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5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只
有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|
＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[常用结论]
1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P 的坐标为.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G 的坐标为.
考点一 平面向量基本定理的应用（基底）
考点二 平面向量线性运算的坐标表示
考点三 由向量线性运算结果求参数
考点四 利用坐标求向量的模
考点五 利用向量共线求参数
考点六 由坐标解决线段平行和长度问题
考点一 平面向量基本定理的应用（基底）
1．（25-26 高三上·重庆·期中）设
，
是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据题意，结合共线的向量的判定方法，以及基底的定义，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，设
，可得
，此时方程组无解，
所以
与
不共线，所以
与
能作为基底，所以A 不符合题意；
对于B，设
，显然不存在实数
使得成立，
所以
与
不共线，所以
与
能作为基底，所以B 不符合题意；
对于C，设
，可得
，此时方程组无解，
所以
与
不共线，所以
与
能作为基底，所以C 不符合题意；
对于D，
，可得
，解得
，即
，
所以
与
共线，所以
与
不能作为基底，所以D 符合题意.
2．（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）（多选）已知
，
是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能
作为该平面一组基底的有（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABC
【分析】平面内两个向量能作为一组基底的充要条件是两向量不共线，结合已知
，
不共线，通过反证法判断
各组向量是否共线即可。
【详解】对于A：假设
和
共线，则存在实数
满足
，整理得
，与
，
不共线矛
盾，故两向量不共线，可作为基底。
对于B：假设
和
共线，则存在实数
满足
，整理得
，
由
，
不共线可得
，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。
对于C：假设
和
共线，则存在实数
满足
，整理得
，
由
，
不共线可得
，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。
对于D：显然
，两向量共线，不能作为基底。
3．（25-26 高三上·广东·期末）如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理求解.
【详解】解：因为
为平行四边形，故
，故易知
，
又因为
为
的中点，所以
，
故
，
4．（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形
中，
，
，
，E 为
的中点，若
，则
（ ）
A．65
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】方法一：坐标法：以
为坐标原点，
分别为
轴、
轴，利用坐标求解即可；
方法二：基底法：令
，
，取
为一个基底，由向量的线性运算求解即可.
【详解】方法一（坐标法）
建立如图所示的平面直角坐标系，
则
．不妨设
，则
，
所以
，
，
，
，
所以
，
，
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
故
．
方法二（基底法）：令
，
，取
为一个基底，
由题意得
，
．
由于
，
所以
，
解得
，
所以
．
5．（25-26 高二下·山西长治·阶段检测）在
中，
，
，
，点
为
的中点，
为
上的点，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点得
，由
共线设
，对照已知表达式求出
、
，再拆分数
量积，代入模长与夹角余弦算出结果.
【详解】因为
为
中点，故
，由于
在
上，
、
、
三点共线.
根据共线向量的性质，存在实数
，使得
.
代入
得：
结合题设
，由平面向量基本定理，对应系数相等.
因此
，解得
，故
.
将
代入
的表达式，得
.
因此
已知
，故
，
，
.
因此
.
.
6．（2026 高三·全国·专题练习）如图，已知
中，点
是以
为中点的点
的对称点，
是将
分为
的
一个内分点，
和
交于点
，设
，
．
(1)用
和
表示向量
、
；
(2)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】（1）根据向量的三角形法则，结合向量的基本定理即可用
和
表示
、
；
（2）根据向量关系的条件建立方程关系，即可求出实数
的值．
【详解】（1）由题意知，
是
的中点，
，
由平行四边形法则，得
，
，
；
（2）
，
，
由
、
、
三点共线，则
，解得
．
考点二 平面向量线性运算的坐标表示
7．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知
，则
____________．
【答案】
【详解】设
为坐标原点，
因为
，
所以
，
，
所以
.
8．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知平面向量
，则向量
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为向量
，
，所以，
，则
.
9．（25-26 高三上·山东·阶段检测）已知
，
，
，则点
的坐标为________．
【答案】
【详解】因为
，
，设
，
所以
，
，
而
，所以
，
，
解得
，
，
因此
.
10．（2026·湖南·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．1
B．8
C．
D．2
【答案】C
【详解】
，所以
.
11．（25-26 高三上·四川绵阳·期中）已知点
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为______.
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，依题意可得
，即可得到方程组，解得即可.
