专题突破练4 平面向量的综合应用
必备知识夯实练
1.(2023 全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=( )
A. 1
17
B.
❑√17
17
C.
❑√5
5
D.2❑√5
5
2.(2025 浙江金华三模)已知|a|=1,|a+b|=❑√5,向量a 与b 的夹角为π
4
,则|b|=( )
A.1
B.❑√2
C.❑√3
D.2❑√2
3.(2024 全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3 是a⊥b 的必要条件
B.x=-3 是a∥b 的必要条件
C.x=0 是a⊥b 的充分条件
D.x=-1+❑√3是a∥b 的充分条件
4.(2025 江苏南通一模)若非零向量a,b 满足|a|=2|b|,且向量b 在向量a 上的投影向量是-
1
4
a,则向量a 与b 的夹角为( )
A.π
6
B.2π
3
C.5 π
6
D.π
5.(2025 湖南长沙模拟)已知菱形ABCD 的边长为1,∠DAB=60°,E 是BC 的中点,AE 与BD
相交于点F,则⃗AF ·⃗AB=( )
A.2
3
B.5
6
C.1
D.7
6
6.(2025 山东烟台一模)在△ABC 中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,⃗BC=3⃗BD,则|⃗AD|=( )
A.❑√7
B.❑√13
C.❑√21
D.2❑√7
7.(2025 江苏南京二模)在四边形ABCD 中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2CD=2,E 是线段
AD 的中点,F 是线段BE 上的动点,可以与点B,E 重合,则⃗FB·⃗FC的最小值为( )
A.-4
3
B.-5
4
C.-4
5
D.-7
9
8.(2025 广东惠州模拟)已知平面向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,且(a-2b)⊥a,则|a-b|= .
9.(2025 江苏南京模拟)如图,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别与AB,AC 两边
交于M,N 两点,设⃗AM=x⃗AB ,⃗AN=y⃗AC,则x+4y 的最小值为 .
关键能力提升练
10.(2025 山东济南二模)在正方形ABCD 中,AB=4,E 为AB 的中点,F 为BC 边上靠近点C
的四等分点,AF 与DE 交于点M,则cos∠EMF=( )
A.-2❑√5
25
B.-2❑√5
5
C.2❑√5
25
D.2❑√5
5
11.(2022 北京,10)在△ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P 为△ABC 所在平面内的动点,且
PC=1,则⃗PA ·⃗PB的取值范围是( )
A.[-5,3]
B.[-3,5]
C.[-6,4]
D.[-4,6]
12.(多选题)(2025 浙江台州二模)已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则下列选项正确的是( )
A.|a+b+c|的取值范围是[0,9]
B.(a+b)·(a+c)的最大值为30
C.(a+b)·(a+c)的最小值为-21
2
D.(a+b)·(a+c)的最小值为-10
13.(2025 北京,10)已知在平面直角坐标系xOy 中,|⃗OA|=|⃗OB|=❑√2,|⃗AB|=2,设C(3,4),则|2⃗
CA +⃗AB|的取值范围是( )
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
核心素养创新练
14.(2025 山东青岛模拟)“超椭圆”C:|
x
a|
n
+|
y
b|
n
=1(n>0)是一种优美的封闭曲线.如图是当
n=1
2
,a=b=1 时C 的图象,点Q 是C 与y 轴正半轴的交点,过原点O 的直线交C 于点A,B,
则⃗QA ·⃗QB的取值范围是( )
A.[-1
8 , 5
8
]
B.[-1
8 , 7
8
]
C.[0,5
8
]
D.[0,7
8
]
答案：
1.B 解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cos<a+b,a-b>=
(a+b)·(a-b)
|a+b||a-b|
=
5×1+3×(-1)
❑√5
2+3
2×
❑√1
2+(-1)
2 =
2
2❑√17 =
❑√17
17 .故选B.
2.B 解析 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|×
❑√2
2
+|b|2=|b|2+❑√2|b|+1=5,解得|b|=❑√2
或|b|=-2❑√2(舍去).故选B.
3.C 解析 若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0 或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+
❑√3或x=1-❑√3.故选C.
