文档内容
2024~2025 学年度第一学期高一期中考试
数学试题
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 是有理数集， 是实数集，命题 ， ，则（ ）
A. 是真命题， ，
B. 是真命题， ，
C. 是假命题， ，
D. 是假命题， ，
3. 函数 ，则 （ ）
A. B. C. D. 8
4. “ ”是“方程 有实根”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 下列各组函数中不是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
.
D 与
6. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 若 在 上是减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 设 ，函数 表示不超过 的最大整数，例如 ， ．若函数
，则函数 的值域是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A. 若 ，则B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若幂函数 的图象经过点 ，则
C. 若奇函数 在 上有最小值4，则 在 上有最大值-4
D. 若偶函数 在 是减函数，则 在 是增函数
11. （多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. a＋b＋ ≥2 B. ≥ C. ≥a＋b D. (a＋b) ≥4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的定义域是_________．
13. 不等式 的解集是 ，则 的解集为_________．
14. 表示 与 中的较大者，设 ，则函数
的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集 ，集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；（2）若 ，求a的取值范围．
16. 已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 的单调性并证明；
（2）若不等式 成立，求实数x的取值范围．
17. 幂函数 的定义域是全体实数
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
18. 新时代党的治疆方略：依法治疆、团结稳疆、文化润疆、富民兴疆、长期建疆.为提升人民生活质量，
克州某乡镇全力打造“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t（单位：kg）与化肥费用x（单
位：元）满足如下关系： ，其它总成本为 （单位：元），已知这种农作
物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为 （单位：元）.
（1）求 的函数关系式；
的
（2）当投入 化肥费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大?最大利润是多少元?
19. 已知函数 是 上的奇函数，
（1）求实数 的值；
（2）求函数 的值域.2024~2025 学年度第一学期高一期中考试
数学试题
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出全集 ，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】因为全集 ， ， ，
则 ， ，所以， .
故选：B.
2. 是有理数集， 是实数集，命题 ， ，则（ ）
A. 是真命题， ，
B. 是真命题， ，
C. 是假命题， ，
D. 是假命题， ，【答案】C
【解析】
【分析】根据特值可判断命题 的真假，再结合命题的否定的概念可得 .
【详解】命题 ， ，
由 ， ，则命题 为假命题，
且命题 的否定为 ， ，
故选：C.
3. 函数 ，则 （ ）
A. B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，由内到外依次求函数值即得.
【详解】因 ，则 ．
故选：B.
4. “ ”是“方程 有实根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 得到 有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案.
【详解】若方程 有实根，则 ，即 或 ．
由于 是 的真子集，
故“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件．
故选：A5. 下列各组函数中不是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】判断每个选项中的两个函数的定义域和对应关系是否相同，即可选择.
【详解】对A： ，且两个函数定义域均为 ，故两个函数是同一个函数，A错
误；
对B： ，且两个函数定义域均为 ，故两函数是同一个函数，
B错误；
对C： 与 的定义域都为 ，且对应关系相同，是同一个函数，C错误；
对D： 的定义域为 ，与 的定义域 不同，故不是同一个函数，D正确.
故选：D.
6. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数 ， 和 的单调性，结合条件，即可求解.
【详解】因为 是减函数，所以 ，
因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，又 是增函数，所以 ，则 ，
故选：A.
7. 若 在 上是减函数，则（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式组，解不等式即可.
【详解】由已知函数 在 上单调递减，
当 时， 单调递减，则 ，
当 时， 单调递减，则 ，即 ，
又结合分段函数可知 ，综上所述 .
故选：D.
8. 设 ，函数 表示不超过 的最大整数，例如 ， ．若函数
，则函数 的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得 的值域，再根据 的定义，求 的值域.【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， ，
所以函数 的值域为 .
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，B，命题“若 ，则 ”，当 时是假命题，而命题“若 ，则
”是真命题，
所以 ，而 不能推出 ，故 是 的必要不充分条件，故A正
确，B错误；对于C，D，由 ，则 ，所以 ，即 ，
所以命题“若 ，则 ”是真命题，
而若 ，如 ， ， ，则命题“若 ，则 ”是假命题，
所以 可以推出 ，但 不能推出 ，
故 是 的必要不充分条件，故C错误，D正确．
故选：AD.
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若幂函数 的图象经过点 ，则
C. 若奇函数 在 上有最小值4，则 在 上有最大值-4
D. 若偶函数 在 是减函数，则 在 是增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用换元法和待定系数法求出函数解析式，分别计算可判断 A，B；根据奇偶函数的图象对称性
特征可判断C,D.
【详解】对于A，令 得 ，故 ，故A错误；
对于B，设幂函数 ，由 得 ，
故 ，于是 ，故B正确；
对于C，因奇函数的图象关于原点对称，故C正确；对于D，因偶函数在对称区间上的单调性相反，故D正确．
故选：BCD.