【详解】点
，点
在线段
的延长线上，且
，
设点
的坐标为
，则
，
，且
，
即
，解得
，
所以点
的坐标为
．
12．（25-26 高三上·黑龙江牡丹江·期中）
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】因为
，
则
，
则
考点三 由向量线性运算结果求参数
13．（2026 高三·全国·专题练习）平面内给定两个向量
，
，若
与
（其中
）共线，求
的值．
【答案】
【分析】首先求出
与
的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】根据题意可知
，
，
若
与
共线，则
，
化简得
，则
.
14．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，则
，
且
，所以
．
15．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，且
，则
___________．
【答案】
【分析】建系标出点的坐标，根据向量的坐标运算可得
，
，结合模长关系运
算求解即可.
【详解】因为
，则
，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，过点
且垂直于
的直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，可得
，
则
，
可得
，
，
又因为
，且
，
则
，整理得
，
即
，所以
．
16．（25-26 高三上·山西阳泉·期中）设向量
，
，
.
(1)求
，
与
夹角
的余弦值；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若
，
，
，求证：A，
，
三点共线.
【答案】(1)
，
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出
的坐标，再根据模的坐标表示求解
即可，根据向量夹角余弦的坐标表示求解
即可；
（2）根据
列方程组求解即可；
（3）先求出
，可得
，进而求证即可.
【详解】（1）由
，
，得
，
则
，
而
与
夹角
的余弦值为
.
（2）由
，
，
得
，
因为
，
，
所以
，解得
，则
.
（3）证明：由
，
，
，
则
，所以
，
而
有公共点
，则A，
，
三点共线.
17．（25-26 高三上·山西晋中·期中）在复平面内，
是坐标原点，复数
，
，
，所对应
的点分别是
，
，
．若
，则
的值是___________．
【答案】
/
【详解】因为复数
，
，
，所对应的点分别是
，
，
，
所以
，
，
，
即
，
，
，
所以
由
，所以
，
解得
，因此
.
18．（25-26 高三·广东中山·阶段检测）在△ABC 中，已知
与
的夹角是90°，
，
，M 是BC 上
的一点，且
，且
，则
的值为________．
【答案】
/
【分析】以
为原点建系，设
，根据条件即可得出
之间的关系，化简即可.
【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
所以
，
设
，则
，
所以
，即
，
又
，则
，则
，
所以
.
故答案为：
考点四 利用坐标求向量的模
19．（25-26 高三上·河北衡水·期末）已知向量
满足
，
，
，若
，则实数
的值为________．
【答案】
或
/
或
【详解】由
可得
，
则
，解得
或
20．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】C
【详解】因
，故
，故
，所以
，故
．
21．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知平行四边形
中，
．则对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【详解】设
，由
，得
所以
,解得
所以
点坐标为
.
所以
.
22．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量
与向量
的方向相反，
，点
坐标为
，
则点
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
后，可得向量
，再结合点
坐标即可得点
坐标.
【详解】由
，则
，
由向量
与向量
的方向相反，且
，
故
，由点
坐标为
，则点
坐标为
.
23．（2026·广东佛山·二模）设向量
，
，则
（ ）
A．5
B．8
C．15
D．17
【答案】D
【详解】
，
所以
.
24．（25-26 高三上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点
，
，
，
．
(1)若
，
，求的值；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先，写出相应向量的坐标形式，然后，根据共线的条件进行求解.
（2）写出相应向量的坐标形式，结合向量的模的计算公式转化为求二次函数最小值.
【详解】（1）因为
，
，
，则
，
，
由
，可得
，解得
.
（2）因为
，
，则
，
所以
，
则
，
所以当
时，
.
考点五 利用向量共线求参数
25．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知向量
，若
．则
____________．
【答案】
/
【详解】因为
，
，所以
，解得，
.
26．（25-26 高三上·上海·期中）若
，若
，则实数
=__________.
【答案】
或
【详解】由已知可得
,即
,解得
或
.
27．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知向量
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)已知
、
、
三点共线，若
，
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标运算与向量垂直的坐标运算即可求解；
（2）利用向量的坐标运算与向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】（1）
，
，则
，
由于
，所以
，
即
，解得
.
（2）已知
，
，
则
，
，
由于
、
、
三点共线，所以
，解得
.
28．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】CD
【详解】基底向量由不共线的非零向量组成，
选项A：
为零向量，A 选项错误；
选项B：
，
共线，B 选项错误；
选项C：
，
不共线，且不为零向量，C 选项正确；
选项D：
，
不共线，且不为零向量，D 选项正确.
29．（2026·上海·模拟预测）已知向量
，
，
．若
，
，
三点共线，则
_________．
【答案】
【分析】求出
，
后，借助向量共线的坐标运算计算即可得.
