文档文本内容
4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
6 大考点汇总
考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
考点02 求图象变化前(后)的解析式
考点03 利用图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的解析式
考点04 根据性质确定函数解析式
考点05 三角函数图象与性质的综合应用
考点06 三角函数模型的应用
题型专练
考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
1．为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【详解】由
，只需把函数
的图象向右平移
个单位长度.
2．（多选）为了得到函数
的图象，只需将余弦函数图象上各点（ ）
A．横坐标伸长到原来的3 倍，再向左平移
个单位长度
B．横坐标缩短到原来的1
3，再向右平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的1
3
D．向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的1
3
【答案】BD
【分析】本题考查三角函数图像的平移与伸缩变换，默认初始变换的基础函数为y =cos x，需要逐个验证选
项的变换结果
【详解】选项A,先将横坐标伸长到原来的3 倍，得到
，再向左平移
个单位长度，得到
，和目标函数
不一致，A 错误.
选项B，先将横坐标缩短到原来的1
3，得到
，再向右平移
个单位长度，得到
，和目标函数完全一致，B 正确.
选项C，先向右平移
个单位长度，得到
，再把横坐标缩短到原来的1
3，得到
，
和目标函数不一致，C 错误.
选项D，先向右平移
个单位长度，得到
，再把横坐标缩短到原来的1
3，得到
，
和目标函数完全一致，D 正确.
3．（多选）要得到y =cos x函数的图像，只需将函数
的图像（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3 倍
B．先向左平移
个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3 倍
C．先将横坐标扩大为原来的3 倍，再向左平移
个单位长度
D．先将横坐标扩大为原来的3 倍，再向右平移
个单位长度
【答案】BC
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解．
【详解】对于A，先向右平移
个单位长度，得到
，
再将横坐标扩大为原来的3 倍得到
，故A 错误；
对于B，先向左平移
个单位长度，得到
，
再将横坐标扩大为原来的3 倍得到
，故B 正确；
对于C，先将横坐标扩大为原来的3 倍，得到
，
再向左平移
个单位长度得到
，故C 正确．
对于D，先将横坐标扩大为原来的3 倍，得到
，
再向右平移
个单位长度，得到
，故D 错误．
4．要得到函数
的图像，只需要将函数
的图像（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】C
【详解】因
，
故只需要将
的图像向左平移
个单位长度即得
的图象.
5．将函数
的图象向右平移
（
）个单位长度后得到函数y =sin2 x的图象，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．π
6
D．π
3
【答案】B
【详解】解析：由题可知
，又
，所以
.
6．（多选）要得到函数
的图象，只需将函数y =cos x的图象（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再将横坐标缩小为原来的1
3
B．先向左平移
个单位长度，再将横坐标缩小为原来的1
3
C．先将横坐标缩小为原来的1
3，再向左平移
个单位长度
D．先将横坐标缩小为原来的1
3，再向右平移
个单位长度
【答案】AD
【分析】由诱导公式得到
，再结合平移规则逐项判断即可.
【详解】
，
将函数y =cos x的图象先向右平移
个单位长度，得
，
再将横坐标缩小为原来的1
3，得
，A 对，B 错，
或将函数y =cos x的图象横坐标缩小为原来的1
3，得
，
再向右平移
个单位长度得
，C 错，D 对.
考点02 求图象变化前(后)的解析式
7．将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4 倍（纵坐标
不变），得到函数
的图象，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得
的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4 倍（纵坐标不变），
可得
的图象，
令
，得
，可得
，
．
8．将函数
的图象向右平移
个单位长度后所得图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将
的图象向右平移
个单位长度，得到
，
根据诱导公式可得
.
9．将函数
的图像向左平移
后得到函数
的图像，且函数
的图像
关于直线x =π
12对称，则φ =________.
【答案】
/
【分析】由图象的平移变换可得到
的表达式，结合其对称轴，即可求得
的表达式，即得答案.
【详解】将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，
所以
，
函数
的图像关于直线
对称，则
，
解得
，又
，所以k =1，
.
10．将函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍，再向右平移
个单位，得到的
图象与下列哪一个函数图象相同（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍得到
，
再向右平移
个单位得到
.
