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3.1 平面向量的概念（讲义）
目录
1
知识点01 平面向量的定义........................................................................2
2
知识点02 向量的几何表示：....................................................................2
3
知识点03 特殊向量....................................................................................2
4
题型一、平面向量的概念.........................................................................2
5
题型二、向量的模长、相等向量、共线向量.........................................9
1 知识点01 平面向量的定义
①定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
②模长：向量的大小叫做向量的长度（或模）.
2 知识点02 向量的几何表示：
①起点、终点表示法：如果给定起点A和终点B，可将向量记作A B，并于
顶部加箭头，即⃗AB，如图：
②小写字母表示法：在给定的有向线段的上方标注小写字母，并在顶部加
箭头，如图：
③向量的模：向量⃗AB的大小，也就是向量⃗AB的长度，记作|⃗AB|．
3 知识点03 特殊向量
①零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1 个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
⑥特别规定：⃗0与任一向量平行．
4 题型一、平面向量的概念
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b
B．若⃗a=⃗b，则|⃗a|=|⃗b|
C．若|⃗a|>|⃗b|，则⃗a>⃗b
D．若|⃗a|=0，则⃗a=0
B
A⃗
a
【答案】B
【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各
选项，即得答案.
【详解】对于A，若|⃗a|=|⃗b|，但⃗a,⃗b方向不一定相同，故⃗a=⃗b不一定成立，
A 错误；
对于B，若⃗a=⃗b，即⃗a,⃗b的模相等，方向相同，则|⃗a|=|⃗b|，B 正确；
对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，
即|⃗a|>|⃗b|，不能得出⃗a>⃗b，C 错误；
对于D，若|⃗a|=0，则⃗a=⃗0，D 错误，
故选：B
2．给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若| a
→
|=|b
→
|，则⃗a=⃗b；
③在四边形ABCD中，若⃗AB =⃗DC，则四边形ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有⃗AB =⃗DC；
⑤若⃗m=⃗n，⃗n=⃗k，则⃗m=⃗k；
⑥若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c .
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项.
【详解】
解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一
定相同，故错误；
②若|⃗a|=|⃗b|，方向不同，则⃗a=⃗b 不一定成立；
③在四边形ABCD中，若⃗AB =⃗DC，则AB // DC且AB = DC，所以四边形
ABCD是平行四边形，正确；
④平行四边形ABCD中，一定有⃗AB =⃗DC，正确；
⑤若⃗m=⃗n，⃗n=⃗k，则⃗m=⃗k，正确；
⑥⃗a//⃗b，⃗b//⃗c ，则⃗a//⃗c，取⃗b=⃗0时，⃗a与⃗c不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3.
故选：B.
3．下列说法错误的是（ ）
A．|⃗CD|=|⃗DC|
B．⃗e1、⃗e2是单位向量，则|⃗e1|=|⃗e2|
C．若|AB
→|>|DC
→|，则⃗AB>⃗CD
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.
【详解】对于A 项，因为⃗CD =-⃗DC，所以|⃗CD|=|⃗DC |，故A 项正确；
对于B 项，由单位向量的定义知，|⃗e1|=|⃗e2|=1，故B 项正确；
对于C 项，由于向量不能比较大小，故C 项错误；
对于D 项，因为非零向量可以自由平行移动，故D 项正确.
故选：C.
4．下列命题：①若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b；
②若⃗a=⃗b，⃗b=⃗c，则⃗a=⃗c；
③⃗a=⃗b的充要条件是|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b；
④若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c；
⑤若A、B、C、D是不共线的四点，则⃗AB =⃗DC是四边形ABCD为平行四边
形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用
相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取⃗b=⃗0可判断④.
