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2027 届高一年级第五次周练数学试卷--1
2027 届高一年级第五次周练数学试卷 3.23
一、单选题
1．“点
在第二象限”是“角
为第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是
，则这个扇形的中心角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知
为平行四边形
内一点，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．为了得到
的图象，只要把
的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
6．在
中，
、分别在边
、
上，且
，
，在边
上（不包
含端点）．若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，若
在区间
上不单调，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知曲线
，
，其中
．点
，，是曲线
与
依次相邻的三个交点．若
是等腰直角三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．对于平面向量
，下列命题不正确的是（ ）
A．若向量
与
不相等，则
B．若
，则向量
C．若向量
与
不共线，则
与
都是非零向量
D．若向量
与
共线，向量
与共线，则向量
与也共线
10．已知角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
的最小正周期为
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．将
的图象向右平移
个单位长度，得到一个奇函数的图象
D．若
，且
，则
的最小值为
三、填空题
12．设
是两个不共线的向量，若
，且
三点共
线，则实数
的值为 .
13．已知函数
（
，
）图象经过点
，若
在
上
有且只有两个最值点，则实数
的取值范围是 ．
14．已知函数
在
上恰有两个零点，且在
上单调
递减，则下列说法正确的是 ．
①若
，则
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象
②
2027 届高一年级第五次周练数学试卷--2
③
在
上有且仅有两条对称轴
④不存在
，使得
在
上单调递减
四、解答题
15．设
是不共线的两个非零向量．
(1)若
，求证：
三点共线；
(2)若
与
共线，求实数k 的值，并指出
与
反向共线时k 的取
值
16．已知函数
的最小正周期
为函数
的
一个对称中心.
(1)求函数
的最小值，并求出取得最小值时自变量
的集合；
(2)设函数
，若对任意的
，都有
，求实数
的取值范围.
17．上高二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入
学面试时共有道题目，答对
道题则通过面试（前
道题都答对或都答错，第道题均不需
要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为
，小华答对每道题目的概率依次为
、、，
且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答
道题就结束面试”为事件
，记“小华道题都回答且通过面试”为事件
．
(1)求事件
发生的概率
；
(2)求事件
和事件
同时发生的概率
；
(3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
18．已知函数
，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
，
且经过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)当
，方程
有解，求实数
的取值范围；
(3)若方程
在区间
上恰有三个实数根
，且
，求
的取值范围．
19．已知函数
.
(1)当
时，求方程
的解：
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围：
(3)若函数
在
上的最小值为
，求
的值.
2027 届高一年级第五次周练数学试卷--3
2027 届高一年级第五次周练数学试卷参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
B
A
A
D
ABD
ACD
题号
11
答案
BD
12．
13．
14．②③④
15．(1)证明见解析 (2)
，
【详解】（1）由
，
得
，
，
所以
，且有公共点B，
所以
三点共线.
（2）由
与
共线，
则存在实数
，使得
，
即
，
又
是不共线的两个非零向量，因此
，
解得
，或
，
实数k 的值是
.
当
时，
与
反向共线
16．(1)最小值为
，
的集合为
；(2)
.
【详解】（1）由
的最小正周期为
，且
，得
，解得
，
由
为
的对称中心，得
，解得
，
，
由
，得
，则
，
，
此时
，即
，
所以函数
的最小值为
，取得最小值的
的集合为
.
（2）由
，得
，即
，
令
，由
，得
，则
，
由对任意的
，都有
，得
在
恒成立，
令
，
，
当
，即
时，
，解得
，因此
；
当
，即
时，
，解得
，因此
；
当
，即
时，
，解得
，无解，
所以实数
的取值范围是
.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若事件
发生，则小明前两题都答对或都答错，
所以，
.
（2）若事件
发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，
根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为
，
由题意可知，事件
、
相互独立，则
.
（3）记小明没有通过面试为事件
，
即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
则小明没有通过面试的概率为
，
2027 届高一年级第五次周练数学试卷--4
可得小明通过面试的概率为
，
而由（1）可得小华通过面试的事件记为
，则概率为
，
由题意可知，事件
、
相互独立，
则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为
，
则概率为
．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设
的最小正周期为
，由题意得
，得周期
，
所以
，得
，因为
，所以
，
所以
，
因为
的图象过点
，所以
，得
，
因为
，所以
，故
．
（2）
，
即
有解，
由
，得
，
所以
，所以
，
所以
，即
．
（3）
，设
，则
，
由“方程
在区间
上恰有三个实数根
”，
得“方程
在区间上恰有三个实数根
”，
则
的图象如下：
即
，
由图得，
，
，
即
，
综上
．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当
时，函数
.
令
，当
时，
，方程
可化为
，
解得
，所以
；
当
时，
，方程
可化为
，
解得
，舍去.
综上所述，方程
的解为
.
（2）当
时，
，所以
，
由题意得
在
上有解，
即
在
上有解，
所以
在
上有解，
因为
在
上的最小值为
，所以
.
（3）因为
的定义域为
，
，
所以
为偶函数.
由题意知，只需考虑函数
在
上的最小值.
当
时，
，
.
因为
，
所以
.
令
，则
在
上单调递增，所以
，
2027 届高一年级第五次周练数学试卷--5
.
当
即
时，
在
上单调递增，
所以
，舍去；
当
即
时，
，解得
（正值舍去）.
综上所述，
的值是
.