11．把函数
图象上所有的点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再把所得的图象向右
平移
个单位长度后得到函数
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
，
再把
图象向右平移
个单位长度得：
．
12．将函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，再向右平移
个单位，得到的图
象与下列哪一个函数图像相同（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平移伸缩得出三角函数解析式.
【详解】将函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，得出
，
再向右平移
个单位，得到
.
考点03 利用图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的解析式
13．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数图像，可得
，结合周期公式可求得
，代入最高点坐标可求得
，即可得函数解析式.
【详解】根据函数图像可知
，
周期
，所以
，
所以
，将最高点坐标
代入可得
，所以
，
解得
，
当k =0时，
，
所以
.
14．如图为函数
的局部图象，其中
为函数的一个最高点，
为函数与
轴的一个交点，则
的值为________.
【答案】
/
【分析】由最高点的纵坐标确定
，又由P ,Q两点之间的横坐标之差为
，结合周期公式从而确定
，将
点坐标代入解析式，再结合
的范围，即可确定
的值.
【详解】由题意可知最高点的纵坐标就是振幅，所以
，
又由图象可知P ,Q两点之间的横坐标之差为
，即
，
所以
，解得
，即
.
将
代入上式，可得
，即
，
所以
，解得
.
因为
，所以当k =0时，可得
.
15．已知函数
的一部分图象如图所示，如果
，
，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)当
时，求函数f ( x)的最大值与最小值，并写出对应的
值．
【答案】(1)
(2)最大值为4，此时
；最小值为1，此时
【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出
，B，由周期求出
，由特殊点求出
，即可求得函数解析式；
（2）由
求出
的范围，再求出
的取值范围，即可求得函数的取值范围.
【详解】（1）由图象可知，
，
，
设
最小正周期为
，
，∴
，
∴
，
又∵
，且
，
∴
，
，∴
，
∴函数
的解析式为
.
（2）当
时，
，
，
故当
，即
时，
有最小值；
当
，即
时，
有最大值
.
16．函数
的部分图像如图所示，则其解析式是______．
【答案】
【详解】由图象可知，函数最大值为
，所以
，
因为
，所以
，而
，
，所以
，
当
时，
，所以
，k ∈Z，
因为
，所以
，故
.
17．已知函数
的部分图象如图所示，A，C 均为其图象上的点，且线
段
的中点B 在x 轴上，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．5
12
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简函数，结合中点坐标性质得到两点函数值互为相反数，推出两点水平距离为
半个周期，进而求解
.
【详解】由余弦和角公式化简函数解析式，
.
由线段AC的中点B在
轴上，得
，即
.
对于余弦型函数
，若两点处函数值互为相反数，结合图象的走势特征，
可知
两点间水平距离为半个最小正周期.
即
，得最小正周期
.
由周期公式
，代入得
，解得
.
18．函数
，（
，
）的部分图像如图所示，则
（ ）
A．1
B．-1
C．❑√3
D．
【答案】D
【分析】根据图象求得
的解析式，进而求得
.
【详解】由函数
的图像过点
，得
，即
.
又
，故φ =π
3 或
.
由图象可知，函数在
右侧附近单调递增，当φ=π
3 时，
增大，
增大，
减小，函数单调递减，与图象矛盾；
当
时，
增大，
增大，
增大，
函数单调递增，与图象相符，故
.
由图象过点
，且该点为
轴右侧第一个零点，
，
，相位
从
增加到
，
所以
，解得
，即
.
因此，
.
代入
，得
.
考点04 根据性质确定函数解析式
19．已知函数
，若
，
在
上有最大值，且无最小值.
(1)求
的值及
的取值范围；
(2)若
，求函数
图象的对称中心.
【答案】(1)
，
(2)
，k ∈Z
【分析】（1）由
求出
，根据
在
上有最大值，且无最小值求出
的取值范围.
（2）结合（1）得
的值，进而得到
的解析式，化简得到
的解析式进而求出对称中心.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
由于
，则
，即
.
由
可得
，
又因
在
上有最大值，且无最小值，
根据正弦函数的图象可知
，
解得
，故
的取值范围为
.
（2）由
结合（1）可知
，则
，
所以
.
令
，k ∈Z，解得
，k ∈Z，
则函数
图象的对称中心为
，k ∈Z.
