平面向量
知识点+题型归纳全集
6.1 平面向量的概念...................................................................................................................................................5
模块一：基础知识..............................................................................................................................................5
考点一：向量的概念..................................................................................................................................5
考点二：向量的几何表示..........................................................................................................................5
考点三：相等向量与共线向量..................................................................................................................6
模块二：题型分类..............................................................................................................................................6
题型一：向量概念的理解..........................................................................................................................6
题型二：向量的模....................................................................................................................................7
题型三：零向量与单位向量......................................................................................................................8
题型四：向量的几何表示与向量的模......................................................................................................8
题型五：向量相等或共线的判断............................................................................................................10
题型六：用向量关系研究几何图形的性质........................................................................................... 11
模块三：综合巩固............................................................................................................................................12
6.2 平面向量的加法、减法.....................................................................................................................................16
模块一：基础知识............................................................................................................................................16
考点一：向量加法的定义及其运算法则............................................................................................... 16
考点二：向量加法的运算律....................................................................................................................16
考点三：相反向量....................................................................................................................................17
考点四：向量的减法................................................................................................................................17
考点五：向量三角不等式........................................................................................................................17
模块二：题型分类............................................................................................................................................17
题型一：向量的加法运算........................................................................................................................17
题型二：向量加法法则的几何应用........................................................................................................18
题型三：向量的减法运算........................................................................................................................20
题型四：向量减法法则的几何应用........................................................................................................21
题型五：相反向量....................................................................................................................................23
题型六：向量加法与减法混合运算........................................................................................................23
题型七：向量加法与减法与几何图形综合应用................................................................................... 24
模块三：综合巩固............................................................................................................................................27
6.3 平面向量的数乘运算与共线定理.................................................................................................................... 30
模块一：基础知识............................................................................................................................................30
考点一：向量数乘的定义........................................................................................................................30
考点二：向量数乘的几何意义................................................................................................................30
考点三：向量数乘的运算律....................................................................................................................30
考点四：向量的线性运算........................................................................................................................30
考点五：向量共线定理............................................................................................................................30
考点六：三点共线向量表示的两个结论............................................................................................... 31
模块二：题型分类............................................................................................................................................31
题型一：向量数乘运算的定义................................................................................................................31
题型二：向量的线性运算........................................................................................................................32
考点三：向量数乘的几何意义应用........................................................................................................32
考点四：用已知向量表示未知向量........................................................................................................33
考点五：向量共线定理及应用................................................................................................................34
模块三：综合巩固............................................................................................................................................36
6.4 平面向量的数量积.............................................................................................................................................40
模块一：基础知识............................................................................................................................................40
考点一：两向量的夹角与垂直................................................................................................................40
考点二：向量的数量积............................................................................................................................40
考点三：投影向量....................................................................................................................................40
考点四：向量数量积的性质及运算律....................................................................................................41
考点五：向量数量积的常用结论............................................................................................................41
模块二：题型分类............................................................................................................................................42
题型一：向量夹角的判断........................................................................................................................42
题型二：向量数量积的计算....................................................................................................................42
题型三：平面向量模的相关计算............................................................................................................44
题型四：平面向量的夹角问题................................................................................................................44
题型五：平面向量的垂直问题................................................................................................................46
题型六：投影向量....................................................................................................................................47
题型七：向量数量积的最值问题............................................................................................................48
题型八：向量数量积几何应用................................................................................................................49
模块三：综合巩固............................................................................................................................................50
6.5 平面向量的基本定理.........................................................................................................................................55
模块一：基础知识............................................................................................................................................55
考点一：平面向量基本定理....................................................................................................................55
考点二：线段的定比分点及λ................................................................................................................55
模块二：题型分类............................................................................................................................................56
题型一：平面向量基本定理的理解........................................................................................................56
题型二：向量基底的判断........................................................................................................................57
题型三：用基底表示向量........................................................................................................................58
题型四：利用平面向量基本定理求参数............................................................................................... 59
题型五：平面向量基本定理的几何应用............................................................................................... 61
模块三：综合巩固............................................................................................................................................63
6.6 平面向量的坐标表示与运算............................................................................................................................ 67
模块一：基础知识............................................................................................................................................67
考点一：平面向量的正交分解被坐标的表示....................................................................................... 67
考点二：平面向量的坐标运算................................................................................................................67
考点三：平面向量的垂直与平行............................................................................................................67
考点四：平面向量的模与夹角的坐标表示........................................................................................... 68
考点五：线段的定比分点及λ................................................................................................................69
模块二：题型分类............................................................................................................................................69
题型一：平面向量的坐标表示与运算....................................................................................................69
题型二：平面向量数乘运算的坐标表示............................................................................................... 69
题型三：用坐标表示平面向量................................................................................................................70
题型四：根据向量线性运算求参数........................................................................................................71
题型五：线段的定比分点问题................................................................................................................71
题型六：由坐标法判断向量是否共线....................................................................................................72
题型七：由向量共线(平行)求参数........................................................................................................72
题型八：用坐标解决三点共线问题........................................................................................................72
题型九：平面向量数量积的坐标计算....................................................................................................73
题型十：利用坐标研究向量垂直问题....................................................................................................74
题型十一：坐标求向量模长....................................................................................................................74
题型十二：坐标求向量的夹角................................................................................................................75
题型十三：坐标求投影向量....................................................................................................................75
题型十四：利用坐标求数量积的最值范围........................................................................................... 76
题型十五：坐标解决几何问题................................................................................................................77
题型十六：向量坐标运算与三角函数综合........................................................................................... 78
模块三：综合巩固............................................................................................................................................80
6.7 平面向量在几何与物理中的应用.................................................................................................................... 83
模块一：基础知识............................................................................................................................................83
考点一：向量在平面几何中的应用........................................................................................................83
考点二：用向量解决平面几何问题的步骤........................................................................................... 83
考点三：用向量证明平面几何问题的两种基本思路........................................................................... 83
考点四：向量在物理中的应用举例........................................................................................................83
考点五：利用向量法解决物理问题的步骤........................................................................................... 84
模块二：题型分类............................................................................................................................................84
题型一：用向量解决平面几何中的平行问题....................................................................................... 84
题型二：用向量解决平面几何中的垂直问题....................................................................................... 85
题型三：用向量解决线段的长度问题....................................................................................................89
题型四：用向量解决夹角问题................................................................................................................90
题型五：判断几何图形的形状................................................................................................................92
题型六：向量与几何最值........................................................................................................................93
题型七：力的合成....................................................................................................................................94
题型八：速度、位移的合成....................................................................................................................97
题型九：功、动量的计算......................................................................................................................100
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................100
6.8 余弦定理...........................................................................................................................................................108
模块一：基础知识..........................................................................................................................................108
考点一：余弦定理..................................................................................................................................108
考点二：解三角形..................................................................................................................................108
考点三：判断三角形形状时常用到的结论......................................................................................... 108
模块二：题型分类..........................................................................................................................................109
题型一：已知两边及夹角解三角形..................................................................................................... 109
题型二：两边和其中一边的对角..........................................................................................................109
题型三：已知三边解三角形..................................................................................................................110
考点四：利用余弦定理进行边角转化................................................................................................. 110
题型五：判断三角形的形状..................................................................................................................110
题型六：余弦定理的实际应用..............................................................................................................112
题型七：余弦定理与平面图形结合..................................................................................................... 113
题型八：求三角形中边长（周长）取值范围..................................................................................... 113
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................115
6.9 正弦定理...........................................................................................................................................................120
模块一：基础知识..........................................................................................................................................120
考点一：正弦定理..................................................................................................................................120
考点二：三角形面积公式......................................................................................................................120
考点三：正弦定理解决的两类问题..................................................................................................... 121
考点四：利用正弦定理判断三角形的形状......................................................................................... 121
模块二：题型分类..........................................................................................................................................121
题型一：已知两角及任意一边解三角形............................................................................................. 121
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形................................................................................. 122
题型三：判断三角形的形状..................................................................................................................123
题型四：三角形解的个数......................................................................................................................124
题型五：利用正（余）弦定理求范围或最值..................................................................................... 125
题型六：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形............................................................................. 126
题型七：求三角形面积（定值）..........................................................................................................127
题型八：根据三角形面积求参数..........................................................................................................128
题型九：三角形面积最值（范围）问题............................................................................................. 130
题型十：求三角形周长（定值）..........................................................................................................131
题型十一：三角形周长最值（范围）问题......................................................................................... 133
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................135
6.10 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心....................................................................................................138
模块一：基础知识..........................................................................................................................................138
考点一：四心的概念介绍......................................................................................................................138
考点二：奔驰定理以及四心的向量式................................................................................................. 138
考点三：奔驰定理与三角形四心向量式............................................................................................. 138
考点四：四心常用结论与技巧..............................................................................................................139
考点五：爪子定理应用及解题技巧..................................................................................................... 140
考点六：系数和（等和线）的应用..................................................................................................... 141
考点七：极化恒等式的应用..................................................................................................................142
模块二：题型分类..........................................................................................................................................142
题型一：重心定理及其应用..................................................................................................................142
题型二：内心定理及其应用..................................................................................................................143
题型三：外心定理及其应用..................................................................................................................144
题型四：垂心定理及其应用..................................................................................................................144
题型五：三角形四心辨别......................................................................................................................145
题型六：三角形面积比问题..................................................................................................................147
题型七：爪子定理应用..........................................................................................................................149
题型八：系数和（等和线）的应用..................................................................................................... 150
题型九：极化恒等式的应用及解题技巧............................................................................................. 152
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................153
高一数学必修二
平面向量知识点+题型归纳全集
6.1 平面向量的概念
模块一：基础知识
考点一：向量的概念
1.向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
2.数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
3.向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不
能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我
们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”
就是由大小方向、作用点所决定的).
考点二：向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A 为起点、B 为终点的有向线段
记作AB
(如图所示),线段AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作|
|
AB
. 表示有向线段时,起点一定要
写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
2.向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方
向.
②字母表示:向量可以用字母a
,b
,c
,…表示
3.向量的模
向量AB
的大小称为向量AB
的长度(或称模),记作|
|
AB
.
4.两种特殊的向量
零向量:长度为0 的向量叫做零向量,记作0
.
单位向量:长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0 与0
的区别与联系:0 是一个实数,0
是一个向量,且有| 0 |
；书写时0
表示零向量,一定不能漏掉
0 上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1 的圆.
考点三：相等向量与共线向量
1.平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a
与b
平行,记作a b
.规定:零向量与任意向量平行,即对
于任意向量a
,都有0 a
.
2.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a
与b
相等,记作a
b
.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方
向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
3.共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
模块二：题型分类
题型一：向量概念的理解
1.下列命题中真命题的个数是（
）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x 轴､y 轴都是向量
A．0
B．1
C．2
D．3
2.下列量中是向量的为（
）
A．频率
B．拉力
C．体积
D．距离
3.下列说法正确的是（
）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段��
→
和有向线段��
→
的长度相等
4.下列说法错误的是（
）
A．向量��റ
ሬሬሬሬ与向量��റ
ሬሬሬሬ长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
题型二：向量的模
1.如图，在ABC
中，点D､E､F 分别是边BC､CA､AB 的中点，在以A､B､C､D､E､F 为端点的向量中，与向
量DF
的模相等的向量的个数是
.
2.如图，在2 4
的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB
的模相等的向量（除AB
本身）共有
个.
3.如果一架飞机向西飞行150km，再向南飞行350km，记飞机飞行的路程为s ，位移为a
，则（
）．
A．s
a
B．s
a
C．s
a
D．s 与a
r
不能比较大小
4.如图，已知a是单位向量，求出图中向量b
，c，d
，e的模.
5.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且
30
OCB
，
2
AB
，则AC
等
于（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
6.如图，某船从点O 出发沿北偏东30°的方向行驶至点A 处，求该船航行向量OA
的长度（单位：n mile）．
题型三：零向量与单位向量
1.下列说法正确的是（
）
A．向量的模是一个正实数
B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1 个单位长度
D．零向量就是实数0
2.下列命题正确的个数是（
）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1
B．2
C．3
D．4
3.下列说法正确的是（
）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
4.已知向量�Ԧሬ, �Ԧሬ是两个非零向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ分别是与�Ԧሬ, �Ԧሬ同方向的单位向量，则以下各式正确的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ或��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ的长度相等
题型四：向量的几何表示与向量的模
1.如图，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走
了200 3m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方．
(1)作出��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ（图中1 个单位长度表示100m）；(2)求��Ԧ
ሬሬሬሬ的模．
2.一艘军舰从基地A 出发向东航行了200 海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400 海里到
达C 岛，最后又改变航线向西航行了200 海里到达D 岛．
（1）试作出向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ；
（2）求|��Ԧ
ሬሬሬሬ|．
3.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4 2，点A 在点O 北偏东45°；
（2）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4，点B 在点A 正东；
（3）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝6，点C 在点B 北偏东30°.
4.在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1) ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3，点�在点�的正西方向；
(2) ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3 2，点�在点�的北偏西45∘方向；
(3)求出��Ԧ
ሬሬሬሬ的值．
题型五：向量相等或共线的判断
1.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O 中的任意一点为始点，
与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量��Ԧ
ሬሬሬሬ外，与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量共有（
）
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
2.在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是AB，AC 的中点，则（
）
A．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬ共线
B．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ共线
C．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ相等
D．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ相等
3.如图，设O 是正六边形������的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ相等的向量.
4.如图，△���和△�′�′�′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△���的边长为a，写出
图中给出的长度为
�
3的所有向量中，
（1）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ相等的向量；
（2）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量；
（3）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ平行的向量.
题型六：用向量关系研究几何图形的性质
1.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，且��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．求证：四边形ABCD 是平
行四边形．
2.在四边形����中，已知��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，求证：四边形����为平行四边形．
3.已知点�，�，�，�分别是平面四边形����的边��，��，��，��的中点，求证：��റ
ሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．
4.如图，已知在四边形����中，M，N 分别是��，��的中点，又��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ.求证：��=
//
��.
模块三：综合巩固
1．下列说法正确的是（
）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段MN
和有向线段NM
的长度相等
2．若向量a
与向量b
不相等，则a
与b
一定（
）
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
3．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若a
b
∥
，则a
与b
的方向
相同或相反；③若a
b
∥
，且b
c
∥
，则a
c
∥
.其中，正确的命题个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．如图，在四边形ABCD 中，若AB
DC
，则图中相等的向量是（
）
A．AD
与CB
B．OB
与OD
C．AO
与OC
D．AC
与BD
5．给出下列四个命题：①若
0
a
，则
0
a
；②若a
b
，则a
b
或a
b
；③若
/ /
a
b
，则a
b
；
④若
0
a
，则
0
a
. 其中的正确命题有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．已知向量,a b
是两个非零向量，
,
AO BO
分别是与,a b
同方向的单位向量，则以下各式正确的是（
）
A．AO
BO
B．AO
BO
或AO
OB
C．AO
OB
D．AO
与BO
的长度相等
7．下列说法错误的是（
）
A．任一非零向量都可以平行移动
B．
2
1,e
e
是单位向量，则
1
2
e
e
C．CD
DC
D．若AB
CD
，则AB
CD
8．关于向量a
，b
，下列命题中，正确的是（
）
A．若a
b
，则a
b
B．若a
b
，则a
b
∥
C．若a
b
，则a
b
D．若a
b
∥，b
c
∥，则a
c
∥
9．（多选）下面关于向量的说法正确的是（
）
A．单位向量：模为1的向量
B．零向量：模为0 的向量
C．平行（共线）向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
10．（多选）若,
a b
都是非零向量，且a
b
，则（
）
A．,a b
方向相同B．,
a b
方向相反
C．a
b
D．
0
a
b
11．在如图所示的向量, , , ,
a b c d e
中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：
①共线向量：
；
②方向相反的向量：
；
③模相等的向量：
.
12．下列各量中，向量有：
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
13．在图中的4 5
方格纸中有一个向量AB
，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB
相等的向
量有多少个？与AB
长度相等的共线向量有多少个（AB
除外）？
14．如图所示，ABC
的三边均不相等，E，F，D 分别是AC，AB，BC 的中点，在以A，B，C，D，E，
F 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)写出与EF
相反的向量；
(2)写出与EF
的模相等的向量；
(3)写出与EF
相等的向量.
15.下列说法错误的是（
）
A．CD
DC
B．
1e
、
2e
是单位向量，则
1
2
e
e
C．若CD
DC
，则AB
CD
D．任一非零向量都可以平行移动
16.下列命题：①若a
b
，则a
b
；
②若a
b
，b
c
，则a
c
；
③a
b
的充要条件是a
b
且//
a b
r r ；
④若//
a b
r r ，//
b c
，则//
a c
r r ；
⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB
DC
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命
题的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
17.若,a b
r r
都为非零向量，则“
0
a
b
a
b
”是“ a
与b
共线”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
18.下列关于向量的命题，序号正确的是
.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
b
；
③对于非零向量,a b
，若a
b
，则
/ /
a
b
；
④对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
与b
所在直线一定重合.
6.2 平面向量的加法、减法
模块一：基础知识
考点一：向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
考点二：向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别
联系
三角形法则
(1)首尾相接
(2)适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形
是平行四边形法则作出
图形的一半
技巧2.多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
考点三：相反向量
1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b 互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
考点四：向量的减法
1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加
上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA
→＝a，OB
→＝b，则向量a－b＝BA
→，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量
的终点为终点的向量.
考点五：向量三角不等式
①已知非零向量a
，b
，则||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
（当a
与b
反向共线时左边等号成立；当a
与b
同
向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量a
，b
，则||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
（当a
与b
同向共线时左边等号成立；当a
与b
反
向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
中，
||
|
|
|| |
|
a
b
a
b
中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：
||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
中||
| |
|
|
|
a
b
a
b
中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
模块二：题型分类
题型一：向量的加法运算
1．化简：AB
CA
BD
（
）
A．BC
B．DC
C．CD
D．DA
2．向量
AB
PB
BO
BM
OP
化简后等于（
）
A．BC
B．AB
C．AC
D．AM
3.化简下列各式：①AB
BC
CA
；②
AB
MB
BO
OM
uuur
uuur
uuur
uuur
；③OA
OC
BO
CO
；
④AB
CA
BD
DC
．其中结果为0
的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.向量
PA
MA
AO
AC
OM
化简后等于（
）
A．AC
B．PA
C．PC
D．PM
5．（多选）下列四个等式中，正确的是（
）
A．a
b
b
a
B．
a
a
r
r
C．
0
AB
BC
CA
D．
0
a
a
题型二：向量加法法则的几何应用
1.如图，在平行四边形ABCD中，O 是AC 和BD 的交点.
（1）AB
AD
；
（2）AC
CD
DO
；
（3）AB
AD
CD
；
（4）AC
BA
DA
.
2．正方形ABCD的边长为1，则AB
AD
为（
）
A．1
B．
2
C．3
D．2 2
3．如图，在正六边形ABCDEF 中，AC
（
）
A．
2
AB
AF
B．
2
AB
AF
C．2AB
AF
D．2
2
AB
AF
4．在矩形ABCD中，AC
等于（
）
A．BC
BA
B．AD
CD
C．AB
DA
D．AD
DC
5．在矩形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，则AB
AD
AC
等于（
）
A．2 5
B．2 3
C．3
D．4
6.如图，在
ABD
△
中，C 为BD 的中点，E 为AB 上一点，则
2
AB
AD
CE
（
）
A．2AE
B．2BD
C．A E
D．BD
7.菱形ABCD中，
2,
60
AB
A
，若
1
1
,
2
3
AM
AC DN
DB
，则NA
NB
NC
ND
（
）
A．2
3
B．4
3
C．5
3
D．7
3
8.已知ABC
是正三角形，则下列等式中不成立的是（
）
A．AB
BC
BC
CA
B．AC
CB
BA
BC
C．AB
AC
CA
CB
D．AB
BC
AC
CB
BA
CA
9．2020 年10 月27 日，在距离长江口南支航道0.7 海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利
完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS 基站宣告建成.
已知风机的每个转子叶片的长度为20 米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60 米，叶
片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则OA
OB
OM
的最小值为（
）
A．40
B．20 7
C．20 10
D．80
题型三：向量的减法运算
1．化简：AB
AD DC
；(
)
(
)
AB CD
AC
BD
；
AB CB
AC
DC
.
