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第4 讲 万有引力定律及应用
学习目标 1.了解开普勒三定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。 2.理
解万有引力定律的内容，知道适用范围。 3.掌握计算天体质量和密度的方法。
1.
1.思考判断
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)
(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G 计算物体间
的万有引力。(×)
(4)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(√)
2.2022 年11 月30 日，天和核心舱与神舟十五号载人飞船成功对接。已知天和核
心舱绕地球做圆周运动的轨道离地高度为地球半径的，不考虑地球自转，则宇航
员在天和核心舱受到地球的引力是其在地球表面重力的( )
1
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A.
B.
C.
D.
答案 D
考点一 开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度
之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
4.开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不
同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
例1 (多选)如图1 所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日
点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之
间的相互作用，则海王星在从P 经过M、Q 到N 的运动过程中( )
图1
A.从P 到M 所用的时间等于
B.从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大
C.从P 到Q 阶段，速率逐渐变小
D.从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案 CD
解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 所用时间为T0，根据开普勒第
二定律可知，从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所
2
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用的时间小于T0，选项A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故
机械能守恒，选项B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐
渐变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有
引力对它先做负功后做正功，选项D 正确。
例2 (多选)如图2 所示，两质量相等的卫星A、B 绕地球做匀速圆周运动，用
R、T、Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内
扫过的面积。下列关系式正确的有( )
图2
A.TA＞TB
B.EkA＞EkB
C.SA＝SB
D.＝
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律知，A、D 正确；由＝和Ek＝mv2可得Ek＝，因RA＞
RB，mA＝mB，则EkA＜EkB，B 错误；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星
绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星
A、B，SA不等于SB，C 错误。
考点二 万有引力定律的理解和应用
3
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角度
万有引力定律的理解及简单计算
例3 (2023·新课标卷，17)2023 年5 月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟
六号，携带约5 800 kg 的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面
的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物
资( )
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
答案 D
解析 物体的质量由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A 错误；物资
所受地球引力的大小F＝G，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C 错误；
空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆
周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度大于地球
自转角速度，D 正确；物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式
Fn＝mω2r 可知，对接后物资所受合外力比静止在地面上时的大，B 错误。
角度
“挖补法”求解万有引力
例4 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有
一质量为m 的质点。现从球体中挖去半径为0.5R 的小球体，如图3 所示，引力
常量为G，则剩余部分对m 的万有引力为( )
图3
4
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A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 挖去小球前球与质点的万有引力F1＝G＝，挖去的球体的质量M′＝M＝，
被挖部分对质点的引力为F2＝＝，则剩余部分对质点m 的万有引力F＝F1－F2
＝，故A 正确。
角度
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是物体的重力mg，二是提供物体
随地球自转的向心力Fn，如图4 所示(设地球质量为M)。
图4
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G 等于重力mg 与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两
极g 值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于
重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。
例5 (2024·广东广州高三期中)2020 年9 月，我国明确提出2030 年“碳达峰”与
2060 年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致
温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m 的北
极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆
内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径
为( )
A.
B.
5
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C.
D.
答案 A
解析 设地球的质量为m 地，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，
即－mg＝mR，北极熊在北极时，有＝mg′，根据题意，有ΔF＝mR，得R＝，A
正确，B、C、D 错误。
角度
星体上空及星体内部重力加速度的求解
1.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝，所以＝。
2.万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，
即∑F 引＝0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径
为r 的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。
例6 近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m 大关，我国的北斗导航
系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引
力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫
星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的
重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G
＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR，在深度为d 的地球
内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，
6
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“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1＝πGρ(R－d)，联立可得＝，卫星
在高度h 处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2＝，解得加速度g2＝
＝g，所以＝，故C 正确。
考点三 天体质量和密度的计算
天体质量和密度的计算方法
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的
计算
利用运行
天体
r、T
G＝mr
m 中＝
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
G＝m
m 中＝
v、T
G＝m，G＝mr
m 中＝
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝
m 中＝
—
密度
的计算
利用运行
天体
r、T、R
G＝mr
m 中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R
时，ρ＝
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝，m 中＝
ρ·πR3
ρ＝
—
角度
重力加速度法
例7 我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星
表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近
以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面
时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
A.火星表面重力加速度大小是
B.火星的半径是
C.火星的质量是
D.火星的密度是
答案 C
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解析 设物体在火星表面附近做类平抛运动的时间为t，水平方向x＝v0t，竖直
方向h＝g′t2，联立得g′＝，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度
为g′＝ω2R＝R，联立得R＝，A、B 错误；在火星表面有mg′＝G，解得M＝，C
正确；火星的密度ρ＝＝，D 错误。
角度
环绕法
例8 (2023·辽宁卷，7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近
似相等，如图5 所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为
T2，地球半径是月球半径的k 倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
图5
A.k3
B.k3
C.
