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第五章 第23 练 万有引力定律及应用
分值：60 分
1~7 题每小题4 分，共28 分
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2.(2024·广西卷·1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b 和c
处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A.a 处最大
B.b 处最大
C.c 处最大
D.a、c 处相等，b 处最小
3.(2022·全国乙卷·14)2022 年3 月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km 的“天宫二
号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞
行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
4.(2024·山东烟台市三模)北京时间2024 年1 月5 日19 时20 分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载
火箭，成功将天目一号气象星座15-18 星(以下简称天目星)发射升空，天目星顺利进入预定轨道。天目星的发
射变轨过程可简化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为h1的圆形轨道Ⅰ上，在天目星经过A 点时点
火实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，最后在椭圆轨道的远地点B 点再次点火将天目星送入距地面高度为h2的圆形轨
道Ⅲ上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭圆轨道从A 点运动到B 点的时间为( )
1
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A. π
2 R√
(h1+h2+ R)
3
2g
B. π
2 R√
(h1+h2+2 R)
3
2g
C. π
R√
(h1+h2+2 R)
3
2g
D. π
R√
(h1+h2+2 R)
3
g
5.(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已
知火星质量约为月球的9 倍，半径约为月球的2 倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2 倍。在
着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受
着陆平台的作用力大小之比为( )
A.9∶1
B.9∶2
C.36∶1
D.72∶1
6.(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月
球的平均密度为( )
A.3 π(1＋k )
3
GT
2k
3
B. 3 π
GT
2
C.π(1＋k )
3GT
2k
D. 3 π
GT
2(1＋k)3
7.(多选)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和
铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的
影响，则下列说法正确的是( )
A.月球表面的自由落体加速度g 月＝2h
t
2
B.月球的质量M＝2h R
2
Gt
2
C.月球的密度ρ＝
3h
2π RGt
D.月球的密度ρ＝
3h
2π RGt
2
8~11 题每小题6 分，12 题8 分，共32 分
8.(2024·山东卷·5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星
的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A.√
r
3
a
3
B.√
a
3
r
3
C.r
3
a
3
D.a
3
r
3
2
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9.如图所示，A、B 两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O 为地心，在两卫星运行过程中，AB 连线和OA 连线的
夹角最大为θ，则A、B 两卫星( )
A.做圆周运动的周期之比为2√
1
sin
3θ
B.做圆周运动的周期之比为
1
sin
3θ
C.与地心O 连线在相等时间内扫过的面积之比为√
1
sinθ
D.与地心O 连线在相等时间内扫过的面积之比为1
sinθ
10.(2024·山东省联考)2023 年9 月21 日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、
朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课。若梦天实验舱做匀速圆周运动的轨道半径是地球
半径的k 倍，梦天实验舱与地球中心的连线在时间t 内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G，
则( )
A.梦天实验舱的运行周期为π R
2
S0
t
B.地球的质量为3 S0
2
GkRt
2
C.梦天实验舱处的重力加速度大小为4 π S0
2
k
3 R
3t
2
D.地球的密度为
3 S0
2
π kG R
4t
2
11.(2024·山东济宁市育才中学月考)将一质量为m 的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为
mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，
