分别
验证即可得解.
【详解】对于①，函数
的最小正周期为
，
则函数
恒满足
，故①正确；
对于②，由
，
则直线x =π
3 是函数
图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，由
，
则点
不是函数
图象的一个对称中心，故③错误；
对于④，令
，即
，
当k =0时，函数
的单调减区间为
，故④正确.
28．（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．f ( x)的最小正周期是
B．f ( x)的图像关于
对称
C．f ( x)在区间
上单调递增
D．由函数
图像向右平移2 个单位可得到函数f ( x)
的图像
【答案】BCD
【分析】选项
，由余弦类函数的最小正周期
代入计算即可；选项B，由余弦函数的对称轴为直线
，令
，求出
检验即可；选项C，由余弦函数的单调递增区间为
，令
，求出
的取值范围，检验即可；选项D，检验平移之后
的函数表达式,是否与f ( x)相同，即可作出判断.
【详解】解：选项
，f ( x)的最小正周期
，得
，故A 错误；
选项B，由余弦函数的对称轴为直线
，令
，
解得函数f ( x)的对称轴为直线
，k ∈Z，
当k =0时，
，故B 正确；
选项C，令
，解得
，
所以函数f ( x)的单调递增区间为
，k ∈Z，
当k =0时，递增区间为
，而
，故C 正确；
选项D，函数
图象向右平移2 个单位，得
，
即
，故D 正确.
29．若函数
（
）的最小正周期为6，则
图象的对称中心为（ ）
A．
，k ∈Z
B．
，k ∈Z
C．
，k ∈Z
D．
，k ∈Z
【答案】D
【分析】由正切函数的最小正周期公式算出
，再由对称中心公式求出对称中心.
【详解】依题意，
，所以
，所以
，
令
，解得
，
所以对称中心为
.
30．已知函数
的最小正周期为
，则下列选项中不是
图象的对称中心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据最小正周期求出
，然后根据正切函数的性质求出对称中心.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，所以
，
所以
，所以
.
令
，化简得
.
所以
，所以
是
图象的对称中心.
考点06 利用三角函数的对称性求参数
31．已知函数
，若
，且f ( x)在区间
上单调递减，则整数
（ ）
A．1 或2
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由函数f ( x)在区间
上单调递减可得
，由
可得函数f ( x)关于
对称，再解方程
即可.
【详解】当
时，
，
因为f ( x)在区间
上单调递减，
所以
，
，解得
因为
，所以
，
，
又因为
，所以函数
关于
对称，
所以
，解得
，
又
，所以
，
.
32．已知函数
，
，对任意
恒有
，且在区间
上有且只有一个x1使
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的零点及最值点列方程组，可得
的关系式，根据在区间
上有且只有一个x1使
，得
在区间
上有且只有一个最大值，从而求得
的取值范围，得到
的最大值.
【详解】因为对任意
恒有
，所以
在
处取得最值.
所以
；
由
，得
.
所以
.
令
，则
.
由
在区间
上有且只有一个x1使
，得
在区间
上有且只有一个最大值，所以
，
所以
.
所以
，解得
.
若
，
，此时取
可使
成立.
当
时，
，其中
或
时，
，所以
.
若
，
，此时取
可使
成立.
当
时，
，其中
或
时，
，所以
.
若
时，
，此时取
可使
成立.
当
时，
，其中
时，
.
所以
时满足题意.
故
的最大值为
.
33．（多选）已知函数
的一条对称轴为
，满足
，
且函数在
上单调递减，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．
可以等于
C．
可以等于
D．
可以等于
【答案】ABD
【分析】先利用对称轴性质和
推出函数关于
对称，联立方程得到
为奇数；再结合
上单调递减，得出
，确定
可能为或；最后代入验证
的取值范围，逐一判断选项正误．
【详解】因为函数
的一条对称轴为
，所以
①，
因为
，所以
关于点
对称，
所以
②，
②
①得，
，
化简得
，即
，
因为
的区间长度为
，而
的一个单调递减区间长度为
，
所以
，解得
，所以
或
．
对于A，由
可知，函数图象关于点
对称，A 正确；
对于B，若
，代入①得
，解得
，
因为
，所以当
时，
，B 正确；
对于C，
不满足
，C 错误；
对于D，
满足所有条件，D 正确．
34．已知函数
是
的零点，直线
为
图象的一
条对称轴，且函数f ( x)在区间
上单调，则
的最大值为__________．
【答案】3
【分析】先根据条件利用余弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断
为奇数，由
在
上单
调，可得
，检验可得它的最大值．
【详解】
函数
，
为
的零点，
为
图象的对称轴，
，且
，
相减可得
，
即
，k ∈Z，即
为奇数．
∵f (x)在
单调，
，
，故奇数
的最大值为7．
当
时，
，
，
．
此时
在
上不单调，不满足题意．
当
时，
，
，
，
此时
在
上不单调，不满足题意．
当
时，
，
，
，
此时
在
上单调递减，满足题意；
故
的最大值为.
