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甘肃酒泉市部分学校2025-2026 学年高一下学期5 月阶段检测数学试题
一、单选题
1．复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，
，则
（ ）
A．30°
B．45°
C．150°
D．30°或150°
4．“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．如图，平行四边形
的两条对角线相交于点
，
，
，点
是
上靠近点
的三等分
点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知钝角
的三边长分别为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知圆O 的半径为2，弦
，C 是圆O 上的一个动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
10．已知复数
，
，
为
的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
为实数
B．
C．若
，则
D．
11．已知
，且
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
有最大值
C．
有最大值
D．
有最小值
三、填空题
12．复数
的虚部是________.
13．
_________．
14．如图，某湖泊沿岸有
四个镇，已知
镇与
镇之间的距离为
，
镇与
镇之间的距离
为
，测得
，
，
，则
两镇之间的距离为__________
．
四、解答题
15．已知复数
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
16．已知向量
，
．
(1)求与
垂直的单位向量的坐标；
(2)若
，求
的坐标；
(3)若
，求
与
的夹角的余弦值．
17．已知函数
．
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)若
且
，求
的值．
18．剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术
特点．现需在半径
，面积为
的扇形纸张内剪一个矩形
，如图所示，C 是扇形弧上的动点，
D 在线段
上，A，B 均在线段
上．
(1)求圆心角
的大小（用弧度表示）；
(2)设
，且
，求
的长；
(3)求矩形
面积的最大值．
19．记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长；
(3)若
为
边上一点，且
的面积为
，求
的值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
D
D
C
B
BD
ABD
题号
11
答案
AC
1．B
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，位于第二象限．
2．C
【详解】因为
，所以
．
3．A
运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.
【详解】因为
，
，
，所以由正弦定理可得
，所以
或150°．因为
，所以
，所以
．
故选：A
4．C
【详解】由题意知，当
时，
，复数
，是纯虚数，充分性成立；
当复数
为纯虚数时，有
，
解得
，必要性成立，
则“
”是“复数
为纯虚数”的充要条件.
5．D
由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.
【详解】
.
6．D
【详解】由
为钝角
的三边长，得
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
7．C
由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断.
【详解】
，
，
由
，
则
，
故
，
显然
，即
．
8．B
【详解】取
的中点D，则
，
，
所以
，
因为
，所以
.
9．BD
【详解】向量不能比较大小，A 错误；
表示向量大小相等，方向相同，所以
，B 正确；
若
，则不能推出
，C 错误；
根据平面向量相等的定义，D 正确．
10．ABD
设复数
，然后逐个分析判断即可.
【详解】对于A，设复数
，则
，
则
，为实数，故A 正确；
对于B，
，
，则
，故B 正确；
对于C，若
，不妨取
，则
不成立，故C 错误；
对于D，
，则
，
，则
，
则
，故D 正确.
故选：ABD.
11．AC
利用两角差正弦公式和条件得
判断A；令
，则
，利用两
角差的正切公式得
，然后使用基本不等式求得
有最大值
，即可判断BCD.
【详解】对于A，因为
，
又
，所以
，
则
，故A 正确；
对于BCD，令
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
有最大值
，故C 正确，BD 错误．
12．
直接利用复数的乘除运算法则化简即可.
【详解】因为
，所以其虚部为
.
故答案为：
13．
/
【详解】
.
故答案为：
.
14．
【详解】在
中，由余弦定理得
，
所以
，在
中，
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
在
中，
，故
．
15．(1)
(2)
（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出；
（2）通过复数相等求出
的值，再利用模长公式即可求出.
【详解】（1）
，
所以
．
（2）由
，得
，
即
，
所以
，解得
，
， 故
．
16．(1)
或
(2)
或
(3)
（1）由向量垂直的坐标公式和向量模长公式联立方程组计算可得结果；
（2）由向量共线定理设
，利用模长坐标公式计算得到
的值，从而可得
的坐标；
（3）由
可得
，再用夹角公式计算即可.
【详解】（1）设与
垂直的单位向量的坐标为
，所以
，
解得
或
，
即与
垂直的单位向量的坐标为
或
．
（2）因为
，设
，则
，
解得
．
因此
或
．
（3）因为
，所以
，
解得
，
设
与
的夹角为
，所以
，
即
与
的夹角的余弦值为
．
17．(1)
，单调递增区间为
（
）
(2)
（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得；
（2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得
，然后由两角差的余弦公式代入求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
的最小正周期
，
令
（
），解得
（
），
所以
的单调递增区间为
（
）；
（2）由（1）可得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
18．(1)
(2)
(3)
（1）利用扇形面积公式计算可得结果；
（2）利用同角三角函数的关系计算得到
，再由正弦的两角和差公式得到
的值，最后由
得到
的长；
（3）设
，利用图形关系分别表示出
和
的长，再由
表示矩形
的面积，
根据二倍角公式和辅助角公式化简可得最值.
【详解】（1）设扇形的圆心角
，
由扇形的面积
，解得
，所以
．
（2）由（1）知，
，则
，
由
，得
，
因此
，
所以
．
（3）设
，在
中，
，
，
在
中，
，
则
，
因此矩形
的面积
，
由
，得
，
则当
，即
时，矩形
的面积取得最大值
．
19．(1)
(2)
(3)2
(1)利用余弦定理求出
的余弦值，从而得到角
的大小；
(2)利用正弦定理把边化为角，从而求出边长，再得到
的周长；
(3) 设
，则
，转化为向量求解.
【详解】（1）由
，两边平方整理得
，即
，
由余弦定理得
，又
，所以
.
（2）由
知
，则
为钝角.
由
，得
，
所以
，
又
，所以
，则
，
所以
，则
，故
.
由正弦定理
，得
，
，
故
的周长为
.
（3）由
，得
.
设
，则
，
所以
，
所以
，
则
，
整理得
，
由
，知
，
所以
，解得
，或
（舍去），
故
.