2.下列向量的运算结果不正确
．．．的是（
）
A．
0
AB
BC
CA
B．
0
AB
BD
DA
C．
0
OA
OD
AD
D．
0
AB
AC
BD
CD
3.下列各式中不能化简为AD
的是（
）
A．
CB
MC
DA
BM
B．BM
DA
MB
C．
AB
DC
CB
D．
AD
CD
DC
4.化简��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ得（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．0Ԧሬ
5.−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ
6．已知平面内M
N
P
、、三点满足
0
MN
PN
PM
，则下列说法正确的是（
）
A．M
N
P
、、是一个直角三角形的三个顶点
B．M
N
P
、、是一条直线上的三个点
C．M
N
P
、、是平面内的任意三个点
D．M
N
P
、、是一个锐角或钝角三角形的三个顶点
7．在四边形ABCD 中，AB
＋AD
＝AC
，则四边形ABCD 是（
）
A．梯形
B．矩形
C．正方形
D．平行四边形
8．在ABC
中，若
|
|
AB
AC
AB
AC
，则ABC
的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
题型四：向量减法法则的几何应用
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O，且E 为AO 的中点，则DE
（
）
A．3
1
4
4
AB
AD
B．1
3
4
4
AB
AD
C．1
3
4
4
AB
AD
D．3
1
4
4
AB
AD
2.如图，A 、B 、C 、D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（
）
A．AB
CD
BC
DA
B．AC
BD
BC
AD
C．AC
BD
DC
BA
D．AB
DA
AC
DB
3.如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O为正八边形的中心，则CE
FG
（
）
A．BE
B．EO
C．AD
D．OH
4.如图，向量AB
a
，AC
b
，CD
c
，则向量BD
可以表示为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．a
b
c
D．b
a
c
5．已知O是四边形ABCD所在平面上任一点
//
AB CD ，且OA
OB
OC
OD
．则四边形ABCD一定为
（
）
A．菱形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
6．(多选)若平行四边形MNPQ 的对角线MP 与NQ 相交于点O，则下列结论正确的是（
）．
A．MN
PQ
B．
2
MP
OM
C．MP
MN
MQ
D．QN
MN
MQ
7.已知O，A，B ，C ，D 在同一平面内，
1
OA
OB
OC
OD
，且
0
OA OB
，则AC
BD
的最大
值为（
）．
A．2 2
B．2
2
C．1
2
D．4
8．（多选）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（
）
A．AB
BC
B．AB
BC
C．AB
CD
AD
BC
D．AD
CD
CD
CB
题型五：相反向量
1.设点
,
,
D E F 分别是ABC
的三边BC,CA,AB的中点，则BE
CF
（
）
A．DA
B．1
2 DA
C．AD
D．1
2 BC
2.已知O是ABC
所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且
3
0
OA
BO
OC
，那么
A．
2
= 3
CO
OP
B．
1
= 3
CO
OP
C．
3
= 2
CO
OP
D．
1
= 2
CO
OP
3.如图所示，已知在ABC
中，D 是边AB 上的中点，则CD
（
）
A．
1
2
BC
BA
B．
1
2
BC
BA
C．
1
2
BC
BA
D．
1
2
BC
BA
4.在ABC
中，若|
| |
| |
|
AB
AC
AB
AC
，则ABC
的形状为（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
5．在四边形ABCD 中，若AB
CD
，且AB
AD
AB
AD
，则四边形ABCD 的形状为
.
题型六：向量加法与减法混合运算
1.化简下列各向量的表达式：
(1) AB
BC
AD
；
(2) (
)
(
)
AB
CD
AC
BD
；
(3) (
)
(
)
AC
BO
OA
DC
DO
OB
；
2．设M，N，P，Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①
0
MN
NP
PQ
QM
；
②
0
MN
PQ
MQ
PN
；③
0
PQ
PN
MN
MQ
；④QM
MN
NP
PQ
.其中正确的序号是
.
3．化简（1）(
)
(
)
AB
CD
AC
BD
（2）OA
OD
AD
；
（3）AB
DA
＋BD
BC
CA
．
题型七：向量加法与减法与几何图形综合应用
1．如图所示，求：
(1)a
d
；
(2)c
b
；
(3) e
c
b
；
(4)c
f
b
.
2．已知向量,a b
满足a
b
a
b
，则a
与a
b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
3．已知向量,a b
满足|
| 3,|
| 5
a
b
，则a
b
的取值范围是（
）
A．
2,3
B．
2 8,
C．
3,5
D．
2,5
4．在矩形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，则AB
AD
AC
等于（
）
A．2 5
B．2 3
C．3
D．4
5．已知OA
a
，OB
b
，
5
OA
，
12
OB
，
90
AOB
，则a
b
r
r
.
6．如图，无弹性的细绳OA，OB 的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得
OB
OC
，试分析OA，OB，OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.
7．已知正方形ABCD的边长为1，AB
a
，BC
b
，AC
c
，则|
|
a
b
c
等于（
）
A．0
B．
3
C．
2
D．2 2
8．(多选)已知三角形ABC 为等腰直角三角形，且
90
A
，则有（
）
A．|
| |
|
AB
AC
AB
AC
B．|
| |
|
BC
BA
CB
CA
C．|
| |
|
AB
CB
AC
BC
D．
2
2
2
|
|
|
|
|
|
AB
AC
BC
AC
CB
AB
9 如图，E，F，G，H 分别是梯形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 的中点，
//
AB CD ，
2
CD
AB
，AD
a
，AB
b
，
用a
，b
表示下列各式．
(1) EG
；
(2) AC
HF
HC
．
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，E ，F 分别为边AB 和BC 的中点，G 为AC 与BD 的交点．
(1)若AB
AB
BC
CD
，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简AD
GC
EB
，并在图中作出表示该化简结果的向量．
11.在ABC
中，AC
CB
AC
AB
AB
BC
，则ABC
是（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
12.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，,
E F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（
）.
A．
1
3
EF
AB
B．BE
CB
CE
C．AC
AB
AD
D．
2
1
3
3
AF
AD
AC
13.(多选)以下四个选项中，正确的有（
）
A．若向量// , //
a b b c
，则//
a c
r r
B．若非零向量, ,
a b c
满足
0
a
b
c
，则表示, ,
a b c
的有向线段可以构成三角形
C．若四边形ABCD满足AB
DC
，且AD
AB
BC
BA
，则四边形ABCD为矩形
D．P 为四边形ABCD所在平面内一点，若PA
PC
PB
PD
，则四边形ABCD为平行四边形
模块三：综合巩固
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB
AD
（
）
A．BC
B．AC
C．AB
D．DC
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB
a
，AD
b
，则AC
可以表示为（
）
A．a
b
B．a
b
C．
2 a
b
D．
1
2 a
b
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB a
= ，AD
b
，则BD
可以表示为（
）
A．a
b
B．b
a
C．
1
2 a
b
D．
1
2 b
a
4．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（
）
A．
BO
OM
MB
B．AB
BC
C．
C
BO
OB
O
CO
D．AB
AC
BD
CD
5．AB
BC
CA
=
，AB
BC
CA
．
6．OM
BA
BO
MB
uuur
uur
uuur
uuur
（
）
A．MB
B．BA
C．AB
D．BM
7．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C，且2
0
AC
CB
，则OC
（
）
A．2OA
OB
B．
2
OA
OB
C．2
1
3
3
OA
OB
D．
1
2
3
3
OA
OB
8．已知, ,
a b c
是非零向量，则
a
c
b
，
b
a
c
，
b
c
a
，
c
a
b
，
c
b
a
中，与向量a
b
c
相等的向量的个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．下列各式中不能化简为AD
的是（
）
A．
CB
MC
DA
BM
B．BM
DA
MB
C．
AB
DC
CB
D．
AD
CD
DC
10.设�是平行四边形����的对角线的交点，则2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．5��Ԧ
ሬሬሬሬ
11.已知ABC
为正三角形，则下列各式中成立的是
.（填序号）
①AB
AC
BC
uuur
uuur
uuur
；②AB
CA
BC
AB
；③AB
CA
CA
BC
；④CA
BC
AB
AC
.
12．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（
）
A．AB
DC
，BC
AD
B．AD
OD
AO
C．AO
OD
AC
CD
D．AB
BC
CD
DA
13.在平行四边形ABCD中，已知
,
,
AB
a BC
b BD
c
，且a
b
a
b
，
6,
2 3
a
b
．求a
b
c
．
14.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E，O 是任意一点，求证：
4
OA
OB
OC
OD
OE
．
15.如图，在ABC
中，
3
AC
AE
，
3
BC
BD
.
(1) BE
xAB
yAC
，求x
y
的值；
(2)若AD
a
，BE
b
，试用a
，b
表示AB
.
6.3 平面向量的数乘运算与共线定理
模块一：基础知识
考点一：向量数乘的定义
实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
当λ>0 时，与a 的方向相同；
当λ<0 时，与a 的方向相反.
特别地，当λ＝0 时，λa＝0.，当λ＝－1 时，(－1)a＝－a.
考点二：向量数乘的几何意义
对于
a
：①从代数角度看，是实数，a
是向量，它们的积仍然是向量．a
的条件是
0
a
或
0
．②
从几何的角度看，对于长度来说，当
1
时，意味着表示向量a
的有向线段在原方向(
0)
或相反方向
(
0)
上伸长了倍；当0
1
时，意味着表示向量a
的有向线段在原方向(0
1)
或反方向
( 1
0)
上缩短了倍．
考点三：向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b 为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
考点四：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a
,b
,以及任意实数,
1
,
2
,恒有
1
2
1
2
(
)
a
b
a
b
.
考点五：向量共线定理
（1）内容：向量b
与非零向量a
共线，则存在唯一一个实数，b
a
.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意
0
a
．特别地，若
0
a
b
，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量b
与a
的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两
个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
考点六：三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点
,
A B C
,
共线的充要条件是存在唯一实数t ，使得AC
t AB
.
结论2：设O 是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数使得
(1
)
OC
OA
OB
.
模块二：题型分类
题型一：向量数乘运算的定义
1．已知平面内的两个非零向量a
，b
满足
3
a
b
r
r ，则a
与b
（
）
A．相等
B．方向相同
C．垂直
D．方向相反
2.已知a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a 的方向与a 的方向相同；
(2)|－2a|＝3
2|3a|；
(3) 1
|a|a 是单位向量；
(4)a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
3.已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(
)
①当λ＞0 时，λa 与a 的方向一定相同；
②当λ＜0 时，λa 与a 的方向一定相反；
③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0；
④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．已知
0
a
，则下列结论一定正确的是（
）
A．
0
B．
0
a
C．
0
且
0
a
D．以上说法都不对
5．下列说法中正确的是（
）
A．a
与a
的方向不是相同就是相反
B．若,a b
共线，则b
a
C．若
2
b
a
＝
，则
2
b
a
D．若
2
b
a
，则
2
b
a
＝
题型二：向量的线性运算
1．化简
6
4
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
c
为（
）
A．6
2
8
a
b
c
B．6
14
a
b
C．2
14
a
b
D．6
2
a
b
2．下列计算正确的个数是（
）
①
3
2
6
a
a
＝-
；②
2
2
3
a b
b a
a
+
-
-
=
；③
2
2
0
a
b
b
a
-
.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．设, ,
i j k
是两两不共线的向量，且向量
2
4
a
i
j
k
，
3
2
b
i
j
k
，则2
3
a
b
（
）
A．11
2
5
i
j
k
B．11
2
5
i
j
k
C．11
10
11
i
j
k
D．11
10
11
i
j
k
考点三：向量数乘的几何意义应用
1．已知点C 在线段AB 上，且
2
AC
CB
，若向量AC
AB
，则（
）
A．2
B．1
2
C．3
2
D．2
3
2．（多选）如图，设
,
P Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式正确的是（
）
A．
1
3
AP
AB
B．
2
3
AQ
AB
C．
2
3
BP
AB
D．AQ
BP
3．（多选）如图，点
,
C D 是线段AB 的三等分点，则下列结论正确的有（
）
A．AC
DB
B．AB
AC
C．
3
2
AB
CD
D．
2
AD
CD
4.（多选）向量
2 ,
6
a
e b
e
，则下列说法正确的是（
）
A．
/ /
a
b
B．向量,a b
方向相反
C．|
| 3|
|
a
b
D．
3a
b
5．在梯形ABCD 中，
4
AB
DC
，AC
AB
xAD
yCD
，则x
y
（
）
A．5
B．6
C．－5
D．－6
6．在ABC
中，点D 为边BC 的中点，若AB
AC
AD
，则实数的值为
.
7．设四边形ABCD中，
1
2
DC
AB
且AD
BC
，则这个四边形是
．
考点四：用已知向量表示未知向量
1．已知四边形ABCD为平行四边形，AC 与BD 相交于O，设
,
AB
a AD
b
，则OB
等于（
）
A．1
1
2
2
a
b
B．1
1
2
2
a
b
C．
1
1
2
2
a
b
D．
1
1
2
2
a
b
2．在ABC
中，
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，则DE
（
）
A．
1
3
2
2
a
b
B．1
3
2
2
a
b
C．
1
3
2
2
a
b
D．1
3
2
2
a
b
3．在梯形ABCD中，E 是CD 中点，
2
BC
AD
，设BE
BA
BC
，则
（
）
A．5
3
B．5
2
C．2
D．5
4
4．如图，在四边形ABCD 中，
2
,
2
DC
AB BE
EC
，设DC
a
，DA
b
，则DE
等于（
）
A．5
1
6
2
a
b
B．2
1
3
2
a
b
C．5
1
6
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
5.如图所示，向量
,
,
OA
a OB
b OC
c
，
,
,
A B C 在一条直线上，且
4
AC
CB
uuur
uur 则（
）
A．
1
3
2
2
c
a
b
B．
1
4
3
3
c
a
b
C．
2
c
a
b
D．
3
1
2
2
c
a
b
r
r
r
6.四边形ABCD中，
/ /
AB
CD ，
90 ,
2
2
3
,
2
A
AB
AD
DC
BC
EC
AE
AF
，
，则下列表示正确的
是（
）
A．
1
1
2
6
AF
AB
AD
B．
2
1
3
3
AF
AB
AD
C．
1
1
3
3
AF
AB
AD
D．
2
2
3
3
AF
AB
AD
考点五：向量共线定理及应用
1．判断下列各小题中的向量a
，b
是否共线：
(1)
3
a
e
，
3
2
b
e
；
(2)
1
2
2
2
a
e
e
，
1
2
b
e
e
（其中两个非零向量
1e
和
2e
不共线）；
(3)
2
3
a
e
，
5
3
2
b
a
e
.
2．设
1e
，
2e
是两个不共线向量，若向量
1
2
3
5
a
e
e
与向量
1
2
3
b
me
e
共线，则m 的值等于（
）
A．
5
3
B．
9
5
C．
3
5
-
D．
5
9
3．设
1e
，
2e
是两个不共线的向量，若向量
1
2(
R)
m
k
e
e k
与向量
2
1
2
n
e
e
共线，则（
）
A．
0
k
B．
1
k
C．
2
k
D．
1
2
k
4．设
1e
，
2e
是两个不共线的向量，已知
1
2
2
AB
e
ke
，
1
2
3
CB
e
e
，
1
2
2
CD
e
e
，若三点A，B，D 共
线，则k 的值为（
）
A．－8
B．8
C．6
D．－6
5．(多选)下列命题正确的的有（
）
A．( 5)(6 )
30
a
a
B．7(
)
6
7
13
a
b
b
a
b
C．若
,
3(
)
a
m
n b
m
n
，则,a b
共线
D．(
5 )
(
5 )
2
a
b
a
b
a
，则,a b
共线
6.（多选）已知4
3
AB
AD
AC
，则下列结论正确的是（
）
A．A，B，C，D 四点共线
B．C，B，D 三点共线
C．|
| |
|
AC
DB
D．|
| 3|
|
BC
DB
7．设a与b
是两个不共线向量，且向量a
b
与
2
b
a
共线，则
.
8．已知a，b
是两个不共线的向量，向量6b
ta
，
3
a
b
共线，则实数t 的值为
.
9．已知向量a
，b
，c
中任意两个都不共线，并且a
b
与c
共线，b
c
与a
共线，那么a
b
c
r
r
r 等于（
）
A．a
B．b
C．c
D．0
10．已知向量,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，则（
）
A．A，B，C 三点共线
B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
11．已知向量,a b
不共线，
3
m
a
b
，
2
n
a
xb
，m
n
∥
，则实数x
．
12．已知平面向量a，b
，则“
/ /
a
b
”是“存在
R
，使得a
b
”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．已知不共线的向量,a b
，且
2
AB
a
b
，
5
6
BC
a
b
，
7
2
CD
a
b
，则一定共线的三点是（
）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
模块三：综合巩固
1.下列计算正确的个数是（
）
①
3
2
6
a
a
＝-
；②
2
2
3
a b
b a
a
+
-
-
=
；③
2
2
0
a
b
b
a
-
.
A．0
B．1
C．2
D．3
2.已知m ，n 是实数，a
，b
是向量，则下列命题中正确的为（
）
①
m a
b
ma
mb
；②
m
n a
ma
na
；
③若ma
mb
，则a
b
；④若ma
na
，则m
n
．
A．①④
B．①②
C．①③
D．③④
3．（多选）若,
a b
都是非零向量，且a
b
，则（
）
A．,
a b
方向相同
B．,a b
方向相反
C．a
b
D．
0
a
b
4．若
3
2
2
4
0
x
x
a
x
a
b
a
，则x
.
5．已知
3
4
AB
BC
，若记AC
BA
，则
．
6．在ABC
中，
,
AB
c AC
b
，若点D 满足
1
2
BD
DC
，则AD
（
）
A．1
1
2
2
b
c
B．2
1
3
3
b
c
C．4
1
3
3
b
c
D．1
2
3
3
b
c
7．如图所示的ABC
中，点D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE
（
）
A．
1
1
3
6
AB
AC
B．
1
1
6
3
AB
AC
C．
5
1
6
3
AB
AC
D．
5
1
6
3
AB
AC
8．在ABC
中，
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，则DE
（
）
A．
1
3
2
2
a
b
B．1
3
2
2
a
b
C．
1
3
2
2
a
b
D．1
3
2
2
a
b
9．在ABC
中，已知
,
,
AB
a AC
b M
为AB 的中点，N 为CM 的中点，则BN
为（
）
A．1
3
2
4
a
b
B．1
3
2
4
b
a
C．3
1
2
2
a
b
D．3
1
2
2
b
a
10．如图，在四边形ABCD 中，
2
,
2
DC
AB BE
EC
，设DC
a
，DA
b
，则DE
等于（
）
A．5
1
6
2
a
b
B．2
1
3
2
a
b
C．5
1
6
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
11．（多选）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃
采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该
图形中，下列说法正确的是（
）
A．
2 3
1
3
GH
BD
B．
3
2
BE
BD
CF
C．
3
1
3
2
GB
BD
CF
D．
3
3
3
1
6
4
IC
BD
CF
12.已知向量,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，则（
）
A．A，B，C 三点共线
B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
13.已知
1e
，2e
是平面内两个不共线的向量，
1
2
4
2
A
e
B
e
，
1
2
B
e
e
C
，
1
2
1
CD
e
e
，且A，C，
D 三点共线，则（
）
A．1
2
B．2
C．4
D．1
4
注意：利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，
需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b 有公共点．
14.(1)已知e1，e2 是两个不共线的向量，若AB
―→＝2e1－8e2，CB
―→＝e1＋3e2，CD
―→＝2e1－e2，求证：A，B，
D 三点共线．
(2)已知A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP
―→＝x OA
―→＋y OB
―→，求证：x＋y＝1.
15.设e1，e2 是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
16.已知P，A，B，C 是平面内四点，且PA
―→＋PB
―→＋PC
―→＝AC
―→，则下列向量一定共线的是(
)
A. PC
―→与PB
―→
B. PA
―→与PB
―→
C. PA
―→与PC
―→
D. PC
―→与AB
―→
17．在平行四边形ABCD中，M 是AB 的中点，N 在对角线BD 上，且
2
3
DN
DB
，求证：
,
,
M N C 共线
18．判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量
1e
和
2e
不共线，
1
2
2
3
AB
e
e
，
1
2
6
23
BC
e
e
，
1
2
4
8
CD
e
e
.求证：A，B，D 三
点共线.
(2)已知任意两个非零向量a
，b
，求作OA
a
b
，
2
OB
a
b
，
3
OC
a
b
.试判断A，B，C 三点之间的
位置关系，并说明理由.
19.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点.
（1）若点O 满足2
0
OA
OB
OC
，求证：AO
OD
；
（2）已知E 为AC 边中点，O 在线段DE 上，且满足
2
3
0
OA
OB
OC
，△BOC 的面积为2，求△ABC 的
面积.
20.如图，已知点G 是ABC
的重心，若PQ过ABC
的重心G ，且AB a
= ，AC
b
，AP
ma
，AQ
nb
（
0
m
0
n
），试求
2
m
n
的最小值．
6.4 平面向量的数量积
模块一：基础知识
考点一：两向量的夹角与垂直
定义：已知两个非零向量a，b(如图)，O 是平面上的任意一点，作OA
→＝a，OB
→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量a 与b 的夹角．
1.向量a 与b 的夹角的范围是0≤θ≤π；
2.当θ＝0 时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向；
3.如果a 与b 的夹角是π
2 ，我们说a 与b 垂直，记作a⊥b．
4.两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同,向量夹角范围是[0,π],而两直线夹角的范围为0,
π
2 。
考点二：向量的数量积
1.向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移
，那么力
所做的功
W=|
|| |
，其中是
与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算
明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
2．定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a 与b 的数量积(或内
积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，可变形为cos θ＝a·b
|a||b| ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3.注意
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（2）
b
a
中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；
（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。
考点三：投影向量
如图，设a，b 是两个非零向量，AB
→＝a，CD
→＝b，我们考虑如下的变换：过AB
→的起点A 和终点B，
分别作CD
→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1
→
，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，1
1
A B
叫做向量a 在向量b 上的投影向量．
探究：如图，设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为，
那么
1
OM 与
,
,a
e
之间有怎样的关系？
【答案】对于任意的
]
,0
[
，都有
e
a
OM
cos
|
|
1
。
【注意】
(1)向量a 在b 方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e 为与b 同向的单位向量)，它是一个向量，且与b
共线，其方向由向量a 和b 夹角θ的余弦决定；
(2)注意：a 在b 方向上的投影向量与b 在a 方向上的投影向量不同，即向量b 在a 上的投影向量可表
示为|b|cos θ a
|a| .
