文档文本内容
4.4 简单的三角恒等变换
5 大考点汇总
考点01 给角求值型问题
考点02 给值求值型问题
考点03 给值求角型问题
考点04 辅助角公式与降幂公式
考点05 三角函数式的化简
题型专练
考点01 给角求值型问题
1．
___________．
【答案】
/0.5
【分析】根据诱导公式及逆用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
.
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】原式
.
3．
的值为______．
【答案】
【详解】
.
4．求值：
．
【答案】
【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得.
【详解】原式
5．（多选）计算下列各式，结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式判断A，根据二倍角公式及两角和的余弦公式判断B，直接求值判断C，根据两角
和的正切公式判断D.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，故C 错误；
对于D：
，故D 正确.
故选：AD
6．
的值为________.
【答案】
/0.5
【分析】利用和差角的正弦公式、诱导公式及二倍角的余弦公式化简求解.
【详解】
.
故答案为：
7．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，且
，
所以
.
8．已知
，则
______．
【答案】
/
【详解】注意到
，令
，已知
，
由二倍角公式
，代入得
.
考点02 给值求值型问题
9．已知
为锐角，
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【详解】因为
为锐角，
，所以
.
因为
，所以
，且
，
所以
，
所以
.
10．已知
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系得到
，最后根据
即可求解；
（2）由平方关系得到
，最后根据
即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，故
，
由
，得
，
.
（2）由
，且
，故
，从而
，
则
.
11．已知
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为
，
，
所以
，所以
，
又
，
所以
，
所以
．
12．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用正切和角公式化简条件，得到
与
的关系式；再对第二个条件同乘以
，转化
为正弦和角形式，得出
，代入展开化简，通过整体比例代换直接求出
．
【详解】由
，得
，
所以
，
化简得
，
所以
，
化简得
，即
①，
由
，
得
，
即
，即
，
故其代入①，
，故
．
13．已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
又
，所以
．
14．已知
，
，
，
．
(1)求
；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得；
（2）借助同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得.
【详解】（1）∵
，
，∴
，
∴
；
（2）∵
，
，∴
，
∵
，∴
，
∴
．
15．已知
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．-1
【答案】B
【分析】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得
，即可由正切的二倍角公式求解.
【详解】由
，
可得
，
故
，因此
，
故
，化简得
，
故
.
16．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由切化弦可得
，再由
，求出
和
的
值，即可求出
.
【详解】解：由
，则
，即
①，
因为
，所以
②，
联立①②解得
，
，
所以
.
考点03 给值求角型问题
17．已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】原式展开化简得
，
则
，
又
是锐角，则
，所以
，选D.
18．已知
，且
，（提示：
.）求：
(1)
的值；
(2)
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
配凑为
，利用两角和的正弦公式进行计算；
（2）将
配凑为
，利用两角差的余弦公式求出
，再结合
的取值范围，确定
的值.
【详解】（1）
，又
，
.
（2）由题意得
，
又
，所以
.
19．已知
，其中
，求：
(1)
；
(2)
【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）由题设
；
（2）由
，且
，
所以
，故
.
20．已知向量
，
，其中
，且
.
(1)求
，
的值；
(2)若
，且
，求角
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到
，再结合同角三角函数的基本关系求出
，
.
（2）先利用两角差的正弦公式计算
的值，确定
的取值范围，进而得到所求角.
【详解】（1）由
可得，
，即
，
又因为
，代入可得
，
又因为
，所以
，
.
（2）已知
，
，
所以
，
由（1）可知，
，
，
则
，
因为
，则
，
又因
，则
，故得
，因此
.
21．已知
为锐角，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解；
（3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解．
【详解】（1）
.
（2）因为
为锐角，所以
，
由
，设
，
由
得，
（舍去负值），
所以
，则
．
（3）
为锐角，则
，所以
，
又
，所以
，则
，
由
，又
，所以
，
所以
，
则
，
因为
，所以
，
所以
．
22．已知
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式计算即可得；
（2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得.
【详解】（1）由
，则
，
则
，
则
；
（2）由
，
，
则
，
则
，
，
又
，故
.
23．若
，并且
均为锐角，且
，则
________．
【答案】
/
【分析】由题意知
，
，
，进而得
，
，再根
据
，结合余弦差角公式求得
，最后根据余弦函数性质即可求得答案.
【详解】因为
均为锐角，且
，即
，
所以
，
，
，
所以
因为
，
所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
24．（1）已知
均为锐角，且
，则
______．
（2）已知
，则
______．
【答案】
【详解】（1）
均为锐角，
，
．
．
又
，
．
故
．
（2）
．
，
．
．
考点04 辅助角公式与降幂公式
25．
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得
，利用倍角公式可得
，再结合辅
助角公式化简即可.
【详解】因为
，
且
，
所以原式
.