【详解】由
，
，
，则
，
，
由
，
，
三点共线，则
，解得
.
30．（25-26 高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形
，
，
，过点
作
于点
，
为
的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明：
(1)
；
(2)
三点共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以
为原点建立平面直角坐标系，先求出
各点坐标，再写出向量
与
的坐标，验证
它们满足线性倍数关系（即存在实数
使
），且无公共点，即可证两直线平行。
（2）在同一坐标系中，写出向量
与
的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数
使
），
且两向量有公共点
，即可证三点共线．
【详解】（1）
如图，以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
已知
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，即
与
共线，
又因为
与
无公共点，所以
；
（2）由（1）得
，
，
所以
，即
与
共线，
又因为
与
有公共点
，所以
三点共线．
考点六 由坐标解决线段平行和长度问题
31．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）已知
、
满足
，
.
(1)设
，
的夹角为
，求
；
(2)若
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据向量的线性运算求出
，再根据向量的夹角公式计算可得结果；
（2）因为平行求出
，再根据向量的数量积求出模长，最后应用二次函数的最值求出模长最值.
【详解】（1）由
，得
，
同
相减得，
，
代入
中，得
.
所以
，
所以
.
（2）因为
，设
，所以
，
所以
当
时，
取得最小值，最小值为
.
32．（25-26 高三上·湖北孝感·期中）已知
，点P 在直线
上，且
，则点P 的坐标是
_______．
【答案】
或
【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解.
【详解】由
得
，
因为点P 在直线
上，且
，
所以
或
．
因为
可设
，
所以
，可得
，
或
，可得
，
则点P 的坐标是
或
．
故答案为：
或
．
33．（2026·山东·二模）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，
．
(1)求
；
(2)若
，求
边上的高的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出
，再根据余弦定理即可求解；
（2）由
及基本不等式得出
，再根据等面积法即可求解．
【详解】（1）因为
，所以
，即
，
由余弦定理得
，因为
，
所以
．
（2）由（1）得
，即
，当且仅当
时，等号成立，
设
边上的高为，则
，
所以
，
所以
边上的高的最大值为1．
34．（25-26 高三上·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
交
于点
，求线段
的长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点
为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解；
（2）根据
三点共线和
三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点
的坐标，再求出
即可.
【详解】（1）以点
为坐标原点，分别以
，
方向为
轴正方向建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由
可得：
，
所以
，解得
，
因此
；
（2）设
，因为
三点共线，所以
则存在唯一实数
，使得
，
则
，可得
，
，
即
，
又
三点共线，且
，
，则
，
所以
，解得
，
则
，所以
，
所以
，
所以线段
的长
.
1．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知
是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，由
，得
与
不共线，可作平面向量的基底，A 不是；
对于B，由
，得
与
不共线，可作平面向量的基底，B 不是；
对于C，由
，得
与
共线，不可作平面向量的基底，C 是；
对于D，由
，得
与
不共线，可作平面向量的基底，D 不是.
2．（25-26 高三上·吉林·期中）已知
为
所在平面内一点，并且满足
，过
的直线与
，
边分别交于
，
点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】首先确定点
是
的重心，再根据线性运算，用基底
表示
，利用三点共线，表示
，再根据基本不等式求最值.
【详解】如图，连结接
并延长交
于点
，
由
可知，点
是
的重心，则点
是
的中点，
，
因为点
三点共线，所以
，即
，
则
，
当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
3．（25-26 高三上·河南·阶段检测）在
中，点
满足
，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】
已知
且
，所以
，
则
，故A 正确.
4．（25-26 高三上·湖北·期中）设
是平面内一组基底，平面向量
，
．若存在实数
使
得
，且
，则
（ ）
A．－2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】联立由平面向量基本定理所得关系与条件即可求解k 的值.
【详解】
由
是平面内一组基底可知，
与
不共线，
则有
，联立
，故
,
解得
．
5．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）已知点
与点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【详解】因为
，
，所以
，
所以
.
6．（25-26 高二上·河北·期中）已知平行四边形
满足
，
，
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
的坐标为
，求出
,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解.
【详解】设点
的坐标为
，
因为
，
.
因为
是平行四边形，所以
，
即
，解得
，所以点
的坐标为
.
故选：A
7．（2026·云南曲靖·二模）已知
，若点D 满足
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
，求出
，再列出方程，即可得解.
【详解】设点
，
则
，
又
，所以
，
所以点
的坐标为
，
故选：A
8．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知平面向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】B
【详解】因为平面向量
，
，且
，
所以
.