考点四：向量数量积的性质及运算律
1．向量数量积的性质
设a，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ．
(2)a⊥b⇔a·b＝0．
(3)当a 与b 同向时，a·b＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝a·a .
此外，由|cos θ|≤1 还可以得到．
(4)|a·b|≤|a||b|.
2．向量数量积的运算律
对向量a，b，c 和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
考点五：向量数量积的常用结论
1.
=
；
2.
；
3.
；
4.
；
5.
，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
模块二：题型分类
题型一：向量夹角的判断
1.已知ABC
是等边三角形，则向量
,
AB BC
的夹角的大小是
2.在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1
2AB，则AB
→与BC
→的夹角是(
)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3.已知|a|＝|b|＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a＋b 与a 的夹角是多少？a－b 与a 的夹角又是多少？
题型二：向量数量积的计算
1．已知|a|＝3，|b|＝2 3，a 与b 的夹角是120°，则a·b 等于(
)
A．3
B．－3
C．－3 3
D．3 3
2.
(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC 的边长为2，AB
―→＝c，BC
―→＝a，CA
―→＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
3.已知正△ABC 的边长为1，求：
(1)AB
→·AC
→；(2)AB
→·BC
→；(3)BC
→·AC
→.
4.在等腰Rt△ABC 中，AB＝BC＝4，则AB
→·BC
→＝________，BC
→·CA
→＝______，CA
→·AB
→＝________.
5．已知向量
3
a
，
2
b
，a
与b
的夹角为π
3 .求
(1) a b
(2)求a
b
；
(3)求
2
3
a
b
a
b
.
6.已知a
，b
，c
均为单位向量，且
2
3
a
b
c
，则a c
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．1
D．4
3
7．已知|
| 1,|
| 2
a
b
，向量,a b
的夹角为π
3 ，则
(
)
a
a
b
（
）
A．3 1
B．1
C．2
D．
3
1
8．
1e
与
2e
是相互垂直的单位向量，
1
2
a
b
c
e
e
r
r
r
ur
ur
，
1
a
b
c
，则a b
b c
c a
.
9．设P 为ABC
所在平面内一点，满足
0
AP BC
BP AC
，则CP AB
.
【本题技巧】两向量数量积为0，则向量垂直，可以判断P 点为垂心，则最终答案为0
10.在三角形ABC 中，
3
AC
，
4
AB
，
120
CAB
，则
AB
AC
AB
（
）
A．10
B．12
C．10
D．12
11．已知
1
a
，
2
b
，
3π
,
4
a b
，则
a
a
b
.
12．如图，已知OA
，OB
，OC
的模均为4，且
60
AOB
BOC
，则AC AB
（
）
A．24
B．－24
C．8
D．－8
13．若正方形ABCD的边长为2 2 ，则CA BA
（
）
A．8
B．8
C．4
D．4
题型三：平面向量模的相关计算
1．已知
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，则
2
a
b
（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
2．已知向量a，b
的夹角为2π
3 ，
1
a
，
2
b
，则2
3
a
b
r
r
．
3．已知
1
2
a
，
1
3
b
，若a
b
a
b
，则2
3
a
b
r
r
（
）
A．
2
B．2 2
C．4 2
D．4
4．若平面向量, ,
a b c
两两夹角相等，且|
| 1,|
| 1,|
| 3
a
b
c
r
r
r
，则|
|
a
b
c
= （
）
A．2
B．5
C．2 或5
D．
2 或5
5．设向量a
，b
满足
1
a
b
及3
2
7
a
b
.
（1）求a
，b
夹角的大小；
（2）求3
2
a
b
r
r
的值.
6.已知向量
1
a
，
2
b
，|
|
5
c
，且
0
a
b
c
，则cos
,
c
a c
b
（
）
A．
34
34
B．
34
17
C．3 34
34
D．5 34
34
7．已知向量a
，b
满足
3
a
，
8
b
，5
7
3 a
b
，则a b
（
）
A．24
B．12
C．12
D．24
题型四：平面向量的夹角问题
1．已知向量,
a b
满足
2
2
b
a
，a b
=1，则向量,
a b
的夹角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．若
1e
，
2e
是夹角为60的两个单位向量，且
1
2
2
a
e
e
与
1
2
3
2
b
e
e
的夹角为（
）
A．60
B．120
C．30
D．150
3．已知单位向量
1e
，
2e
的夹角为60，向量
1
2
2
3
a
e
e
，
1
2
2
2
b
me
e
，mZ ，向量a，b
的夹角的
余弦值为
21
7
，则m （
）
A．1
B．4
C．2
D．5
4．已知向量
2
a
，
1
b
，
2
2 3
a
b
，则向量a
与b
的夹角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
5．已知向量a
，b
满足
1
a
，
1
2
b
且
3
2
a
b
，则a
与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
6．已知平面向量a
，b
满足
3
a
，
1
b
，
2
4
a
b
，则
3
a
b
，b
夹角的余弦值为（
）
A．
6
4
B．
6
12
C．
6
6
D．
6
6
7．若非零向量,a b
满足|
| 2 |
| |
3 |
a
b
a
b
，则,a b
夹角的余弦值为
．
8．已知向量a、b
的夹角为π
3 ，且
1
a
，
3,0
b
.
(1)求a
b
的值；
(2)求a与a
b
的夹角的余弦.
9．单位向量a
，b
满足
2
2
3
a
b
a
b
.
（1）求a
与b
夹角的余弦值：
（2）若ka
b
与
3
a
b
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.
题型五：平面向量的垂直问题
1．已知向量a，b
满足
2
3
b
a
，
2
a
b
a
b
，则b
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知两个单位向量
1e
，
2e
的夹角为60°，且满足
1
2
1
e
e
e
，则实数的值是（
）
A．1
B．
2
C．2 3
3
D．2
3．已知单位向量,
a b
满足
2
a
a
b
，则
,
a b
（
）
A．2π
3
B．π
3
C．π
4
D．π
6
4．设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，若
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，则
.
5．已知非零向量a
，b
满足
2 3
b
a
，且
3
a
a
b
，则a
与b
的夹角为
6．已知
2
a
，
2
b
，a与b
的夹角为45°，要使b
a
与a
垂直，则的值为（
）
A．
2
B．2 2
C．
2
2
D．1
7．设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，若
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，则
.
8．设向量,
a b
满足
3,|
| 3,|
| 2
a b
a
b
.
（1）求向量,
a b
的夹角；
（2）若
a
b
a
b
，求实数的值
9．已知向量a是单位向量，
3,1
b
r
，且满足
2
a
a
b
，则
a
b
．
10．a，b
的夹角为120，|
| 1
a
，|
| 3
b
.
(1)求| 5
|
a
b
r
r
；
(2)若a
b
与a
b
互相垂直，求.
题型六：投影向量
1.已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，与b 同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a 在b 上的投影向量．
【注意】任意的非零向量a 在另一非零向量b 上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b 的夹角，e 为与b
同向的单位向量)．
2.已知向量a，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影向量的模是________．
3．已知
6
a
，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于120时，向量a在向量e上的投影向量为（
）
A．3
B．3
C．3e
D．3e
4．已知|a|＝2，且a 与b 的夹角为60°，与b 同向的单位向量为e，则向量a 在向量b 上的投影向量为
____________．
5．已知
6
m
，
3
n
，
12
m n
，则向量m
在向量n
方向上的投影向量的长度为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．已知
1
a
，
3
b
，
3
a b
，则向量a
在向量b
上的投影向量为
．
7．已知
5
a
，
4
b
，若a
与b
的夹角
120
.
(1)求a b
；
(2)求a
在b
上的投影向量.
8.在等边△���中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬ，则向量��Ԧ
ሬሬሬሬ在向量��Ԧ
ሬሬሬሬ上的投影向量为（
）
A．
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
9．已知Rt ABC
的面积为6，斜边AB 长为6，设a为CA
在AB
上的投影向量，a CB
.
10．已知单位向量a
，b
满足
3
a
b
a
b
，则a
在b
方向上的投影向量为（
）
A．1
2 b
B．
1
2 b
C．b
D．b
11．已知非零向量a
，b
满足
a
b
a
b
，且向量b
在向量a
方向的投影向量是
1
2 a
，则向量a
与b
的
夹角是（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
12．已知向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，且
1
a
b
，则
1
2
a
b t
R
的值为（
）
A．
3
B．1
C．3
4
D．
3
2
题型七：向量数量积的最值问题
1．若
1
a
b
且a
与b
夹角为120，那么实数x
时，a
xb
的值最小．
2．已知菱形ABCD的边长为1，
60
ABC
，点E 是AB 边上的动点，则DE DC
的最大值为（
）．
A．1
B．
3
2
C．1
2
D．3
2
3．在ABC
中，
π
2,
3
BC
BAC
，点P 满足2
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
，则PB PC
的最大值为（
）
A．
3
4
B．
1
4
C．
1
3
D．
2
3
4．八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形
ABCDEFGH 和圆O（图2），其中正八边形的中心是点O，鱼眼（黑白两点）,
P Q 是圆O半径的中点，且
关于点O对称,若
8 2
OA
，圆O的半径为6，当太极图转动（即圆面O及其内部点绕点O转动）时，PA QC
的最小值为（
）
A．39
B．48
C．57
D．60
5．已知在ABC
中，
3
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC
的取值范围
是
．
6．线段AB 是圆O的一条直径，且
8
AB
C D
, ,
是圆O上的任意两点，
4
CD
，动点P 在线段CD 上，则
PA PB
的取值范围
．
7．设a，b
是两个不共线的非零向量，t R ．
(1)若a与b
起点相同，求t 为何值时，向量a，tb
，1
2
3
3
a
b
的终点在一条直线上；
(2)若
2
2
a
b
，且a与b
夹角为60°，求t 为何值时，a
tb
的值最小．
8．设a
，b
是两个不共线的非零向量，
R
t
.
(1)记
1
,
,
(
)
2
OA
a OB
t b OC
a
b
，那么当实数t 为何值时，
,
,
A B C 三点共线；
(2)若|
| |
| 1
a
b
且a
与b
夹角为60，那么实数x 为何值时，|
|
xa b
的值最小?
题型八：向量数量积几何应用
1.在三角形���中，��= 3，��= 4，∠���= 120°，则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．10
B．12
C．−10
D．−12
2．如图，圆E 为ABC
的外接圆，
4
AB
，
6
AC
，D 为边BC 的中点，则AD AE
（
）
A．26
B．13
C．10
D．5
【解题技巧】处理这类问题的基本策略，就是将要求数量积的向量用已知夹角或模的向量
表示，然后结合运算律进行计算。
3．如图，ABC
的外接圆圆心为O，
2
AB
，
3
AC
，则AO BC
（
）
A．5
2
B．3
2
C．3
D．2
4.已知长方形ABCD的边
3,
2
AB
AD
，E 为BC 的中点，则AE BD
（
）
A．7
B．7
C．11
D．11
5.如图，在△ABC 中，
120
BAC
，
2
AB
，
1
AC ，D 是边BC 上一点，
2
DC
BD
，则AD BC
（
）
A．2
3
B．
7
4
C．5
2
D．
8
3
6.已知在ABC
中，
2
AB
，
3
AC
，
3
BAC
，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC
的值为
（
）
A．
11
3
B．
1
3
C．2
3
D．4
3
7.正三角形ABC
中，
2
AB
，P 为BC 上的靠近B 的四等分点，D 为BC 的中点，则AP BD
（
）
A．
1
2
B．1
4
C．3
4
D．3
2
8.线段AB 的长度为6，C，D 为其三等分点（C 靠近A，D 靠近B），若P 为线段AB 外一点，且满足��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．36
B．－36
C．－8
D．8
模块三：综合巩固
1．已知向量a与b
的夹角为120，且|
| 4,|
| 2
a
b
，求：
（1）·
a b
（2）(
) (
2 )
a
b
a
b
．
2．已知
6
a
，
4
b
，a
与b
的夹角为60，计算下列各式：
（1）
a
b
a
b
；
（2）
2
3
a
b
a
b
．
3.已知向量a与b
的夹角为60°，其中
3
a
，
2
b
，则
a b
（
）
A．6
B．5
C．3
D．2
4.已知向量a
与b
的夹角为π
3 ，
2,
1
a
b
，则向量a
在b
上的投影向量为（
）
A．b
B．1
2 b
r
C．a
D．1
2 a
5.若,a b
均为非零向量，则a b
a b
是a
与b
共线的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
6.在ABC
中，下列命题正确的个数是（
）
①AB
AC
BC
；②
0
AB
BC
CA
；③若
0
AB
AC
AB
AC
，则ABC
为等腰三角形；
④
0
AC AB
，则ABC
为锐角三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
7.已知非零向量a
、b
满足
2
b
a
，且
a
a
b
，则a
与b
的夹角为（
）
A．π
3
B．π
2
C．2π
3
D．5π
6
8.已知
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，则
2
a
b
（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
9.在平行四边形ABCD中，
3π
2,
2,
,
4
AB
AD
BAD
E
是线段CD 的中点，则AE AC
（
）
A．1
B．4
C．6
D．7
10.如果向量a
，b
的夹角为，我们就称a b
为向量a
与b
的“向量积”，a b
还是一个向量，它的长度为
sin
a
b
a
b
，如果
10
a
，
2
b
，
12
a b
，则a b
（
）
A．-16
B．16
C．-20
D．20
11.(多选)下列说法正确的是（
）
A．对任意向量,
a b
，都有a b
b a
B．若a b
a c
且
0
a
，则b
c
C．对任意向量, ,
a b c
，都有
a b
c
a
b c
D．对任意向量, ,
a b c
，都有
a
b
c
a c
b c
12.(多选) ABC
中，下列说法正确的是（
）
A．与AB
共线的单位向量为
AB
AB
B．AB
AC
BC
C．若
0
AB AC
，则ABC
为钝角三角形
D．若ABC
是等边三角形，则AB
，BC
的夹角为60°
13.(多选)设平面向量, ,
a b c
均为非零向量，则下列命题中正确的是（
）
A．若a b
a c
，则b
c
B．,
a b
反向，且a
b
，则a
b
与b
同向
C．a
b
a
b
等价于
0
a b
D．若
a b
c
b c
a
，则//
a c
14.(多选)已知单位向量,a b
的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（
）
A．
0
a b
B．
3
a
b
r
r
C．
4
3
a
a
b
D．a
a
b
15.已知
1
a
，
2
b
，
3π
,
4
a b
，则
a
a
b
.
16.已知向量a
，b
满足|
| 3
a
，|
| 2
b
，a
与b
的夹角为120，则|
2 |
a
b
．
17.已知向量a
、b
满足
5
a
a
b
，且
2
a
，
1
b
，则向量a
与b
的夹角为
.
18.在矩形ABCD中，
4,
2
AB
AD
，点
,
M N 分别是
,
CD BC 的中点，则AM MN
uuur uuur
．
19.已知向量a
与b
满足
2
a
，
1
b
，a
与b
的夹角为60．
(1)求a b
；
(2)求2
3
a
b
．
20.已知
2
a
，
3
b
，
2
3
2
7
a
b
a
b
.
(1)求a
b
；
(2)求向量a
与a
b
的夹角的余弦值.
21.已知向量a
b
，向量c
与a
，b
的夹角都是60°，且
1
a
，
2
b
，
3
c
，试求
(1)
2
2
a
b
c
；
(2)
3
2
3
a
b
b
c
.
22.在ABC
中，已知
4,
3,
BC
AC
P
在线段BC 上，且
1
2
,
3
3
BP
BC AQ
AB
，设
,
CB
a CA
b
．
(1)用向量,a b
表示AP
；
(2)若
60
ACB
，求AP CQ
．
23.已知向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，且3a
b
a
b
r
r
r
r
，则
,
a b
（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
24．已知非零向量,
a b
满足：向量a
b
与向量b
垂直，且向量
4
a
b
与向量a垂直，则a与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
6
25．在ABC
中，已知
4
AB
，
10
AC
，
60
BAC
，BC 、AC 边上的两条中线AM 、BN 相交于点G .
（1）求BN 、AM 的长；
（2）求
MGN
的余弦值.
6.5 平面向量的基本定理
模块一：基础知识
考点一：平面向量基本定理
定理
条件
e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
把不共线的向量e1，e2 叫做表这一平面内所有向量的一组基底
1.基底：若
1
2
,
e e
不共线，我们把
1
2
,
e e
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的
分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．
1
2
,
是被
1
2
,
,
a e e
唯一确定的数值．
（3）1
2
,
e e
是同一平面内所有向量的一组基底，则当a
与
1e
共线时，2
0
；当a
与
2e
共线时，1
0
；当
0
a
时，
1
2
0
．
（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
3.平面向量基本定理唯一性的应用：
设a
，b
是同一平面内的两个不共线向量，
若
1
1
2
2
b
x a
y
x a
y b
，则
1
2
1
2
x
x
y
y
4.重要结论设
1
2
,
e e
是平面内一个基底，
若
1 1
2
2
a
e
e
，
①当
2
0
时，a
与
1e
共线；②当
1
0
时，a
与
2e
共线；③当
1
2
0
时，
0
a
；
考点二：线段的定比分点及λ
设
1P 、
2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于
1P 、
2P 的任一点，则一定存在实数，使
1
2
PP
PP
，叫做
点P 分
1
2
PP
所成的比.有三种情况：
0
(内分)
(外
分)
0
(
1
)
(外分)
0
( 1
0
)
（1）定比分点坐标公式：若点
1
1
1
(
)
P x
y
，
，
2
2
2
(
)
P x
y
，
，为实数，且
1
2
PP
PP
，
则点P 坐标为
1
2
1
2
(
)
1
1
x
x
y
y
，
，我们称为点P 分
1
2
PP
所成的比.
（2）点P 的位置与的范围的关系：
①当
0
时，
1PP
与
2
PP
同向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的内分点；
②当
0
(
1
)时，
1PP
与
2
PP
反向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的外分点.
（3）若P 分有向线段
1
2
PP
所成的比为，点M 为平面内的任一点，则
1
2
1
MP
MP
MP
；
特别地P 为
1
2
PP 的中点
1
2
2
MP
MP
MP
.
模块二：题型分类
题型一：平面向量基本定理的理解
1.下面说法中，正确的是(
)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量a
和一组基底
1e
，
2e
，使a
=λ
1e
+μ
2e
成立的实数对一定是唯一的.
A．②④
B．②③④
C．①③
D．①③④
2.下列关于基底的说法正确的序号是(
)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②
B．①③
C．②③D．①②③
3.(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(
)
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1
λ2
＝μ1
μ2
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
4.下列说法错误的是（
）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
5.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．平面向量的一个基底
1
2
,
e e
中，
1e
，
2e
一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若
0
a
，则
1
2
0
.
C．若单位向量
1e
､
2e
的夹角为2
3
，则
1e
在
2e
方向上的投影向量是
2
1
2 e
.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
6．（多选）下列结论正确的是（
）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若
1
2
1
2 ( , , ,
ae
be
ce
de a b c d
R
，
2
1,e
e
是单位向量)，则
,
a
c b
d
C．向量a
与b
共线存在不全为零的实数
1
2
,
,
使
1
2
0
a
b
D．已知A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若
,
OP
xOA
yOB 则
1
x
y
7.（多选）设a
是已知的平面向量，向量, ,
a b c
在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（
）
A．给定向量b
，总存在向量c
，使a
b
c
；
B．给定向量b
和c
，总存在实数和，使a
b
c
；
C．给定单位向量b
和正数，总存在单位向量c
和实数，使a
b
c
；
D．若
2
a
，存在单位向量,b c
和正实数,
，使a
b
c
，则
2
.
