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第11 讲 函数的图像 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
一、掌握基本初等函数的图像..............................................................................................2
二、函数图像作法..................................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：函数图象的识辨......................................................................................................3
考点二：函数图象的变换......................................................................................................5
考点三：函数图象的应用......................................................................................................7
四、高考真题......................................................................................................................................9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与
题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2024
第7 题
单选题
5 分
直接
函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数）
2025
第8 题
单选题
5 分
间接
函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小）
2026
-
0 分
-
-
近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5
分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函
数图象的走势与性质.
命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结
合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中.
试题特点：对作图能力要求较高，需要考生能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图
象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数（特别是指数函数、对数函数、三角函数）的图象特征
及作图方法.
· 强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时，
优先考虑画出图象辅助分析.
· 掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复
杂函数的草图.
二、知识清单
一、掌握基本初等函数的图像
· （1） 一次函数；（2） 二次函数；（3） 反比例函数；（4） 指数函数；（5）
对数函数；（6） 三角函数.
二、函数图像作法
1. 直接画
· ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性 (或其他对称性)、单调性、周
期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线 (对称轴、渐近线等).
2. 图像的变换
（1） 平移变换
· ①函数y = f ( x +a) (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到
的.
· ②函数y = f ( x -a) (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到
的.
· ③函数y = f ( x)+a (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到
的.
· ④函数y = f ( x)-a (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到
的.
（2） 对称变换
· ①函数y = f ( x)与函数y = f (- x)的图像关于y轴对称；函数y = f ( x)与函数y =- f ( x)的
图像关于x轴对称；函数y = f ( x)与函数y =- f (- x)的图像关于坐标原点(0,0)对称.
· ②若函数f ( x)的图像关于直线x =a对称，则对定义域内的任意x都有f (a- x)= f (a+ x)
或f ( x)= f (2a- x) (实质上是图像上关于直线x =a对称的两点连线的中点横坐标为a，即
(a- x)+(a+ x)
2
=a为常数).
· 若函数f ( x)的图像关于点(a,b)对称，则对定义域内的任意x都有f ( x)=2b- f (2a- x)
或f (a- x)=2b- f (a+ x).
· ③y =|f ( x)|的图像是将函数f ( x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分
关于x轴对称翻折上来得到的 (如图 (a) 和图 (b)) 所示.
· ④y = f (| x|)的图像是将函数f ( x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图
像关于y轴对称得到函数y = f (| x|)左边的图像即函数y = f (| x|)是一个偶函数 (如图 (c)
所示).
· ⑤函数y = f
-1( x)与y = f ( x)的图像关于y = x对称.
【易错提醒】|f ( x)|的图像先保留f ( x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x
轴对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而f (| x|)的图像是先保留f ( x)在y轴右方的
图像，擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到.这两变换又
叫翻折变换.
（3） 伸缩变换
· ①y = Af ( x) (A >0) 的图像，可将y = f ( x)的图像上的每一点的纵坐标伸长 (A >1) 或
缩短 (0< A <1) 到原来的A倍得到.
· ②y = f (ωx) (ω>0) 的图像，可将y = f ( x)的图像上的每一点的横坐标伸长 (0<ω<1)
或缩短 (ω>1) 到原来的1
ω倍得到.
三、典题精练
考点一：函数图象的识辨
考法1：利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象
例1.已知函数f ( x)的部分图象如图所示，则f ( x)的解析式可能为（ ）
A. f ( x)= x cos π( x +1) B. f ( x)=( x -1)cos πx
C. f ( x)=( x -1)sin πx D. f ( x)= x
3-2 x
2+ x -1
考法2：利用导数与单调性识辨图象
例2.（2026·淮北·一模）函数f ( x)=
x
1+e
- x在AI 神经网络中作为激活函数使用，可提升模
型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为f ( x)大致图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.
考法3：含参基本初等函数图象的识辨
例3.在同一直角坐标系中，函数y = 1
a
x，y = loga(x + 1
2)(a>0且a≠1)的图象可能是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【考点一 方法总结】
· 识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶
性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.
· 当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走
势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区
分相似图象的关键.
· 解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数
与1 的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过(0,1)和对数函数过(1,0)（或平移后
的定点）的性质，可快速排除错误选项.
考点二：函数图象的变换
考法1：平移、伸缩与对称变换的综合
例4.已知函数f ( x)的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式
（ ）
A. y = f (2 x -1)
B. y = f(
4 x -1
2 )
C. y = f (1-2 x)
D. y = f(
1- 4 x
2 )
考法2：含有绝对值的翻折变换
例5.已知函数f ( x)={
-2 x(-1≤x ≤0),
❑√x(0< x ≤1), 则下列图象错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【考点二 方法总结】
· 复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在x上；若
先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理f (- x)等对称变换时，务必将- x视为一个整体，
避免符号干扰.
· 熟记两种核心翻折变换：y =|f ( x)|是将x轴下方的图象翻折到上方，上方保留；
y = f (| x|)是保留y轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.
· 处理对称性问题时，若f (m+ x)= f (m- x)恒成立，则图象关于直线x =m对称；若
f (a+ x)= f (b- x)恒成立，则图象关于直线x = a+b
2 对称.
考点三：函数图象的应用
考法1：由函数图象求解析式中的参数
例6.若函数f ( x)=
2
a x
2+bx +c 的部分图象如图所示，则f （5）=（ ）
A. - 1
3
B. - 2
3
C. - 1
6
D. - 1
12
考法2：利用函数图象解决方程零点问题
例7.已知函数f ( x)=|
x +a
x -a|( x≠a)，若关于x的方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，则
实数a的取值集合为＿＿＿＿＿＿.
考法3：利用函数图象解决不等式问题
例8.定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +1)=2f ( x)，且当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|.若对
任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，则t的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法4：实际情境中的函数图象问题
例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数
图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【考点三 方法总结】
· 由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极
值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组
即可确定参数.
· 解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外
层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的
渐近线、极值等临界状态进行分类讨论.
· 遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选
“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象
上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围.
· 解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率快速判断；若需
定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x - π
6)的交点个数为（
）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
2.（2025·全国一卷）若实数x，y，z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z的大小
关系不可能是（ ）
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
