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多选题加练(五) 平面向量
1.(2024·广州模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则( )
A.(a－b)⊥(a＋b)
B.(a－b)∥(a＋b)
C.|a－b|＝|a＋b|
D.b－a 在a 上的投影向量是a
答案 AC
解析 因为a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)，
所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0，
(a－b)⊥(a＋b)，故A 正确；
因为3×3－1×(－1)＝10≠0，故B 错误；
|a－b|＝， |a＋b|＝，故C 正确；
因为b－a＝(－3，－1)在a 上的投影向量是×＝×＝－a，故D 错误.
2.(2024·滨州模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－4)，则下列说法正确的是(
)
A.若|a＋b|＝，则m＝5
B.若a∥b，则m＝－2
C.若a⊥b，则m＝－1
D.若m＝1，则向量a，b 的夹角为钝角
答案 BD
解析 对于A，因为a＝(1，m)，b＝(2，－4)，
所以a＋b＝(3，m－4)，
|a＋b|＝＝，
解得m＝5 或m＝3，故A 错误；
对于B，因为a∥b，所以2m＝－4，解得m＝－2，故B 正确；
对于C，因为a⊥b，所以a·b＝2－4m＝0，解得m＝，故C 错误；
对于D，当m＝1 时，a＝(1，1)，a·b＝2－4＝－2<0，
又因为此时a，b 不共线，所以向量a，b 的夹角为钝角，故D 正确.
3.(2024·蚌埠模拟)关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是( )
A.若a·c＝b·c，则a＝b
B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a2＝b2，则a·c＝b·c
D.(a·b)·c＝(b·c)·a
答案 ACD
解析 对于A，若c＝0，则不一定有a＝b，A 错误；
对于B，根据分配律即可得到，B 正确；
对于C，若a2＝b2，则可能a＝－b，
那么a·c≠b·c，C 错误；
对于D，等号左边为c 的共线向量，等号右边为a 的共线向量，故D 不一定成立，
D 错误.
4.△ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量a，b 满足AB＝2a，AC＝2a＋b，
则下列结论正确的是( )
A.|b|＝1
B.(4a＋b)⊥BC
C.a·b＝－1
D.a⊥b
答案 BC
解析 因为AB＝2a，所以|AB|＝2|a|＝2，
所以|a|＝1，
又因为AC＝2a＋b，所以AC＝AB＋b，
所以b＝AC－AB＝BC，
所以|b|＝|BC|＝2，A 错误；
因为△ABC 是边长为2 的等边三角形，
所以AB，BC的夹角为，即a，b 的夹角为，
所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4|a|·|b|cos ＋|b|2＝0，
所以(4a＋b)⊥BC，B 正确；
a·b＝|a|·|b|cos ＝－1≠0，C 正确，D 错误.
5.(2024·梅州模拟)如图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，CD∥AB，CD＝AB，
E，F 分别为DC，AE 的中点，若AD＝λAB＋μBF(λ，μ∈R)，则( )
A.λ＝
B.μ＝2
C.λ＝
D.μ＝1
答案 BC
解析 因为CD∥AB，CD＝AB，
所以AD＝AE＋ED＝AE－AB，
因为F 为AE 的中点，
所以AE＝2AF＝2(AB＋BF)＝2AB＋2BF，
所以AD＝2AB＋2BF－AB＝AB＋2BF，
所以λ＝，μ＝2.故AD 错误，BC 正确.
6.(2024·云南师大附中模拟)已知e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝e1
＋e2，下列结论正确的是( )
A.|a|＝
B.a⊥b
C.〈a，b〉＝
D.a 在b 上的投影向量为－b
答案 ACD
解析 由题意可知|e1|＝|e2|＝1，
e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，
|a|2＝(e1－2e2)2＝1＋4－4×＝3，
|a|＝，故A 正确；
a·b＝(e1－2e2)·(e1＋e2)＝1－－2
＝－≠0，故B 错误；
易知|b|2＝1＋1＋2×＝3，
所以|b|＝，
因为cos〈a，b〉＝＝＝－，
又0≤〈a，b〉≤π，
所以〈a，b〉＝，故C 正确；
结合C 易知a 在b 上的投影向量为
·b＝－b，故D 正确.
