1.2026周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）_03.2026考研数学_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_2026周洋鑫提前学讲义

2026 最新版 2026 考研数学周洋鑫 《零基础提前学讲义》 微博/b 站/小红书@考研数学周洋鑫 让零基础的同学可以快速入门，完美衔接2026考研数学基础班。2026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 目录 零基础1·考研必备高中知识衔接 .......................................... 4 【考点1】函数的概念 .................................................. 4 【考点2】函数的四种特性 .............................................. 5 【考点3】分段函数 .................................................... 7 【考点4】复合函数 .................................................... 7 【考点5】反函数 ...................................................... 9 【考点6】基本初等函数 ............................................... 10 【考点7】初等函数 ................................................... 18 零基础2·函数极限定义 ................................................. 19 【考点1】函数极限的定义 ............................................. 19 零基础3·函数极限计算 ................................................. 20 【考点1】极限定型 ................................................... 20 【考点2】无穷小量 ................................................... 21 【考点3】利用泰勒公式求极限 ......................................... 26 【考点4】洛必达法则 ................................................. 28 【考点5】极限四则运算 ............................................... 30 零基础4· 七种未定式极限专题 .......................................... 31 【考点1】方法体系（先定型后定法，定法之前先四化） ................... 31 【考点2】七种未定式专题讲解 ......................................... 32 【考点3】左右开弓法求极限 ........................................... 35 零基础5·连续与间断 ................................................... 37 【考点1】函数连续的定义 ............................................. 37 【考点2】闭区间函数连续 ............................................. 38 【考点3】初等函数的连续性 ........................................... 38 【考点4】函数的间断点及其分类 ....................................... 39 提前学6·导数的定义 ................................................... 40 【考点1】导数的定义 ................................................. 40 【考点2】单侧导数 ................................................... 41 【考点3】函数的可导性与连续性之间的关系 ............................. 42 提前学7·导数的计算 ................................................... 44 22026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点1】必备知识 ................................................... 44 【考点2】复合函数求导 ............................................... 45 【考点3】隐函数求导法则 ............................................. 46 【考点4】参数方程求导（数一、二） ................................... 48 【考点5】分段函数求导 ............................................... 48 提前学8· 不定积分 .................................................... 50 【考点1】原函数的定义 ............................................... 50 【考点2】不定积分定义 ............................................... 50 【考点3】不定积分运算性质 ........................................... 52 【考点4】基本积分表（不定积分运算基础，必记！） ..................... 52 【考点5】第一类换元积分法（凑微分法） ............................... 54 【考点6】第二类换元积分法 ........................................... 57 【考点7】分部积分法 ................................................. 