20．函数
，满足f (x1)= f (x2)=0，且
的最小值为π
2 ，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】由正弦函数的性质可知：任意两个相邻零点之间的距离为半个周期，即：
，解得：
.
21．已知函数
，对任意的
满足
且
恒
成立，若
在
上单调递增，则当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由两个恒成立条件，确定f ( x)的最小值点
和最大值点
，据此求出参数ω、φ，结
合单调区间要求验证参数后，求目标区间内f ( x)的最小值.
【详解】由题意知，对任意的x，
恒成立，说明
是
的最小值，
即
，
是f ( x)的零点；
对任意的x，
恒成立，说明
是
的最大值，即
是f ( x)的最值点.
两点横坐标差为
，零点对应的点到相邻最值点的距离为
，则
.
对
，周期
，得
.
由
得
，故
，
结合
，得
，
.
验证单调性：
，当
时，则
，
由于
在
单调递增，且
，满足f ( x)在该区间单调递增.
则当
时，
，
在
的最小值为
，
因此
.
22．若函数
在区间
上单调递增，且
，
，则
的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由函数在
上单调递增及
，结合正弦函数单调性与零点性质，得到
的取值范围
和
的含参表达式；再由
推出
为对称轴，建立
的另一含参表达式；联立两式解出
，
回代并结合
的条件，最终确定
．
【详解】因为
，
在
上单调递增，
，
，
所以
且
，
所以
，
，
又
，则
，故
，
所以
，解得
，
因
，则
，所以
，
又
，则当k =0，
时，
．
23．已知函数
的图像经过点
，其最大值与最小值的差为
，且相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ．
(1)求函数
的解析式并求其单调递增区间；
(2)若函数
在区间
上有零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
，k ∈Z；
(2)
【分析】（1）根据已知条件可知
，
，分别求出
和
，再代入
求出
即可求出函
数表达式；根据正弦函数单调递增区间，整体代入即可求出
的单调递增区间；
（2）将有零点问题转化为两个函数有公共点，即求函数
的值域即可解决问题.
【详解】（1）（1）解：由函数
最大值与最小值的差为
，且
，
则
，所以
，
又因为相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ，即
，又T = 2π
ω ，所以
，
所以
，
又函数
图像经过点
，则
，
所以
，因此
，
又
，所以当k =0时，
，所以
；
当
，k ∈Z，即
，k ∈Z，
所以
，k ∈Z，即
递增区间为
，k ∈Z.
（2）（2）由
在区间
上有零点，
令
，则
，即
与y =m在
上有交点，
因为
，则
，所以
，
因此
，所以
的取值范围为
.
24．若函数
图象过点
，
的任意两个零点x1，
之间
距离的最小值为
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】先利用函数过已知点求解
，再根据零点的最小距离求解
，最后代入
计算函数值.
【详解】因为
图象过点
，
所以
，所以
，
因为
，所以φ=π
3 ，
令
，所以
，
所以
，或
,
解得
，或
,
相邻零点的最小距离是
，
由题意
的任意两个零点x1，
之间距离的最小值为
，
所以
，所以
，所以
，
所以
.
考点05 三角函数图象与性质的综合应用
25．（多选）将函数
的图象向左平移π
6 个单位得到函数
的图象，若
的
图象与
的图象关于
轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
是
的一条对称轴
D．对任意的
，都存在
，使得
【答案】ACD
【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可.
【详解】对于A，根据题意得，
，
因为
的图象与
的图象关于
轴对称，所以
，
即
，
可得
或
，
因
,则得
，又因
，所以
，故A 正确；
对于B，由A 得
，所以
，故B 错误；
对于C，由
，可得
，当k =1时，
，故C 正确；
对于D，当
时，
，此时
，
而当
时，
，此时
所以
，故D 正确.
26．已知函数
的部分图象如下图所示，若函数
的图象上所有
点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数
的图象．
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的单调递减区间；
(3)若
在区间[a,b)上恰有2026 个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）结合图象先求
的解析式，再根据
求解即可；
（2）利用整体思想，求出函数
的所有递减区间，再求出函数在
上的单调递减区间；
（3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028 个零点之间最短距离，即可
得答案.