7.已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A.|AB|＝
B.若AB⊥BC，则m＝－2
C.若AB∥BC，则m＝－
D.若BA，BC的夹角为锐角，则m<2 且m≠－
答案 AC
解析 因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，
所以AB＝(2，－1)，BC＝(1，m)，
A 中，|AB|＝＝，A 正确；
B 中，因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，
所以2－m＝0，所以m＝2，B 错误；
C 中，因为AB∥BC，所以2·m＝(－1)×1，
所以m＝－，C 正确；
D 中，因为BA，BC的夹角为锐角，且BA＝(－2，1)，
所以
解得m>2，D 错误.
8.(2024·武汉质检)已知向量a，b 满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a 与b 的夹角可以为
( )
A.
B.
C.
D.
答案 AB
解析 因为|a＋b|＝，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝6，
且|a－b|＝，则|a|2＋|b|2－2a·b＝2，
所以4a·b＝4，即a·b＝1，
则|a|2＋|b|2＝4，
又因为4＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，即|a||b|≤2，
设a 与b 的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ＝1，
即cos θ＝，且|a||b|≤2，
则cos θ≥，所以0≤θ≤，
则a 与b 的夹角可以为，.
9.(2024·苏锡常镇模拟)如图，矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝1，若AB＝a，AD＝
b，点E，F 分别为边BC，CD 的中点，则下列说法正确的是( )
A.EF＝－a＋b
B.EF⊥AF
C.AE·AF＝
D.cos〈AE，AF〉＝
答案 AC
解析 ∵四边形ABCD 为矩形，
∴以A 为原点，分别以AB，AD为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所
示，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)，
E，F(1，1)，
∴AB＝a＝(2，0)，AD＝b＝(0，1)，AE＝，AF＝(1，1)，EF＝，
对于A，设EF＝xa＋yb，
则＝(2x，y)，
∴x＝－，y＝，
∴EF＝－a＋b，故A 正确；
对于B，因为EF·AF＝－1＋＝－≠0，
∴EF与AF不垂直，故B 不成立；
对于C，AE·AF＝2＋＝，故C 正确；
对于D，cos〈AE，AF〉＝＝＝，故D 不成立.
10.(2024·南通模拟)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿
宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷
岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形
COD，其中∠COD＝，OC＝3OA＝3，动点P 在CD上(含端点)，连结OP 交扇形
OAB 的弧AB于点Q，且OQ＝xOC＋yOD，则下列说法正确的是( )
A.若y＝x，则x＋y＝
B.若y＝2x，则OA·OP＝0
C.AB·PQ≥－2
D.PA·PB≥
答案 ABD
解析 如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE 为x，y 轴建立平面直角坐标系，
则A(1，0)，C(3，0)，B，D，
设Q(cos θ，sin θ)，θ∈，
则P(3cos θ，3sin θ)，
由OQ＝xOC＋yOD可得
cos θ＝3x－y，sin θ＝y，且x>0，y>0，
若y＝x，
则cos2θ＋sin2θ＝＋＝1，
解得x＝y＝(负值舍去)，
故x＋y＝，A 正确；
若y＝2x，则cos θ＝3x－y＝0，sin θ＝1，
所以OP＝(0，3)，
所以OA·OP＝(1，0)·(0，3)＝0，故B 正确；
AB·PQ＝·(－2cos θ，－2sin θ)＝－sin θ＋3cos θ
＝－2sin，
由于θ∈，故θ－∈，
故－3≤－2sin≤3，故C 错误；
由于PA＝(1－3cos θ，－3sin θ)，
PB＝，
故PA·PB＝(1－3cos θ，－3sin θ)·
＝－3sin，
而θ＋∈，
所以sin∈，
所以PA·PB＝－3sin≥－3＝，故D 正确.故选ABD.
