2026 年春期阶段性素养评价（二）高一数学试题
（考试时间：120 分钟
试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．复数z=1+i，则| z
z |=
A.2
B.√2
C.1
D.4
2．在ΔABC 中，“AB
→
⋅AC
→
>0”是“ΔABC 是锐角三角形”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．若角θ 的终边经过点P(-3t,4t)(t≠0)，则sin2θ=
A. - 24
25
B.24
25
C.- 7
25
D. 7
25
4．已知向量a、b 满足|a|=1,|b|=2，且(2a-b)·(a+3b)=-5，则a 在b 方向上的投影向量为
A.- 1
2 b
B.1
2 b
C .- 1
4 b
D.1
4 b
5．在ΔABC 中，已知B =30
∘,C = 45
∘,BC = 4 , AD⊥BC 于D，则AD 长为
A.2(√3-1)
B.2(√3+1)
C .2(3+√3)
D.2(3-√3)
6．为得到函数y =cos (2 x - π
3 )的图象，只需将函数y =-sin (2 x - π
4 )图象上所有的点
A.向左平移7 π
12 个单位长度
B.向右平移7 π
12 个单位长度
C.向左平移7 π
24 个单位长度
D.向右平移7 π
24 个单位长度
7．已知π
2 < β <α <π ,sin (α - β)= 4
5 ,,cos β =- 5
13，则sinα=
A.63
65
B.- 56
65
C.16
65
D. - 16
65
8．蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能
最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作。某生物
模型实验室复刻了一个边长为2 的正六边形蜂巢结构ABCDEF，研究人员在正六边形内
部任意取一点P 记录蜜蜂的活动轨迹。设向量AB
→为蜂巢边AB 的方向向量，AP
→为从顶点
A 到记录点P 的位移向量，则AP
→
⋅AB
→的取值范围是
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
二、选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．）
9．若z1, z2为复数，则下列选项一定正确的是
A.z1+ z1∈R
B.z1
2=| z1|
2
C.若z1
2+ z2
2=0，则z1= z2=0
D.| z1⋅z2|=| z1|⋅| z2|
10．已知向量a=(1,2),b=(2,1),c=(6,k)，则下列说法正确的是
A.若(a+b)//c，则k=6
B.与向量a、b 夹角相等的单位向量d =( √2
2 , √2
2 )
C.若要使|a+tb|最小，则t =- 4
5
D.若a 与c 的夹角为锐角，则k>-3
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车（Mercedesbenz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知
O 是ΔABC 内一点，ΔBOC ，ΔAOC ，ΔAOB 的面积分别为S A ,SB,SC则
S A⋅OA
→
+ SB⋅OB
→
+ SC⋅OC
→
=0.设O 是ΔABC 内的一点，则以下命题正确的有
A.若2OA
→
+3OB
→
+ 4OC
→
=0，则S A:SB:SC = 4:3:2
B.若OA
→
+OB
→
+OC
→
=0，则O 为ΔABC 的重心
C.若|OA
→
|=|OB
→
|=2,∠AOB = 2π
3 ，且2OA
→
+3OB
→
+ 4OC
→
=0，则Δ ABC = 9√3
4
D．若0 为ΔABC 的内心,3OA
→
+ 4OB
→
+5OC
→
=0，则∠C = π
2
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．）
12．在ΔABC 中，三边之比为3:5:7，则这个三角形的最大角为
13．在ΔABC 中，D 为AB 上一点且满足AD
→
=3 DB
→
.若P 为线段CD 上一点，且
AP
→
= λ AB
→
+ μ AC
→
( λ , μ为正实数），则1
λ + 1
3 μ的最小值为
14．已知函数f ( x)= 1
2 (sin x +cos x)- 1
2 |sin x -cos x|( x∈R)，给出下列三个命题：
①该函数的值域为[-1, √2
2 ]；
②当且仅当2kπ + π ≤x ≤2kπ + 3 π
2 ,k ∈Z时,f(x)<0；
③若x∈[0,2π] ，且方程f(x)=b 有两个实根，则实数b 的取值范围为
(- √2
2 ,0)∪(0, √2
2 )∪{-1}.
其中正确的命题为
四、解答题（本题共5 小题，共77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13 分）
已知m 为实数，i 为虚数单位，复数z = 1+mi
2-i + 1
2 .
（1）若复数z 的实部与虚部相等，求m 的值；
（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．
16.（本小题满分15 分）
求值：
（1）已知tan (θ - π
4 )=3，求cos 2θ -sin
2 θ的值；
（2）已知2sin
2 α -sin 2α
1- tan α
=k( π
4 <α < π
2 )，用k 表示cosα-sinα 的值.
17.（本小题满分15 分）
已知a>0,b∈R，函数f ( x)=acos 2 x +√3asin 2 x -2a+b.
（1）若当x∈[0, π
2 ]时，函数f(x)的值域为［-5,1]，求实数a,b 的值；
（2）在（1）条件下，求函数f(x)图象的对称中心和在（0，π）上的单调递减区间．
18.（本小题满分17 分）
已知ΔABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c ,asin A +C
2
=bsin (B+C ),b=√3.
（1）求ΔABC 的外接圆的周长．
（2）若ΔABC 为锐角三角形，求ΔABC 周长的取值范围．
19.（本小题满分17 分）
若函数y=f(x)满足f(x)=f(x+π)且f ( π
6 + x)= f ( π
6 - x)( x∈R)，则称函数y=f(x)为“T 函数”.
（1）判断函数g(x)=cos2x 是否为“T 函数”，并说明理由；
（2）已知函数f(x)是“T 函数”，且当x∈[ π
6 , 2π
3 ]时，f(x)=sinx，求函数y=f(x)在
[- π
3 , 2π
3 ]上的解析式，并求出在[- π
3 , 2π
3 ]上的单调递减区间；
（3）在（2）的条件下，当x∈[- 5 π
6 , 7 π
6 ]时，关于x 的方程f(x)=k(k 为常数）有解，记
该方程所有解的和为S，求S 的取值集合.
