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第59 练 专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动
分值：60 分
1~6 题每小题4 分，共24 分
1.(多选)如图所示，虚线MN 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN 上
的P 点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v 的电子从Q 点射出边界。已知电子入射方向与边界
MN 的夹角为θ，则( )
A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等
C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长
D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
2.如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m 的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁
场，离开磁场时的速度偏转角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为v0
2d
C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为π d
2v0
D.匀强磁场的磁感应强度大小为mv0
dq
3.(2024·山东临沂市检测)如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直
于纸面(abcd 所在平面)向外。ab 边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。已
知电子的比荷为k，不考虑电子间的相互作用及重力。则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )
1
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A.1
4 kBl，√5
4 kBl
B.1
4 kBl，5
4 kBl
C.1
2kBl，√5
4 kBl
D.1
2kBl，5
4 kBl
4.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为
m、电荷量为q 的带正电粒子由M 点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁
场。不计粒子重力，则( )
A.粒子的运动速度大小为2qBR
3m
B.粒子在磁场中运动的时间为π m
3qB
C.若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变
D.若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长
5.如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入
磁场区域，当入射速度大小为vb时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当入射速度大小为vc时，
从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力，则( )
A.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
6.(多选)半径为R 的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b 两粒子从圆周上的
P 点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B 两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b 两粒子进入磁场
时的速率之比为1∶2，AOB 为直径，∠AOP＝60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是( )
2
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A.a 粒子带正电，b 粒子带负电
B.a、b 两粒子的比荷之比为3∶2
C.a、b 两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D.a、b 两粒子的轨道半径之比为1∶3
7 题6 分，8 题14 分，9 题16 分，共36 分
7.如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 边界分开，三
角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子
(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q
m ＝1
k ，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子
的速度不可能为( )
A.BL
k
B.BL
2k
C.2BL
3k
D.BL
8k
8.(14 分)如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一
带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°。
(1)(8 分)求粒子的比荷q
m及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)(6 分)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子
的入射点沿圆弧向上平移的距离d 为多少？
3
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9.(16 分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，有一个质量不计、带正电的粒子从y 轴上的P 点以沿x 轴正
向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P 点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷q
m＝108 C/kg，速度大小
v0＝106 m/s，P 点的坐标为(0，1 m)。
(1)(4 分)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m 的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能
够垂直于x 轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B 的大小；
(2)(5 分)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q(√3 m，0)点离开第一象限，求粒子在
磁场中运动的时间t；
(3)(7 分)若磁场为一矩形区域，粒子沿与y 轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为
S＝2√2m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。
4
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答案精析
1.AD
2.B [由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝
d
sin30° ＝2d，选项A 错误；
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为ω＝v0
r ＝v0
2d ，选项B 正确；带电粒子在匀强磁场中运动的
时间为t＝30°
360° ×2π r
v0
＝π d
3 v0
，选项C 错误；根据qv0B＝mv0
2
r
，解得匀强磁场的磁感应强度大小为B＝
mv0
2dq ，选项D 错误。]
3.B [电子从a 点射出时，其运动轨迹如图线①，
轨迹半径为ra＝l
4 ，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝mva
2
ra
，又e
m＝k，解得va＝kBl
4 ；电子从d 点射出时，
运动轨迹如图线②，由几何关系有rd
2＝l2＋(rd－l
2)2，解得：rd＝5l
4 ，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝m
vd
2
rd
，又e
m＝k，解得vd＝5kBl
4
，选项B 正确。]
4.C [根据题意作出粒子运动轨迹图，
根据几何关系可知半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv
2
r ，解得v＝qBR
m ，故A 错误；根据
几何关系可知圆心角为120°，则运动时间为t＝120°
360° T＝2π m
3qB ，故B 错误；只改变粒子的速度方向，不改
变粒子的速度大小，则粒子轨迹圆的半径保持不变；则粒子轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的
交点构成菱形，故粒子出磁场时速度方向不变，故C 正确；若增大粒子的运动速度，则半径增大，轨迹如
图，
5
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根据几何关系可知圆心角减小，则粒子在磁场中的运动时间变小，故D 错误。]
5.A [设正六边形的边长为L，一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当入射速度大小为vb时，
从b 点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径rb＝L，粒子在磁场中做圆周运动的轨
迹所对应的圆心角为120°，由洛伦兹力提供向心力有Bqvb＝mvb
2
L
，得vb＝qBL
m ，tb＝1
3·2π m
qB ；当入射速
度大小为vc时，从c 点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对应的圆心角为2θ
＝60°，粒子在磁场中做圆周运动的半径rc＝L＋
1
2 L
sinθ
＝2L，同理有vc＝2qBL
m
，tc＝1
6·2π m
qB ，解得vb∶vc
＝1∶2，tb∶tc＝2∶1，A 正确。
]
6.BD [根据粒子的运动轨迹，由左手定则可知，a 粒子带负电，b 粒子带正电，A 错误；由几何关系可知，
a、b 两粒子的半径之比为r1∶r2＝1∶3，D 正确；由r＝mv
qB 可知，a、b 两粒子的比荷之比为3∶2，B 正确；
粒子在磁场中运动时间t＝l
v ＝θr
v ，θ 为轨迹所对应的圆心角，代入数据可知，a、b 两粒子在磁场中运动
时间之比为4∶3，C 错误。]
7.C [质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，
所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为r＝L
n (n＝1，2，3，…)，质子在磁场
中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv
2
r ，联立解得v＝qBr
m ＝BL
nk (n＝1，2，3，…)，可
知质子的速度不可能为2BL
3k ，故选C。]
8.(1) √3 v
3 BR √3 π R
3 v
(2)√3
3 R
6
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解析 (1)粒子的轨迹半径r＝
R
tan30°
①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv
2
r
②
由①②两式得粒子的比荷q
m ＝√3 v
3 BR
③
粒子的运动周期T＝2π r
v
④
粒子在磁场中的运动时间t＝1
6T
⑤
由①④⑤式得t＝√3 π R
3 v
。
⑥
(2)由几何关系可知，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大。
由图可知
sin θ＝R
r
⑦
平移距离d＝Rsin θ
⑧
由①⑦⑧式得d＝√3
3 R。
9.(1)0.01 T (2)2π
3 ×10－6 s (3)√2√2−2 m 或√2√2＋4 m
解析 (1)根据几何关系可知，轨迹圆半径R＝1 m，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝mv0
2
R
，解得B＝0.01
T。
(2)作出粒子的运动轨迹，如图所示，
根据几何关系有r2＝x2＋(r－L)2，sin θ＝x
r ，根据圆周运动的规律，时间t＝θr
v0
，解得t＝2π
3 ×10－6 s。
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(3)由于磁场方向未知，因此要分两种情况讨论，如图甲、乙所示，假设甲图的轨迹圆半径为R1，乙图轨迹
圆半径为R2。
甲图中，最小矩形磁场区域面积S＝2R1·R1＋2R1·√2
2 R1＝(2＋√2)R1
2，乙图中，最小矩形磁场区域面积S＝
(R2－√2
2 R2)·√2R2＝(√2－1)R2
2，分别解得R1＝√2√2−2 m，R2＝√2√2＋4 m。
8