【详解】（1）由题意可得
，
，
所以
，解得
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
由题意可得
；
（2）由（1）可知
，
令
，
解得
，
当k =0时，
的单调递减区间为
，
所以
在
上的单调递减区间为
；
（3）因为
，最小正周期为4，
所以相邻两个零点之间的距离为2，
又因为
在区间
上恰有2026 个零点，
设第一个零点为x1，则第2026 个零点为
，
则2026 个零点之间最短距离为
，
由2028 个零点之间最短距离为
，
所以
27．（多选）已知函数
为常数，且
，若函数
的最大值等于
，
则下列选项正确的是（ ）
A．若x1, x2是函数
的两个相邻零点，则
B．
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度后，图象关于原点对称
D．若函数
在区间
上恰有3 个零点，则
【答案】BCD
【分析】先利用辅助角公式求出函数
的解析式. A.先求出相邻两个零点x1, x2，再计算
的值作
判断； B. 求出
与
，从而得到它们相等；C.求出图像平移后对应的函数解析式，通过
奇偶性作出判断； D. 利用零点个数，得到限制条件
，从而解出
的取值范围.
【详解】设
，其中
，
，
因为函数
的最大值等于
，所以
，即
，
所以
，即
，
取
，由
得
，则
.
对于A，由
，得
，
所以
，所以
，
因为x1, x2是函数
的两个相邻零点，故设
，
，
则
，
所以
，
所以它不恒等于
，故A 错；
对于B，
，
，
所以
，故B 对；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位长度后，
得函数为
，
它是奇函数，所以它的图象关于原点对称，故C 对；
对于D，函数
，因为
，
所以
，
因为函数
在区间
上恰有3 个零点，则
，
所以
，即
，故D 对.
28．（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．f(x)的图象关于
中心对称
C．f(x)在
上有4 个零点，则实数a 的取值范围是
D．将
的图象向右平移
个单位长度，可以得到函数
的图象
【答案】AD
【分析】根据函数图象确定函数表达式
，再结合正弦函数的图象与性质，涉及函数的对
称性，单调性，零点以及函数图象的平移变换.
【详解】由图象可知，
，根据
，则
，故
，得
，A 正确；
此时
，将
代入可得
，得
，
则
，因为
，所以
，
则
，
因为
，所以B 错误；
因为
，所以
，因为
在
上有4 个零点，
所以
，解得
，C 错误；
，向右平移
个单位长度后，得到
，D 正确.
29．已知函数
，其中
，若对于任意实数
，函数
在区间
上至少有两
个零点，至多有5 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令f ( x)=0，得
的表达式，根据x 的范围，可得
的范围，根据零点个数，结合正弦函
数的图象与性质，分析求解，即可得答案.
【详解】令f ( x)=0，得
，则
，或
，
由
，得
，区间长度为
，
由
在区间
上至少有两个零点，
得区间长度
至少为
，即
，解得
，
由至多有5 个零点，得区间长度
，解得
，
所以
的取值范围是
.
30．已知函数
，若将
的图象向右平移
个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长
为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线x =π
3 对称
D．
的图象与
的图象在
内有4 个交点
【答案】D
【分析】根据三角函数变换法则求得
判断A；利用结论法求解对称中心判断B；验证法判
断对称轴判断C；根据正弦函数性质求解方程即可判断D.
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位后，
再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），
得到函数
，A 错误；
因为
，即
的图象关于点
，k ∈Z对称，
令
，得
不是整数，B 错误；
因为
，函数
的图象不关于直线x =π
3 对称，C 错误；
令
，则
，
所以
或
，
解得
或
，
因为
，所以x = 7π
18 , 11π
6
, 19π
18 , 31π
18 共4 个，D 正确．
考点06 三角函数模型的应用
31．摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营
的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60 个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩
色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160 米，转盘直径为153 米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来
说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30 分钟.游客
在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5 分钟进入座舱，在小朱运行
一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为
米.
(1)求
关于的表达式；
(2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值；
(3)设
，当
时，这两人距离地面的高度差恰有1 次取到最大值，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设
，
，结合题意与三角函数性
质计算即可得解；
（2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得；
（3）利用三角恒等变换公式计算即可得.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为
，以摩天轮轴心
为原点，与地面平行的直线为
轴建
立平面直角坐标系，
设
，
，
由题得
，解得
，
又摩天轮匀速旋转一周需要30 分钟，所以
，所以
，
.
