3.4 平面向量的坐标运算（分层训练）
目录
1
题型一、向量加减法的坐标运算.............................................................2
2
题型二、向量数量积的坐标运算.............................................................2
3
题型三、向量共线定理的坐标运算.........................................................2
1
1．若向量⃗a=(3,-2)，⃗b=(0,-1)，则向量2⃗b+⃗a的坐标是（ ）
A．(3,- 4)
B．(-3,4)
C．(3,4)
D．(-3,- 4)
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算可得答案.
【详解】向量⃗a=(3,-2)，⃗b=(0,-1)，
则向量2⃗b+⃗a=2(0,-1)+(3,-2)=(3,- 4).
故选：A.
2．已知向量⃗PQ =(1,-5)，⃗QR =(-2,1)，则⃗PR =（ ）
A．(4 ,-6)
B．(-1,- 4)
C．(-2,4)
D．(2,- 4)
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出⃗PR的坐标
【详解】⃗PR =⃗PQ+⃗QR =(-1,- 4).
故选：B.
3．已知向量⃗AB =(1,-1),⃗AC =(4,3)，则|BC
→
|=（ ）
A．5
B．❑√29
C．❑√2
D．2
【答案】A
【分析】求出⃗BC的坐标，再利用向量模的坐标表示计算即得.
【详解】向量⃗AB =(1,-1),⃗AC =(4,3)，则BC⃗= AC⃗- AB⃗=(3,4)，
所以|⃗BC |=
❑√3
2+ 4
2=5.
故选：A
4．已知向量⃗a=(1,-2),⃗b=(-1,2)，则下列结论正确的是（ ）
A．⃗a⊥⃗b
B．⃗a+⃗b=2⃗a-⃗b
C．⃗b-⃗a与⃗a同向
D．2⃗a//⃗b
【答案】D
【分析】根据向量共线、向量运算、基底等知识对选项逐一分析，由此确
定正确选项.
【详解】A 选项，⃗a⋅⃗b=1×(-1)+(-2)×2=-5≠0，故A 错误；
B 选项，⃗a+⃗b=(0,0)=⃗0，2⃗a-⃗b=(3,-6)，B 错误，
C 选项，⃗b-⃗a=(-2,4)=-2⃗a，所以⃗b-⃗a与⃗a反向，C 错误.
D 选项，由于⃗b=-⃗a，所以⃗a//⃗b，得2⃗a//⃗b，所以D 正确.
故选：D
5．已知向量⃗AB =(2,4)，⃗AC =(0,2)，则1
2⃗BC等于（ ）
A．(-2,-2)
B．(2,2)
C．(1,1)
D．(-1,-1)
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.
【详解】因为⃗BC =⃗AC -⃗AB =(0,2)-(2,4)=(-2,-2)，故
1
2⃗BC = 1
2
(-2,-2)=(-1,-1).
故选：D.
6．已知向量⃗a=(1,1)，⃗b=(-1,2)，则⃗a+⃗b=（ ）
A．(0,3)
B．(2,-1)
C．(1,0)
D．1
【答案】A
【分析】根据平面向量坐标运算的加法公式即可求解.
【详解】因为⃗a=(1,1)，⃗b=(-1,2)，所以⃗a+⃗b=(1,1)+(-1,2)=(0,3).
故选：A
7．已知向量⃗a=(5,2)，⃗b=(- 4 ,-3)，若⃗c满足3⃗a-2⃗b+⃗c =⃗0，则⃗c =（ ）
A．(-23,-12)
B．(23,12)
C．(7,0)
D．(-7,0)
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接得解.
【详解】因为⃗a=(5,2)，⃗b=(- 4 ,-3)，且⃗c满足3⃗a-2⃗b+⃗c =⃗0，
所以⃗c =2⃗b-3⃗a=(-23,-12)，
故选：A.
8．已知向量⃗AB =(3,5),⃗AC =(-1,2)，则⃗CB =（ ）
A．(4,3)
B．(- 4 ,-3)
C．(- 4,3)
D．(4 ,-3)
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则易得.
【详解】由题意，⃗CB =⃗AB -⃗AC =(3,5)-(-1,2)=(4,3).
故选：A.
9．已知点A(1,0)，B(2,2)，O为坐标原点，向量⃗AC = 4⃗CB，则⃗OA ⋅⃗OC=
（ ）
A．9
5
B．8
5
C．- 9
5
D．- 8
5
【答案】A
【分析】设点C坐标，然后得到向量⃗AC ,⃗CB坐标，由⃗AC = 4⃗CB得到方程组，
求出点C坐标，即可得到⃗OA ⋅⃗OC.
【详解】设C (a,b)，则⃗AC =(a-1,b)，⃗CB =(2-a,2-b)，
∵⃗AC = 4⃗CB，∴¿，解得¿，即C(
9
5 , 8
5)
，
∴⃗OA ⋅⃗OC = 9
5.
