文档文本内容
河南省南阳市第一中学校2025-2026 学年高一下学期第二次检测
数学试题
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．0
D．
2．已知
的三边长分别为1，4，
，则
最大的内角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
和
满足
，
，
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
（
）在
上单调递减，在
上单调递增，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．若函数
与函数
图象的对称中心完全一致，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知平面向量
，
，
，且
已知向量
与
所成的角为
，且
对任意实数恒成
立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
二、多选题
9．设平面向量
，
，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
与
共线
C．若
，则
D．已知
，
且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是
10．函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．函数
图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
，得到函数
的图象
D．函数
的图象向右平移
个单位长度，得到的图象关于
轴对称
11．如图，已知直线
，点
是
之间的一个定点，点
到
的距离分别为1 和2．点
是直线
上
一个动点，过点
作
，交直线于点
，则（ ）
A．
B．
面积的最小值是
C．
D．
不存在最小值
三、填空题
12．在
中，已知
，则
__________.
13．函数
的图像如图所示.已知直线
与
交于
，
，
三点且
，
是
的一个最大值点，
.则
__________.
14．已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点G 是
的重心，且
，则cos∠ACB
的取值范围为______．
四、解答题
15．（1）
；
（2）设
，
是不共线的两个向量.若
与
共线，求实数k 的值；
（3）若角
的终边在直线
上，求
的值.
16．已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
.
(1)求角C 及边c 的值；
(2)求
的最大值.
17．已知函数
．
(1)补全下列表格，用“五点法”画出
在区间
的大致图象；
0
x
0
0
(2)将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，求
的单调递增区间和对称中心的坐标．
18．已知函数
，其中
.
(1)若
两个相邻对称轴之间的距离为
，求
的值；
(2)若
，函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，
是
的一
个零点，若函数
在
（
且
）上恰好有8 个零点，求
的最小值；
(3)已知函数
，在第（2）问条件下，若对任意
，存在
，
使得
成立，求实数
的取值范围.
19．在
中，
为
的中点，
在边
上，
交
于
；且
，设
，
.
(1)试用
，
表示
；
(2)已知
，
，
.
①若
，求
的余弦值；
②已知
在
上，且
，若
，求
的范围.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
D
D
B
B
BC
ACD
题号
11
答案
ACD
1．C
【详解】
，
，
.
2．B
判断得到
为最大角，利用余弦定理表示出
，把三边长代入求出
的值，即可确定出
的度数．
【详解】设1，4，
所对角分别为A,B,C,由三角形中大边对大角，则最大角为C，
则
，
,则该三角形最大内角
为
．
故选：B．
3．A
根据题意，结合向量的运算法则，求得
，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由向量
和
满足
，
，
，
可得
，解得
，
所以向量
在向量
上的投影向量
.
故选：A.
4．A
根据题意得到
在
时取最小值，求出
，再结合
求出
值，得到
解析式，
代入求解即可.
【详解】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以当
时，函数
取得最
小值，
则
，
，解得
，
，
又
，
，所以
，所以
，
所以
，故
.
5．D
易得函数
与
的周期相等，从而可求出
，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函
数的对称中心，进而可得出答案.
【详解】因为函数
的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数
与函数
图象的对称中心完全一致，
所以函数
与
的周期相等，
则函数
的周期
，即
，所以
，
则
，
令
，故
，
令
，则
，
故
，解得
，
因为
，所以
．
故选：D．
6．D
利用平面向量基本定理、向量数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
所以
.
又在
中，
，
所以
.
所以
.
7．B
建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解.
【详解】以
中点
为坐标原点，以
为正方向为
轴，建立如图所示的直角坐标系，
设
，则
故
,当
时取到等号，
故选：B
8．B
先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出
，再用向量的三角不等式求最小值.
【详解】平方去绝对值号，由
，则
，
根据向量
与
的条件可得
，
化简可得
，
令
，由于函数开口向上，所以需要满足
，所以
.
观察所求式子内部，两者相减可将
约掉，所以可用向量的三角不等式求解，
即
，
又
，
则
的最小值为
9．BC
对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，
与
的夹角为锐角，则
，且
与
不共线
【详解】当
，在
方向上的投影相同时，显然
不一定成立，A 错误；
若
，则向量夹角
或
，
与
同向或反向，共线，B 正确；
若
，两边平方得，
，即
，C 正确；
若因为
，
，所以
，
因为
与
的夹角为锐角，则
，且
，所以D 不正确.
故选：BC
10．ACD
利用周期求出
，利用“五点法”求出
，进而求出
,再利用诱导公式，可判断A；计算
的值
看是否取得最值，即可判断B；利用伸缩变换的规则即可判断C；利用平移变换的规则求出解析式，再用
奇偶函数的定义判断D 即可.
