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第一篇 热点、难点突破篇
专题11 平面向量综合问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022春·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知向量 ， ， ，且 ，
则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，根据向量垂直，则点乘为0，得到关于 的方程，解出即可.
【详解】 ，由 可得 ，
解得 ．
故选：A．
2．（2022春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知向量 ，且
，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据向量平行得到 ，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】 ， ， ，故 ，即 ，
当 ， 或 ， 时， ；
当 且 时， ， ，当 ，即 ， 时等号成立；
综上所述： 的最大值为 .
故选：B
3．（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知 ， ，则 （ ）A．1 B． C．2 D． 或2
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律，即可求出.
【详解】因为 ，
所以， .
故选：C.
4．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知 ,若 ,
则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意将 代入到 中,展开后将 , 代入,即可得出选项.
【详解】解:由题知 , , ,
,
则有
,
.
故选:C
5．（2021春·内蒙古·高三校考期末）已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【分析】由 ，解出 的值，再根据充分必要条件的概念，得解．
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
6．（2022春·广西南宁·高三统考阶段练习）如图，在 中， 为 上一点，且满
足 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基底向量方法，以 为基底表达 ，进而根据数量积公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，又
，所以
．
故选：C
二、多选题
7．（2022春·福建福州·高三校联考期中）已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AB
【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断
C，D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，B正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，C错误；
对于D，因为 ，所以 ，所以 或 ，D错误；
故选：AB.
三、填空题
8．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知向量 的夹角为 ， ， ，则
______.
【答案】
【分析】根据数量积的性质以及模长公式计算即可.
【详解】向量 的夹角为 ， ， ，
则 ，
.
故答案为：
9．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知向量 ， ，且 与 共线，则实
数 ___________.
【答案】 或 ## 或
【分析】根据向量共线的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】 与 共线， ，
即 ，解得： 或 .
故答案为： 或 .
10．（2022·四川成都·统考一模）已知 ， ，且 ，则 的最小值是
_____________．
【答案】
【分析】由题意， 均在圆心为原点，半径为 的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解
即可.
【详解】解：由题知， 三点共圆，圆心为坐标原点，半径为 ，
所以， ，
设 ，
数形结合可得 在 上的投影 ，
所以， ，即 ，
故当 ， 时 有最小值 ，此时 .
当 时， 时 有最大值 ，
所以，
综上， 的取值范围是 ，
所以， 的最小值是
故答案为：【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在 ABC中， ，若
△
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理求解可得 ， ，进而可得答案.
【详解】由 可得 ，则 ，即 ， ，所以
.
故选：B．
2．（2021春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）设直线 经过定点 ，
轴上的两个动点 与 的距离为2，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据直线点斜式的方程，结合平面向量坐标表示公式进行求解即可.【详解】由 ，
所以直线 过定点 ，
因为 轴上的两个动点 与 的距离为2，
所以不妨设 ，
，
当 时， 有最小值 ，
故选：D
3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量 ， 满足 ，且 ，则 ， 夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的点乘关系，求出 ，即可求出 ， 夹角.
【详解】解：由题意，
在向量 ， 中， ，
解得：
∴
故选：C.
4．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形 中， ， ，设 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】因为四边形 为平行四边形，所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
,
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：B.
5．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 是双曲线 的左、右焦点，点M是过
坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率
为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由 得到 ， ，结合 ，求出 ，，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.
【详解】不妨设点M在第一象限，
由题意得： ，
即 ，
故 ，故 ，
因为O为 的中点，
所以 ，
因为 ，故 为等边三角形，
故 ， ，
由双曲线定义可知： ，
即 ，解得： .
故选：C.
6．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知圆 的弦AB的中点为 ，直线AB
交y轴于点M，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A【分析】求出 ，由垂径定理得到 ，求出AB所在直线的方程，联立圆的方程，得到两根之积，进
而得到 ，求出 ， 的值.
【详解】由题设可得 ，圆心 ，则 ．
根据圆的性质可知， ，
∴AB所在直线的方程为 ，即 ．
联立方程 ，可得： ，
设 ， ，则 ，故 ，
中，令 ，得 ，
∴ .
故选：A．
7．（2022春·山东潍坊·高三统考阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满
足 ，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算表示出 ，由此求得 ，再根据基本不等式求得 的最小值.
【详解】依题意 ，
设 ，则，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立.
故选：D
二、多选题
8．（2022春·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图，正方形 的边长为 ，动点 在正方形内部及
边上运动， ，则下列结论正确的有（ ）
A．点 在线段 上时， 为定值
B．点 在线段 上时， 为定值
C． 的最大值为
D．使 的 点轨迹长度为
【答案】AC
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，设点
，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点 ，
则 ， ， ， ，
当点 在线段 上时， ， ，故A正确；
当点 在线段 上时， 不是定值， 不为定值，故B错误；
由 得 ，则 ， ，
所以 ，故当 时，即当点 与点 重合时， 取得最大值 ，故C正确；
由 得 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
所以，使 的 点轨迹为线段 ，且 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别是
， ，P是双曲线右支上一点， ，O为坐标原点，过点O作 的垂线，垂足为点H，若双曲
线的离心率 ，存在实数m满足 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由题意，可得相似三角形，根据相似三角形性质，建立等量关系，结合离心率的公式，建立方程，可得答案.
【详解】当 时，代入双曲线可得 ，
由 可得 ，由题易得 .
由相似三角形的性质可知， ，则 ，
，整理得 . ，
，解得 .
故答案为： .
10．（2022·四川成都·成都七中校考一模）已知 ， ，且 ，则
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意， 均在圆心为原点，半径为2的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解
即可.
【详解】由题意， ，故 均在圆心为原点，半径为2的圆上.
①当 为直径时， ，
又 为 在直径 上的投影，故 ，此时 ；
②当 不为直径时， ，设 ，数形结合可得 在 上的投影 ，
故 ，即 ，
故当 ， 时 有最小值 ，此时 .
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：
11．（2022春·广东深圳·高三校考阶段练习） 是边长为2的正三角形，动点 满足 ，则
的最大值__________.
【答案】3
【分析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，根据 可推出 点的轨迹方程为 ，是一
个圆（去掉 轴上两点）.推导可得 ，进而构造 ，根据 与
方向相同时，有最大值，即可解出答案.【详解】
如图，取 的中点为 ，连结 ，则 .
以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系.
则 ， ， ， ，设 ，
则 ， .
因为 ，所以 ，
整理可得 ，又 ，所以 点的轨迹方程为 .
.
要使 最大，则应有 最大，只有当 与 方向相同时，有最大值.
如图，根据平行四边形法则，构造 ，则 .延长 至 ，使 ，则有 ，
即 ，所以当 与 方向相同时，有最大值，即点 为线段 与圆的交点，此时有
，即 ，
所以 ，所以 .
故答案为：3.
四、解答题
12．（2022·浙江杭州·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ,已知 ,(1)若 为 边上一点, ,且 ,求 ;
(2)若 为平面上一点, ,其中 ,求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先根据正弦定理求出角 的值,再利用 求出 的值,由正弦定理可得 即
可求解;
(2)根据已知条件可以求出 的值,,再把 用 表示,从而 表示为关于 的二次函数求解
最小值即可.
【详解】（1）由 可得 ,
即 ,
, ,
, .
,
即 ,
则 ,
, ,
在 中,由正弦定理可得 ,
即 ,解得 .
（2） ,
即 ,
则 ,
,
(*),
根据已知条件 ,
,
代入(*)式得: ,
当 时, 取得最小值为 .