35．已知点
为函数
的一个对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正切函数的对称中心，通过整体结构一致，即可求解.
【详解】对于正切函数
，其对称中心满足
，
因为
是
的对称中心，
因此将x =3代入得：
，
整理得
，
因为
，要求
的最小值，则取最小的正整数k =1，
代入得：
， 因此
的最小值为
.
36．已知函数
图象相邻的两个对称中心间的距离为π
2 ，若
，则函数
f ( x)图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得函数周期，即可得
，再利用
可求出
，结合函数对称性即可得解.
【详解】由题可得
，T =π，又
，所以
，
所以
，则
，
则
，又
，则
，故
，
令
，解得
，
结合选项可得当k =1时，
，
故
是f ( x)图象的一个对称中心，其余选项皆不符合.
考点07 三角函数的奇偶性
37．函数
是（ ）
A．最小正周期为
的偶函数
B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为
的偶函数
D．最小正周期为
的奇函数
【答案】B
【详解】因为函数
，所以该函数是最小正周期为
的奇函数．
38．已知
，若
，则
__________．
【答案】
【分析】设
，由奇函数的性质即可求解．
【详解】设
，定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，又
，
所以
，
所以
．
39．函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可.
【详解】
,
定义域为
，定义域关于原点对称，
由周期公式可知
，
又
，
所以
为最小正周期为
的奇函数.
40．函数
是（ ）
A．奇函数，且有最大值❑√2
B．偶函数，且有最大值❑√2
C．奇函数，且有最大值2
D．偶函数，且有最大值2
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式对
进行化简，再结合偶函数的定义及三角函数的图象性质判断可得结果.
【详解】由题意可得
,则
是偶函数,且有最大值❑√2.
故选：B.
41．已知函数
，且
，则m+n____________.
【答案】2
【分析】构造新函数
，根据函数奇偶性求解即可.
【详解】令
，
因为
，
所以函数
是定义域内的奇函数，
因为
，
所以
.
42．以下函数为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于选项A，
，函数定义域为R，且
，所以函数为偶函数；
对于选项B，
，函数定义域为
，所以函数为非奇非偶函数；
对于选项C，
，定义域为
，且
，所以函数为偶函数；
对于选项D，
，函数定义域为
，
且
，所以函数为奇函数；
考点08 利用三角函数的奇偶性求参数
43．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若函数
是奇函
数，则
的最小值为________.
【答案】
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知
，
因为
为奇函数，所以
，
则
，而k =0时，
；
时，
，
则
的最小值为
．
44．已知函数
的图象向左平移
个单位长度后关于原点对称，则
的最小值为
（ ）
A．
B．π
6
C．
D．
【答案】D
【详解】函数f ( x)图像向左平移
个单位后得到函数
.
由其图象关于原点对称可得
.
所以
.
由于
，所以
的最小值为
.
45．已知函数
，其中
，
.若
为偶函数，
，且
，并
且
在区间
上单调递减，则
_____，
_______.
【答案】 2 π
2
【分析】根据偶函数的定义可得
或
，结合
可得
，再根据
可得
，
k ∈Z，结合单调性分析求解.
【详解】函数
为偶函数，要求
对任意
成立.
即
.
展开得
.
因此
对任意
成立.
由于
，所以不可能恒有
，故
，
且
，于是
或
.
又
，即
，所以
.
此时
.
由
得
.
所以
，k ∈Z，即
，k ∈Z，
又
，故可能为
，
且
，因为
，则
，
因为
在
上单调递减，
则
，解得
，只有a=2满足.
因此a=2，
.
46．函数
的图像向左平移
个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若
，则
的值
为______．
【答案】5π
6
【详解】函数
向左平移
后的新函数为：
，
若正弦型函数
为偶函数，则需满足
，
则
，解得
，
，
当k =1时，
．
47．将函数
的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则
的最小
值为（ ）
A．
B．π
6
C．
D．π
2
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移变换，可得
，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数
的性质列式，化简求值，即得答案.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
所得的图象对应的函数为
，
由题意知
的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
故
，
即
，
故
，
即
，
因为
，故当k =1时，m 取最小值
.
另解：由题意知
的图象关于原点对称，
故
，即
，
因为
，故当k =1时，m 取最小值
，
故选：A
48．将函数
图象向左平移
个单位后得到函数
的图象.若
为奇函数，则正实数
的最小值为（ ）
A．5π
6
B．
C．π
6
D．
【答案】D
【分析】利用平移变换得到
，然后根据正切函数的性质得
，结合
的范围即可求解.
【详解】依题意
，函数的最小正周期为π
2
由
为奇函数，可得
,即
，
因为
，所以当k =1时，
.
故选：D.