题型二：向量基底的判断
1．已知
1e
，
2e
是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（
）
A．
0
a
，
1
2
b
e
e
B．
1
2
3
3
a
e
e
，
1
2
b
e
e
C．
1
2
2
a
e
e
r
ur
ur
，
1
2
b
e
e
D．
1
2
2
a
e
e
r
ur
ur
，
1
2
2
4
b
e
e
2．设
1
2
e e
，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（
）
A．
1
2
+
e
e
和
1
2
e
e
B．
1
2
4
3e
e
和
1
2
8
6e
e
C．
1
2
+2
e
e
和
1
2
2 +
e
e
D．
1e
和
1
2
+
e
e
3．已知向量
1e
，
2e
不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（
）
A．1
2
e
e
和
1
2
e
e
B．
1
2
4
2
e
e
和
1
2
6
3
e
e
C．
1
2
2e
e
和
2e
D．1
2
e
e
和
2
1
2e
e
4．已知
2
1,e
e
是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（
）
A．
1
1
2
,
a
e b
e
e
B．
2
1
2
3 ,
a
e b
e
e
C．
1
2
1
2
5
2 5
2
,
5
5
a
e
e b
e
e
D．
1
2
1
2
2 ,
2
a
e
e b
e
e
5．（多选）向量,a b
都是非零向量，满足下面哪个条件时，,a b
可以充当该平面的基底（
）
A．
0
a b
a b
B．
0
a b
a b
C．2
0
a b
a b
D．
0
a b
6.若向量a与b
是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（
）
A．a
与a
b
B．a
b
与2a
b
C．2
5
a
b
与4
10
a
b
D．2a
b
与
2
a
b
题型三：用基底表示向量
1．在ABC
中，AB a
= ，AC
b
，若
1
3
BD
BC
，M 为线段AD 的中点，则AM
（
）
A．1
1
3
6
a
b
B．1
1
6
3
a
b
C．1
1
3
6
a
b
D．1
1
6
3
a
b
2．如图，已知AB
a
，AC
b
，
3
BD
DC
，用a
，b
表示AD
，则AD
=（
）
A．3
1
4
4
a
b
B．1
3
4
4
a
b
C．1
1
4
2
a
b
D．3
1
4
2
a
b
3．如图，在ABC
中，AB
c
，AC
b
，若点D 满足
2
BD
DC
，则AD
（
）
A．2
1
3
3
b
c
B．5
2
3
3
c
b
C．2
1
3
3
b
c
D．2
2
3
3
b
c
4．如图，在
ABD
△
中，C 为BD 的中点，2AE
EB
，则CE
（
）
A．
1
1
3
2
AD
AB
B．
1
1
2
3
AD
AB
C．
1
1
3
6
AD
AB
D．
1
1
2
6
AD
AB
5．如图，在平行四边形ABCD中，E 是CD 的中点，AE 和BD 相交于点F ．记
AB a
= ，AD
b
，则（
）
A．
2
1
3
3
CF
a
b
B．
2
1
3
3
CF
a
b
C．
1
2
3
3
CF
a
b
D．
1
2
3
3
CF
a
b
6．如图为正六边形ABCDEF，其中点O 为正六边形ABCDEF 的中心，设AB a
= ，AF
b
，若BM
MC
，
3
EF
EN
，则MN
（
）
A．5
7
6
6
a
b
B．
5
7
6
6
a
b
C．
3
1
5
6
a
b
D．3
1
5
6
a
b
7．如图，已知M ，N ，P 分别是ABC
三边BC ，CA ，AB 上的点，且
1
4
BM
BC
，
1
4
CN
CA
，
1
4
AP
AB
，
令
,
AB
a AC
b
，试用,a b
分别表示
,
,
MN MP NP
.
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC 和BD 交于点M，E 在BC 上，且
:
1: 2
BE EC
，直线DE 与AB
的延长线交于点F，记AB a
= ，AD
b
．
（1）试用a
，b
表示MA
、MB
；
（2）试用a
，b
表示DF
．
题型四：利用平面向量基本定理求参数
1．如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上一点，若
1
5
AP
t AB
AC
，则实数t 的值为（
）
A．1
5
B．1
3
C．2
3
D．4
5
2．如图，在平行四边形ABCD中，
,
M N 分别为
,
AB AD 上的点，且
4
2
,
5
3
AM
AB AN
AD
，连接
,
AC MN
交于P 点，若AP
AC
，则的值为（
）
A．3
5
B．5
7
C．4
11
D．8
15
3．如图，若OA
a
，OB
b
，OC
c
，点B 是线段AC 上一点，且
3
5
AB
AC
．若b
a
c
，则（
）
A．
1
5
，
4
5
B．
2
= 5
，
3
5
C．
3
5
，
2
5
D．
4
= 5
，
1
5
4．在ABC
中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE
AB
AC
，则2
．
5．在平行四边形ABCD中，E 是对角线AC 上靠近点C 的四等分点，点F 在BE 上，若
1
3
AF
xAB
AD
，
则x （
）
A．4
5
B．5
6
C．7
8
D．8
9
6．在三角形ABC 中，点D 是AB 边上的四等分点且
3
AD
DB
，AC 边上存在点E 满足
0
EA
CE
，
直线CD 和直线BE 交于点F，若
0
FC
DF
，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．已知在ABC
中，D ，E 分别为边AB ，AC 上一点，且
3
AB
DB
，
2
AE
EC
，CD 与BE 交于F ，若
AF
mAB
nAC
，则
,
m n 为（
）
A．6 6
,
5 5
B．2 2
,
5 5
C．6 2
,
5 5
D．2 6
,
5 5
8．如图所示，ABC
内有一点G 满足
0
GA
GB
GC
，过点G 作一直线分别交AB AC
，
于点D E
，.若
(
0)
AD
xAB AE
yAC xy
，
，则1
1
x
y
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
题型五：平面向量基本定理的几何应用
1．点P 是ABC
所在平面上一点，若
1
1
2
3
AP
AB
AC
，则ABP
与
ACP
△
的面积之比是（
）
A．3
2
B．3
C．1
3
D．2
3
2．如图，
/ /
OM
AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），
且OP
xOA
yOB
，则实数对
,x y 可以是（
）
A．1
3
,
3
4
B．
1
1
,
3
3
C．
2 8
,
5 5
D．
1 4
,
5 5
3．如图，在ABC
中，中线AD、BE、CF 相交于点G，点G 称为ABC
的重心，那么
:
AG GD是（
）
A．3∶2
B．2∶1
C．3∶1
D．4∶3
4．如图，平行四边形ABCD中，点E 为BC 的中点，点F 在线段AE 上，且
2
AF
FE
，记a
AB
，b
AD
，
则BF
（
）
A．1
2
3
3
a
b
B．
1
2
4
3
a
b
r
r
C．
5
1
8
3
a
b
r
r
D．
1
1
3
3
a
b
5.在如图的平面图形中，已知
2
OM
，
1
ON ，
60
MON
，
3
BM
MA
，
3
CN
NA
，则BC OM
的值
为（
）
A．-15
B．-12
C．-6
D．0
6.如图，在四边形ABCD 中，AD=3，BC=4，E，F 分别是AB，CD 的中点，P，Q 分别是AC，BD 的中点，
则PQ FE
．
7.（多选）设点M 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
2
2
AM
AB
AC
，则点M 是边BC 的中点
B．若
2
AM
AB
AC
，则点M 是边BC 的三等分点
C．若AM
BM
CM
，则点M 是边ABC
的重心
D．若AM
xAB
yAC
，且
1
3
x
y
，则MBC
的面积是ABC
面积的2
3
8．（多选）下列说法中正确的有（
）
A．点O 在ABC
所在平面内，若
0
OA
OB
OC
，则点O 为ABC
的重心
B．向量
1
3
(2, 3),
,
2
4
a
b
能作为平面内所有向量的一个基底
C．点O 在ABC
所在平面内，若
0
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
AB
BC
BA
OA
OB
AC
AB
BC
BA
∣
，则点O 为ABC
的垂心
D．点O 在ABC
所在平面内，且满足(
) (
2
)
0
OB
OC
OB
OC
OA
，则ABC
为等腰三角形
模块三：综合巩固
1．在ABC
中，AB a
= ，AC
b
，若
1
3
BD
BC
，M 为线段AD 的中点，则AM
（
）
A．1
1
3
6
a
b
B．1
1
6
3
a
b
C．1
1
3
6
a
b
D．1
1
6
3
a
b
2．在ABC
中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a
= ，AC
b
，则AE
（
）
A．1
1
2
4
a
b
B．1
1
2
4
a
b
C．1
1
4
2
a
b
D．1
1
4
2
a
b
3．在ABC
中，
3
2
AD
DC
，P 是直线BD 上的一点，若
2
5
AP
t AB
AC
则实数t 的值为（
）
A．
1
3
B．1
3
C．
2
3
D．2
3
4．如图，在ABC
中，
1
3
AD
DC
，P 是线段BD 上一点，若
1
6
AP
mAB
AC
，则实数m 的值为（
）
A．1
3
B．2
3
C．5
6
D．1
2
5．如图，在ABC
中，设AB a
= ，AC
b
，
2
BD
DC
，
4
AE
ED
，则BE
（
）
A．11
8
5
15
a
b
B．2
8
3
15
a
b
C．
2
8
3
15
a
b
D．
11
8
15
15
a
b
6．如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上一点，若
1
5
AP
t AB
AC
，则实数t 的值为（
）
A．1
5
B．1
3
C．2
3
D．4
5
7．已知平行四边形ABCD，若点M 是边BC 的三等分点（靠近点B 处），点N 是边AB 的中点，直线BD 与
MN 相交于点H ，则BH
BD （
）
A．2
3
B．2
5
C．1
5
D．1
4
8．在三角形ABC 中，点D 是AB 边上的四等分点且
3
AD
DB
，AC 边上存在点E 满足
0
EA
CE
，
直线CD 和直线BE 交于点F，若
0
FC
DF
，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．(多选)下列说法正确的是（
）
A．在ABC
中，若
2
CA
CB
CD
，则D 是AB 的中点
B．已知A ，B ，C 是平面内任意三点，则
0
AB
BC
CA
C．若O，A ，B ，C 是同一平面上的四个点，若
1
OA
OB
OC
R
，则A ，B ，C 三点共
线
D．若
0
GA
GB
GC
，则G 为ABC
的外心
10．(多选)如图，在OAB
中，P 为线段AB 的一点，OP
xOA
yOB
且
3
BP
PA
，则下列正确的是（
）
A．
2
3
x
B．
1
3
y
C．
3
4
x
D．
1
4
y
11．已知ABC
中，D 为AB 的中点，
1
3
AE
AC
，若DE
AB
BC
，则
.
12．如图，已知ABC
中，
4
AB
，
6
CA
，点I 是ABC
的内切圆圆心（即ABC
三条内角平分线的交
点），直线AI与BC 交于点D .设AD
mAB
nAC
，则m
n
.
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC 和BD 交于点M，E 在BC 上，且
:
1: 2
BE EC
，直线DE 与
AB 的延长线交于点F，记AB a
= ，AD
b
．
(1)试用a
，b
表示MA
、MB
；
(2)试用a
，b
表示DF
．
14．己知向量(2
)
(
)
m
n a
m
n b
r
r
以
1
2
,
e e
为基底的分解式为
1
2
2e
e
，其中
1
2
1
2
,
a
e
e b
e
e
ur
ur
ur
ur
r
r
.
(1)求m，n 的值；
(2)若
(2
)
(
)
c
m
n a
m
n b
r
r
r
，且//(
)
c
a
kb
r
r
r
，求k 的值.
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB
DC
，
2
2
2
AB
BC
CD
DA
，M 为线段BC 中点，AM 与BD 交
于点N，P 为线段CD 上的一个动点．
(1)用AB
和AD
表示AM
；
(2)求AN
NM ；
(3)设AC
xDB
yAP
，求xy 的取值范围．
6.6 平面向量的坐标表示与运算
模块一：基础知识
考点一：平面向量的正交分解被坐标的表示
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫
做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量与坐标的关系
设OA
→＝xi＋yi，则向量OA
→的坐标(x，y)就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA
→的坐标(x，
y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向
量与实数对是一一对应的．
考点二：平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标
λa＝(λx1，λy1)
向量坐标
公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的
坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB
→＝(x2－x1，y2－y1)
考点三：平面向量的垂直与平行
1．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1 时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0 时，a＝λb．
这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且
使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．
(3)当x2y2≠0 时，x1
x2
＝y1
y2
．
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
【注意】
1.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2 都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式
上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，
b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2 求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 与a⊥b 的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
考点四：平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
模
|a|2＝x21＋y 21或|a|＝x21＋y21
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB
→|＝x2－x12＋y2－y12
夹角
cosθ＝a·b
|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21 x22＋y22
(a，b 为非零向量)
1.向量的模的坐标运算的实质
向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系
中，一定存在点A(x，y)，使得OA
→＝a＝(x，y)，∴|OA
→|＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A 到原点的距离．同样，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB
→|＝x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意
两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
2.解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、
平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用
三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决。
考点五：线段的定比分点及λ
设
1P 、
2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于
1P 、
2P 的任一点，则一定存在实数，使
1
2
PP
PP
，叫做
点P 分
1
2
PP
所成的比.有三种情况：
0
(内分)
(外
分)
0
(
1
)
(外分)
0
( 1
0
)
（1）定比分点坐标公式：若点
1
1
1
(
)
P x
y
，
，
2
2
2
(
)
P x
y
，
，为实数，且
1
2
PP
PP
，
则点P 坐标为
1
2
1
2
(
)
1
1
x
x
y
y
，
，我们称为点P 分
1
2
PP
所成的比.
（2）点P 的位置与的范围的关系：
①当
0
时，
1PP
与
2
PP
同向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的内分点；
②当
0
(
1
)时，
1PP
与
2
PP
反向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的外分点.
（3）若P 分有向线段
1
2
PP
所成的比为，点M 为平面内的任一点，则
1
2
1
MP
MP
MP
；
特别地P 为
1
2
PP 的中点
1
2
2
MP
MP
MP
.
模块二：题型分类
题型一：平面向量的坐标表示与运算
1．已知向量
2,3
a
r
，
1,2
b
，则a
b
（
）
A．
7,3
B．
3,5
C．
2, 2
D．
5,5
2．已知向量
1,2
a
r
，
0,1
b
，则a
b
（
）
A．
1,3
B．
3,1
C．
1,1
D．
1, 1
3．若向量
2,3
BA
，
4,7
CA
，则BC
.
4．已知向量
(2,8),
( 4,2)
a
b
．若
2
c
a
b
，则向量c
（
）
A．(0,18)
B．(8,14)
C．(12,12)
D．( 4,20)
5．已知向量
(1,2)
a
，
(3,1)
b
，则b
a
（
）
A．
2,1
B．(2, 1)
C．(2,0)
D．
4,3
题型二：平面向量数乘运算的坐标表示
1．已知向量
3,2
a
，
1,3
b
，那么2a
b
（
）
A．
5,1
B．
5, 1
C．
4,1
D．
4
1
,
2．已知
5, 2
a
，
4, 3
b
，若
2
3
0
a
b
c
，则c
（
）
A．
13
4
,
3
3
B．13 8
,
3 3
C．13 4
,
3
3
D．
8
1, 3
3．已知向量
1, 6 ,
1,0
a
b
，则
3
a
b
（
）
A．
2, 6
B．
2,6
C．
1, 6
D．
4, 6
4．已知向量
3,2
a
，
0, 1
b
，则2
4
a
b
等于（
）
A．
6,0
B．
6,0
C．
6, 8
D．
6,8
5．设向量
2,1 ,
0, 2
a
b
，则
2
a
b
的模长为（
）
A．
2, 3
B．(3
2)
，
C．13
D．5
6.解答下列各题：
(1)设向量
1,2
a
，
4,3
b
，求
2
a
b
；
(2)已知两点
3, 2
M
和
5, 1
N
，点P 满足
1
2
MP
MN
，求点P 的坐标．
7.已知向量
2,1
a
r
，
3,4
b
，
4,7
c
.
(1)求2
3
a
b
c
；
(2)求满足c
ma
nb
的实数m ，n ；
题型三：用坐标表示平面向量
1.已知
1,3
AB
，且点
2,5
A
，则点B 的坐标为（
）
A．
1,8
B．
1,8
C．
3, 2
D．
3,2
2.已知
(8,5)
PQ
，点
(7,8)
Q
，则点P 的坐标为（
）
A．(1,3)
B．( 1,3)
C．( 1, 3)
D．(15,23)
3.设点A(1,2)，B(3,5)，将向量AB
按向量a
＝(－1,－1)的方向平移后得到A B
为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,7)
4.已知平行四边形ABCD中，
1,2
AB
，
5,3
C
，则点D 的坐标为（
）
A．(
)
2, 1
-
B．
4, 1
C．
4,1
D．
6,5
5.已知向量
1, 5
PQ
，
2,1
QR
，则PR
（
）
A．
4, 6
B．
1, 4
C．
2,4
D．
2, 4
题型四：根据向量线性运算求参数
1.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC
AM
BD
，则
的值为（
）
A．4
3
B．5
3
C．15
8
D．2
2.已知向量a
，b
满足
2
0,3
a
b
，
2
3,0
a
b
，
1,1
a
b
，则
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．2
3.已知向量
2, 1
a
，
1,6
b
，
7,3
c
，则c
可用a
与b
表示为（
）
A．3a
b
B．
3
a
b
C．3
2
a
b
D．3a
b
4.如图，已知
2
OA
，
3
OB
，
1
OC ，
60
AOB
，
90
BOC
，若OB
xOA
yOC
，则x
y （
）
A．
3
B．
1
2
C．
3
3
D．2
3
题型五：线段的定比分点问题
1.已知直角坐标平面上两点
1
1,1
P
、
2 2,3
P
，若P 满足
1
2
2
PP
PP
，则点P 的坐标为
.
2.已知点
0,0
O
，向量
2,3
OA
，
6, 3
OB
，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是（
）
A．14 , 1
3
B．10 ,1
3
C．14 , 1
3
或10 ,1
3
D．14 ,1
3
或10 ,1
3
3.已知
1 3,2
P
，
2 9,11
P
，点
5,
P
y 分
1 2
PP
所成的比为，则y 与的值分别为（
）
A．
8,
2
y
B．
13
1
,
2
2
y
C．
15
1
,
4
2
y
D．
1
5,
2
y
4.（多选）已知点M 是ABC
的重心，点
1,2
A
，
2,3
B
，
2,5
C
，点D 是BC 上靠近点B 的三等分点，
则（
）
A．
1 10
,
3
3
M
B．
2 11
,
3 3
D
C．
π
,
3
MD AC
D．3
2 6
MD
AC
题型六：由坐标法判断向量是否共线
1.与
1,4
a
共线的向量是（
）
A．
1, 4
B．
1, 4
C．
1,4
D．
4,1
2.已知向量
2, 1
a
，
1,3
b
，则下列向量与2a
b
平行的是（
）
A．
0,2
B．
2
2, 3
C．(
)
1, 2
-
D．
1,3
3.（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是（
）
A．
2,3 ,
4,6
a
b
r
r
B．
2,3 ,
3,2
a
b
r
r
C．
1, 2 ,
7,14
a
b
r
r
D．
3,2 ,
6, 4
a
b
r
r
4.（多选）已知向量
(1, 2)
a
，
( 2,4)
b
，则下列结论正确的是（
）
A．//
a b
B．a与b
可以作为一组基底
C．2
0
a
b
D．b
a
与a方向相同
题型七：由向量共线(平行)求参数
1.已知向量
1,1
a
，
4,2
b
y
，且a
b
∥，则y （
）
A．4
B．2
C．0
D．2
2.设向量
1,
1
a
x
，
1,3
b
x
，则“a与b
同向”的充要条件是（
）
A．
2
x
B．
2
x
C．
2
x
D．
1
2
x
3.已知向量
(1,
),
(
1,6)
a
m b
m
，且2a
b
与a共线，则实数m
．
4.已知向量
1,2
a
，
2,1
b
，且
2
/ /
a
b
a
b
，则实数
．
题型八：用坐标解决三点共线问题
1.已知mR ，三点
1, 1
A
、
1,3
B
、
,2
C m
m
t
共线，则t
．
2.（多选）向量
,12
PA
k
，
4,5
PB
，
10,
PC
k
，若A，B，C 三点共线，则k 的值可能为（
）
A．2
B．－2
C．11
D．－11
3.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过
程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C 三点恰好共线，则m （
）
A．7
B．22
3
C．23
3
D．8
4.已知
1,1 ,
1,4 ,
,
A
B
C a b
．
（1）若
,
,
A B C 三点共线，求a 与b 满足的关系式；
（2）若
,
,
A B C 三点共线，
2
AC
AB
，求点C 的坐标．
题型九：平面向量数量积的坐标计算
1.已知
2,3
a
r
，
2,4
b
r
，
1, 2
c
，分别求下列各式的值：
（1）
2
3
a
b
a
b
；
（2）
a
b
c
；
（3）
2
a
b
．
2.已知
, 2
a
k
，
3,1
b
且
4
a
，则
a b
．
3.已知向量
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，则(
2 )
a
b
b
.
4.已知向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，则
2
a
b
a
b
（
）
A．10
B．18
C．
7,8
D．
4,14
5.已知向量
1, 1
a
，
,2
b
m
，若(
) / /
a
b
a
，则2
a b
（
）
A．8
B．7
C．7
D．8
6.已知向量a
，b
，c
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
a
b
c
（
）
A．11
B．7
C．3
D．1
7.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则
AC
AD
AB
AD
（
）
A．4
B．2
C．0
D．4
8.已知边长为2 的菱形ABCD中，
π
3
DAB
，点E 是BC 上一点，满足
3
BE
EC
，则AE BD
（
）
A．1
2
B．
1
2
C．
4
3
D．3
9.在ABC
中，AB
AC
，且
2
AB
AC
，M 是BC 的中点，O是线段AM 的中点，则
OA
OB
OC
的值为（
）
A．0
B．
3
2
C．
1
2
D．2
题型十：利用坐标研究向量垂直问题
1.（多选）下列向量中，与
3,2
a
不垂直的向量是（
）
A．
3, 2
B．
2,3
C．
4,6
D．
3,2
2.已知向量
1,
,
4,
a
x
b
x
，则“
2
x
”是“a
b
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.已知向
1,2
a
r
，
2,3
b
，若向量a
tb
与a
垂直，则实数t （
）
A．
5
4
B．5
4
C．
5
8
D．5
8
4.已知向量
1,1 ,
1,
a
b
m
，若
a
ma
b
，则m （
）
A．1
3
B．1
C．
1
3
D．1
题型十一：坐标求向量模长
1.已知平面向量
2,0
a
，
1
3
,
2
2
b
，则1
2 a
b
（
）
A．1
B．2
C．
3
D．3
2.已知向量
2,
a
m
r
，
1,2
b
，a
b
a
b
，则实数m 的值为（
）
A．1
B．
1
2
C．
1
2
D．1
3.已知平面向量a
，b
，c
满足
(2,1)
a
，
(1,2)
b
，且a
c
.若
3 2
b c
，则|
|
c
（
）
A．10
B．2 5
C．5 2
D．3 5
4.已知
cos23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，
u
a
tb t
R
.
