文档内容
福建省部分达标学校 2024—2025 学年第二学期期中
高一数学质量监测
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设向量 ， ， 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
.
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【详解】因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，
所以复数 在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
3. 一个扇形的周长数值是半径数值的3倍，则这个扇形的圆心角为（ ）A. B. 1 C. D.
【答案】B
【详解】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，则 ，得 .
故选：B.
4. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由正弦定理得 ，解得 .
故选：A
5. 若向量 ， ， ，则 （ ）
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
故选：C
6. 已知向量 ， 满足 ， ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. 6 C. D. 3
【答案】A
【详解】根据公式可知向量 在向量 上的投影向量为所以 ，得 .
故选：A
7. 若 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意得 ，解得 或3.
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
8. 如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位
居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度 ，选取了与塔底 在同一
水平面内的两个测量基点 ， ，现测得 ， ， ，在点 处测得塔顶
的仰角为 （ ），则塔高 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B【详解】由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
因为在点 处测得塔顶 的仰角为 ，
所以 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】由 ，得 ， 共线，
由 ，得 ， 共线，
所以 ， ，不能组成平面向量的一组基底．
即AD不能组成平面向量的一组基底.
因为不存在实数 ，使得 ，和 ，
所以 与 不共线， 与 不共线，
故B，C符合题意．
故选：BC
10. 已知复数 ，则（ ）
A. B. 的共轭复数为C. 为实数 D. 为纯虚数
【答案】AD
【详解】因为 ，
则 ， 的共轭复数为 ， ，不是实数， ，为
纯虚数.
故选：AD.
11. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于直线 对称
【答案】ABD
【详解】由图可知 ，由 得
结合正弦曲线的图象可得 ，两式相减得 ，得 ，B正确．
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，C错误．
因为 ，所以 ，A正确．
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数 的虚部为________.
【答案】
【详解】复数 的虚部为 .
故答案为： .
13. 函数 的最小正周期为________，定义域为________.
【答案】 ①. ②.
【详解】函数 的最小正周期 .
由 ， ，得 ， ，则函数 的定义域为.
故答案为： ； .
14. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受
的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 ________.
【答案】
【详解】依题意， ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， 满足 ， ，且 .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
，
，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，
所以 .
16. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ，求 外接圆的面积；
（2）若 ， ，求 ；
（3）若 ，延长 至点 ，使得 ，证明： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
设 外接圆的半径为 .由正弦定理，得 ，
解得 ，故 外接圆的面积为 .
【小问2详解】
由余弦定理，得 .
【小问3详解】
由 ，
得 ，
代入 ，化简得 .
17. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，
.
（1）试用 ， 表示 ；
（2）求 ；
（3）若 为边 上一点，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）（3） 或 .
【小问1详解】
.
【小问2详解】
如图，
以 为原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
因为 ， ，
所以 .
【
小问3详解】
如图，设 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
得 或6.
故 或 .18. 将余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 个单位长度，进
一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，横坐标不变，得到函数 的图像．
（1）求 的解析式；
（2）求 的单调递减区间；
（3）若函数 在 上有且仅有4个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） ．
（3）
【小问1详解】
由题意余弦曲线 上所有点的横坐标变为原来的 ，得 ，
再将所得曲线向左平移 个单位长度，得 ，
再将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，得
所以 .
【小问2详解】
由 ，得 ，所以 的单调递减区间为 ．
【小问3详解】
令 ，得 ，得 ，
则函数 在 上 的图象与直线 有且仅有4个公共点．
由 ，得 ，
令 , 图象如图.
所以 ，得 ，即 的取值范围为 .
19. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 内切圆的半径；
（3）若 为 的垂心，且点 在 内，直线 与 交于点 ，且 ，求
的最大值.
【答案】（1） ；（2） ；
（3） .
【小问1详解】
因为 ，
所以 .
由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，代入数据得 .
因为 面积 ，
的
所以 内切圆的半径 .
【小问3详解】
如图，设 ， ，则 ，且 .
因为 ，所以 .由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，其中 ，