考点09 三角函数的单调性
49．已知函数
，f ( x)的最小正周期为
．
(1)求f ( x)的解析式；
(2)当
时，求函数f ( x)的单调递增区间．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简f ( x)，再由正弦函数的最小正周期公式即
可求出
，从而得出f ( x)的解析式；
（2）根据正弦函数的单调增区间，即可求出f ( x)的单调增区间，再令k =0，即可求出f ( x)在
上的
单调增区间.
【详解】（1）
，
因为
，
，所以
，所以
.
（2）令
，
得
，
当k =0时，
；
又
，所以
，
当k 取其它值时对应的区间均不在该范围内.
所以f ( x)在
上的单调增区间为
.
50．已知函数
，
，
．f ( x)最小正周期为
，且
，
．
(1)求
、
的值；
(2)求f ( x)的单调递减区间．
【答案】(1)
，φ =π
3
(2)
【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得
，结合正弦型函数周期公式列方程求
，
再由
列式求
；
（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
的最小正周期为
，
，
所以2π
ω =π，所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
，
所以φ =π
3 ，
所以
，
（2）令
，k ∈Z，可得
，k ∈Z，
函数
的单调递减区间为
.
51．
的单调递减区间为______．
【答案】
【详解】令
，解得
，
可知f ( x)的定义域为
，
因为
在定义域内单调递增，且
在
内单调递增，在
内单调递减，
可得f ( x)在
内单调递增，在
内单调递减，
所以函数f ( x)的单调递减区间为
.
52．已知函数
的最小正周期是
，
则下列区间中，函数f(x)
单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由最小正周期求
，根据
求
，再结合余弦函数的单调递增区间推导
的增区间，结合
选项得出结果.
【详解】由于函数最小正周期
，得
，
由
，且
，得
，因此
，
令
，解得：
，
当k =0时，一个递增区间为
，而
，
所以函数在
上单调递增.
53．（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是π
2
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的值域是(0,+ ∞)
D．函数
的单调递减区间是
【答案】BD
【分析】根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数
的周期、值域、对称轴和单调区间进
行分析.
【详解】选项A：因为函数
，其周期与
相同，为
，
因为题中
，则周期T =π，故A 错误；
选项B：因为
的对称轴为
，
令
，则对称轴为
，
当 k =1 时，
，符合条件，故B 正确；
选项C：因为
，当
时，
，
故值域为 [0,+ ∞)，不是 (0,+∞)，故C 错误；
选项D：因为
的单调递减区间为
，
则令
，解得：
，
所以与选项D 的区间一致，故D 正确；
54．函数
的严格增区间为________.
【答案】
【详解】设
，由正切函数的性质可知，
函数
在每个区间
上严格递增，
在R上严格递增，由复合函数的单调性判断方法，
令
，
解不等式得
，
即
，
所以函数的严格增区间为
.
考点10 利用三角函数的单调性求参数
55．已知函数
在
上单调，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由正切函数
的单调递增区间为
，求得函数
的单调递
增区间为
；再根据函数
在
上单调，得
，从而得到不等式组，确定
的取值，结合
的条件，确定
的最大值.
【详解】由正切函数
的单调递增区间为
；
令
，解得
；
函数
的单调递增区间为
.
由
(
)在
上单调，得
；
，解得
；
，
，解得
；
，∴k =0；
，得
；
的最大值为
.
56．若对任意
，都有函数
在
上单调，则
的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据给定条件可得f ( x)在
上单调，再按
的正负情况分类，利用正切函数单调区间列式求
解.
【详解】由对任意
，都有函数
在
上单调，
得函数f ( x)在
上单调，
当
时，
是常数函数，不单调，不符合题意；
当
时，
，则
，解得
；
当
时，
，则
，解得
，
所以
的取值范围为
.
57．若函数
在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】确定
的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解.
【详解】令
，因为
，且
，所以
，
因为函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
因为余弦函数
在
上单调递减，
则
，解得
，所以
的取值范围为
.
58．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，
得
，
所以
的单调递增区间为
，
因为
在区间
上单调递增，
所以
，
，
解得
，
当k =0，得
；
当
，
且
，无交集；
当
，由
可知显然不符合题意，
所以
的取值范围为
．
59．已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[
5
2 ,3)
【答案】C
【分析】先由正弦函数的周期性求出
的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出
的具体范围.
【详解】令
，因为
，所以
因为函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，且
，即
．
因为
，
所以函数
在
上单调递增，等价于
或
，
解不等式得
或
，所以
的取值范围是
．
60．函数
，对
都有
，且在
上单调，则
的值为
________
【答案】
【分析】根据
，得到
，结合在
上单调可得
，检验可得答
案．
【详解】因为对
都有
，
所以
，可得
，
，
，
又
在
上单调，
，
，
即
，已知
,
由
，可得
，
当
时，
，
，
都有
，
且当
时，
，
即函数f ( x)在
上单调递减，因此
符合题意，
所以
的取值为
．