（1）求a b
；
（2）求u
的模的最小值.
题型十二：坐标求向量的夹角
1.已知点
2,3
A
，
1,1
B
，向量
2,7
a
，
5,7
b
，则AB
与a b
的夹角的余弦值为（
）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．2 5
5
2.向量|
| |
| 1,|
|
2
a
b
c
，且
0
a
b
c
，则cos
,
a
c b
c
．
3.已知
1,2
a
r
，
1,3
b
，则向量a b
在a
b
方向上的投影向量的坐标为
.
4.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
4
AC
，
60
BAC
，BC，AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，
则
APN
的余弦值为
．
题型十三：坐标求投影向量
1.已知向量
2,1 ,
3,4
a
b
，则向量b
在a方向上的投影向量的坐标为
.
2.向量
2,2 3
a
在向量
3,1
b
上的投影向量是（
）
A．
3, 3
B．
3, 3
C．
3,
3
D．
3,
3
3.已知向量
4,3
a
，
3,
b
，且a
b
，则b
在a
b
方向上的投影向量的坐标为（
）
A．7 2
2
,
2
2
B．
7 1
,
2 2
C．7
1
,
2
2
D．
7, 1
4.已知平面向量
(1,2)
a
，
(0, 1)
b
，a
c
，且
3
b c
．
（1）求c
的坐标；
（2）求向量a c
在向量b
上的投影向量的模．
题型十四：利用坐标求数量积的最值范围
1.已知M 是边长为1 的正ABC
的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN
的取值范围是（
）
A．
3
23
,
4
64
B．
3
1
,
4
2
C．
2
1
,
5
5
D．
3
23
,
5
64
2.在矩形ABCD 中，若
1
AB ，
1
3
BE
BC
，且AB AE
AD AE
，则AE AC
的值为（
）
A．1
2
B．1
C．
3
D．2
3.等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD，
2
AB
，
1
CD ，
π
4
DAB
，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则PC PB
的最小值是（
）
A．
3
B．1
C．3
2
D．
2
4.如图，已知直角梯形ABCD，
2
2
4
AB
AD
CD
，
/ /
AB
CD ，AD
AB
，P 是斜腰BC 边（含端点）上
的动点，AP BC
的最小值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．8
5.在扇形OAB 中，
2
OA
，
90
AOB
，M 是OA 中点，点P 在弧AB 上，则PM PB
的最小值为（
）
A．0
B．2
C．4
3 2
D．4
2 5
题型十五：坐标解决几何问题
1.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B､C､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A 的坐标.
2.已知梯形ABCD，其中
/ /
AB
CD ，且
2
DC
AB
，三个顶点(1,2)
A
，
(2,1)
B
，
(4,2)
C
，求点D 的坐标．
3.如图，已知
ABCD
Y
的三个顶点A，B，C 的坐标分别是( 2,1)
，( 1,3)
，(3,4) ，求顶点D 的坐标．
4.（多选）已知点
(
)
1,0
A
，
0,2
B
，
1, 2
C
，则以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的
坐标为（
）
A．
0, 4
B．
2,4
C．
2,0
D．
2,1
5.如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标.
6.在
AOB
中，已知点
(0, 0), (0, 5), (4, 3)
O
A
B
，
1
,
4
OC
OA
1
2
OD
OB
，AD 与BC 交于点M ，求点M 的
坐标．
7.如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
2
DE
CD
＝
．动点P 从点A 出发，沿正方
形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，AP
AB
AE
．则
的取值范围为
．
题型十六：向量坐标运算与三角函数综合
1.已知向量
cos , sin
m
x
x
，
cos ,sin
2 3cos
n
x
x
x
，xR ．设
f
x
m n
．
(1)求函数
f
x 的最小正周期；
(2)若
24
13
f x
，且π
π
6
2
x
，求sin 2x 的值．
2.已知
cos 23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，
u
a
tb t
R
.
(1)求a b
；
(2)求u
的模的最小值.
3.设平面向量
cos ,sin
a
x
x
，
2
2
2
2
b
，
，
4 5
5
a
b
.
(1)求
π
cos
4
x
的值；
(2)若
π 5π
,
2
4
x
，求cos2x 的值.
4.已知平面向量
sin ,2sin
,
2cos , 3sin
m
x
x
n
x
x
，函数
3
f x
m n
.
(1)求不等式
1
f
x 的解集；
(2)求函数
f
x 在
π π
,
2 2
上的单调递增区间.
模块三：综合巩固
1．在梯形ABCD中，设AB a
= ，AD
b
，若
2
AB
CD
，则AC
（
）
A．1 +
2 a b
B．
1
2 a
b
C．
1
+ 2
a
b
D．
1
2
a
b
r
r
2．已知向量
1, 5
PQ
，
2,1
QR
，则PR
（
）
A．
4, 6
B．
1, 4
C．
2,4
D．
2, 4
3．已知向量
2, 1 ,
1,2
a
b
，则
a
b
（
）
A．10
B．5
C．10
D．5
4．已知平面向量
1,
1
a
m
，
,
3
b
m m
，若a b
a b
，则实数m 的值为（
）
A．3或1
B．3
C．1或3
D．3
5．已知向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，则
2
a
b
a
b
（
）
A．10
B．18
C．
7,8
D．
4,14
6．已知向量
2,1
a
，
10
b
，
5
a
b
，则a与b
的夹角为（
）
A．45
B．60
C．120
D．135
7．已知
1,3 ,
,2
a
b
x
，若(
)
a
b
a
，则x （
）
A．4
B．
2
3
C．2
3
D．-4
8．设xR ，向量
( ,1)
a
x
，
(1, 2)
b
，且a
b
，则cos
,
a
b b
（
）
A．
2
10
B．
2
2
C．
5
10
D．
2
5
9．已知向量
1,1 ,
2,3
a
b
，则2a
b
．
10．已知向量
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，则(
2 )
a
b
b
.
11．已知向量a
，b
满足
(3, 7)
a
，
8
a b
，则
(3
2 )
a
a
b
．
12．已知向量
sin ,cos
,
2,1
a
b
，若
/ /
a
b
，则
2
sin
sin2
的值为
．
13．若向量
,2
3
AB
x
x
，
1,2
CD
，且
/ /
AB
CD
，则实数x 的值为
．
14．已知
2,3
a
r
,
2,4
b
r
,
1, 2
c
,求a b
，
a
b
a
b
，
a
b
c
，
2
a
b
.
15．已知
2,3
a
r
，
2,4
b
r
，
1, 2
c
，分别求下列各式的值：
(1)
2
3
a
b
a
b
；
(2)
a
b
c
；
(3)
2
a
b
．
16．已知向量a
，b
的坐标，求a b
．
(1)
5,6
a
，
5,3
b
；
(2)
3, 2
a
，
1,2
b
．
17．如图所示，M 是ABC
内一点，且满足
2
3
AM
MB
MC
，BM 的延长线与AC 的交点为N.
(1)设AB
a
，AC
b
，请用a，b
表示AM
；
(2)设BM
BN
，求的值.
18．已知向量
(2, 3)
a
r
，
(1,5)
b
r
，
( ,4)
c
x
，且
// (2
)
c
a
b
，
(1)求x 的值；
(2)若
(
)
b
a
b
，求实数的值.
19．在ABC
中，已知
4,
3,
BC
AC
P
在线段BC 上，且
1
2
,
3
3
BP
BC AQ
AB
，设
,
CB
a CA
b
．
(1)用向量,
a b
表示AP
；
(2)若
60
ACB
，求AP CQ
．
20．已知向量b
与向量
2, 1,2
a
共线，且
18
a b
，
ka
b
ka
b
，
(1)求向量b
的坐标；
(2)求实数k 的值.
21．已知
3
2cos , 2
a
x
，
π
sin
,1
3
b
x
，设
f x
a b
．
(1)求函数
f
x 的单调递增区间；
(2)若
0
5π 2π
,
12
3
x
，且
0
4
5
f
x
，求
0
π
cos 2
12
x
的值．
6.7 平面向量在几何与物理中的应用
模块一：基础知识
考点一：向量在平面几何中的应用
（1）平面两个向量的数量积：
| ||
| cos
a b
a b
；
1
2
1
2.
a b
x x
y y
（2）向量平行的判定:
/ / (
0)
a
b b
a
b
；
1
2
2
1
/ /
0.
a
b
x y
x y
（3）向量平行与垂直的判定:
0
a
b
a b
；
1
2
1
2
0.
a
b
x x
y y
（4）平面内两点间的距离公式：
2
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
（其中
)
,
(
1
1 y
x
A
，
)
,
(
2
2 y
x
B
）
（5）求模：
a
a a
；
2
2
a
x
y
；
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
a
x
x
y
y
（6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平
面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
考点二：用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
考点三：用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
考点四：向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就
是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,
再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既
有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标
来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力F
与位移s
的数量积,
即
|
|| | cos
W
F s
F
s
(为F
与s
的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量mv
实际上是数乘向
量.
在解决问题时要注意数形结合
考点五：利用向量法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
模块二：题型分类
题型一：用向量解决平面几何中的平行问题
1.在四边形����中，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，�，�是��，��上的点，且��＝��.
求证：��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ.
2.已知在四边形ABCD中，
/ /
AB
CD
，求AD
与BC
分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形.
3.求证：顺次连接任意凸四边形各边中点，构成一个平行四边形．
4.证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.
5.在ABC
中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，
2
AM
MB
，
2
AN
NC
.求证：
//
MN BC .
题型二：用向量解决平面几何中的垂直问题
1.在平面四边形ABCD 中，
2,3
AC
，
6,4
BD
，则该四边形的面积为（
）
A．52
B．2 52
C．13
D．26
2.用向量的方法证明在等腰三角形ABC 中，AB
AC
，点M 为边BC 的中点，求证：AM
BC
．
3.如图，正方形ABCD 的边长为a，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，求证：DE⊥AF.
4.(多选)已知点
2,1
A
，
3, 2
B
，
18
5, 5
C
，
1,6
D
，则以下四个结论正确的是（
）
A．
/ /
AB
CD
B．AB
AD
C．AC
BD
D．AC
BD
5.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．
6.在平面直角坐标系中，ABC
的三个顶点坐标分别为
0,
A
b ，
,0
B
a
，
,0
C a
(且
0
ab
)，D 为AB 的
中点，E 为ACD
的重心，F 为ABC
的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：EF
CD
．
7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F，G 分别是AD，BC 的三等分点
1
1
,
3
3
AF
AD BG
BC
.设AB a
= ，AD
b
.
(1)用a
，b
表示EF
，EG
.
(2)如果
3
|
|
|
|
2
b
a
，EF，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
8.已知平面四边形ABCD中，|
| |
| 2|
| 2,|
|
3
AB
AD
DC
BC
，向量
,
AB AD
的夹角为3
.
(1)求证：AB
BC
；
(2)点E 是线段BC 中点，求EA ED
的值.
9.已知在ABC
中，点M 是BC 边上靠近点B 的四等分点，点N 为AB 中点，设AM 与CN 相交于点P .
(1)请用AB
、AC
表示向量AM
；
(2)设AB
和AC
的夹角为，若
1
cos
4
，且
2
AC
AB
，求证：CN
AB
.
10.如图所示，以△���两边��，��为边向外作正方形����和����，�为��的中点.求证：��⊥��.
11.如图，正方形ABCD 的边BC 在正方形BEFG 的边BG 上，联结AG、CE，AG 交DC 于H．
（1）证明：��⊥��；
（2）当点C 在BG 的什么位置时，��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬ最小？
12.在平面直角坐标系中，△���的三个顶点坐标分别为�0, �，�−�, 0 ，��, 0 (且��≠0)，D 为AB 的
中点，E 为△���的重心，F 为△���的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：��⊥��．
题型三：用向量解决线段的长度问题
1.已知ABC
，
1
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，点D 在BC 边上且
1
3
BD
BC
，则AD 长度为（
）
A．
3
B．
3
2
C．
3
3
D．2 3
3
2.已知
,
2 ,|
| 2 |
| 2, ,
AB
a
b AC
a
b a
b
a b
的夹角为π
3 ，则三角形ABC 的BC 边上中线的长
为
.
3.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了6km到达B 地，由B 地向南东30方向骑行了6km到达C 地，从
C 地向北偏东60骑行了2 3km 到达D 地，则A，D 两地的距离是
km ．
4.在ABC
中，点D 是边BC 的中点，
120
BAC
，
3
AB ，
19
2
AD
，则AC 的值为（
）
A．5
B．6
C．
31
D．33
5.已知向量
6
AB AC
，线段BC 的中点为M ，且
6
AM
，则BC
（
）
A．2 30
B．3 30
C．2 26
D．3 26
6. ABC
中，
60
A
，∠A 的平分线AD 交边BC 于D，已知
3
AB ，且
1
2
3
3
AD
AC
AB
，则AD 的长
为（
）
A．
3
B．3
C．2 3
D．3 3
7.如图，在ABC
中，
1
1
1
4,
6,
,
,
,
4
2
2
2
AB
AC
BD
DC BE
EA AF
FC DE DF
.
(1)求BC 的长；
(2)求AD 的长.
8.在平面四边形ABCD中，
1
1
2
AB
BC
CD
DA DC
BA BC
，
，则AC
；
BD CD
.
9.在△ABC 中，
π
3
BAC
，
2
AB
，
3
AC
，
2
DC
BD
，AD
.
题型四：用向量解决夹角问题
1.若两个非零向量,a b
满足
2
a
b
a
b
a
，则向量a
b
与a b
的夹角是（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
2.已知向量
1
3
,
2
2
AB
，
3
1
,
2
2
BC
，则
ABC
（
）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
3.如图所示，AC 为
O
的一条直径，
ABC
为圆周角.求证：
90
ABC
.
4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A 与坐标原点重合，B，D 分别在x，y 轴正半轴上，
4
AB
，
2
AD
，点
E 为AB 上一点
(1)若DE
AC
，求AE 的长；
(2)若E 为AB 的中点，AC 与DE 的交点为M，求cos
CME
．
5.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于M，
则cos
EMF
.
6.在Rt
ABC
△
中，
90
A
，
2
AB
，
3
AC
，
2
AM
MC
，
1
2
AN
AB
，CN 与BM 交于点P，则cos
BPN
的值为（
）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．2 5
5
7.在ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，
π
3
BAC
，AC 和BC 边上的两条中线BM ，AN 相交于点P ，则
MPN
的余弦值为
题型五：判断几何图形的形状
1.在ABC
中，若AB AC
BA BC
，则ABC
的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
2.已知ABC
的三个顶点分别是
1,0
A
，
10
B
,
，
1
3
,
2
2
C
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．斜三角形
D．等腰直角三角形
3.在△ABC 中，若|
| |
|
AB
AC
AB
AC
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
4.已知ABC
中，
0
BA
BC
AC
，
3
AB
AC
AB
AC
，则此三角形为（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
5.在四边形ABCD中，
0,
AB BC
BC
AD
uuur uuur
uuur
uuur
，则四边形ABCD的形状是
.
6.在四边形ABCD中，若
0,
0
AB
CD
AC BD
，则四边形为（
）
A．正方形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
7.若平面四边形ABCD 满足：
0
AB
CD
，(
)
0
AB
AD
AC
，则该四边形一定是（
）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8.若平面四边形ABCD满足
0
AB
CD
，(
)
AB
AD
在AC
方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（
）
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
题型六：向量与几何最值
1.在梯形ABCD 中，
//
AD BC
，AB
BC
，|
| 2
AB
，|
| 2 |
|
BC
AD
.若点P 在线段BC 上，则|
3
|
PC
PD
的
最小值是（
）
A．7
2
B．4
C．9
2
D．6
2.已知ABC
为等边三角形，
2
AB
，ABC
所在平面内的点P 满足
1,
AP
AB
AC
AP
的最小值
为
．
3.在平行四边形ABCD中，
2
3 2
1
AB
AD
AM
MD MB MC
，
，
，
，则
BAD
；点P 是线段BC
上的一个动点，当PA PB
最小时，BP
．
4.已知平面向量a
与a
b
的夹角为60，若
0
a
t b
恒成立，则实数t 的取值范围为（
）
A．2 3,
3
B．
3 ,
2
C．
2,
D．1 ,
2
5.已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，
2
MN
，P 为正六
边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN
的最小值为
.
6.在等腰梯形ABCD 中，已知AB
DC
，
60
ABC
，
2
BC
，
4
AB
，动点E 和F 分别在线段BC 和
DC 上，且BE
BC
，
1
2
DF
DC
，则AE BF
的最小值为
.
7.如图，在ABC
中，D 为AB 的中点，
4
AB
，
3
CD
，EF 是圆心为C、半径为1 的圆的动直径，则
BE AF
的取值范围是（
）
A．
2,5
B．
1,7
C．
0,8
D．
1,9
8.已知点M 为Rt
ABC
△
外接圆O 上的任意一点，
90 ,
1,
3
ABC
AB
BC
，则
OA
OB
BM
的最大
值为（
）
A．1
B．3
2
C．
3
D．5
题型七：力的合成
1.一物体在力
1
2
3
(3, 4),
(2, 5),
(3,1)
F
F
F
作用下，求三个力的合力.
2.已知作用在原点上的三个力
1
1, 2
F
，
2
3,2
F
，
3
1,2
F
，求这些力的合力F
的坐标．
3．如图，两个力
1F
和
2
F
同时作用在一个物体上，其中
1F
的大小为40N ，方向向东，
2
F
的大小为30N ，
方向向北，求它们的合力．
4．已知质点O 受到三个力
1
OF
，
2
OF
，
3
OF
的作用，若它们的大小分别为20N ，30N ，40N，且三个力
之间的夹角都是120，求合力的大小和方向.
5．平面上三个力
1F
、2
F
、3
F
作用于一点且处于平衡状态，
1
|
| 1N
F
，
2
6
2
|
|
N
2
F
，1F
与
2
F
的夹角为45，
求：
(1)
3
F
的大小；
(2)
3
F
与
1F
夹角的大小．
6．解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3 根细绳均匀地固定在横梁上.在其中
一个秤盘中放入质量为1kg 的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg 的砝码，天平平衡.3 根细绳通过秤盘
分担对物品的拉力（拉力分别为
1F
，
2
F
，
3
F
），若3 根细绳两两之间的夹角均为3
，不考虑秤盘和细绳本
身的质量，则
1F
，
2
F
，
3
F
的大小分别是多少？
7．如图，用两根绳子把重10 kg 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A 和B 处所
受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度
2
10m / s
g
)
8.如图，在细绳l 上作用着一个大小为200N 的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细
绳的另一端与水平面平行，求物重G 的大小．
9.如图，重为4N 的匀质球，半径为
6cm
R
，放在墙与均匀的木板AB 之间，A 端固定在墙上，B 端用水
平绳索BC 拉住，板长
10cm
l
，木板AB 与墙夹角为，如果不计木板重，当为60时，求绳的拉力大
小.
10.如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每
条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F．
(1)如果
30
，求F 的大小；
(2)试研究：当0
90
时，随着的增大，F 的变化趋势．
题型八：速度、位移的合成
1.在平面内以点O 的正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做
直线运动，分别求下列位移向量的坐标：
(1)向量a
表示沿北偏东60移动了3 个单位长度；
(2)向量b
表示沿西北方向移动了4 个单位长度；
(3)向量c
表示沿南偏西30移动了3 个单位长度；
(4)向量d
表示沿东南方向移动了4 个单位长度.
2.飞机从A 地向西北飞行200km 到达B 地后，又从B 地向东飞行100 2 km 到达C 地，再从C 地向南偏东
60°飞行50 2 km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移．
3.如图，一艘船从长江南岸点A 出发，以2 3 km/h 的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东
2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
4.如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游
船在静水中的航行速度
1v
的大小为
1
10
v
km/h ，水流速度
2v
的大小为
2
4
v
km/h ，设
1v
和
2v
的夹角
为，北岸A在A 的正北方向．
(1)当
120
=
° 时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当cos多大时，游船能到达A处？需航行多长时间？
5.如图，一条河两岸平行，河的宽度
3km
AC
，一艘船从河边的A 点出发到达对岸的B 点，船只在河内
行驶的路程
2km
AB
，行驶时间为0.2h .已知船在静水中的速度
1v 的大小为
1v ，水流的速度
2v 的大小为
2
2km/h
v
.求：
(1)
1v ；
(2)船在静水中速度
1v 与水流速度
2v 夹角的余弦值.