故选：A.
10．已知向量⃗e1=(1,0)，⃗e2=(1,❑√3)，设⃗a= 4⃗e1+⃗e2，⃗b=3⃗e1-⃗e2，则⃗a与⃗b的夹
角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】C
【分析】由条件结合向量坐标运算公式求a⃗，b⃗，再求⃗a⋅⃗b，|⃗a|，|⃗b|，再结
合向量夹角公式求结论.
【详解】因为⃗e1=(1,0)，⃗e2=(1,❑√3)，
所以⃗a= 4⃗e1+⃗e2=(4,0)+(1,❑√3)=(5,❑√3)，⃗
b=3⃗e1-⃗e2=(3,0)-(1,❑√3)=(2,- ❑√3)，
所以a⃗⋅b⃗=5×2+ ❑√3×(- ❑√3)=7，|⃗a|=
❑√5
2+(❑√3)
2=2❑√7，
|b⃗|=
❑√2
2+(- ❑√3)
2= ❑√7，
设⃗a与⃗b的夹角为θ，
则cosθ =⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|
=
7
2❑√7×❑√7 = 1
2
，又θ∈[0,π]，
所以θ =π
3 ，即⃗a与⃗b的夹角为π
3 .
故选：C.
2
1．已知向量⃗a=(-2,1)，⃗b=(x ,2)，若⃗a⊥⃗b，则x =（ ）
A．0
B．1
2
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由向量垂直转化为数量积为0，进而可得.
【详解】由⃗a⊥⃗b得⃗a⋅⃗b=-2 x +2=0，得x =1，
故选：C
2．已知向量⃗a=(4 ,m-1),⃗b=(m+2,-2)，若⃗a⊥⃗b，则m=（ ）
A．-2
B．-3
C．- 4
D．-5
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得结论.
【详解】因为⃗a⊥⃗b，
所以⃗a⋅⃗b=0，⃗
a=(4 ,m-1),⃗b=(m+2,-2)，
则4 (m+2)-2(m-1)=0，
解得m=-5．
故选：D．
3．已知向量⃗p=(6,2a-3)，⃗q =(-1,2)，且⃗p⊥⃗q，则实数a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据向量垂直数量积等于0 即可求解.
【详解】因为⃗p⊥⃗q，所以⃗p⋅⃗q =(6,2a-3)⋅(-1,2)=-6+ 4 a-6=0，解得a=3.
故选：C.
4．已知向量a
→
=(2,3)，b
→
=(1,0)，|a
→
+t b
→|=3，则t =（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】先求出a⃗+t b⃗的坐标，再利用模长公式，即可求出结果.
【详解】因为a
→
=(2,3)，b
→
=(1,0)，
所以a
→
+t b
→
=(2,3)+(t ,0)=(2+t ,3)，
因为|a
→
+t b
→| =3，
所以❑√(2+t )
2+9=3，即(2+t )
2=0，
解得t =-2.
故选：A.
5．已知向量⃗a=(1,❑√3),⃗b=(0,1)，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】A
【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及模长公式，求得⃗
a⋅⃗b= ❑√3,|⃗a|= ❑√1+3=2,|⃗b|=1，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为⃗a=(1,❑√3),⃗b=(0,1)，则⃗a⋅⃗b= ❑√3,|⃗a|= ❑√1+3=2,|⃗b|=1，
所以cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|
=
❑√3
2
，又⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π]，所以⟨⃗a,⃗b⟩=π
6
，
故选：A.
6．已知向量⃗a=(2,-1)，⃗b=(1, x)，⃗c =(1,2).若(⃗a+⃗b)⋅⃗c =3，则x =（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．-3
【答案】B
【分析】利用向量垂直坐标运算性质求解即可．
【详解】因为向量⃗a=(2,-1)，⃗b=(1, x)，所以⃗a+⃗b=(3, x -1)，
所以(a⃗+b⃗)⋅c⃗=3+2(x -1)=3，解得x =1.
故选：B.
7．已知⃗a=(1,1),⃗b=(2,0)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，则λ =（ ）
A．- 4
3
B．- 2
3
C．2
3
D．4
3
【答案】B
【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为⃗a=(1,1),⃗b=(2,0)，
所以(⃗a+ λ⃗b)=(1+2 λ ,1)，(⃗a+⃗b)=(3,1)，
又因为(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，
所以(⃗a+ λ⃗b)⋅(⃗a+⃗b)=0，即3(1+2 λ)+1×1=0，
解得k =- 2
3.
故选：B.