【详解】由题意得
，
，
是“五点”中的“第三点”，故
，
所以
，故A 正确；
，故B 错误；
图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
变为
，故C 正确；
，
，故D 正确.
故选：ACD
11．ACD
根据题意建立直角坐标系，根据
及
，即可找到
，
，
三点的坐标关系，分
别写出
，
，即可判断A；取
中点为
，连接
，根据
，可得
，
，
三点共线，且
为
靠近
的三等分点，即可找到
面积与
面积之间比例关系，结合基本
不等式即可判断B；求出
，再根据基本不等式可判断C；写出
进行化简，根据
的范围即可得
到
的最值情况判断D.
【详解】设
中点为
，连接
，以
为原点，
，
方向分别为
，
轴建立如图所示直角坐标
系，
则
，
，设
，
，
，
，
，
，
且
，
所以
，
，因为
，所以
，
即
，故
，即
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，即
，
因为
，故
，所以A 正确；
因为
，所以
，即
，
所以
，
，
三点共线，且
为
靠近
的三等分点，
所以
，
当且仅当
，即
时取等，所以B 错误；
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等，故
，所以C 正确；
因为
，
；
所以
，
因为
且
，所以
，
记
，
由函数
和
在
上递增，
可知
在
上单调递增，没有最值，即
没有最小值，所以D 正确.
12．
【详解】
在
中，
，
.
又
，
由正弦定理
，得
.
13．
根据
点坐标推出函数表达式，再根据题意从
到
经过了
的一个完整周期，其中
，设
，
，带入即可得。
【详解】由图可知
是“五点作图”的第一个最大值点，
所以
且
.
.
显然，从
到
经过了
的一个完整周期，其中
.
则
，
,
,代入得
.
.
.
.
故答案为：
.
14．
建立平面直角坐标系，设
，
，则根据向量的线性运算可求出坐标
，从而可得
，再利用向量的数量积公式，结合三角函数
的取值范围从而得出结论.
【详解】以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB 的中点为D，则D，G，C 共线且
，
设
，
，则
，
故
，
故
，故
，
所以
，故
，
而
，
，
故
，
而
，故
，故
，
所以
，
．
15．（1）
（2）
或
；（3）
.
【详解】（1）原式
.
（2）
与
共线，故
，使得
，
又
，
不共线，所以
，解得
.
（3）
，
因为角
的终边在直线
上，可在角
的终边上取点
（
），
则
，所以原式
.
16．(1)
，
(2)4
【详解】（1）由
，
根据余弦定理，得
，
因为
，则
.
由
，得
，
根据正弦定理，得
，则
.
（2）由（1）知，
，
则
，即
，
当且仅当
时等号成立，
则
的最大值为4.
17．(1)表格见解析，函数图象见解析
(2)
的单调递增区间为
，对称中心的坐标为
（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可；
（2）根据三角函数图象平移变换求出
的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可．
【详解】（1）
0
x
0
1
0
0
（2）易知
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
令
，解得
，
所以
对称中心的坐标为
18．(1)
(2)
(3)
.
（1）利用正弦函数相邻对称轴间距为半个周期，求出
的最小正周期，再代入周期公式
求解
.
（2）先通过平移变换得到
的解析式，利用零点条件结合
确定
，再求出
的所有零
点，结合恰有8 个零点的条件，找到区间
的最小长度.
（3）分别求出
和
在
上的值域，根据“任意
存在
使得
”等价于
的值
域包含于
的值域，列不等式组求解
的取值范围.
【详解】（1）因为
两个相邻对称轴之间的距离为
，
所以
的最小正周期为
，
所以
，得
.
（2）由题意可得
，
因为
是
的一个零点，
所以
，
所以
，
所以
，
，或
，
，
得
，
或
，
，
因为
，所以
，
所以
.
所以
的最小正周期为
.
令
，则
，
所以
，
或
，
，
得
，
或
，
.
因为函数
在
（
且
）上恰好有8 个零点，
要使
最小，需找到跨度最小的连续个零点.
的零点为
，
或
，
.
通过比较不同起始零点的连续个零点区间的长度，
区间
的长度为
，
区间
的长度为
，
所以
的最小值为
.
（3）由（2）知
，
设
在
上的值域为A，
在
上的值域为B，
因为对任意
，存在
，使得
成立，
所以
.
当
时，
，所以
，
所以
，所以
.
当
时，
，所以
，
所以，
，所以
，
因为
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
19．(1)
；
(2)①
；②
.
【详解】（1）由
共线，得
，则
，
整理得
，
由
共线，得
，则
，
整理得
，而
不共线，
由平面向量基本定理，得
，解得
，
所以
.
（2）①（1）得
，
，
由
，得
，
则
，
，
，
所以
.
②由（1）知
，则
，
由
共线，设
.
由
，得
，而
，
，
则
，整理得
，
即
，显然
，则
，
由
，得
，则
，解得
，
所以
的范围是
.