6.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度
500m
d
，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大
小为
1
10km/ h
v
ur
，水流速度的大小为
2
4km/ h
v
ur
，设
1v
和
2v
的夹角为
0
180
．
(1)当cos多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
7.如图，设Ox、Oy 是平面内相交成60角的两条数轴，
1
2
e ,e
分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，
若向量
1
2
e
e
OP
x
y
，则把有序数对
,x y 叫做向量OP
在坐标系xOy 中的坐标，设
1
2
2e
e
OP
uuur
ur
ur
.
(1)计算OP
的大小；
(2)甲在Ox 上距O 点3 千米的点A 处，乙在Oy 上距O 点1 千米的点B 处，现在甲沿xO
的方向，乙沿Oy
的
方向同时以4 千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C 点，乙到达D 点，请用
1e
与
2e
来表示CD
；
②若t 时刻，甲到达G 点，乙到达H 点，求GH
的最小值.
题型九：功、动量的计算
1.质量
2.0
m
kg 的物体，在4.0N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s
内对物体做的功．
2.质量
2.0kg
m
的木块，在平行于斜面向上的拉力|
| 10N
F
的作用下，沿倾斜角
30
的光滑斜面向上
滑行| | 2.0m
s
的距离.(
9.8N / kg)
g
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
3.如图，质量
2.0kg
m
的木块，在平行于斜面大小为10N 向上的拉力F 的作用下，沿倾角
30
的光滑
斜面向上滑行2.0m 的距离．
9.8N / kg
g
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
模块三：综合巩固
1.如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F 和点E ，使DF
BE
.
试用向量方法证明：四边形AECF 是平行四边形.
2.如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点.求证：四边形EFGH 为
平行四边形.
3.如图，正方形ABCD的边长为6, E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M ．
(1)求
EMF
的余弦值．
(2)若点P 自A 点逆时针沿正方形的边运动到C 点，在这个过程中，是否存在这样的点P ，使得EF
MP
？
若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由．
4.如图，已知
,
,
AD BE CF 分别是ABC
的三条高，试用向量的方法求证：
,
,
AD BE CF 相交于同一点．
5.已知两点
,
E F 分别是四边形ABCD的边
,
AD BC 的中点，且
3
AB ，
2
CD
，
45
ABC
，
75
BCD
，
则线段EF 的长为是
6.用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．
7.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
8.如图，在▱����中，点E，F 分别是AD，DC 边的中点，BE，BF 分别与AC 交于R，T 两点，你能发现
AR，RT，TC 之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
9.如图，在△���中，��= 3, ��= 2, ∠���=
π
3 , �是��边的中点，��⊥��, ��与��交于点�.
(1)求��和��的长度；
(2)求cos∠���.
10.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
5
AC
，
60
BAC
，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于
点P，
(1)求PN ；
(2)求
MPN
的正弦值.
11.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，
60
BAC
，M 是BC 的中点，
2
3
AN
AC
，设AM 与BN
相交于点P ，则cos
MPN
．
12.在ABC
中，若
2
0
BC CA
BC
，则ABC
的形状是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
13.在平行四边形ABCD 中，M、N 分别在BC、CD 上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，
则△AMN 的形状是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
14.如图，在四边形ABCD中，已知
1,
3,
2
AB
AD
CB
CD
AC
，点P 在边CD 上，则AP BP
的最小
值为
.
15.已知圆C 的半径为1，过圆C 外一点P 作一条切线与圆C 相切于点A ，|
| 2
PA
，Q 为圆C 上一个动点，
则PA PQ
的取值范围为（
）
A．
2,4
B．
2,6
C．
0,4
D．
4,6
16.如图所示，把一个物体放在倾角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G
，
沿着斜面向上的摩擦力
1F
，垂直斜面向上的弹力
2
F
．已知|
| 100
G
N，求
1F
，
2
F
的大小．
17.如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力f
ur
．
18.如图，在细绳O 处用水平力
2
F
缓慢拉起所受重力为G
的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的
拉力为
1F
.
(1)判断
1F
ur
，
2
F
uur
随θ的变化而变化的情况；
(2)当
1
2
F
G
时，求角θ的取值范围．
19.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s．现在有风，风使雨滴以3.0m/s
的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
20.已知某人在静水中游泳的速度为4 3 km/h ，河水的流速度为4 km/h ，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：
2
tan35.26
2
．
21.两个力
1F
i
j
，
2
4
5
F
i
j
作用于同一质点，使该质点从点
20,15
A
移动到点
7,0
B
（其中i、j
分
别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)
1F
，
2
F
分别对该质点做的功；
(2)
1F
，
2
F
的合力F
对该质点做的功.
22.如图，在倾角为37、高
2
h
m 的斜面上，质量为5kg 的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜
面压力的0.5倍，
10
g
N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参
考数据
4
cos37
5
，
3
sin 37
5
）．
23.如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为m ，斜面的
倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功．
6.8 余弦定理
模块一：基础知识
考点一：余弦定理
1、公式表达：a
2＝b
2＋c
2－2bccos A，b
2＝a
2＋c
2－2accosB，c
2＝a
2＋b
2－2abcosC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不
同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cos A＝b
2＋c
2－a
2
2bc
，cos B＝a
2＋c
2－b
2
2ac
，cos C＝a
2＋b
2－c
2
2ab
4、余弦定理的推导示例：在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c
如图，因为ACԦ
ሬሬሬ= ABԦ
ሬሬሬ+ BCԦ
ሬሬሬ，
∴ACԦ
ሬሬሬ2 = ABԦ
ሬሬሬ+ BCԦ
ሬሬሬ
2，
即ACԦ
ሬሬሬ2 = ABԦ
ሬሬሬ2 + BCԦ
ሬሬሬ2 + 2ABԦ
ሬሬሬ∙BCԦ
ሬሬሬ= ABԦ
ሬሬሬ2 + BCԦ
ሬሬሬ2 + 2 ABԦ
ሬሬሬ
∙BCԦ
ሬሬሬ
cos180° −B
从而b2 = a2 + c2 −2accosB
同理，根据ABԦ
ሬሬሬ= ACԦ
ሬሬሬ+ CBԦ
ሬሬሬ，BCԦ
ሬሬሬ= BAԦ
ሬሬሬ+ ACԦ
ሬሬሬ，
可以得到c2 = a2 + b2 −2abcosC，a2 = b2 + c2 −2bccosA
考点二：解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C 和她们的对边a，b，c 叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为
负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已
知三边求解
考点三：判断三角形形状时常用到的结论
1、ABC
为直角三角形
2
2
2
a
b
c
或
2
2
2
b
a
c
或
2
2
2
c
a
b
2、ABC
为锐角三角形
2
2
2
a
b
c
，且
2
2
2
b
c
a
，且
2
2
2
c
a
b
3、ABC
为钝角三角形
2
2
2
a
b
c
，且
2
2
2
b
c
a
，且
2
2
2
c
a
b
4、若sin 2
sin 2
A
B
，则A
B
或
2
A
B
模块二：题型分类
题型一：已知两边及夹角解三角形
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
3
a
，
2
b
，
120
C
，则c （
）
A．7
B．19
C．7
D．19
2.在ABC
中，若
2
a
，
3
c
，
1
cos
4
B
，则b （
）
A．6
B．5
C．4
D．3
3.在ABC
中，内角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
b
a
，
4
c
a
，
120
C
，则
a
．
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
π
3 3,
2,
6
a
c
B
，则b
.
5.在ABC
中，角
, ,
A B C 对应的边分别为, , ,
60 ,
4 ,
13
a b c C
a
b c
，则b
6.在ABC
中，已知
2,
3,
60
AB
AC
A
.
(1)求BC 的长
(2)求sin 2C 的值
题型二：两边和其中一边的对角
1.在△ABC 中，
1
AB ，
5
BC
，
5
cos
6
A
，则AC （
）
A．2
B．7
3
C．3
D．5
2
2.在ABC
中，
5
AC
，
10
BC
，
2 5
cos
5
A
，则AB （
）
A．5
2
B．5
C．10
D．10
2
3.在△ABC 中，a＝2 3，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
π
3
A
，
3
a
，
1
b ，则c 等于（
）
A．1
B．2
C．3 1
D．
3
5. ABC
的内角A，B，C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
3
A
，
7
a
，
1
b
c
，则cos B （
）
A．1
3
B．
7
7
C．2 7
7
D．
7
14
题型三：已知三边解三角形
1.在ABC
，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，b =2，c =2,则cos B （
）
A．1
6
B．1
3
C．1
4
D．1
2.已知ABC
的角A、B、C 对应边长分别为a、b、c，
4
a
，
5
b
，
6
c
，则sin A
3.在ABC
中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
3
a
、
1
b 、
2
c
，则A （
）
A．30
B．45
C．60
D．75
4.在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，AB＝3，BC＝2，AC＝7 ，则cos ∠ABD＝________．
5.已知ABC
中角A、B、C 对边分别为a、b、c，若
:
:
3: 2 :
3
a b c
，则ABC
中最大角的余弦值为
．
6.已知
3
2
m
，在钝角ABC
中，
3
AB
m
，
5
BC
m
，
6
AC
m
，则m 的取值范围是（
）
A．3 ,6
2
B．
2,6
C．3 ,2
2
D．
2,
考点四：利用余弦定理进行边角转化
1.在ABC
中，已知
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则角A 等于（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
2.在ABC
中，若
2
2
2
3
a
b
c
ab
，则角C 等于（
）
A．30
B．60
C．150
D．120
3.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2
2
2
2
b
c
a
，
1
cos
4
B
，则c
a （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若b
2＝ac，且a
2－c
2＝ac－bc，则角A 的大小为
题型五：判断三角形的形状
1.若在
,2
cos
ABC
a
B
c
△
中
，则三角形的形状一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
2.在ABC
中，其内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若cos
cos
a
B
b
A
a
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
3.在ABC
中，角A
B
C
，，
所对的边分别为a
b
c
，，．若
cos
cos
a
c
A
b
c
B
，则ABC
为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
4.在ABC
中，若
60
C
，
2c
ab
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边为a，b，c
(1)若sin 2
3sin
B
B
=
，求∠B；
(2)若
2 cos
a
b
C
，试判断△ABC 的形状．
6.若
3
a
b
c
b
c
a
bc
，且cos
cos
c
B
b
C
，那么ABC
是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
7.在ABC
中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
7
a
，
10
b
，
6
c
，则ABC
是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上答案都不对
8.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
1
b
a
，
2
c
a
．是否存在正整数a ，使得ABC
为钝角三角形？若存在，求a ；若不存在，说明理由．
9.在ABC
中，内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
2
2
cos
cos
b
c
b
C
c
B
a
，则ABC
的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
10.在△ABC 中，
cos
cos
a
b
c
B
A
，则这个三角形一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
题型六：余弦定理的实际应用
1.九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正
广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4 3 ，东畔长为2 7 ，在A 处测得C，D 两点处的俯角分别
为49°和19°，则正广长约为（注：sin 41
0.66
）（
）
A．6.6
B．3.3
C．4
D．7
2.《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，
故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象
的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距
23
6:1,
12,cos
32
OA
OB
A OB
，则像高
为
.
3.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4 月12 日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形
ABCD区域设计灯带．已知灯带
=CD
10
AB
米，
20
BC
米，
10 2
AD
米，且
3π
4
A
C
，则
cos
BCD
（
）
A．3
5
B．0
C．4
5
D．
2
10
4.如图，某公园有一个半径为2 公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且
2
2
DOE
AOC
COD
，在扇形AOC 区域内种植芦苇，在扇形COD 区域内修建水上项目，在四边形
ODEB 区域内种植荷花，并在湖面修建栈道DE 和EB 作为观光线路.当DE
EB
最大时，游客有更美好的
观赏感受，则DE
EB
的最大值为（
）
A．9
4
B．4
C．9
2
D．6
题型七：余弦定理与平面图形结合
1.如图，在平行四边形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，
π
3
DAB
，将三角形ABC 沿AC 翻折得三角形AB C
，
使得AB交CD 于E ，则DE （
）
A．2
3
B．3
5
C．3
4
D．4
5
2.已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
8
a
，
6
b
，
4
c
，则中线AD 的长为
.
3.如图所示，点A 是等边
BCD
△
外一点，且
2π
3
BAD
，
2
AD
，
2 3
BD
，则ABC
的周长为
．
4.在ABC
中，内角
,
,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，
cos
tan
tan
2sin
B
C
B
A
．
（1）求C ；
（2）若
4
BC
AC
，且
ACB
的平分线上的点D 满足BD
AD
，求
BDA
．
题型八：求三角形中边长（周长）取值范围
1.在锐角三角形ABC 中，
1
a ，
2
b
，则边c 的取值范围是（
）
A．1
3
c
B．1
5
c
C．
3
5
c
D．
3
3
c
2.已知ABC
中，
1
a ，
2
b
，若ABC
为钝角三角形，则c 的取值范围是
．
3.设,
1,
2
l l
l
是钝角三角形的三边长，则l 的取值范围是（
）
A．0
1
l
B．1
3
l
C．3
4
l
D．4
6
l
4.已知钝角ABC
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
2
b
，
3
c
，则最大边a 的取值范围为（
）
A．(1,5)
B．
1, 5
C．
13,5
D．
1, 5
13,5
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
2
2
2
b
c
a
bc
，
3
a
，则b＋c 的取值范围
是（
）
A．
1, 3
B．( 3,2 3ùúû
C．
3,3 3
D．
3 3
( 3,
)
2
6.已知△ABC 是钝角三角形，角A，B，C 的对边依次是a，b，c，且
3
a
，
4
b
，则边c 的取值范围
是
．
7.在ABC
中，
5
AB
，D 在边AB 上，且2
3
,
2
BD
AD BC
CD
.
(1)若
2
CD
，求ABC
的周长;
(2)求ACD
周长的最大值.
8.在钝角ABC
中，角A B C
､､
所对的边分别为a b c
､､，若
1,
2
a
b
，则最大边c 的取值范围是（
）
A．
5,
B．
2, 5
C．
5,2 2
D．
5,3
9.已知锐角三角形边长分别为1，2，x，则x 的取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,5
C．
3, 5
D．不确定
10.（多选）已知ABC
是钝角三角形，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
3
a
，
4
b
，则最大
的边c 的取值可能是（
）
A．4.5
B．5
C．6
D．6.5
11.在①
4
a
，②D 是边BC 的中点且
2
AD
，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
．
(1)求A；
(2)若__________，求b
c
的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
模块三：综合巩固
1.在ABC
中，已知
3,
4,
13
a
b
c
，则角C 为（
）
A．90
B．60
C．45
D．30
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
b
a
c
ac
，则角B （
）
A．π
6
B．π
3
C．3π
4
D．2π
3
3.在ABC
中，
6
a
，
6 3
b
，
30
A
，则最长边c （
）
A．6
B．12
C．6或12
D．6 3
4.在ABC
中，已知
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则角A 等于（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
5.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000 份，每一份叫作1 密位的角．在角的密位制中，单
位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1 周角等于6000 密
位，写成“60
00
”，578 密位写成“5
78
”．若在ABC
中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 所对的边，且有
2
2
2
a
c
b
ab
．则角C 用密位制表示正确的是（
）
A．2
50
B．5
00
C．10
00
D．20
00
6.已知ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，面积为S，且
2
2
2
4
a
S
c
b
，则角A 的值为（
）
A．π
4
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
7.在公元前500 年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来
的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400 年古希腊数学家泰特拖斯
用来构造无理数
2 、
3 、5 ，……的图形，此图形中
BAD
的余弦值是（
）
A．4
3
6
B．4
3
6
C．2 3
6
6
D．2 3
6
6
8.三角形ABC 中，
2
AB
，
3
AC
，
4
BC
，则AB
AC
（
）
A．10
B．2 2
C．
6
D．2
9.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流
长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，
在圆弧的两个端点A，B 处分别作切线相交于点C，测得切线
50cm,
50cm,
90cm
AC
BC
AB
，根据测量
数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（
）
A．0.62
B．0.56
C．-0.56
D．-0.62
10.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条
伞骨所成的角
BAC
，且AB
AC
，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞
圈D 已滑动到D¢ 的位置，且A 、B 、D¢ 三点共线，
40cm
AD
，B 为AD的中点，当伞从完全张开到完
全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，
BAC
的余弦值是（
）
A．
17
25
B．
4 21
25
C．
3
5
-
D．
8
25
11.曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB
按顺时针方向旋转角时，P 和Q 之间的距离是x cm，若
3cm
OA
，
7cm
AP
，
5
x
，则点A 运动路径
AB
的长度是（
）
A．9 π
4
cm
B．2π cm
C．6cm
D．5cm
12.(多选)已知ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
a
，
6
b
，
30
A
，则c （
）
A．
2
B．2 2
C．3
D．3 2
13.在ABC
中，
π
6
ABC
，
2 3
BC
，
2
AC
，则AB 可能的取值有（
）
A．
3
B．2
C．3
D．4
14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆
心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的1
60
作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为crd．如图，在圆O中，60的圆心角所对的弦长恰好
等于圆O的半径，因此60的圆心角所对的弦长为60 个单位，即crd60
60
．若为圆心角，
1
cos
0
180
4
，则crd
15.在ABC
中，角A，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．若角A 为锐角，
3
b
，
4
c
，则ABC
的周长可
能为
．（写出一个符合题意的答案即可）
16.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
3
a
，且
1
cos
3
A
，
9
4
bc
，则b
c
的值
为
.
17.已知ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
2
4
cos
3
ab
C
a
c
.
(1)若
2π
3
A
，求C ；
(2)若
1
bc ，当B 最大时，求ABC
的周长.
18.在锐角ABC
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
2
2
π
sin
sin
3
bc
C
c
b
a
B
．
(1)求A ；
(2)若
6
a
，求ABC
周长的最大值．
19. ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为
sin
, , ,
sin
sin
c
b
A
a b c a
b
C
B
．
(1)求C ；
(2)若
6
a
b
，求ABC
的周长最小值．
20.已知ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
c c
a
b
a
b
a
.
(1)求角B ；
(2)若
2
CD
DA
，
6
BC
，
2 3
BD
，求AC 的长.
21.在梯形ABCD中，
//
AB CD ，E 是AB 上一点，满足EB 2
2
AE
，F 是CD 上一动点，
6
CD
.
(1)如图1，若
3
AF
，
2
BF
，求EF 的长；
(2)如图2，
2
AD
，
3
BC ，且AD ，EF ，BC 三条直线交于同一点，求EF 的长.
6.9 正弦定理
模块一：基础知识
考点一：正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
①
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，
②sinA: sinB: sinC = a: b: c，
③asinB = bsinA，bsinC = csinB，asinC = csinA，
④
a+b+c
sinA+sinB+sinC =
a+b
sinA+sinB =
a+c
sinA+sinC =
b+c
sinB+sinC = 2R，
⑤a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到a
sinA
＝b
sinB
.
同理，在△ABC 中b
sinB
＝c
sinC
.
从以上的讨论和探究可得：a
sinA
＝b
sinB
＝c
sinC
.
考点二：三角形面积公式
在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB 边上的高分别记作ha，hb，hc，r 为
内切圆半径，R 为外接圆半径，O 为内切圆心。
（1）S =
1
2 aha = bhb = chc
（2）S =
1
2 absinC =
1
2 bcsinA =
1
2 acsinB
证明：当∆ABC 为锐角三角形时，作AD ⊥BC 于点D，
设∆ABC 的面积为S，则S =
1
2 BC ∙AD =
1
2 absinC；
当∆ABC 为钝角三角形时，作BC 边长的高AD，
则AD = ABsin 180° −∠ABC = ABsin∠ABC，
∴S =
1
2 BC ∙AD =
1
2 acsin∠ABC；
当∆ABC 为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）S =
1
2 a + b + c ∙r
证明：S∆ABC = S∆AOB + S∆BOC + S∆AOC =
1
2 cr +
1
2 ar +
1
2 br =
1
2 a + b + c ∙r
（4）S =
a+b+c
4R
证明：S =
1
2 absinC =
1
2 ab
c
2R =
a+b+c
4R
考点三：正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的
角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，
要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
当A 为锐角时：
当A 为钝角时
考点四：利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配
方等)得到边的关系，如a＝b，a
2＋b
2＝c
2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝a
2R
，sin B
＝b
2R
，sin C＝c
2R
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角
的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
模块二：题型分类
题型一：已知两角及任意一边解三角形
1.在△ABC 中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
2. ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
60
A
，
45
B
，
2 3
a
，则b
.
3.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
b
，
45
B
，
105
A
，则c
.
4.在△ABC 中，若
60
A
，
45
B
，
3 2
BC
，则AC （
）
A．4 3
B．2 3
C．
3
D．
3
2
5.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
6
a
，
3 7
sin
8
A
，
9
cos
16
B
，则b （
）
A．8
B．5
C．4
D．3
6.在ABC
中，
3 6
AB
，
π
4
ABC
，
π
3
ACB
，点D 在BC 的延长线上，且
10
CD
，则AD
.