8．已知向量⃗a=(2,0),⃗b=(-3,❑√3)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a⟩=（ ）
A．
❑√3
2
B．-
❑√3
2
C．1
2
D．- 1
2
【答案】D
【分析】先计算出⃗a+⃗b=(-1,❑√3)，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】⃗a=(2,0),⃗b=(-3,❑√3)，⃗a+⃗b=(-1,❑√3)，
所以(⃗a+⃗b)⋅⃗a=(-1,❑√3)⋅(2,0)=-1×2+ ❑√3×0=-2，
|⃗a+⃗b|=
❑√(-1)
2+(❑√3)
2=2，
所以cos⟨⃗a+⃗b,⃗a⟩= (⃗a+⃗b)⋅⃗a
|⃗a+⃗b|⋅|⃗a|
=-2
2×2 =- 1
2
.
故选：D
9．若向量⃗a=(-7 ,t ),⃗b=(-1,4)，且⃗a⊥⃗b，则t =（ ）
A．28
B．-28
C．7
4
D．- 7
4
【答案】D
【分析】由⃗a⊥⃗b，结合⃗a⋅⃗b=0，列出方程，即可求解.
【详解】由向量⃗a=(-7 ,t ),⃗b=(-1,4)，
因为⃗a⊥⃗b，可得⃗a⋅⃗b=(-7)×(-1)+ 4t =0，即4 t +7 =0，解得t =- 7
4 .
故选：D.
10．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=5，⃗b=(3,4)，且⃗a，⃗b的夹角为π
3 ，则|⃗a-⃗b|=
（ ）
A．5 ❑√2
B．5 ❑√3
C．5
D．10
【答案】C
【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可.
【详解】由题意得|⃗b|=
❑√3
2+ 4
2=5,
|⃗a-⃗b|=
❑√(⃗a-⃗b)
2=
❑√|⃗a|
2-2⃗a⃗b+|⃗b|
2
= ❑√|⃗a|
2-2|⃗a||⃗b|cosπ
3 +|⃗b|
2= ❑√5
2-2×5×5× 1
2 +5
2=5.
故选：C.
3
1．设平面向量⃗a=(1,2),⃗b=(-3, y)，若⃗a∥⃗b，则|⃗b|等于（ ）
A．❑√5
B．2❑√5
C．20
D．3 ❑√5
【答案】D
【分析】由向量平行的坐标表示及模长公式即可求解.
【详解】由⃗a∥⃗b，
可得：y +6=0，即y =-6，
所以|⃗b|= ❑√9+36=3 ❑√5，
故选：D
2．已知向量⃗a=(x ,1),⃗b=(2, y),⃗c =(1,-2)，且⃗a ∥ ⃗c ,⃗b⊥⃗c，则向量2⃗a+⃗b在
向量⃗c上的投影向量为（ ）
A．(-1,2)
B．(1,-2)
C．(- 1
2 ,- 3
2)
D．(
1
2 , 3
2)
【答案】A
【分析】由平行向量的坐标关系可求出x，由垂直向量的坐标关系可求出y，
然后由向量投影公式即可求解.
【详解】因为向量a
→
=(x ,1), c
→
=(1,-2),a
→
// c
→，
所以-2 x =1×1，解得x =- 1
2，
所以⃗a=(- 1
2 ,1)
，
因为⃗b⊥⃗c ,⃗b=(2, y),⃗c =(1,-2)
所以2-2 y =0，解得y =1，
所以向量⃗b=(2,1)，
所以2⃗a+⃗b=(1,3)，(2⃗a+⃗b)⋅⃗c =-5，
所以2⃗a+⃗b在向量⃗c上的投影向量为(⃗2a+⃗b)⋅⃗c
|⃗c|
2
⋅⃗c =-5
5⃗c =-⃗c =(-1,2).
故选：A.
3．已知向量⃗a=(-2,6)，⃗b=(x , x + 4)，且⃗a//⃗b，则|2⃗a-3⃗b|=（ ）
A．3
B．❑√10
C．2❑√3
D．2❑√5
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出x的值，可求出向量2⃗a-3⃗b的坐
标，利用平面向量的模长公式可求得|2⃗a-3⃗b|的值.
【详解】因为向量⃗a=(-2,6)，⃗b=(x , x + 4)，由⃗a//⃗b可得6 x =-2(x + 4)，解得
x =-1，
故2⃗a-3⃗b=2(-2,6)-3(-1,3)=(-1,3)，故|2⃗a-3⃗b|=
❑√(-1)
2+3
2= ❑√10．
故选：B．
4．设向量a
→
=(x +1, x),b
→
=(x ,2)，则（ ）
A．“x =-3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件
B．“x =-3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =-1+ ❑√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义
逐项判断即可.
【详解】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，所以x⋅( x +1)+2 x =0，解得x =0或
-3，即必要性不成立，故A 错误；
对B，当⃗a//⃗b时，则2( x +1)= x
2，解得x =1± ❑√3，即必要性不成立，故B
错误；
对C，当x =0时，a
→
=(1,0),b
→
=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，
故C 正确；
对D，当x =-1+ ❑√3时，不满足2( x +1)= x
2，所以⃗a//⃗b不成立，即充分性不
立，故D 错误.