【详解】对于①，因为|⃗a|=|⃗b|，但⃗a、⃗b的方向不确定，则⃗a、⃗b不一定相等，
①错；
对于②，若⃗a=⃗b，⃗b=⃗c，则⃗a=⃗c，②对；
对于③，|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b⇔⃗a=⃗b或⃗a=-⃗b，
所以，所以，“|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b”是“⃗a=⃗b”的必要不充分条件，③错；
对于④，取⃗b=⃗0，则⃗a、⃗c不一定共线，④错；
对于⑤，若A、B、C、D是不共线的四点，
当⃗AB =⃗DC时，则AB//CD且|⃗AB|=|⃗DC|，此时，四边形ABCD为平行四边
形，
当四边形ABCD为平行四边形时，由相等向量的定义可知⃗AB =⃗DC，
所以，若A、B、C、D是不共线的四点，则⃗AB =⃗DC是四边形ABCD为平行
四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
5．下列说法正确的是
A．向量⃑AB与向量⃑CD是共线向量，则点A ,B ,C , D必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】D
【详解】分析：根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可
得答案．详解：
A，若向向量⃑AB与向量⃑CD是共线向量，则AB∥CD，或点A ，B，C ，D
在同一条直线上，故A 错误；
对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，
其方向可能既不相同又不相反，故B 错误；
对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C 错误；
对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且
相等的向量，其终点必相同，正确；
故选D.
点睛：本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义．
6．设⃗a，⃗b为非零向量，则“|⃗a|=|⃗b|”是“⃗a=⃗b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a，⃗b模长相等，但它们的方向可以不同，故⃗a=⃗b不
一定成立，
故|⃗a|=|⃗b|得不到⃗a=⃗b，
若⃗a=⃗b，则|⃗a|=|⃗b|，
故“|⃗a|=|⃗b|”是“⃗a=⃗b”的必要不充分条件，
故选：B.
7．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同
D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、
共线向量的定义逐一判断即可.
【详解】向量既有大小又有方向，A 不正确．
两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B 不正确．
共线的两个向量方向相同或相反，C 不正确．
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D 正确
故选：D
8．下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量⃗a，⃗b，且⃗a//⃗b，则⃗a与⃗b的方向相同或相反
B．若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b
C．若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
D．对任一非零向量⃗a，⃗a
|⃗a|是一个单位向量
【答案】D
【分析】对A，若⃗a，⃗b有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即
可判断；对C，若⃗b=⃗0即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若⃗
a=⃗0或⃗b=⃗0时，⃗a与⃗b的方向不是相同或相反，故A 错误；
对B，|⃗a|=|⃗b|，且⃗a，⃗b方向相同才可判断⃗a=⃗b，故B 错误；
对C，当⃗b=⃗0时，若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，⃗a与⃗c是任意向量，故C 错误；
对D，对任一非零向量⃗a，⃗a
|⃗a|表示与a
→方向相同且模长为1 的向量，故D 正
确.
故选：D
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．若|⃗a|=1，则⃗a=±1
B．若⃗a=⃗b，则⃗a∥⃗b
C．若|⃗a|=|⃗b|且⃗a∥⃗b，则⃗a=⃗b
D．若⃗a∥⃗0，则|⃗a|=0
【答案】B
【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相
等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向
量共线分析判断.
【详解】对于选项A：因为⃗a为向量，±1均为数量，故A 错误；
对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知a⃗=b⃗，即有⃗a∥⃗b，故B
正确；
对于选项C：例如⃗a=-⃗b≠⃗0，满足|⃗a|=|⃗b|且⃗a∥⃗b，但a⃗≠b⃗，故C 错误；
对于选项D：由零向量可知：对任意⃗a，均有⃗a∥⃗0，即|⃗a|=0不一定成立，
故D 错误；
故选：B
10．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量AB
→与BA
→的长度相等
【答案】A
【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模
的定义判断；D.由相反向量的定义判断.
【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误；
B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，
故正确；
C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确；
D.向量AB
→与BA
→是相反向量，大小相同，方向相反，故正确；
故选：A
11．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a|>|⃗b|，则⃗a>⃗b
B．若⃗a=⃗b，则⃗a//⃗b
C．若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
D．若⃗a=⃗b，⃗b=⃗c，则⃗a=⃗c
【答案】BD
【分析】根据向量的相关概念，可得答案.
【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A 错误；
相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD 正确；
当b
→
= 0
→时，向量a
→
, c
→不一定共线，故C 错误.
故选：BD.
12．（多选题）下列命题中，正确的是（ ）
A．若⃗a与⃗b都是单位向量，则⃗a=⃗b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量⃗AM与⃗AN不相等，则点M与N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】CD
【分析】由向量的有关概念判断可得.