7.在ABC
中，边长
10,
60 ,
45
BC
A
B
，则边长AC （
）
A．20 2
B．10 6
3
C．10 2
D．5 6
3
8.在ABC
中，已知
4
cos
5
A
，
3
B
，
3
b
，则sin C
；
a
；c
．
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形
1.在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
30
B
，
2
b
，
2
c
，则C
．
2.已知ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，则
B
（
）
A．30
B．30或150
C．60
D．60或120
3.已知ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，则
B
（
）
A．30
B．30或150
C．60
D．60或120
4.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知
39,
2,
120
a
b
A
．
(1)求sin B 的值；
(2)求c 的值．
5.在ABC
中，
5
AC
，
5
2
BC
，
1
tan
2
A
，D 在AB 上，且
135
ADC
．
(1)求CD 的值；
(2)求
BCD
△
的面积．
6.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
1
2
sin
2
a
b
A
，
，
，则C=（
）
A．π 6
B．π 4
C．π 3
D．π 2
7.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
A
，
7
a
，
2
b
.
(1)求sinB；
(2)求ABC
的面积.
题型三：判断三角形的形状
1.设ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
cos
cos
cos
a
A
b
B
c
C
，则ABC
的形状是
（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．三边比为1：2：3 的三角形
2.若
3
a
b
c
b
c
a
bc
，且cos
cos
c
B
b
C
，那么ABC
是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3.在ABC
中，
2
cos 2
2
B
a
c
c
，则ABC
的形状为
三角形．
4.已知ABC
内角A，B，C 的对边为a，b，c，若cos
cos
2
2
a
b
A
B
，
2
2
2
c
a
b
ab
，则ABC
的形状是（
）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
5.在ABC
中，若cos
cos
A
b
B
a
，则该三角形的形状一定是（
）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等边三角形
6.在ABC
中，有
1 cos2
2sin(
) 1
2
C
A
B
，试判断ABC
的形状
（从“直角三角形”，“锐角三角
形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
7.在ABC
中，sin
sin 2 ,
2
B
A c
a
，则（
）
A．
B
为直角
B．
B
为钝角
C．
C
为直角
D．
C
为钝角
题型四：三角形解的个数
1.（多选）ABC
中，内角A，B，C 对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（
）
A．
14
a
，
7 3
b
，
45
B
B．
15
a
，
20
b
，
30
A
C．
47
b
，
38
c
，
50
B
D．
25
b
，
13
c
，
23
C
2.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
A
，
3
a
，
2
b
，则此三角形的解的情
况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
3.在
ABC
D
中，
60
A
，
5
a
，
6
b
，满足条件的
ABC
D
（
）
A．有无数多个
B．有两个
C．有一个
D．不存在
4.在ABC
中，已知
3
cos
5
A
，sin B
a
，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（
）
A．
4
0, 5
B．
3
0,
{1}
5
C．
4
0,
{1}
5
D．4 ,1
5
5.设ABC
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
b
，
45
A
，当ABC
有两个解时，a 的取值
范围是
.
6.在ABC
中，
60
A
，
5
a
，
6
b
，满足条件的ABC
（
）
A．有无数多个
B．有两个
C．有一个
D．不存在
7.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c .若
π ,
4
3
B
a
，且该三角形有两解，则b 的范围是（
）
A．
2 3,
B．
2 3,4
C．
0,4
D．
3 3,4
、
8.（多选）已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c 则下列说法正确的是（
）
A．若
2
30
a
b
B
，
=
=
°，则ABC
有一个解
B．若
2
30
a
b
B
，
=
=
° ，则ABC
有两个解
C．若sin 2
sin 2
A
B
，则ABC
为等腰三角形
D．若sin
cos
A
C
，则ABC
为钝角三角形
9.在ABC
中，已知
π
6
A
，
2
a
，若ABC
有两解，则边b 的取值范围为
.
题型五：利用正（余）弦定理求范围或最值
1.在锐角ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若cos
cos
1
a
C
c
A
，
2
1
a
bc
，则a 的取值范围
是
.
2.在锐角ABC
中，设边, ,
a b c 所对的角分别为
, ,
A B C ，且
2
2
a
b
bc
．
(1)证明：
2
A
B
(2)若
1
a ，求2b
c
的取值范围．
3.在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2 cos
cos
cos2
3
a
A
B
b
A
c
b
.
(1)求角A；
(2)若ABC
的面积为1，求a 的最小值.
4.已知ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
sin 2
2 3sin
3,
0, 2
C
C
C
．
(1)若
3,
4
a
b
，求c 的值以及ABC
的面积；
(2)若
14
0
1 ,tan
2
BM
BC
BAC
，求cos
BAC
的值以及AM
CM 的取值范围．
5.在锐角ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，为cos
cos
2 cos .
c
B
b
C
a
A
(1)求角A 的大小；
(2)当
3
a
时，求
2
b
c
的取值范围.
6.在ABC
中，角A、B、C 所对边分别记为a，b，c，且向量
,
2
m
b c
a
与向量
cos
,cos
n
C
B
垂直．
(1)若
3
a
c
，求sin
sin
B
C 的值；
(2)若角B 的内角平分线与AC 相交于点
,
3
D BD
，求b 的最小值．
题型六：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且2sin
3sin
B
C
，若
2
1,cos
3
b
c
A
，则
a
．
2.在ABC
中，
2π
2
,
,
2
3
CM
MB
AMB
AM
，则
2
2
AC
AB
的最小值为
.
3.已知ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin
sin
sin(
)
sin
sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
A
C
．
(1)求A ；
(2)若角A 的平分线AD 交BC 于点D ，且
2
AD
，求ABC
面积的最小值．
4.在ABC
中，
2
B
A
，点D 在线段AB 上，且满足2
3
AD
BD
，
ACD
BCD
，则cos A等于
.
5.在ABC
中，设角
,
A B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若
3
a
，
5
c
，
2
B
A
，则边长b
．
6.已知, ,
a b c 分别为ABC
内角
, ,
A B C 的对边，若ABC
同时满足下列四个条件中的三个：①
3
a
；②
2
b
；③sin
sin
sin
B
C
a
c
A
b
c ；④
2
1
cos
sin
sin
2
4
B
C
B
C
．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC
的面积．
题型七：求三角形面积（定值）
1.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
cos
cos
2 cos
0
b
A
a
B
c
A
.
(1)求角A 的大小；
(2)D 是边BC 上的一点，且
2
BD
CD
，AD 平分
BAC
，且
3
AD
，求ABC
的面积.
2.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
1
tan
3,cos
3
B
C
，且
3 6
b
.
(1)求cosA 的值；
(2)求ABC
的面积；
3. ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
6
a
，sin
sin
2
B
C
b
a
B
．
(1)求角A 的大小；
(2) M 为ABC
的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且
2 3
AM
，求ABC
的面积．
4.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
6
sin
2sin
sin
6
A
C
B
，
6
b
c ．
(1)求：cosB 的值．
(2)求：
π
cos 2
3
B
的值．
(3)若
3 2
b
，求：ABC
的面积．
5.在ABC
中，已知tan
tan
1
tan
tan
A
B
A
B
，
2 2
AB
，
2 3
AC
．
(1)求角B ；
(2)若ABC
为锐角三角形，且
0
GA
GB
GC
，求
GAB
△
的面积.
题型八：根据三角形面积求参数
1.设ABC
内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
sin
2
A
C
a
b
A
.
(1)求B ；
(2)若
3
c
，且ABC
的面积为
3
2
，求角B 的角平分线的长.
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
7
a b c c
b
且
2 cos
2
a
c
A
b
.
(1)求C 的值；
(2)若ABC
的面积为3 3，求BC 边上的高.
3.已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
1
cos
cos2
cos
cos2
2
a
A
B
b
B
A
c
.
(1)求角C；
(2)若
7,
c
ABC
△
的面积为15 3
4
，求ABC
的周长．
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知cos
cos
1
B
C
b
c
a
，且
a
2 2,c
a
b
．
(1)求bc 的值；
(2)若ABC
的面积
7
S
，求,b c 的值．
5.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，2
2 cos
a
c
b
C
，
(1)求角B 的大小；
(2)若ABC
的面积为
3
4
，周长为3b，求AC 边上的高.
6.已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，面积为S，且
1
sin ,cos
4
S
ac
A
B
.
(1)求cosA ；
(2)若
15,
S
D
为AC 的中点，求BD 的长.
题型九：三角形面积最值（范围）问题
1.在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3
sin
3 cos
c
b
A
a
B
．
(1)求A ；
(2)若点D 是BC 上的点，AD 平分
BAC
，且
2
AD
，求ABC
面积的最小值．
2.如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，
3
AB
，
7
BC
，ACD
为正三角形，
设
ABC
.
(1)求AC 的取值范围；
(2)当变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
3.已知在锐角ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
2
cos
cos
a
b
C
c
B
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2
a
，求ABC
的面积S 的取值范围．
4.设ABC
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
cos
cos2
a
B
b
A
B
c
B
．
(1)求角B；
(2)若点D 在边AC 上，BD 平分
ABC
，且
3
BD
，求ABC
面积的最小值．
5.在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2
3
2 cos
c
b
a
B
.
(1)求角A；
(2)若
3
3
a
，求ABC
面积的最大值.
6.已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
π
2 sin
cos
3 cos
4
b
A
b
A
a
B
．
(1)求B ；
(2)若
2 2
b
，求ABC
面积的最大值．
题型十：求三角形周长（定值）
1.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
C
，cos
cos
a
B
b
A
abc
.
(1)求ABC
的面积；
(2)若
1
c ，求ABC
的周长.
2.在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
3
cos
5
A
，
sin
sin
sin
3 sin
a
c
A
C
b
B
c
A
．
(1)证明：ABC
是锐角三角形；
(2)若
2
a
，求ABC
的周长．
3.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
2
A
C
c
b
C
.
(1)求角B；
(2)设BD 是AC 边上的高，且
1
BD ，
3
b
，求ABC
的周长.
4.记ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
2
3 sin
sin
2sin sin
8sin sin cos
A
C
A
C
A
C
B
．
(1)证明：
2
a
c
b
；
(2)若
11
cos
14
B
，ABC
的面积为15
3
4
，求ABC
的周长．
题型十一：三角形周长最值（范围）问题
1.如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆，且
5
AB
，
2
BC
，
4
cos
5
ADC
．
(1)求ABC
的面积；
(2)求
ADC
△
的周长的最大值．
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，已知2 cos
cos
a
A
c
B
CD
，CD
为CA
在CB
方向上的投影
向量．
(1)求A ；
(2)若
3
a
，求ABC
的周长的取值范围．
3.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
π
sin
sin
3
a
C
c
A
．
(1)求角A 的大小；
(2)若ABC
的中线
3
AD
，求b
c
的最大值．
4.在锐角ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
sin
sin
sin
sin
cos
cos
a
b
A
B
C
B
a
B
b
A
.
(1)求角A 的大小；
(2)若ABC
外接圆的半径为
3 ，求
2
2
2
b
c
a
的取值范围.
5.已知锐角ABC
内角
, ,
A B C 及对边, ,
a b c ，满足2
2 cos
c
b
a
B
.
(1)求A 的大小；
(2)若
1
a ，求ABC
周长的取值范围.
6.在ABC
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC
的面积为
ABC
S
．已知①
3
2
ABC
AB BC
S
；
②
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
A
B
A
C
C
A
；③
2
cos
cos
c
a
B
b
C
，从这三个条件中任选一
个，回答下列问题．
(1)求角B ；
(2)若
2 3
b
．求
2
2
a
c
的取值范围．
7.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且2 sin
sin
3 cos
b
C
c
B
c
B
，若D 为AC 边上一
点，AB
BD
，
2
BD
．
(1)求角B ；
(2)求2
1
AD
CD
的取值范围．
8.在单位圆上的三点A，B，C 构成的锐角ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为
2
2
, , ,sin
sin
( 2sin
sin )sin
a b c
c
A
C
B
B
．
(1)求a；
(2)求
2b
c
的取值范围．
模块三：综合巩固
1.设ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2 2,
4,C
45 ,
a
c
则A 的值可以为（
）
A．30
B．60
C．120
D．30或150
2.在ABC
中，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
8 3,
6,
60
a
b
A
，则sin B （
）
A．2
3
B．
6
3
C．
2
2
D．3
8
3.在ABC
中，
4 2
a
，
45
A
o，b
m
，若满足条件的ABC
有两个，则m 的可能取值为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
4.设ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin
cos
cos
a
A
b
C
c
B
，则ABC
的形状为（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
5.在ABC
中，已知
3
5
120
AB
AC
A
，
，
，则sin
sin
A
B （
）
A．5
7
B．7
5
C．3
5
D．5
3
6.在ABC
中，“cos2
cos2
A
B
”是“a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7.在ABC
中，
π,
4,
6
A
AB
BC
a
，且满足该条件的ABC
有两个，则a 的取值范围是（
）
A．
0,2
B．
2,2 3
C．
2,4
D．
2 3,4
8.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺
（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记
载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00 和中
午13：00 的太阳高度角分别为23（
ABC
）和83（
ADC
）．设表高AC 为1 米，则影差BD （
）
（参考数据：sin16
0.276
，
3
1.732
）
A．2.016 米
B．2.232 米
C．2.428 米
D．2.614 米
9.(多选)在ABC
中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下叙述或变形中正确的有（
）
A．
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
B．
sin 2
sin 2
a
b
A
B
C．sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
D．
sin
sin
A
B
A
B
10. ABC
中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，
120
ABC
，BD
BC
交AC 于点D，且
1
BD ，2a
c
的
最小值为（
）
A．8
3
B．8 3
3
C．8
D．8 3
11.在钝角ABC
中，
π
6
C
，
4
AC
，则BC 的取值范围是（
）
A．
8 3
(0,
3 ）
B．
8 3
(2 3,
3 ）
C．
8 3
(0,2 3)
(
,
3
）
D．
8 3
(4,
3 ）
12.在ABC
中，内角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ，已知
cos
2
cos
a
B
b
c
A
，且角A 的平分线AD 交BC
于点D ，
1
AD ，则2
3
AC
AB
的最小值为（
）
A．5
2 6
B．6
2 6
C．5
2 5
D．6
2 5
13.(多选)在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
4 cos
a
b
C
c
B
c
C
，
π
6
A
，则b
c 的
取值可能是（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．2
D．
3
14.在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
b ，
π
6
B
，
1
1
2
tan
tan
A
C
，则ABC
的
面积为
.
15.在ABC
中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.设AB
a
，AC
b
，试用a，b
表示AN
为
，
若
π
6
A
，ABC
的面积为
3 ，则AM AN
的最小值为
.
16.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c 且(
)(sin
sin
)
sin
3 sin
b
c
B
C
a
A
b
C
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
13
a
，且ABC
的面积为
3 ，求ABC
的周长．
17.已知函数
2
3sin cos
cos
1
f x
x
x
x
.
(1)求
f
x 的最小正周期；
(2)在ABC
中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 的对边，若
2
f C
，
4
a
b
，且ABC
的面积为
3
3
，求ABC
外
接圆的半径.
18.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
sin
cos2
cos2
C
A
B
.
(1)若
3
c
a
，求cosC ；
(2)延长BC 至点D，使得AD
BD
，若
2
a
，求ACD
面积的最大值.
19．（多选）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，
余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
（其中a、b、c、S 为三角形的三边和面积）表示．在ABC
中，a、b、c 分
别为角A、B、C 所对的边，若
3
b
，且1
3cos
cos
sin
3sin
B
C
C
B
，则下列命题正确的是（
）
A．ABC
面积的最大值是9
3
4
B．
3
c
a
C．
3
b
c
D．ABC
面积的最大值是
3
6.10 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心
模块一：基础知识
考点一：四心的概念介绍
1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
2.内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
3.外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
考点二：奔驰定理以及四心的向量式
已知O 是△ABC 内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为SA 、SB 、SC ，则满足
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
证明：已知O 是
ABC
内的一点，
AOB
AOC
BOC
,
,
的面积分别为
A
S
，
B
S
，
C
S
，求证：
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则
B
C
COD
ACD
BOD
ABD
COD
BOD
ACD
BD
S
S
DC
BD
S
S
S
S
S
S
S
S A
OD
BC
DC OB BC
BD OC
C
B
B
S
S
S
OB
C
B
C
S
S
S
OC
C
B
A
COA
BOA
COD
BOD
COA
COD
BOA
BOD
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
OA
OD
C
B
A
S
S
S
OD
OA
C
B
A
S
S
S
OA
C
B
B
S
S
S
OB
C
B
C
S
S
S
OC
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
推论:O 是ABC
平面内的一点，且
0
OC
OB
OA
z
y
x
，则
:
:
:
:
BOC
COA
AOB
S
S
S
x
y
z
②
BOC
ABC
S
x
S
x
y
z
△
△
考点三：奔驰定理与三角形四心向量式
1、O 是ABC
的重心
1:
1:
1
:
:
AOB
COA
BOC
S
S
S
0
OC
OB
OA
2、O 是ABC
的内心
c
b
a
S
S
S
AOB
COA
BOC
:
:
:
:
0
OC
OB
OA
c
b
a
3、O 是ABC
的外心
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
2
sin
:
2
sin
:
2
sin
:
:
0
2
sin
2
sin
2
sin
OC
C
OB
B
OA
A
4、O 是ABC
的垂心
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
tan
:
tan
:
tan
:
:
0
tan
tan
tan
OC
C
OB
B
OA
A
证明：如图O 为三角形的垂心，
DB
CD
B
AD
CD
A
tan
,
tan
AD
DB
B
A
:
tan
:
tan
COA
BOC S
S
:
AD
DB :
B
A
S
S
COA
BOC
tan
:
tan
:
同理得
C
B
S
S
AOB
COA
tan
:
tan
:
，
C
A
S
S
AOB
BOC
tan
:
tan
:
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
tan
:
tan
:
tan
:
:
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
考点四：四心常用结论与技巧
1.若O 为△ABC 重心
（1）
1:
1:
1
:
:
AOB
COA
BOC
S
S
S
；
（2）
0
OA
OB
OC
；
（3）动点P 满足
(
)
OP
OA
AB
AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过
ABC
△
的重心
（4）动点P 满足
sin
sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
0
（，
），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心
（5）重心坐标为：
3
3
A
B
C
A
B
C
x
x
x
y
y
y
，
.
2.若O 为△ABC 垂心
（1）OA OB
OB OC
OC OA
（2）
2
2
2
2
2
2
OA
BC
OB
CA
OC
AB
（3）动点P 满足
cos
cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
(0
)
，
，则动点P 的轨迹一定通过
ABC
△
的垂
心
（4）
:
:
tan
: tan
: tan
BOC
COA
AOB
S
S
S
A
B
C
△
△
△
（5）
0
tan
tan
tan
OC
C
OB
B
OA
A
.
3.若O 为△ABC 内心
（1）
:
:
: :
BOC
COA
AOB
S
S
S
a b c
△
△
△
（2）
•
•
•
0
OA
OB
OC
a
b
c
（3）动点P 满足
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
[0,
),
则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心
（4）
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
AB
BC
BA
CA
CB
OA
OB
OC
AC
AB
BC
CA
CB
BA
4.若O 为△ABC 外心
（1）
2
2
2
OA
OB
OC
；
（2）动点P 满足
2
cos
cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，
(0
)
，
，则动点P 的轨迹一定通过
ABC
△
的
外心；
（3）若
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OA
OC
AC
，则O 是
ABC
△
的外心；
（4）
:
:
sin 2
:sin 2
:sin 2
BOC
COA
AOB
S
S
S
A
B
C
△
△
△
；
（5）
0
2
sin
2
sin
2
sin
OC
C
OB
B
OA
A
.