D.
答案 D
解析 设太阳、地球、月球的半径分别为R 太、R 地、R 月，月球绕地球转动的半
径为r 月，地球绕太阳转动的半径为r 地，根据题意，由几何关系，有＝，根据万
有引力提供向心力，有＝m 月r 月，＝M 地r 地，星球的密度
ρ 地 ＝，ρ 太＝，可得＝＝，故D 正确，A、B、C 错误。
(多选)(2024·山东临沂模拟)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火
星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的
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密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G 已知，忽略火星
自转的影响)( )
火星的小档案
直径d＝6 794 km
质量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2近火卫星周期T＝3.4 h
A.ρ＝
B.ρ＝
C.ρ＝
D.ρ＝
答案 ACD
解析 设近火卫星的质量为m，火星的质量为M，对近火卫星，火星的万有引力
提供其做匀速圆周运动的向心力，则有＝·，可得M＝，可得火星的密度为ρ＝
＝，将M＝代入上式可得ρ＝，故C、D 正确；又火星对近火卫星的万有引力近
似等于近火卫星的重力，则有mg0＝G，解得M＝，因此火星的密度为ρ＝＝
＝，A 正确，B 错误。
A 级 基础对点练
对点练1 开普勒三定律的理解和应用
1.(2024·江苏南京模拟)某行星绕太阳运动的轨道如图1 所示，则以下说法正确的
是( )
图1
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A.该行星在a 点的向心加速度比在b、c 两点的都大
B.该行星在a 点的速度比在b、c 两点的速度都更小
C.行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的
D.行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心上
答案 A
解析 根据a＝知该行星在a 点的向心加速度比在b、c 两点的都大，A 正确；根
据开普勒第二定律可知近日点速度最大，所以该行星在a 点的速度比在b、c 两
点的速度都更大，B 错误；由开普勒第二定律知相等时间内，太阳和运动着的行
星的连线所扫过的面积是相等的，C 错误；由开普勒第一定律可知，太阳一定在
椭圆的一个焦点上，行星绕太阳做椭圆运动，D 错误。
2.(2024·云南师大附中质检)如图2 所示，“天问一号”从地球发射后，沿着地火
转移椭圆轨道从P 点运动到Q 点。已知地球和火星绕太阳的公转轨道半径分别
为1.5×1011 m 和2.3×1011 m，则“天问一号”从P 点运动到Q 点的时间约为(
)
图2
A.0.2 年
B.0.7 年
C.1.4 年
D.2.0 年
答案 B
解析 分析可知地火转移轨道的半长轴a＝ m＝1.9×1011 m，根据开普勒第三定
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律＝，代入数据可得T≈1.4 年，则“天问一号”从P 点运动到Q 点的时间约为t
＝＝0.7 年，故B 正确。
3.如图3 所示，1、2 分别是A、B 两颗卫星绕地球运行的轨道，1 为圆轨道，2 为
椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4 倍。P
点为椭圆轨道的近地点，M 点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A 的周期。则下列
说法正确的是( )
图3
A.B 卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小
B.地心与卫星B 的连线在TA时间内扫过的面积为椭圆面积
C.卫星B 的周期是卫星A 的周期的8 倍
D.1 轨道圆心与2 轨道的一个焦点重合
答案 D
解析 根据万有引力定律有F＝G，B 卫星在由近地点向远地点运动过程中受到
地球引力逐渐减小，A 错误；由题意知B 卫星半长轴为A 卫星圆轨道半径的2 倍，
根据开普勒第三定律得＝，解得TB＝2TA，所以地心与卫星B 的连线在TA时间内
扫过的面积小于椭圆面积，B、C 错误；1 轨道圆心在地心，2 轨道的一个焦点也
在地心，所以二者重合，D 正确。
对点练2 万有引力定律的理解和应用
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4.(2022·全国乙卷，14)2022 年3 月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地
球表面约400 km 的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精
彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，
航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
答案 C
解析 航天员所受地球引力大小不为零，在空间站中所受的地球引力完全提供做
圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故A、B 错误，C 正确；根据F＝
G 可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，
因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D 错误。
5.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处
的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该
天体的半径为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 在“极点”处mg2＝；在其表面“赤道”处－mg1＝mR，解得R＝，故C
正确。
6.(2023·山东卷，3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可
能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之
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间的距离r 大约是地球半径的60 倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜
想，月球绕地球公转的周期为( )
A.30π
B.30π
C.120π
D.120π
答案 C
解析 设地球半径为R，由题意知，r＝60R，地球表面的重力加速度为g，则有
mg＝G，月球绕地球公转，由万有引力提供向心力，有G＝m 月r，联立解得T＝