又当
时，小朱位于点
，以
为终边的角为
，所以
，
所以
，
，
即
，
.
（2）设小毛距离地面的高度为h
′，则
，
，
令
，可得
，即
，
所以
，k ∈Z或
，k ∈Z（舍去），
即
，k ∈Z，又
，当k =1时，
.
（3）令
，则
，
，
所以
，
当
，k ∈Z，即
，k ∈Z时，
.
又当
时，这两人距离地面的高度差恰有1 次取到最大值，
所以
，即
的取值范围是
.
32．（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高
处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60 米，转盘直径为50 米，设置有24 个座舱，摩天轮开
启前，距地面最近的点为0 号座舱，距地面最远的座舱为12 号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2
号舱位，乙坐6 号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24 分钟，游客甲在摩天轮转动过程中
距离地面的高度为
米，下列说法正确的是（ ）
A．
关于的函数解析式为
B．开启后第20 分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C．开启后第10 分钟游客乙距离地面47.5 米
D．开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）
【答案】BCD
【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】设游客甲距离地面的高度
与时间
的函数为
，
由题意，
，所以
，
由摩天轮转一周需要
，知座舱转动的角速度约为
，故
，
则
，
又游客甲坐2 号舱位，当t =10时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以
，
即
，所以
，所以
，
不妨取k =0，则
，故
，A 错误；
由于摩天轮旋转一周需24 分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时，
需经历
分钟，B 正确；
根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为：
，
则开启后第10 分钟游客乙距离地面高度为
米，C 正确；
对于函数
，
令
得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当k =0时，函数
的单调递减区间为
，
所以开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲在下降，
对于函数
，
令
得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当k =0时，函数
的单调递减区间为
，
所以开启后第10 分钟至第18 分钟游客乙也在下降，
即开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲和乙运动方向相同，D 正确.
33．海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某
天不同时间的水深情况如下表所示（3.1 时即为凌晨3 点06 分）：
时间x /
时
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深y /
米
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0
根据以上数据，可以用函数
（
，
）来近似描述这一天内港口水深与时间的
关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2 米，根据
安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2 米，这条货船一天中可以在港
口中停靠的最长时长为__________．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出
，
再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长.
【详解】如图所示，作出符合题意的图象，
由函数图象可知
，周期
，
所以，函数解析式为
，
把
代入得
，
而
，
所以，函数解析式为
；
由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2 米，
安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2 米，
那么港口水深要不低于6.2米才安全，
则令
，得
，
，
当k =0时，
货船停靠的时长为
；
当k =1时，
，
可得货船停靠的时长为
；
当
时，不存在符合实际意义的解；
所以货船在一天(
小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为
.
34．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四
周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2 米，转盘半径为30 米，逆时针均匀设置
了依次标号为1~12 号的12 个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24 分钟．现从1 号
座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t 分钟．
(1)设1 号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t 的函数关系为
，求
的解析式；
(2)当
时，求1 号座舱与地面的距离为17 米时t 的值；
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1 号和5 号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的
绝对值为H（单位：米）．当
时，求H 的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
米.
【分析】（1）根据给定信息，设出
的解析式，再利用待定系数法求解.
（2）由（1）及
求出值.
（3）求出
的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意，设
，
由
，得
，由
，
，得
，而
，
则
，由转一周需要24 分钟，得
，解得
，
所以
.
（2）由
，得
，当
时，
，
解得
或
，即
或
，
所以
或
.
（3）依题意，5 号座舱在1 号座舱前，相隔
，
则甲、乙两人距离地面的高度分别为
，
因此
，
当
时，
，则当
，即
时，
，
所以H 的最大值为
米.
