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格致课堂
6.3.1 平面向量基本定理
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）下面三种说法，其中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】由题意知，说法①中，只要是不共线的一对向量就可以作为该平面的基底，故说法①错；
则②③显然正确，故选B.
2．已知向量 ，且 ， ， ，则一定共线的三点是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，向量 ，且 ， ， ，
可得 ，即 共线，所以 三点共线，
故选A.。
3．（2019·全国高一课时练习）在 中， ， ．若点 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，故选A．
4．（2019·全国高一课时练习）已知向量 不共线，若向量 与 的方向相反，则
等于（ ）格致课堂
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【解析】∵向量 与 的方向相反，∴ .
由向量共线的性质定理可知，存在一个实数 ，使得 ，
即 ，解得 .
当 时，向量 与 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去；
∴ .
故选C。
5．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知非零向量 ， 满足
，给出以下结论，其中正确结论是（ ）
A.若 与 不共线， 与 共线，则 ；
B.若 与 不共线， 与 共线，则 ；
C.存在实数 ，使得 与 不共线， 与 共线；
D.不存在实数 ，使得 与 不共线， 与 共线
【答案】AD
【解析】因为非零向量 ， 满足 ，
若 与 不共线， 与 共线，可得 ，即 ， ，解得 ，所以A正确，
B错误.
若 与 共线，可得 ，可得 与
共线，所以C错误，D正确.故选AD。
6．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知向量 是两个非零向量，在下列四个条件中，一格致课堂
定能使 共线的是（ ）
A. 且 ；
B.存在相异实数入 ，使 ；
C. （其中实数 满足 ）；
D.已知梯形 ，其中 。
【答案】AB
【解析】A由 得 ，所以 ，故A正确；
B因为存在相异实数入 ，使 ；所以 ，所以 ，故B正确；
C若 ，则 ，但 不一定共线，故C错误；
D梯形 中，没有说明哪组对边平行，故D错误.
故选AB。
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）设向量 与 不共线，若 ， ，
，且 三点共线，则 _______.
【答案】
【解析】
三点共线且向量 与 不共线
，解得：
本题正确结果：
8．如图，设O是△ABC内部一点，且 ＋ ＝－2 ，则△AOB与△AOC的面积之比为格致课堂
________．
【答案】
【解析】如图，设M是AC的中点，则 ＋ ＝2 .又 ＋ ＝－2 ，∴ ＝－ ，即O是BM
的中点，∴ S ＝S ＝ S ，即 ＝ .
AOB AOM AOC
△ △ △
9．如图所示，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的夹角为120°， 与 的
夹角为30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
______．
【答案】6
【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则 ．
在直角△OCD中，因为 ，∠COD=30°，∠OCD=90°，格致课堂
所以 ， ，
故 ， ，
即 ，
所以 .
10．如图所示， ，点 在由射线 、线段 及 的延长线围成的阴影区域内(不
含边界)运动，且 ，则 的取值范围是______；当 时， 的取值范围是
______．
【答案】 ；
【解析】由题意得：
设
＝ .
由 得
因为 ，所以 当 时，有 ，
解得
三、解答题格致课堂
11．（2019·全国高一课时练习）已知 为两个不共线的向量，若四边形 满足
，
（1）将 用 表示；
（2）证明四边形 为梯形.
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】（1）
（2）因为 ，即 ，
所以 与 同方向，且 的长度为 的长度的2倍，
所以在四边形 中， ，且 ，
所以四边形 是梯形.
12．（2019·全国高一课时练习）在梯形ABCD中， ， 分别是 的中点，
且 .设 ，选择基底 ，试写出下列向量在此基底下的分解
式: .
【答案】 , ,
【解析】如图，∵ ，且 ，
∴ .格致课堂
又∵ ，
∴ .
∵
∴
.