120π，故C 正确。
7.质量为m 的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度
由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1 倍，半径约为地球的0.5
倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为
一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A.m
B.m
C.m
D.m
答案 B
解析 着陆器向下做匀减速运动时的加速度大小a＝＝。在天体表面附近，有
mg＝G，则＝×，整理得g 火＝0.4g，由牛顿第二定律知，F－mg 火＝ma，解得制
动力F＝m，B 项正确。
对点练3 天体质量和密度的计算
8.2022 年8 月10 日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉
林一号”组网星中的16 颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨
道，发射任务取得圆满成功。这16 颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测
量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为
p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为( )
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A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，
有G＝mr，由题意可知r3＝pT2，联立解得M＝，故C 正确。
9.(多选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，
二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面。
已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确
的是( )
A.月球表面的自由落体加速度g 月＝
B.月球的质量M＝
C.月球的密度ρ＝
D.月球的密度ρ＝
答案 ABD
解析 月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g 月t2，则月球表面的自由落
体加速度g 月＝，故A 正确；不考虑月球自转的影响，有G＝mg 月，得月球的质
量M＝，故B 正确；月球的密度ρ＝＝＝，故C 错误，D 正确。
B 级 综合提升练
10.(2024·天津南开高三期末)2022 年10 月，太原卫星发射中心使用长征二号丙运
载火箭，成功将S－SAR01 星发射升空，这颗卫星主要为应急管理、生态环境主
体业务提供国产化数据保障，若S－SAR01 星绕地球做匀速圆周运动的轨道距地
面高度为h，地球的半径为R，地球表面北极的重力加速度为g，引力常量为
G。下列说法正确的是( )
A.地球的质量为M＝
B.S－SAR01 星轨道处的重力加速度为
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C.地球的平均密度为
D.S－SAR01 星运行的速度为
答案 B
解析 根据地球表面两极处万有引力等于重力有＝mg，可得M＝，则地球的平
均密度为ρ＝＝，故A、C 错误；根据＝mg′，结合M＝，可得S－SAR01 星轨道
处的重力加速度g′＝，故B 正确；根据＝m，结合M＝可得S－SAR01 星运行的
速度v＝，故D 错误。
11.某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径r 与运行周期T 的关系如图4 所
示。行星的半径为R0，引力常量为G，图中a、b 为已知量。下列说法正确的是(
)
图4
A.绕该行星表面运行卫星的周期为
B.该行星的质量为
C.该行星的密度为
D.该行星表面的重力加速度为
答案 C
解析 根据开普勒第三定律有＝k，且k＝，可得T＝，A 错误；由万有引力提供
向心力得G＝mr，得＝，可得＝，解得M＝，B 错误；由ρ＝，且V＝πR，可得
ρ＝＝＝，C 正确；由G＝mg 得g＝＝＝，D 错误。
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12.(2023·6 月浙江选考，9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动
的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径
r 的n 倍，月球绕地球公转周期为T0，则( )
A.木卫一轨道半径为r
B.木卫二轨道半径为r
C.周期T 与T0之比为n
D.木星质量与地球质量之比为n3
答案 D
解析 木卫三绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝
m 木卫三nr，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m 月r，联立
解得木星质量与地球质量之比＝n3，D 正确；如果地球、木星质量相等，则根据
上式可知＝n3，但木星、地球质量并不相等，C 错误；设木卫一、木卫二、木卫
三的轨道半径分别为R1、R2、R3，根据开普勒第三定律＝k，可知R∶R∶R＝
1∶4∶16，所以木卫一的轨道半径为，木卫二的轨道半径为，A、B 错误。
13.将一质量为m 的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为
mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均
匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A.g0小于g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω＝
D.地球的平均密度为
答案 C
解析 设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于
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地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随
地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到
的重力等于万有引力，即G＝mg0，所以g0>g，故A 错误；在两极有mg0＝G，
解得M＝，故B 错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C 正确；地球
的平均密度ρ＝＝＝，故D 错误。
17