4.B 解析 ∵b 在a 上的投影向量为a·b
|a|
2 ·a=-1
4
a,∴a·b
|a|
2 =-1
4
,∴a·b=-1
4
|a|2,则
cos<a,b>= a·b
|a||b| =
- 1
4 |a|
2
|a|· 1
2 |a|
=-1
2
,
∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=2π
3 .故选B.
5.B 解析 因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,
所以△FEB∽△FAD,所以AF
EF = AD
EB
=2,所以⃗AF = 2
3⃗AE = 2
3 (⃗AB+ 1
2⃗AD)=2
3⃗AB+ 1
3⃗AD,故⃗
AF ·⃗AB=(2
3⃗AB+ 1
3⃗AD)·⃗AB = 2
3⃗AB
2+ 1
3⃗AD·⃗AB = 2
3 ×12+1
3 ×1×1× 1
2 = 5
6 .故选B.
6.C 解析 在△ABC 中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,⃗BC=3⃗BD,
所以⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 1
3⃗BC =⃗AB+ 1
3 (⃗AC −⃗AB)=2
3⃗AB+ 1
3⃗AC,
则|⃗AD|=❑√
4
9⃗AB
2+ 1
9⃗AC
2+ 4
9⃗AB·⃗AC
=❑√
4
9 |⃗AB|
2+ 1
9 |⃗AC |
2+ 4
9 |⃗AB||⃗AC |cos60°
=❑√
4
9 ×6
2+ 1
9 ×3
2+ 4
9 ×6×3× 1
2
=❑√21.
故选C.
7.C 解析 如图,以A 为坐标原点,以直线AB,AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系.
因为AB=AD=2CD=2,E 是线段AD 的中点,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1),而F 是
线段BE 上的动点,从而可设⃗AF=λ⃗AB+(1-λ)⃗AE=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以点
F 的坐标是(2λ,1-λ),所以⃗FB=(2-2λ,-1+λ),⃗FC=(1-2λ,1+λ),⃗
FB·⃗FC=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5( λ - 3
5 )
2
−4
5
,λ∈[0,1],
所以当λ=3
5
时,⃗FB·⃗FC取最小值-4
5 .故选C.
8.2 解析 因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,因为|a|=1,所以2a·b=1,又|b|=2,所
以|a-b|=❑√(a-b)
2=
❑√a
2+b
2-2a·b=
❑√1
2+2
2-1=2.
9.3 解析 因为点G 为△ABC 的重心,可得⃗AG = 1
3 (⃗AB+⃗AC)= 1
3 x⃗AM + 1
3 y⃗AN,
又因为G,M,N 三点共线,所以1
3 x + 1
3 y
=1,
易知x>0,y>0,所以x+4y=(x+4y)( 1
3 x + 1
3 y )=1
3(5+4 y
x + x
y )≥1
3(5+2❑√
4 y
x · x
y
)=3,
当且仅当x=1,y=1
2
时,等号成立,所以x+4y 的最小值为3.
10.A 解析 如图,∠EMF 为⃗DE ,⃗AF的夹角,而⃗DE =⃗DA +⃗AE ,⃗AF =⃗AB+⃗BF,
所以|⃗DE|=❑√(⃗DA +⃗AE )
2
=❑√⃗DA
2+2⃗DA ·⃗AE +⃗AE
2
=❑√16+0+ 4=2❑√5,
|⃗AF|=❑√(⃗AB+⃗BF )
2
=❑√⃗AB
2+2⃗AB·⃗BF +⃗BF
2
=❑√16+0+9=5,⃗
DE·⃗AF=(⃗DA +⃗AE)·(⃗AB+⃗BF)=⃗DA ·⃗AB+⃗DA ·⃗BF +⃗AE·⃗AB+⃗AE·⃗BF=0-12+8+0=-4.
综上,cos∠EMF=⃗DE·⃗AF
|⃗DE||⃗AF |
=-
4
2❑√5×5
=-2❑√5
25 .故选A.
11.D 解析 如图所示,以点C 为坐标原点,CA,CB 分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π],
∴⃗PA ·⃗PB=(3-cos θ,-sin θ)·(-cos θ,4-sin θ)=-3cos θ-4sin θ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中
tan φ=3
4
,∵-1≤sin(θ+φ)≤1,
∴-4≤⃗PA ·⃗PB≤6.故选D.