11. （多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. a＋b＋ ≥2 B. ≥ C. ≥a＋b D. (a＋b) ≥4
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】解：因为a>0，b>0，所以a＋b＋ ≥2 ＋ ≥2 ，当且仅当a＝b且2 ＝
即a＝b＝ 时取等号，故A一定成立．
因为a＋b≥2 >0，所以 ≤ ＝ ，当且仅当a＝b时取等号，所以 ≥ 不一定成立，
故B不成立．
因为 ≤ ＝ ，当且仅当a＝b时取等号，
所以 ＝ ＝a＋b－ ≥2 － ，当且仅当a＝b时取等号，
所以 ≥ ，所以 ≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b) ＝2＋ ＋ ≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的定义域是_________．【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数 的不等式组，由此可得出原函数的定义域.
【详解】对于函数 ，有 ，解得 且 且 ．
因此，函数 的定义域为 .
故答案为： .
13. 不等式 的解集是 ，则 的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知， ，且关于 的方程 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可得出
、 与 的等量关系，然后利用二次不等式的解法可得出不等式 的解集.
【详解】因为不等式 的解集是 ，则 ，
且关于 的方程 的两根分别为 、 ，
由韦达定理可得 ，可得 ，
所以，不等式 即为 ，
即 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
故答案为： .14. 表示 与 中 的较大者，设 ，则函数
的最小值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】画出 的图象，数形结合得到ℎ(x)的最小值.
【详解】令 ，解得 或-1，
令 ，解得 或-1，
画出 的图象，如下：
显然ℎ(x)的最小值为0.
故答案为：0
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集 ，集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求解二次不等式解得集合 ，再求 ， ；（2）由题可得 ，根据集合的包含关系，列出关于 的不等式，求解即可.
【小问1详解】
由题意可得 或 ，当 时， ，
故 ； ，故 ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
又 ，则 或 ，解得 或 ，
即 的取值范围为 或 .
16. 已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 的单调性并证明；
（2）若不等式 成立，求实数x的取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；
（2）结合函数单调性将不等式转化即可得解集.
【小问1详解】
在 上单调递增，理由如下：
任取 ， ，且 ，．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，可得 ，
所以 在 上单调递增．
【小问2详解】
因为 ， ，
由（1）得 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，解得： 或 ，
所以实数x的取值范围是 .
17. 幂函数 的定义域是全体实数
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数 定的义可得出关于实数 的等式，解出 的值，再由函数 的定义域为R进
行检验，即可得解；
（2）分析可知，不等式 对任意的实数 恒成立，分 、 两种情况讨论，在 时，直接检验即可；在 时，利用二次不等式恒成立，可得出关于实数 的不等式组，
综合可得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
因为 是幂函数，所以 ，
化简得 ，解得 或 ，
当 时， ，该函数 的定义域为R，满足题意；
当 时， 的定义域为 ，不满足题意，
所以 的解析式为 ．
【小问2详解】
不等式 即 ，其解集为 ，
则 对任意的实数 恒成立，
当 时， ，得 ，不合题意；
当 时，则有 ，解得 ．
因此，实数 的取值范围是 .
18. 新时代党的治疆方略：依法治疆、团结稳疆、文化润疆、富民兴疆、长期建疆.为提升人民生活质量，
克州某乡镇全力打造“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t（单位：kg）与化肥费用x（单
位：元）满足如下关系： ，其它总成本为 （单位：元），已知这种农作
物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为 （单位：元）.（1）求 的函数关系式；
（2）当投入的化肥费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大?最大利润是多少元?
【答案】（1） ，
（2）当投入的化肥费用为 元时，该单株农作物获得的利润最大为
【解析】
【分析】（1）考虑 和 ，计算利润得到解析式；
（2）根据函数单调性和均值不等式分别计算分段函数最值，比较得到答案.
【小问1详解】
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： ；
【小问2详解】
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，
所以 ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
综上所述：当投入的化肥费用为 元时，该单株农作物获得的利润最大为 .
19. 已知函数 是 上的奇函数，
（1）求实数 的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，可得 ，再利用条件 ，可求得 ，即可求解；
（2）利用函数单调性的定义得到 在区间 上单调递减，从而得到 ，令
，将问题转化成求 的值域，再利用二次函数的性质，即可求
解.
【小问1详解】
因为函数 是 上的奇函数，则 ，
又 ， ，得到 ，所以 ，
此时有 ，所以 ， ，满足题意，故实数 ， .
【小问2详解】
由（1）知 ，任取 ，则 ，
因为 ，则 ，得到 ，
所以 ，即 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 时， ，
令 ，由 ，
得到 ，对称轴为 ，
当 时， 在区间 上单调递增，此时， ，
当 时， 在区间 上单调递减，此时， ，
当 时， ，
① 时， ，
② 是， ，
综上，当 时，函数 的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 ，当 时，函数 的值域为 .
