文档文本内容
2026 年春季高一第二次教学质量监测
数学试卷
一、单选题
1．已知复数z 满足
，则z 的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，则
或
是异面直线
3．正方体
中，则
与底面ABCD 所成角的正弦值为（）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，
分别为角
的对边长，
，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
5．已知圆锥的底面半径为
，侧面展开图的圆心角为
，则圆锥的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知平面向量
，满足
，
，则向量
在向量上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在
中，内角
的对边分别为
，已知
，边
上一点
使得
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．8
8．已知非零向量
与
满足
，且
，
，点
是
的边
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．－1
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数
，则
B．若复数
，
，则复数
在复平面内对应的点在第一象限
C．
是复数
（a，
）为虚数的充分不必要条件
D．若复数
是关于x 的实系数方程
的一个根，则
10．在
中，D 是BC 的中点，E 是线段AD 上的点，过E 作一直线分别与AB，AC 交于点M，N，设
，
，
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，
则
B．若
，
则
C．若
，
，则
D．若
，则
的最小值为
11．正方体
的棱长为2，点
为线段
上一动点，则（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．直线
与直线
所成的角为
C．在
点运动过程中，有
D．当
为
的一个三等分点时，平面
截正方体
所得的截面面积为
三、填空题
12．已知两点
，若
，则点P 的坐标为_______.
13．在
中，角
所对的边分别为
.已知
的面积为
，则
__________.
14．若一个正四棱台的上下底面分别是边长
和
正方形，且体积为
，则该台体的外接球的表面积
为_________.
四、解答题
15．已知向量
是同一平面内的三个向量，其中
.
(1)若
，且
，求向量的坐标；
(2)若是单位向量，且
，求与的夹角.
16．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
边上的高.
条件①：
； 条件②：
； 条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
17．如图，在四棱锥
中，
是边长为的等边三角形，底面
是等腰梯形，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)画出平面
与平面
的交线（保留作图痕迹）；
(3)若
，求证：平面
平面
.
18．如图所示，某区有一块空地
，其中
，
，
．当地区政府规划将
这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖
，其中
都在边
上，且
，
挖出的泥土堆放在
地带上形成假山，剩下的
地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工
湖
的周围安装防护网．
(1)当
时，求防护网的总长度；
(2)若要求挖人工湖用地
的面积是堆假山用地
的面积的
倍，试确定
的大小；
(3)为节省投入资金，人工湖
的面积要尽可能小，当
取何值时，可使
的面积最小？最小
面积是多少？
19．如图所示，在直角梯形
中，
，
，
分别是
上的点，且
，
，
，
，将四边形
沿
向上翻折，连接
，
在翻折的过程中，记二面角
的大小为
，
．
(1)当
时，求三棱锥
的体积；
(2)若平面
⊥平面
．
①求证：
；
②求
的最小值.
参考答案
1．A
【详解】∵
，∴
，∴
.
2．D
【详解】A：当
时，
可以平行、相交、也可以异面，所以本选项结论不正确；
B：当
，
时，直线可以在平面
内，所以本选项结论不正确；
C：当
，
，
时，
可以相交，所以本选项结论不正确；
D：因为
，
所以直线
没有公共点，因此
或
是异面直线，所以本选项结论正确.
3．D
【详解】因为
为正方体，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
的夹角，
设
，在
中，
，
所以
，
故选：D．
4．A
【详解】解：∵
，∴
，
所以由余弦定理可得
，去分母得：
，即
，
则
为直角三角形，
故选：A.
5．D
【详解】圆锥的底面半径为
，侧面展开图的弧长为
，
又侧面展开图的圆心角为
，得圆锥母线长
，
则圆锥的表面积
.
故选：D.
6．A
【详解】因为
，
，
所以
，即
，
也即
，
解得：
，
所以
，
由向量
在向量上的投影向量为：
，
故选：A.
7．C
【详解】因为
，所以
，
因为
，
即
，即
，
所以
，
故
，当且仅当
时，等号成立.
故选：C.
8．C
【详解】∵
分别表示
与
方向的单位向量，
∴以
这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故
所在直线为
的平分线所
在直线，
∵
，∴
的平分线与
垂直，故
.
取
的中点
，连接
，则
，
由题意得，
，
∴
.
如图，以
为坐标原点，
所在直线为轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，故
.
设
，则
，∴
，
∴
，
，
∴
，
当
时，
取得最小值，最小值为
.
故选：C.
9．ABD
【详解】对于A，
，则
，A 正确；
对于B，
在平面内对应的点
在第一象限，B 正确；
对于C，
是复数
（a，
）为虚数的充要条件，C 正确；
对于D，复数
是关于x 的实系数方程
的一个根，则该方程另一根为
，
则
，解得
，因此
，D 正确.
故选：ABD
10．BC
【详解】A，由余弦定理，
，
代入
，
，
，
得
，故
，A 错误.