26．函数
的值域是______________．
【答案】
【详解】因为
，所以
，其中
，
因此
的值域为
.
27．设函数
．
(1)求
；
(2)求
的最大值和最小正周期．
【答案】(1)2
(2)最大值为
，
【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式进行化简求值即可；
（2）根据正弦型函数的性质求解．
【详解】（1）函数
，
.
（2）由
，
当
，
即
时，
取得最大值为
，
最小正周期为
．
28．设函数
．
(1)求
的值；
(2)求方程
的最小的9 个正实数解之和；
(3)已知a，b 均为正实数，若对
都有
恒成立，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对
进行化简，再代入求解；
（2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出
，进而根据正弦函数的性质求解；
（3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为
，
，设
，
分类讨论
的最小值，进而得出
的最大值．
【详解】（1）
，
．
（2）已知
，由（1）知
，
，即
，解得
或
，
此方程最小的9 个正实数解之和为：
．
（3）已知
恒成立，即
恒成立，
设
，则有
，
，
设
，
①
时，要满足题意则需
，即
，
，即
；
②
时，要满足题意则需
，即
，
设
，则
，
，即
，整理得
，
要满足题意则此不等式有解，即
，解得
，
当
，
时取等号，
综上所述，
的最大值为2．
29．已知
，
，则
____.
【答案】
【详解】由
，
，得
，
所以
.
30．若函数
的最小正周期为2，则正实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式得
，最后根据周期公式即可得到答案.
【详解】
，
其周期
，解得
．
故选：A．
31．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：由二倍角余弦公式有
，即可得；法二：由
及二倍角余弦公式，即可得.
【详解】法一：由
，则
，
法二：由
，则
，
.
故选：A．
32．设
，
都是锐角，且
，
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)-5
(2)
或
【分析】（1）方法一：首先根据平方关系求得
的值，再将待求式子分子分母同乘
，然后根据正
弦二倍角及其降幂扩角公式进行化简整理，最后代入数值求解即可；
方法二：首先根据半角公式求解
及
的值，然后代入待求式子中进行求解即可.
（2）首先根据
，利用平方关系求得
的值，然后根据凑角得
，
最后根据余弦的差角公式展开求解即可.
【详解】（1）方法一，因为
是锐角，
，所以
.
.
方法二，因为
，所以
，
，
.
（2）因为
，所以
，
若
，
则
.
若
，
则
.
故
或
.
考点05 三角函数式的化简
33．函数
的最大值为_____.
【答案】1
【详解】
，
设
，即
，
因此当
，即
时,
.
34．设函数
，若
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】利用降幂公式
，代入原函数得
，
再用辅助角公式整理得
. 已知
，则
，
正弦函数
，
的取值范围是
，故
，
则
，
因此函数
的值域为
.
35．化简
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，
，
，
，
.
36．若
中，
、
是方程
的两个根，则
___________．
【答案】
【分析】根据韦达定理得到
与
的和与积，从而可以计算出
的值，将所求的式子看作分母为1
的式子，化简为关于
的式子即可计算结果．
【详解】因为
、
是方程
的两个根，
由韦达定理可得
，
；
因为
中，
；
故
，
故
；
．
37．在
中，
．
(1)求证：
；
(2)当
时，
，求
的值．
【答案】(1)
整理得：
①，
在
中，因为
，
所以
，
所以
，
所以
②.
将①乘以
得：
，
再把②代入：
，得证.
(2)
【详解】（1）略.
（2）由正弦定理：
，
由余弦定理：
，联立得：
，
正弦化边：
，化简
；
由
，去分母：
，
所以：
，
，故
，
由
，结合
，当
为钝角时，
不成立，
所以
为锐角，
.
38．（多选）在
中，A，B，C 成等差数列.若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先求出
和
，再根据两角和差的正余弦公式进行判断.
【详解】由A，B，C 成等差数列，得
.
因为
，所以
，则
，所以
，A 正确.
又
，由
，
得
，
所以
，B 正确.
，C 错误.
，D 正确.
故选：ABD
39．已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
和
两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果.
【详解】由题意，
，
，
则
，
化简可得
，所以
，
又
，
则
，
，
即
，
所以
，
所以
，
由
，可得
.
故选：A.
40．已知函数
．
(1)求
的单调递增区间；
(2)已知
，
，且
，
，求
的值．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式、辅助角公式将
化简为正弦型函数的标准形式，结合正弦函数
的单调递增区间列不等式求解，即可得到
的单调递增区间.
（2）先根据
、
的函数值求解
、
，结合
、
的取值范围确定
、
所在象限，进而求得对应的余弦值；再利用三角诱导公式将
转化为关于
、
的余弦和角形式，代入计算即可得到结果.
【详解】（1）
．
由
，
，得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
．
（2）由
，
，
得
，
．
由
，
，得
，
，
所以
，
．
故
．