【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A 错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故x轴，y轴不是向量，故B 错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C 正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D 正确．
故选：CD
5 题型二、向量的模长、相等向量、共线向量
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量一定是相等向量
C．若λ为实数，则向量⃗a与λ⃗a方向相同
D．单位向量的模都相等
【答案】D
【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例
说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断.
【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定
零向量的方向是任意的，故A 错误；
对于选项B：例如⃗a=⃗0，⃗b是非零向量，可知⃗a,⃗b是共线向量但不是相等向
量，故B 错误；
对于选项C：例如⃗a是非零向量，且λ<0，可知向量⃗a与λ⃗a方向相反，故C
错误；
对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都
相等，故D 正确；
故选：D.
2．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量一定是相等向量
C．若向量⃗a，⃗b同向，且|⃗a|>|⃗b|，则⃗a>⃗b D．单位向量的模都相等
【答案】D
【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.
【详解】对于A：模为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A 错
误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，
故B 错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C 错误；
对于D：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.
故选：D
3．判断下列各命题的真假：①向量⃗a与⃗b平行，则⃗a与⃗b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；
④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．1
【答案】B
【分析】根据题意，结合向量的概念，相等向量的概念，以及共线向量的
概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，向量⃗a与⃗b平行，若向量⃗a=⃗0时，因为零向量与任意向
量共线，且零向量的方向是任意的，所以①不正确；
对于②中，两个有共同起点而且相等的向量，根据相等向量的概念，可得
终点必相同，所以②正确；
对于③中，根据零向量的定义，零向量是没有方向是任意的，所以③不正
确；
对于④中，根据向量的概念，可得的向量不是有向线段，仅是向量可以用
有向线段表示，所以④不正确.
故选：B.
4．下述四个结论中，所有正确结论的编号是（ ）
①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数；
③相等向量的方向相同；④与向量⃗a方向相反的向量，叫做⃗a的相反向量．
A．①②
B．②③
C．③
D．③④
【答案】C
【分析】运用向量有关概念逐项判断即可.
【详解】零向量长度为0，有方向，①错误；
②向量的线性运算结果仍然是向量，②错误；
相等向量的方向相同，模相等，③正确；
④与向量⃗a长度相等，方向相反的向量，叫做向量⃗a的相反向量，④错误．
故选：C.
5．下列命题正确的是（ ）
A．若⃗a、⃗b都是单位向量，则⃗a=⃗b
B．若⃗AB =⃗DC，则四点A、B、C、D 构成平行四边形
C．⃗AB与⃗BA是两平行向量
D．若⃗b=-2⃗a(⃗a≠⃗0)，则⃗a是⃗b的相反向量
【答案】C
【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量
的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反
向量的定义分析判断.
【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A 错
误，
对于B，当⃗AB =⃗DC，且A，B，C，D 四点共线时，四点A、B、C、D 不能
构成平行四边形，所以B 错误，
对于C，因为⃗AB =-⃗BA，所以⃗AB与⃗BA是两平行向量，所以C 正确，
对于D，相反向量的长度相等，显然⃗b=-2⃗a(⃗a≠⃗0)时，⃗a不是⃗b的相反向量，
所以D 错误.
故选：C.
6．下列说法中正确的是（ ）
A．若|⃗a|=0，则⃗a=⃗0
B．若⃗a与⃗b共线，则⃗a与⃗b方向相同或相反
C．若e
→
1, e
→
2为单位向量，则e
→
1= e
→
2
D．与非零向量⃗a共线的单位向量是⃗a
|⃗a|
【答案】A
【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义
判断C；直接写出与非零向量⃗a共线的单位向量来判断D．
【详解】对于A，只有零向量的模为0，故A 正确；
对于B，当⃗a=⃗0时，显然⃗a与⃗b共线，但零向量的方向是任意的，故B 错误；
对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，
所以e
→
1, e
→
2不一定相等，故C 错误；
对于D，与非零向量⃗a共线的单位向量有两个，与⃗a方向相同的是⃗a
|⃗a| ，与⃗a
方向相反的是-⃗
a
|⃗a| ，故D 错误．
故选：A．
7．若向量⃗a,⃗b是两个单位向量，则（ ）
A．|⃗a|
2=|⃗b|
2
B．⃗a
2≠⃗b
2
C．a
→
- b
→
= 0
→
D．⃗a⋅⃗b=1
【答案】A
【分析】由单位向量的定义、数量积的定义以及模的性质即可逐一判断并
求解.