B，由D 是BC 中点，得
，则
，
，故
，B 正确.
C，由
，又
，
，故
.
由M、E、N 共线，得
，代入
，
，得
，解得
，C 正
确.
D，当
时，由
，得
，即
.
则
.
由均值不等式
，当且仅当
时取等号，
即
，即
时等号成立.
故
，D 错误.
11．ACD
【详解】对于A，如图，因为在正方体
中，平面
平面
，
且平面
与平面
的距离为正方体棱长，而
，
所以三棱锥
的体积
，为定值，因此A 正确；
对于B，
，所以直线
与直线
所成的角等于直线
与直线
所成的角，
由勾股定理得
，
，
在三角形
中，由余弦定理，
，
所以
，B 错误.
对于C，如图，连接
，
，
，
，
因为在正方体
中，易知
，
，
，
平面
，
，
∴
平面
，
平面
，∴
，同理
，
，
、
平面
，∴
平面
，
而点
为线段
上一动点，所以
平面
，因此
，所以C 正确；
对于D，不妨设
为
上靠近
的一个三等分点，即
，如图所示，
设平面
与
，
的交点分别为
，
，∵平面
平面
，
∴
，同理
，
∴平面
截正方体
所得的截面为平行四边形，
∵
，∴
，∴
，∴
,
由余弦定理的推论可求得
，
∴
，∴
，
当
为
上靠近
的一个三等分点，同理可求得截面面积为
，因此D 正确.
12．
【详解】设
是坐标原点，
则
.
13．5
【详解】
，
，解得
，
，
可得
.
14．
【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，
则其外接球球心
在直线
上，
设
，
，设
，
因为该棱台的体积为
，
所以
，
所以
，
，
当球心
在线段
延长线时，由
，设
，
可得
，即
，
解得
，
所以外接球半径即
，
当球心
在线段
上时，
同理可得
，即
，
解得
舍去，
所以其外接球表面积为
.
15．(1)
或
；
(2)
【详解】（1）设
，由
，且
，
得
，
所以
或
，
故
或
；
（2）因为
，且
，
所以
，即
.
所以
，
即
.
因为夹角
，所以与的夹角
.
16．(1)
(2)
选择条件①：
不存在；
选择条件②③，
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得：
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，可得：
，
所以
，
因为
，所以
.
（2）选择条件①：
，且
，又
，
由弦定理
，可得
，
因为
，所以这样的
不存在；
选择条件②，因为
，且
，
所以
，则
，由
，可得
，
因为
，所以
，解得
，所以
，
由正弦定理
，可得
，
因为
，可得
，
设
边上的高为，可得面积为
，所以
，
所以
.
选择条件③：由
，
根据向量的数量积的公式，可得
，所以
，
因为
且
，所以
，解得
，
由余弦定理
，
可得
，所以
，
设
边上的高为，可得面积为
，所以
，
所以
.
17．(1)在四棱锥
中，取
中点
，连接
，
由
是
的中点，得
，
又因为
，所以
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又
平面
平面
，所以
平面
.
(2)延长
交于
，连接
，则
是平面
与平面
的交线.
(3)在等腰梯形
中，
，过点
作
交
于点
，
由
，所以
，
在直角三角形
中，
，得
.
在
中，由余弦定理
，
得
，所以
，所以
，
又因为
，
平面
，因此
平面
，
而
平面
，所以平面
平面
.
【详解】（1）略
（2）理由如下：因为
，所以
平面
，
同理
平面
，所以
平面
平面
，
又因为
平面
平面
，所以平面
平面
，
因此
是平面
与平面
的交线.
（3）略
18．(1)
(2)
(3)
时，
面积取最小值为
【详解】（1）在
中，
，
，
，
则
，
在
中，由余弦定理得：
，
即
，所以
，因此
，
所以
，即
，
因此
中，
，
，且
所以为
正三角形，其周长为
，即防护网的总长度为
.
（2）设
，
因为
，即
，可得
①.
在
中，
,
,
由正弦定理
，得：
②，
联立①②得
，即
，又因为
，所以
，
因此
，解得
，所以
.
（3）设
，由（2）知：
，
在
中，由
得：
，
，
因为
，所以
，
，
，
所以当且仅当
，
有最小值
，
因此
，即
时，
面积取最小值为
.
19．(1)
(2)①过点
作
交
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，则
；
根据题意平面图形翻折后
，
，
且
，
是平面
内两条相交直线，
所以
平面
，又
，得
平面
，
又
平面
，则
，
因为
是平面
内两条相交直线，所以
平面
；
又
平面
，则
.
②
【详解】（1）根据题意可知
，
，且
，
所以
，且
为二面角
的平面角，即
，
.
（2）①略，
②取
的中点S，连接
，
，
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，由①得
，所以
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，因此
，
化简得到
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为
.