12.ABC 解析 由向量模长的三角不等式得|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,当且仅当
a,b,c 同向时,取得最大值9.当向量a,b,c 首尾顺次连接构成封闭的三角形时,a+b+c=0,模
长为0,由于长度为2,3,4 的边满足任意两边之和大于第三边,所以这样的三角形是存在的,
故|a+b+c|的取值范围是[0,9],故A 正确.因为
(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=4+8cos<a,c>+6cos<a,b>+12cos<b,c>,当a,b,c 同向
时,cos<a,c>=cos<a,b>=cos<b,c>=1,(a+b)·(a+c)的最大值为4+8+6+12=30,故B 正确;因
为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=a2+a·(c+b)+b·c,设d=b+c,则上式为|a|2+a·d+b·c ①,当a
与d 反向时,a·d=2×|d|cos π=-2|d|,d·d=(b+c)·(b+c)=|b|2+|c|2+2b·c=9+16+2b·c,所以b·c=
|d |
2-25
2
,代入①式得4-2|d|+|d |
2-25
2
=|d |
2- 4|d |-17
2
=(|d |-2)
2-21
2
,所以当|d|=2
时,(a+b)·(a+c)取得最小值,为-21
2
,此时b·c=-21
2
,所以cos<b,c>=- 21
2
3×4
=-7
8
,这种可能性是
存在的,故C 正确,D 错误.故选ABC.
13.D 解析 ∵|⃗OA|=|⃗OB|=❑√2,|⃗AB|=2,∴⃗OA ⊥⃗OB,A,B 两点在以O 为圆心,❑√2为半径的
圆上.取AB 的中点H,可知|OH|=1,∴点H 在以O 为圆心,1 为半径的圆上,
则|2⃗CA +⃗AB|2=4⃗CA
2+4⃗CA ·⃗AB+⃗AB
2=4⃗CA(⃗CA +⃗AB)+4=4⃗CA ·⃗CB+4=4(⃗CH +⃗HA)(⃗
CH +⃗HB)+4=4(⃗CH
2−⃗HA
2)+4=4(⃗CH
2-1)+4=4⃗CH
2,∴|2⃗CA +⃗AB|=2|⃗CH|.
∵|⃗CO|-1≤|⃗CH|≤|⃗CO|+1,|⃗CO|=5,∴4≤|⃗CH|≤6,即8≤2|⃗CH|≤12.故选D.
14.D 解析 当n=1
2
,a=b=1 时,曲线C 的方程为❑√| x |
+
❑√| y |
=1,在曲线C 上任取一点
P(x,y),则点P 关于原点的对称点为点P'(-x,-y),则❑√|- x |
+
❑√|- y |
=
❑√| x |
+
❑√| y |
=1,即
点P'在曲线C 上,所以曲线C 关于原点对称,同理可知,曲线C 关于x 轴、y 轴对称.因为
过原点O 的直线交C 于点A,B,则点A,B 关于原点对称.在曲线C 的方程中,令x=0,可得
y=±1,即点Q(0,1),则⃗QA ·⃗QB=(⃗QO+⃗OA)·(⃗QO−⃗OA)=⃗QO
2−⃗OA
2=1-|⃗OA |
2.由对称性,不妨
设点A(x,y),其中0≤x≤1,0≤y≤1,则❑√x + ❑√y=1,|⃗OA |
2=x2+y2=x2+(1- ❑√x )
4,令t=❑√x∈
[0,1],f(t)=t4+(1-t)4,其中0≤t≤1,则f'(t)=4t3+4(t-1)3=4(2t3-3t2+3t-1)=4(2t-1)(t2-t+1).因为t2-
t+1=(t - 1
2 )
2
+ 3
4
>0,令f'(t)=0 可得t=1
2
,列表如下:
t
[0,1
2)
1
2
(1
2,1]
f'(t)
-
0
+
f(t)
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f(t)[0,1
2
)内单调递减,在(1
2
,1]上单调递增,所以f(t)min=f(1
2
)=2×(1
2
)4=1
8
,又因为
f(0)=f(1)=1,则f(t)max=1,所以1
8 ≤|⃗OA |
2≤1,故⃗QA ·⃗QB=1-|⃗OA |
2∈[0,7
8
].故
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群
552511468 也可联系微信fjshuxue 加入百度网盘群4T 一线老师必备资料一键转存自动
更新永不过期