9．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知向量
，若点
不能构成三角形，则实数
应满足的条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】点
不能构成三角形，故
共线，
故
，解得
.
10．（25-26 高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知向量
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用向量的坐标运算法则，结合垂直和平行的坐标表示，以及向量模的坐标运算公式，逐项
分析判断，即可求解.
【详解】因为向量
，
对于A，由
，因为
，即
，可得
，解得
，所以A 正确；
对于B，若
，可得
，解得
，所以B 正确；
对于C，若
，可得
，可得
，解得
，所以C 正确；
对于D，若
，可得
，解得
，所以D 错误.
故选：ABC.
11．（25-26 高三上·浙江绍兴·阶段检测）（多选）已知点
，
，
，若点G 与点A，B，C 四
点构成平行四边形，则点G 的坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用平行四边形对角线中点重合的性质，结合中点坐标公式求解
点坐标，进一步判断即可.
【详解】设点
坐标为
，平行四边形对角线的中点坐标相同，
①若
，
为对角线，
中点为
，
中点为
则
，
，解得
，
，即
，故A 满足.
②若
，
为对角线，
中点为
，
中点为
，
则
，
，解得
，
，即
，故C 满足.
③若
，
为对角线，
中点为
，
中点为
，
则
，
，解得
，
，即
，故D 满足.
12．（25-26 高二·全国·暑假作业）（多选）已知
分别为
的边
中点，且
，
，
则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由
是
边
的中点，得
，A 错误；
对于B，由
是
边
的中点，得
，B 正确；
对于C，由
是
边
的中点，得
，C 正确；
对于D，
，D 正确.
13．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在
中，
是
的中点，
为
上的点，且
，
若
，
，则
用
，
表示，则
____________________.
【答案】
【详解】在
中，由
是
的中点，
，
得
，
所以
14．（2026·陕西咸阳·三模）在
中，D 是
边上的一点，且
，E 是
上的一动点.若
，则
__________.
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解
的表达式，通过对比系数求得正确答案.
【详解】由
，得
.
，故
.
设
(
)，则
.
.
代入
的表达式，得
.
与
对比系数，得
，
.
因此，
.
15．（25-26 高二下·上海静安·阶段检测）已知向量
，若
与
平行，则实数
______．
【答案】
【详解】由题意得
，
，
由
与
平行，所以
，解得
.
16．（25-26 高三上·浙江宁波·期中）已知
，若
，则
点坐标为_________．
【答案】
【分析】设出点
的坐标代入计算即可.
【详解】设
点坐标为
，由
，则
，
则
，即
.
从而
点坐标为
.
17．（25-26 高三上·广东茂名·期中）已知向量
，
，
，若A，B，D 三点共线，
则
______.
【答案】
【分析】首先表示出
，依题意根据
，根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，
所以
，解得
.
18．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知点
，
，
，
为坐标原点，则
与
的交点
的坐
标为________．
【答案】
【详解】解法一：由
三点共线，可设
，
则
，
又因为
，
由
，
共线，得
，解得
，
所以
，所以点
的坐标为
．
解法二：设点
，则
，因为
，且
与
共线，
所以
，即
．
又因为
，
，且
，
共线，所以
，解得
，所以点
的
坐标为
．
19．（25-26 高三上·北京丰台·期中）已知平面向量
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)设
，若
三点共线，求m 的值.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于
的方程，解之即可；
（2）法一：易知
，根据平面平行向量的坐标表示建立关于
的方程，解之即可；
法二：易知存在实数使得
，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于
的方程组，
解之即可.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
整理得
，解得
或
.
（2）法一：因为A，B，C 三点共线，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
.
法二：因为A，B，C 三点共线，
所以存在实数，使得
，
即
，
所以
即
.
20．（25-26 高三上·重庆·期中）如图，在
中，
为线段
上靠近点
的三等分点，
是线段
上一点，
过点
的直线与边
分别交于点
，设
，
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若点
为线段
的中点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形用
表示
，再用
表示
，由三点共线即可求解.
（2）用
表示
，再由三点共线
的等式关系，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为
为线段
上靠近点
的三等分点，
所以
，
设
，即
，
，
所以
，
又因为
，
，
所以
，
，
所以
，
即
，
又因为
三点共线，则
，解得
，
所以
，所以
.
（2）由（1）可知，
，
而
，
，
所以
，
又因为点
为线段
的中点，
所以
,即
，
又由
三点共线，
所以
，即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
故
的最小值为
.