故选：C.
5．设x , y ∈R，向量⃗a=(x ,1,1),⃗b=(1, y ,1),⃗c =(3,-6,3)且⃗a⊥⃗c ,⃗b ∥ ⃗c，则
|⃗a+⃗b|=（ ）
A．2❑√2
B．2❑√3
C．4
D．3
【答案】D
【分析】根据向量垂直和共线列方程得到⃗a,⃗b，然后求模即可.
【详解】解析因为⃗a⊥⃗c，则⃗a⋅⃗c =3 x -6+3=0，解得x =1，则⃗a=(1,1,1).
因为⃗b ∥ ⃗c，则1
3 = y
-6 ，解得y =-2，即⃗b=(1,-2,1)，所以⃗a+⃗b=(2,-1,2)，
因此|⃗a+⃗b|= ❑√4 +1+ 4 =3.
故选：D.
6．已知向量⃗AB =(-2,2❑√3)，⃗CD =(2,0)，则向量⃗AB在向量⃗CD上的投影向
量为（ ）
A．-2
B．2
C．(-2,0)
D．(
1
2 ,-
❑√3
2 )
【答案】C
【分析】根据⃗AB，⃗CD的坐标结合投影向量的定义即可求得答案.
【详解】⃗AB =(-2,2❑√3)，⃗CD =(2,0)，
所以向量⃗AB在向量⃗CD上的投影向量为⃗
AB⋅⃗CD
|⃗CD|
2
⋅⃗CD = 2×(-2)+0×2❑√3
4⃗
CD =-⃗CD =(-2,0).
故选：C.
7．已知向量 a
→
=(-1,2)，b
→
=(2,-1) ，则向量 a
→ 在向量 b
→ 方向上的投影
向量为（ ）
A．4
5 b
→
B．- 4
5 b
→
C．4
5 a
→
D．- 4
5 a
→
【答案】B
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】因为向量 a
→
=(-1,2),b
→
=(2,-1) ，所以a
→
·b
→
=-2-2=- 4 ,|b
→|= ❑√5，
向量⃗a在向量⃗b方向上的投影向量为⃗a ·⃗b
|⃗b|
2⃗b=- 4
5⃗b，
故选:B．
8．已知向量⃗a=(1，2),⃗c =(-1,-3)，若向量⃗b满足(⃗c +⃗a)//⃗b，(⃗a+⃗b)⊥⃗c，
则|⃗b|=（ ）
A．7
3
B．3
C．7
D．5
3
【答案】A
【分析】设⃗b=(x , y)，根据向量平行和垂直的坐标表示即可得到方程，解出
即可.
【详解】设⃗b=(x , y)，则⃗c +⃗a=(0,-1)，⃗a+⃗b=(x +1, y +2)，
因为(⃗c +⃗a)//⃗b，(⃗a+⃗b)⊥⃗c，
所以x =0，且-(x +1)-3( y +2)=0，
即-1-3( y +2)=0，解得y =- 7
3
，则⃗b=(0,- 7
3)
，
则|⃗b|= 7
3.
故选：A.
9．已知向量⃗a=(x +1,-1),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =-2”是“⃗a∥⃗b”的充分条件
B．“x =1”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
C．“x =-2”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件
D．“x = 2
3”是“⃗a∥⃗b”的必要条件
【答案】B
【分析】由向量共线的坐标表示与向量垂直的坐标表示求出x的值，逐项判
断即可.
【详解】因为⃗a=(x +1,-1),⃗b=(x ,2)，
若⃗a∥⃗b，则2(x +1)+ x =0，解得x =- 2
3，
故“x =-2”是“⃗a ∥ ⃗b”的既不充分也不必要条件，故A 错误；
所以“x = 2
3”是“⃗a ∥ ⃗b”的既不充分也不必要条件，故D 错误；
若⃗a⊥⃗b，则x (x +1)-2=0，解得x =-2或1，
所以“x =1”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件，故B 正确；
“x =-2”是“⃗a⊥⃗b”的充分不必要条件，故C 错误；
故选：B
10．若向量⃗a=(x ,1)，⃗b=(1,-1)，且⃗a//(⃗a+3⃗b)，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．-1
B．2
C．-2
D．1
【答案】C
【分析】借助向量的线性运算及共线的坐标运算求得x，结合数量积坐标运
算计算可得.
【详解】因为向量⃗a=(x ,1)，⃗b=(1,-1)，所以⃗a+3⃗b=(x +3,-2)，
由⃗a//(⃗a+3⃗b)，可得-2 x = x +3，故x =-1，即⃗a=(-1,1)，
则⃗a⋅⃗b=-1×1+1×(-1)=-2.
故选：C.