【详解】由单位向量的定义可知，|⃗a|=|⃗b|=1，即|⃗a|
2=|⃗b|
2，且⃗a
2=|⃗a|
2,⃗b
2=|⃗b|
2，
故A 正确，B 错误；
因为⃗a,⃗b方向和夹角不确定，故CD 错误.
故选：A.
8．下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a|=|⃗b| 则 ⃗a=⃗b
B．若⃗a//⃗b,⃗b//⃗c 则 ⃗a//⃗c
C．若⃗m=⃗n,⃗n=⃗k 则⃗m=⃗k
D．若⃗a⋅⃗b=⃗a⋅⃗c ， 则⃗c =⃗b
【答案】C
【分析】对于A，由相等向量定义可排除；对于B，借助于零向量可排除；
对于C，由相等向量的定义可得；对于D，由向量数量积定义可举反例排除.
【详解】对于A，由|⃗a|=|⃗b|不能确定⃗a,⃗b的方向，故得不到⃗a=⃗b，即A
错误；
对于B，当⃗b=⃗0时，满足⃗a//⃗b,⃗b//⃗c，但得不到⃗a,⃗c的位置关系，故B 错误；
对于C，因平面向量是自由向量，故由⃗m=⃗n,⃗n=⃗k可得⃗m=⃗k，即C 正确；
对于D，当⃗a=⃗0时，⃗a⋅⃗b=⃗a⋅⃗c =0，但得不到⃗c =⃗b，故D 错误.
故选：C.
9．下列命题：
①若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b或⃗a=-⃗b ②⃗a=⃗b的充要条件是|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b
③若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可
得答案
【详解】对于①，若|⃗a|=|⃗b|，则模相等，方向不一定相同或相反，故错
误；
对于②，当⃗a=-⃗b时也满足|⃗a|=|⃗b|且⃗a//⃗b，故错误；
对于③，当⃗b=⃗0时，满足⃗a//⃗b,⃗b//⃗c，但⃗a//⃗c不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，
故错误.
故真命题的个数是0 个.
故选：A
10．下列说法正确的是（ ）
A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
B．若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a与⃗b的长度相等且方向相同或相反；
C．若|⃗a|=|⃗b|，且⃗a与⃗b的方向相同，则⃗a=⃗b
D．若⃗a//⃗b，则⃗a与⃗b方向相同或相反
【答案】C
【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；
考虑特殊向量可判断D.
【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终
点才会在同一个圆上，故A 错误：
对于B，由|⃗a|=|⃗b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，
故B 错误；
对于C，因为|⃗a|=|⃗b|，且⃗a与⃗b同向，由两向量相等的条件，可得⃗a=⃗b，故C
正确；
对于D，依据规定：⃗0与任意向量平行，故当⃗a=⃗0时，⃗a与⃗b的方向不一定相
同或相反，故D 错误.
故选：C．
11．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量的大小为0，没有方向
B．|⃗AB|=|⃗BA|
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】B
【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根
据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD.
【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方
向，故A 错误；
对B，由于⃗AB与⃗BA方向相反，长度相等，故B 正确；
对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C 错误；
对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D 错误．
故选：B．
12．以下说法中正确的个数是（ ）
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③单位向量都是共线向量；
④零向量的长度为0，没有方向．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据向量共线及模长，零向量的定义判断各个小题即可.
【详解】共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，①
错误；
两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，②正确；
单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况，③错误；
零向量也有方向，只是方向任意，④错误．
故选：B.
13．以下说法中正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C．单位向量都是共线向量
D．零向量的长度为0，没有方向
【答案】B
【分析】根据向量的定义判断．
【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是
共线向量，A 错；
对于B，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的
模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，B 正确；
对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C 错；
对于D，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，D 错，
故选：B．