已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A.g0小于g
B.地球的质量为g R
2
G
3
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C.地球自转的角速度为ω＝√
g0−g
R
D.地球的平均密度为
3 g
4 π GR
12.已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面
不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x 表示某位置到该星球球心的距离，用g 表示该位置
处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g 与x 的关系图像可能正确的是( )
4
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答案精析
1.C 2.A 3.C
4.B [根据万有引力与重力的关系G Mm
R
2 =mg，在圆形轨道Ⅰ上，根据万有引力提供向心力G
Mm
( R+h1)
2=m4 π
2
T 1
2
(R+h1)，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a=2 R+h1+h2
2
，根据开普勒第三定律( R+h1)
3
T 1
2
= a
3
T 2
2，解得天目星沿椭圆轨道
Ⅱ的周期为T2= π
R√
(h1+h2+2 R)
3
2 g
，天目星沿椭圆轨道从A 点运动到B 点的时间为t=1
2
T2=
π
2 R√
(h1+h2+2 R)
3
2 g
，故选B。]
5.B [悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝GmM
R
2 ，可得F祝融
F玉兔
＝G M 火m祝融
R火
2
∶G M 月m玉兔
R月
2
＝9
2
2
×2＝9
2，故选B。]
6.D [设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G
Mm
[(k +1)R ]
2
＝m4 π
2
T
2
·(k+1)R
月球的体积V＝4
3 πR3
月球的平均密度ρ＝M
V
联立可得ρ＝3 π
GT
2 (1+k)3，故选D。]
5
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7.ABD [月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝1
2g 月t2，则月球表面的自由落体加速度g 月＝2h
t
2 ，故A
正确；不考虑月球自转的影响，有G Mm
R
2
＝mg 月，得月球的质量M＝2h R
2
Gt
2
，故B 正确；月球的密度ρ＝
M
V ＝
2h R
2
Gt
2
4 π
3 R
3 ＝
3h
2π RGt
2，故C 错误，D 正确。]
8.D [由GMm
r
2
＝m4 π
2
T
2
r 得：r
3
T
2 ＝GM
4 π
2
根据开普勒第三定律r
3
T
2
＝k，
则k＝GM
4 π
2
可见，开普勒第三定律中的k 值与中心天体质量有关，地球质量M 地＝4 π
2r
3
GT
2
，同理，对“鹊桥二号”中继
星，可得月球质量M 月＝4 π
2a
3
GT 月
2，
因“鹊桥二号”与地球同步卫星周期相同，
所以M 月
M 地
＝a
3
r
3
，故选D。]
9.C [夹角最大时，OB 与AB 垂直，根据几何关系有rB＝rAsin θ，由开普勒第三定律可得T A
2
T B
2 ＝r A
3
rB
3 ，则
T A
T B
＝√
1
sin
3θ
，A、B 错误；t 时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝t
T
·πr2，则S A
SB
＝T B
T A
·r A
2
rB
2 ＝√
1
sinθ
，C
正确，D 错误。]
10.D
6
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[梦天实验舱绕地球运行一周，其与地心连线扫过的面积为S=π(kR)2，则梦天实验舱的运行周期T= S
S0
t=
π k
2 R
2
S0
t，A 错误；根据万有引力提供向心力有G Mm
(kR)
2=m4 π
2
T
2
kR，可得地球的质量M= 4 S0
2
GkR t
2
，B 错误；由
ρ= M
V
、V=4
3
πR3，可得地球的密度ρ=
3 S0
2
π kG R
4t
2
，D 正确；根据万有引力等于重力有G Mm
(kR)
2=mg，梦天实验
舱处的重力加速度大小g= 4 S0
2
k
3 R
3t
2
，C 错误。]
11.C [设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径
等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有G Mm
R
2 －mg
＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G Mm
R
2 ＝mg0，所以g0>g，故A 错误；在两极有mg0＝G
Mm
R
2
，解得M＝g0 R
2
G
，故B 错误；由G Mm
R
2
－mg＝mω2R，mg0＝G Mm
R
2
，解得ω＝
√
g0−g
R
，故C 正确；地
球的平均密度ρ＝M
V ＝
g0 R
2
G
4
3 π R
3 ＝
3 g0
4 π GR
，故D 错误。]
12.A [设星球的半径为R，地球的密度为ρ，当x≤R，距地球球心x 处的物体受到的万有引力与该处的重力
的关系为G
4
3 π ρ x
3m
x
2
＝mg，可得g＝4 π Gρx
3
，当x>R，距地球球心x 处的物体受到的万有引力与该处的重
力的关系为G
4
3 π ρ R
3m
x
2
＝mg，可得g＝4 π Gρ R
3
3 x
2
，故选A。]
7
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