35．（多选）某摩天轮半径为18 米，圆心
离地面高度为20 米．当
时，游客从最低点进舱，此时座舱
和座舱B与
点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36 秒．设
表示秒时游客距离地面的高
度（高度：米），已知
，其中
，下列说法正确的是（）
A．
B．当
时，则游客距离地面高度不低于29 米的时长为12 秒．
C．记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于
米
的时长为
，则函数
的
图象关于
对称．
D．当
时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱
的游客和座舱B的游客距离地面的高度分别为
和
，满足
的时长为18 秒．
【答案】ABD
【分析】先由摩天轮最高点、最低点高度求出
，再由周期求出
，由
时游客位于最低点求出
，判
断A；再把高度不低于29 米转化为三角不等式，求出满足条件的时间长度，判断B；然后写出
关于
的
表达式，判断其对称中心，判断C；最后根据座舱
、座舱B与游客座舱的初始相位分别写出高度函数，化
简不等式并求时长，判断D．
【详解】由题可知，
的最大值与最小值分别为38 和2，可得
，解得
，
每转一圈用时36 秒，则
的周期为36，可得
，
解得
，结合
的范围解得
，故A 选项正确；
由A 可得
，
令
．当
时，
．由
，得
所以
，
在
内，满足条件的
为
，
因此
，解得
，时长为
秒，故B 正确；
当
时，由
，得
即
，
所以一圈内满足条件的
的长度为
，
于是
，
由此可知
，
即函数
的图象关于点
成中心对称，
而
，不是
，故C 错误；
由图中初始位置可知，
时座舱
在圆心左侧，座舱B在圆心右侧，且二者均与
点等高，
令
，则
，
且游客从最低点进舱，有
，
于是
，
所以
，
由
，得
，
当
时，满足
的区间为
，
这两个区间的总长度为
，对应时间长度为
秒，故D 正确．
36．已知
的部分图象如下图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左
平移π
6 个单位，得到函数
的图象．
①若
的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相；
②求
在区间
上的零点．
【答案】(1)
(2)①
；②
、
【分析】（1）由图象可得出
的值，以及函数
的最小正周期
的值，结合正弦型函数的周期公式可得
出
的值，再结合
以及
的取值范围可得出
的值，即可得出函数
的解析式；
（2）①利用三角函数图象变换得出函数
的解析式，结合初相的定义可得结果；
②由
可得
，再结合
可得出
的值，即可得解.
【详解】（1）由图象可知
，函数
的最小正周期
，
且
，可得
，所以
，
由图可得
，可得
，
又因为函数
在x = 4π
3
附近单调递增，则
，
所以
，
因为
，可得k =0，
，
所以
．
（2）①将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），
可得函数
的图象，
再将所得的函数图象上所有点向左平移π
6 个单位，
可得函数
的图象，所以对应简谐振动初相为
；
②由
，可得
，
因为
，所以
，所以
或
，解得
或
，
故函数
在区间
上的零点为
、
.
37．（多选）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造
自然的美好象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点
处出发，沿圆周按
逆时针方向匀速旋转，且10 秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到
点，设
，其纵坐标近似满足关系式
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．当
时，点
到水面的距离的最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据题意，先求得水车的半径R和周期，进而可求得
，得到解析式
，再
根据三角函数的性质，逐项判断即可.
【详解】由题意，
，且
，则
，
由于从
处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，
10 秒后水斗第一次旋转到最高点位置，
此时转过的角度为
，因此转动一周需要30 秒，所以
，
所以
，则
，
将
代入
中，
可得
，故
，
则
，故
，
又
，所以
，因此
，故A 正确，B 错误；
因为
，则
，
则
，所以
，
则
为水车直径，所以
，故C 正确；
当
时，
，
，
则
，所以点
到水面的距离的最大值为2，故D 正确.
38．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了
筒车的工作原理（图1）．若一半径为2 米的筒车水轮圆心
距离水面1 米（图2），已知水轮按逆时针转
动，每分钟转动4 圈，当水轮上点
从水中浮现时（图2 中点
）开始计时，经过秒钟后点
距离水面的
高度为
米，则下列结论正确的是（ ）
A．
关于的函数解析式为
B．点
第一次到达最高点需用时5 秒
C．从计时开始
再次接触水面需用时15 秒
D．当点
运动2.5 秒时，距水面的高度为2 米
【答案】ABD
【详解】由题可设函数
，
其中
，所以
，
时，
，解得
，因为
，所以
，
所以
，A 正确；
由A 可知，点P 第一次到达最高点需用时
秒，B 正确；
由题意知，点P 再次接触水面需用时
（秒），C 错误；
当
时，
，点P 距水面的高度为2 米，D 正确．