考点五：爪子定理应用及解题技巧
形如AD
xAB
yAC
条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知
,
AB AC
为不共线的两个向量，则对于向量AD
，必存在,x y ，使得
AD
xAB
yAC
。则
, ,
B C D 三点共线
1
x
y
当0
1
x
y
，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间
当
1
x
y
，则D 与A 位于BC 两侧
1
x
y
时，当
0,
0
x
y
，则D 在线段BC 上；当
0
xy
，则D 在线段BC 延长线上
（2）已知D 在线段BC 上，且
:
:
BD
CD
m n
，则
n
m
AD
AB
AC
m
n
m
n
考点六：系数和（等和线）的应用
如图，P 为AOB
所在平面上一点，过O 作直线/ /
l
AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y
R
，使得
OP
xOA
yOB
下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x
y
的值
①若P
l
时，则射线OP 与l 无交点，由/ /
l
AB 知，存在实数，使得OP
AB
而AB
OB
OA
，所以OP
OB
OA
，于是
= - =0
x
y
②若P
l
时，
（i）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作
/ /
CD
AB ，交射线OA
OB
，
于
,
C D 两点，则
OCD
OAB
，不妨设OCD
与OAB
的相似比为k
由
,
P C
D
，
三点共线可知：存在
R
使得：
(1
)
(1
)
OP
OC
OD
k OA
k
OB
所以
(1- )
x
y
k
k
k
（ii）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1 作P 关于O 的对称点P，由（i）
的分析知：存在存在
R
使得：
(1
)
(1
)
OP
OC
OD
k OA
OB
所以
-
-(1
)
OP
k OA
OB
于是
-
- (1- )
-
x
y
k
k
k
综合上面的讨论可知：图中OP
用
,
OA OB
线性表示时，其系数和x
y
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l，
设点P 在l上的射影为P，直线l交直线AB 于点
1P ，则
1
|
|
|
|
|
|
OP
k
OP
( k 的符号由点P 的位置确定)，因
此只需求出|
|
OP的范围便知x
y
的范围
考点七：极化恒等式的应用
极化恒等式
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
a b
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4 ，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中,
,
AB
a AD
b
则
2
2
(
)
(
)
4
AB
AD
AB
AD
a b
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M
点, 则对于三角形来说:
2
2
2
2
(
)
(
)
|
|
|
|
4
4
AB
AD
AB
AD
DB
a b
AM
模块二：题型分类
题型一：重心定理及其应用
1.如图，在ABC
中，中线AD、BE、CF 相交于点G，点G 称为ABC
的重心，那么
:
AG GD 是（
）
A．3∶2
B．2∶1
C．3∶1
D．4∶3
2.若O是ABC
内一点，
0
OA
OB
OC
，则O是ABC
的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
3.已知点O 是边长为2 的正三角形ABC 的重心，则OB OC
（
）
A．
1
6
B．
2
3
C．
1
2
D．
5
6
4.若O 在△ABC 所在的平面内，a，b，c 是△ABC 的三边，满足以下条件
0
a OA
b OB
c OC
,则O 是△ABC 的（
）
A．垂心B．重心
C．内心
D．外心
5.设G 为ABC
的重心，则
2
3
GA
GB
GC
（）
A．0
B．AC
C．BC
D．AB
6.已知O是平面上一定点，
,
,
A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)
OP = OA+
AB+ AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过ABC
的（）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
7.在平行四边形ABCD中，E 是BC 的中点，F 是CD 的中点，DE 与BF 相交于点G ，则
AG
（
）
A．2
2
3
3
AB
AD
B．2
1
3
3
AB
AD
C．1
1
3
3
AB
AD
D．1
2
3
3
AB
AD
8.(多选)设点M 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
2
2
AM
AB
AC
，则点M 是BC 的中点
B．若AM
BM
CM
，则点M 是ABC
的重心
C．若
2
AM
AB
AC
，则点M，B，C 三点共线
D．若
1
3
BM
BC
，则
2
1
3
3
AM
AB
AC
9.已知O为三角形ABC 所在平面内一点，
0
OA
OB
OC
，则
:
OBC
ABC
S
S
（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
10.【后面有专题练习】设O 点在ABC
内部，且有3
2
0
OA
OB
OC
，则AOC
的面积与AOB
的面积
的比值为（
）
A．2
B．
3
C．
2
D．3
11.已知O是平面上一定点，A B
C
，，
是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)
OP
OA
AB
AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过
ABC
△
的(
).
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
题型二：内心定理及其应用
1.已知点O是ABC
所在平面上的一点，ABC
的三边为, ,
a b c ，若
0
aOA bOB cOC
，则点O是ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2.已知ABC
所在的平面上的动点P 满足AP
AB AC
AC AB
，则直线AP 一定经过ABC
的（
）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
3.设O为ABC
的内心，
5
AB
AC
，
8
BC ，
,
AO
mAB
nAC m n
R
，则m
n
（
）
A．2
3
B．5
9
C．3
5
D．2
5
题型三：外心定理及其应用
1.已知O 为ABC
的外心，
4
AB =
uuur
，则AO AB
（
）
A．8
B．10
C．12
D．1
2.在ABC
中，O 是三角形的外心，过点B 作BG
AO
于点G，
4
AB
，则AO AG
（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
3.已知ABC
中，
60
A
，
6
AB
，
4
AC
，O为ABC
的外心，若AO
AB
AC
，则
的值为
（
）
A．1
B．2
C．11
18
D．1
2
题型四：垂心定理及其应用
1.在ABC
中，若HA HB
HB HC
HC HA
，则点H 是ABC
的（
）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
2.在ABC
中，AB＝5，AC＝6，D 是BC 的中点，H 是ABC
的垂心，则DH BC
.
3.O是ABC
所在平面上的一定点，动点P 满足
(
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
[0
，
)
，则点P
形成的图形一定通过ABC
的
．（填外心或内心或重心或垂心）
题型五：三角形四心辨别
1．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：
甲：PA PB PC
0
；
乙：PA (PA
PB)
PC (PA
PB)
；
丙：PA
PB
PC
；
丁：PA PB
PB PC
PC PA
．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2.已知O，N，P，I 在ABC
所在的平面内，则下列说法不正确的是（
）
A．若OA
OB
OC
，则O 是ABC
的外心
B．若
0
CB IA
AC IB
BA IC
，则I 是ABC
的内心
C．若PA PB
PB PC
PC PA
，则P 是ABC
的垂心
D．若
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的重心
3.瑞士数学家欧拉在1765 年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直
线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P 分别为ABC
的外心、
重心、垂心，则下列结论错误的是（
）
A．MA
MB
MC
B．
2
NP
MN
C．
0
NA
NB
NC
D．PA PB
PB PC
PC PA
4.若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
0,
，则直线AP 一定经过ABC
的____心，点H 满足HA
HB
HC
，则H 是ABC
的____心，
点N 满足
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的____心，点Q 满足
·
·
·
QAQB
QB QC
QC QA
，则Q 是ABC
的____心，下列选项正确的是（
）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
5.已知点N ，O，P 在ABC
所在平面内，且
3
PA
PB
PC
PN
，
2
2
2
OA
OB
OC
，
PA PB
PB PC
PC PA
，则点N ，O，P 依次是ABC
的（
）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
6.点
,
,
O G P 为ABC
所在平面内的点，且有
2
2
2
2
2
2
OA
BC
OB
CA
OC
AB
，
0
GA
GB
GC
，
0
PA
PB
AB
PB
PC
BC
PC
PA
CA
，则点
,
,
O G P 分别为ABC
的（
）
A．垂心，重心，外心
B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心
D．外心，垂心，重心
7.M 为△ABC 所在平面内一点，且
2
2
2BM CA
BA
BC
，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（
）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
8.已知O为ABC
所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足
1
OP
OD
OC
R
，则点P 的
轨迹一定过ABC
的（
）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AC 边的中点
9.在ABC
中，动点P 满足
2
2
2
CA
CB
AB CP
，则P 点轨迹一定通过ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
10.已知O 是平面上的一个定点，A､B､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
R
，则点P 的轨迹一定经过ABC
的（
）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
11.已知O是ABC
所在平面内一点，且点O满足
0
AB
AC
BA
BC
CA
CB
OA
OB
OC
AB
AC
BA
BC
CA
CB
则点O一定ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．内心
D．垂心
12.若ABC
所在平面内一点P 满足
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
r ，则P 是ABC
的（
）．
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
13.（多选）设点O 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心；
B．若(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
，则O 为ABC
的垂心；
C．若
1
(
)
0,
2
|
|
|
|
|
| |
|
AB
AC
BA
BC
BC
AB
AC
BA
BC
，则ABC
为等边三角形；
D．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则△BOC 与△ABC 的面积之比为
:
1:6
BOC
ABC
S
S
△
△
．
14.（多选）点O为△ABC 所在平面内一点，则（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则点O为△ABC 的重心
B．若
0
AC
AB
BC
BA
OA
OB
AC
AB
BC
BA
，则点O为△ABC 的垂心
C．若
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
．则点O为△ABC 的垂心
D．在ABC
中，设
2
2
2
AC
AB
AO BC
，那么动点O的轨迹必通过△ABC 的外心
题型六：三角形面积比问题
1.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）
的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC
内的一点，
,
,
BOC
AOC
AOB
的
面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．设O 是锐角ABC
内的一点，
,
,
BAC
ABC
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题不正确的有（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心
B．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
C．若
5π
2,
6
OA
OB
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
D．若O 为ABC
的垂心，则tan
tan
tan
0
BAC OA
ABC OB
ACB OC
2.已知O是ABC
内的一点，若
,
,
BOC
AOC
AOB
的面积分别记为
1
2
3
,
,
S S
S ，则
1
2
3
0
S OA
S
OB
S
OC
.
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是ABC
的垂
心，且
2
3
0
OA
OB
OC
，则tan
: tan
: tan
BAC
ABC
ACB
（
）
A．1: 2:3
B．1: 2 : 4
C．2:3: 4
D．2 :3: 6
3.平面上有ABC
及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB
，OBC
△
，
OCA
的面积分别记作
cS ，aS ，
bS ，则有关系式
0
a
b
c
S
OA
S
OB
S
OC
uur
uuur
uuur
r
．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定
理”．已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
0
a OA
b OB
c OC
，则O 为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4.在平面上有ABC
及内一点O 满足关系式：
0
OBC
OAC
OAB
S
OA
S
OB
S
OC
△
△
△
即称为经典的“奔驰定
理”，若ABC
的三边为a，b，c，现有
0
a OA
b OB
c OC
则O 为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
5.奔驰定理：已知O是ABC
内的一点，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC 内一点，且满足：
2
3
3
2
OA
OB
OC
AB
BC
CA
，则
AOB
ABC
S
S
△
△
（
）
A．2
5
B．1
2
C．1
6
D．1
3
题型七：爪子定理应用
1.设D 为ABC
所在平面内一点，且
3
BC
CD
，则（
）
A.
1
4
3
3
AD
AB
AC
B.
1
4
3
3
AD
AB
AC
C.
4
1
3
3
AD
AB
AC
D.
4
1
3
3
AD
AB
AC
2.如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上的一点，若
2
11
AP
mAB
AC
，则实数m 的值为（
）
A.
9
11
B.
5
11
C.
3
11
D.
2
11
3.在ABC
中，点D 在边AB 上，
2
BD
DA
．记CA
m CD
n
，
，则CB
（
）
A．3
2
m
n
B．2
3
m
n
C．3
2
m
n
D．2
3
m
n
4.在ABC
中，AB
c
，AC
b
．若点D 满足
2
BD
DC
，则AD
（）
A．2
1
3
3
b
c
B．5
2
3
3
c
b
C．2
1
3
3
b
c
D．1
2
3
3
b
c
5.已知平行四边形ABCD，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB
a
，AD
b
，则EF
等于
（
）
A．
1
2 a
b
B．
1
2 a
b
C．
1
2 b
a
D．1
2 a
b
6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
A．3
1
4
4
AB
AC
B．1
3
4
4
AB
AC
C．3
1
4
4
AB
AC
D．1
3
4
4
AB
AC
7.设D 、E 分别是ABC
的边AB ，BC 上的点，
1
2
AD
AB
，
2
3
BE
BC
. 若
1
2
DE
AB
AC
（
1
2
,
为
实数），则
1
2
的值是
题型八：系数和（等和线）的应用
1.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP
=
AB
+ AD
，则
+ 的最大值为
A．3
B．2
2
C．5
D．2
2.边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含短点)上运动，P 是圆Q 上
及其内部的动点，设向量
( ,
)
AP
mAB
nAF m n
R
，则m
n
的取值范围是（
）
5,3
.
5,2
.
6,5
.
2,1
.
D
C
B
A
3.已知ABC
为边长为2 的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP
AB
AC
，则
2
的取值范围是__________
4.在矩形ABCD 中，
1,
2
AB
AD
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
若AP
AB
AD
，则+
的最大值为(
)
A 3
B 2 2
C 5
D 2
5.如图，正六边形ABCDEF ，P 是CDE
内（包括边界）的动点，设
( ,
)
AP
AB
AF
R
，
则
的取值范围是____________
6.如图在直角梯形ABCD 中，
/ /
AB
CD ，AB
AD
，
1
3
AD
DC
AB
，
，动点P 在以C 为圆心，
且与直线BD 相切的圆内运动，设
( ,
)
AP
AD
AB
R
则
的取值范围是____________
7.若点C 在以P 为圆心,6 为半径的弧
AB 上,且PC
xPA
yPB
,则2
3
x
y
的取值范围为______
8.如图，在直角梯形ABCD中，
AB
AD
，AB ∥DC ，
2
AB
，
1
AD
DC
，图中圆弧所在圆的圆
心为点C，半径为1
2 ，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP
xAB
yAC
，其中x
y
R
，
，则4x
y
的取值范围是（
）
A．
3 2
2 3
4
，
B．
5
2 3
2
，
C．
2
5
3
3
4
2
，
D．
17
17
3
3
2
2
，
题型九：极化恒等式的应用及解题技巧
1.设向量
满足
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
2.正方形ABCD的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED
（
）
A．5
B．3
C．2 5
D．5
3.如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，,
E F 是,
A D上的两个三等分点，
4
BA CA
，
1
BF CF
，则BE CE
uur uur
的值是
.
4.如图,在ABC
中,已知
4,
6,
60
AB
AC
BAC
,点
,
D E 分別在边
,
AB AC 上,
且
2
,
3
AB
AD AC
AE
,若F 为DE 的中点,则BF DE
的值为________
5.在ABC
中，
3,
4,
90
AC
BC
C
．P 为ABC
所在平面内的动点，且
1
PC
，则PA PB
的取值范
围是（
）
A．[ 5,3]
B．[ 3,5]
C．[ 6,4]
D．[ 4,6]
模块三：综合巩固
1.平面上点P 与不共线三点A、B、C 满足关系式：PA
PB
PC
AB
，则下列结论正确的是（
）
A．P 在CA 上，且
2
CP
PA
B．P 在AB 上，且
2
AP
PB
C．P 在BC 上，且
2
BP
PC
D．P 点为ABC
的重心
2.已知点O 是ABC
的内心，
4,
3
AB
AC
，CB
CA
CO
，则
（
）
A．4
3
B．5
3
C．2
D．7
3
3.(多选)点O 在ABC
所在的平面内，则下列结论正确的是（
）
A．若OA OB
OB OC
OC OA
，则点O 为ABC
的垂心
B．若
0
OA
OB
OC
，则点O 为ABC
的外心
C．若2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
3: 2:
AOB
BOC
AOC
S
S
S
1
D．若
AO AB
AO AC
AB
AC
且
CO CA
CO CB
CA
CB
，则点O 是ABC
的内心
4.设点O在ABC
内部，且4
0
OA
OB
OC
，则ABC
的面积与
OBC
△
的面积之比是（
）
A．3：2
B．3：1
C．4：3
D．2：1
5.在ABC
所在的平面内有一点P ，如果2PA
PC
AB
PB
，那么PBC
的面积与ABC
的面积之比是（
）
A．3
4
B．1
2
C．1
3
D．2
3
6.如图所示，设P 为ABC
所在平面内的一点，并且
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则ABP
与ABC
的面积之比等于
（
）
A．1
5
B．1
2
C．2
5
D．1
7.如图所示，设P 为ABC
所在平面内的一点，并且
1
1
4
2
AP
AB
AC
，则BPC
与ABC
的面积之比等于
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．1
4
8.已知在ABC
中，O是ABC
的垂心，点P 满足：
1
1
3
2
2
2
OP
OA
OB
OC
，则ABP
的面积与ABC
的
面积之比是
A．2
3
B．3
4
C．3
5
D．1
2
9.设
1
3
AG
AB
AC
，过G 作直线l 分别交
,
AB AC（不与端点重合）于
,
P Q ，若AP
AB
，AQ
AC
uuuv
uuuv
，
若PAG
与QAG
的面积之比为2
3 ，则
A．1
3
B．2
3
C．3
4
D．5
6
10.(多选)O 是锐角三角形ABC 内的一点，A，B，C 是ABC
的三个内角，且点O 满足
OA OB
OB OC
OA OC
.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（
）
A．O 为ABC
的外心
B．
π
BOC
A
C．
:
:
cos
:cos
:cos
OA
OB
OC
A
B
C
D．tan
tan
tan
0
A OA
B OB
C OC
11.(多选)如图，P 为ABC
内任意一点，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，则总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的
有（
）
A．若ABC
是等边三角形，P 为ABC
内任意一点，且点P 到三边BC,CA,AB的距离分别是
1
2
3
,
,
h h h ，
则有
1
2
3
0
h PA
h
PB
h
PC
B．若P 为ABC
内一点，且
0
PA
PB
PC
，则P 是ABC
的内心
C．若P 为ABC
内一点，且
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则
:
:
2:1: 2
PBC
PAC
PAB
S
S
S
D．若ABC
的垂心P 在ABC
内，
,
,
AD BE CF 是ABC
的三条高，则
0
PD
PE
PF
PA
PB
PC
AD
BE
CF
12.(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
，
AOC
，AOB
的面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，O是ABC
内的一点，∠BAC ，
∠ABC ，∠ACB 分别是ABC
的三个内角，以下命题正确
．．的有（
）
A．若2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
4
:
:
:3: 2
A
B
C
S
S
S
B．若
2
OA
OB
，
2
3
AOB
，且2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9 3
4
ABC
S
△
C．若OA OB
OB OC
OC OA
，则O为ABC
的垂心
D．若O为ABC
的内心，且5
12
13
0
OA
OB
OC
，则
π
2
ACB
13.“(多选)奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
、
AOC
、AOB
的面积分别为
A
S 、
B
S 、
C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.设O是锐角ABC
内的一点，
BAC
、
ABC
、
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题正确的有（
）
A．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
B．
2
OA
OB
，
5π
6
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
C．若O为ABC
的内心，3
4
5
0
OA
OB
OC
，则
π
2
C
D．若O为ABC
的重心，则
0
OA
OB
OC
14.（多选）如图. P 为ABC
内任意一点，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（
）
A．若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
B．若
0
aPA
bPB
cPC
成立，则P 是ABC
的内心
C．若
2
1
5
5
AP
AB
AC
，则
:
2:5
ABP
ABC
S
S
△
△
D．若P 是ABC
的外心，
π
4
A
，PA
mPB
nPC
，则
2,1
m
n
15.(多选)如图，P 为ABC
内任意一点，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，则总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的
有（
）
A．若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
B．若
0
a PA b PB
c PC
，则P 是ABC
的内心
C．若
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则
:
:
2: 2:1
PBC
PAC
PAB
S
S
S
D．若P 是ABC
的外心，且
π
4
A
，则
3π
sin
sin
0
2
PA
APC PB
APC
PC
16.已知O 是ABC
所在平面内一点，2
3
0
OA
OB
OC
，则AOC
与ABC
的面积比
AOC
ABC
S
S
△
△
．
17.我校高一同学发现：若O是ABC
内的一点，BOC
、AOC
、AOB
的面积分别为
A
S 、
B
S 、
C
S ，则
存在结论
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，这位同学利用这个结论开始研究：若O为ABC
内的一点且为内心，
ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且
5
cos
6
B
，若BO
xBA
yBC
，则x
y
的最大值
为
.
18.三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O在ABC
内部，用
A
B
C
S
S
S
、
、
分别代表
OBC
△
、OCA
、OAB
的面积，则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．现在假设锐角三角形顶点
, ,
A B C 所对的边长分别为, , ,
a b c
H
为其垂心，
,
,
HA HB HC
的单位向量分别为
1
2
3
,
,
e e e
，则
1
2
3
ae
be
ce
．
19.点P 为ABC
内一点，
3
4
0
PA
PB
PC
，则
,
,
APB
APC
BPC
的面积之比是
.
20.请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
；
②若
0
aPA
bPB
cPC
成立，则P 是ABC
的内心；
③若
2
1
5
5
AP
AB
AC
，则
:
2:5
ABP
ABC
S
S
△
△
；
④若P 是ABC
的外心，
π
4
A
，PA
mPB
nPC
，则
2,1
m
n
；
⑤若ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
7
cos
8
A
，O 为ABC
内的一点且为内心.若
AO
xAB
yAC
，则x
y
的最大值为4
5 .
则正确的命题有
.（填序号）
21.已知ABC
所在平面内的动点M 满足AM
xAC
yAB
，且实数x，y 形成的向量
1
(
, )
2
a
x
y
与
( 1,2)
b
向量共线，则动点M 的轨迹必经过ABC
的
心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）
22.已知点O 是△ABC 的外心，
6
8
AB
BC
，
，
2π
3
B
，若BO
xBA
yBC
，则3
4
x
y
．
23.已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2
cos
cos
OA
OB
CA
CB
OP
CA
A
CB
B
，
R
，则P 的轨迹一定经过ABC
的
．(从“重心”，
“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
24.已知O是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
(
)
OP = OA+
AB+ AC
，
(0,
)
，则点P 的轨迹一定通过ABC
的
（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．
（2）已知O是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
(
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
(0,
)
，则点P 的轨迹一定通过ABC
的
．（填“内心”“外心”“重心”或“垂
心” )
25.点O是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC
的三个顶点，
B
、
C
分别是边AC 、AB 的对角，
以下命题正确的是
（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P 满足OP
OA
PB
PC
，则ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
②动点P 满足
(
)(
0)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，则ABC
的内心一定在满足条件的P 点集合中；
③动点P 满足
(
)(
0)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，则ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
④动点P 满足
(
)(
0)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，则ABC
的垂心一定在满足条件的P 点集合中；
⑤动点P 满足
(
)(
0)
2
|
| cos
|
| cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，则ABC
的外心一定在满足条件的P 点集合中．