59 32026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 零基础 1·考研必备高中知识衔接 【考点1】函数的概念 设x与 y是两个变量，D是一个非空的实数集，若存在一个对应法则 f ，使得对于 每一个xD，按照这个对应法则，有唯一确定的实数值 y 与之对应，则称 f 为定义在 4 D 上的一个函数，记为y = f (x) ，称x为函数的自变量，y为函数的因变量，D为函数的定 义域，并把相应的函数值的全体E =  y y = f (x),xD  称为函数的值域. 【敲重点】1. 若两个函数为同一函数，当且仅当两函数的定义域的对应法则完全相同， 例如y = f (x)与y = f (t)为同一个函数，也说明函数的表示与自变量用什么字母无关. 2.函数定义域是指函数自变量的取值范围，具体问题中务必明确函数自变量是哪个 部分，例如函数 f ( x2 +5 ) 与 f (x)的自变量均为x； 3.在同一对应法则下， f ( )括号内整体的取值范围是一样的. 【例1.1】设 f(x)的定义域为5,10，则 f(x2 +1)的定义域为 ． 【例1.2】设函数 f (2x+1)的定义域为 1,3 ，则函数 f (x)的定义域为 ．2026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点2】函数的四种特性 1. 奇偶性 设 f (x)的定义域D关于原点对称，若对xD，恒有 f (−x)= f (x)，则称 5 f ( x ) 为偶 函数；若对xD，恒有 f (−x)=−f (x)，则称 f (x)为奇函数． 【敲重点】1. 若 f (x)偶函数，则 f (x)图像关于y轴对称. 2. 若 f (x)奇函数，则 f (x)图像关于原点x=0对称，且当 f (x)在x=0处有定义 时， f (0)=0. 3. 设 f (x)在区间(−l,l)内有定义，则 F(x)= f (x)+ f (−x)为偶函数，G(x)= f (x)− f (−x)为奇函数． 4. 奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数. 5. 奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数无法确定. 【例1.1】以下四个函数： ex +e−x ex −e−x ① f (x)= ； ② f (x)= ； 1 2 2 2 1−x ( ) ③ f (x)=ln ； ④ f (x)=ln x+ x2 +1 ． 3 1+x 4 其中是奇函数的个数是 ．.2026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 2. 周期性 设函数 f (x) 的定义域为D，若存在一个正数T ，使得对于任意xD，有x+TD， 且 f (x+T)= f (x) ，则称 f (x) 为周期函数，且正数T 为 f (x) 的周期. 【敲重点】几个常见的周期函数及其最小正周期T ： 2 2 （1）y=sinx，T = ； （2）y =cosx，T = ；     （3）y =tanx，T = ； （4）y=cotx，T = ；   （5）y = sinx ,T =； （6）y =sin2 x,y =cos2 x, T =. 3. 单调性 设 f(x)在区间I 上有定义. 若对区间 I 中任意不同的两点x ，x ，当x  x 时，恒有 f(x ) f(x )成立，则称 1 2 1 2 1 2 f(x)在区间I 上是严格单调递增. 若对区间I 中任意不同的两点x ，x ，当x  x 时，恒有 f(x ) f(x )成立，则称 1 2 1 2 1 2 f(x)在区间I 上是严格单调递减. 4. 有界性 设函数 f (x) 的定义域为D，且区间I D . 若存在常数M 0，使得对于任意xI 均有 f (x) M ，则称 f (x) 在I 内有界. 否则，则称 f (x) 在I 内无界. 【敲重点】函数 f (x)在区间I 上有界的充分必要条件是： f (x)在区间I 上即有上界， 也有下界.（从图像上进行理解） 【例1.2】设函数 f(x)= xtanxesinx，则 f(x)是（ ）. A．偶函数 B．无界函数 C．周期函数 D．单调函数 62026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点3】分段函数 如果自变量的不同变化范围内用不同表达式表示的函数称为分段函数，例如 f (x)=   sinx, x0 或 f (x)=    x2sin 1 x , x0, ex −1, x0  0, x=0. 【考点4】复合函数 设函数 f (u) 的定义域为U ，函数u= g(x) 的定义域为D，值域为Z. 若Z U ，则 称 y = f   g(x)  是定义在D上的复合函数，其中x为自变量，y为因变量，u为中间变量. 此外，y = f (u) 称为外层函数，u = g(x) 为内层函数. 【敲重点】务必掌握两类题型： 题型1：求一个分段函数复合另一个分段函数的结果. 题型2：已知复合函数结果，求复合之前的函数. 2−x, x0 x2, x0 【例1.3】设g(x)= ， f(x)= ，故g  f (x)  为（ ）. x+2, x0 −x, x0 2+x2, x0 2−x2, x0 A.  . B.  . 2−x, x0 2+x, x0 2−x2, x0 2+x2, x0 C.  . D.  . 2−x, x0 2+x, x0 72026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1, x 1,  【例1.4】设 f(x)= 则 f  f f(x) =（ ）．  0, x 1, A. 0 B. 1 0, x 1, 1, x 1,   C. f(x)= D. f(x)=  1, x 1,  0, x 1, 【例1.5】已知 f(x)=ex2 ， f[(x)]=1−x，且(x)0，则（ ）. A. (x)= ln(1−x),x0. B. (x)= ln(1−x),0 x1. C. (x)=ln(1−x),x0. D. (x)=ln(1−x),0 x1. 82026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1, x 1  【刻意练习】设 f (x)=0, x =1，g(x)=ex，求 f   g(x)  ，g  f (x)  .  −1, x 1  【考点5】反函数 设函数 f (x) 的定义域为D，值域为R . 若对于任意的yR ，有唯一确定的 y y 9 x  D ， 使得 y= f (x) ，则由此可以确定了一个 y 关于x的新函数，记为x= f −1(y)，并称其为 y= f (x) 的反函数. 【敲重点】1.单调的函数一定具有反函数. 2.函数y= f (x) 与其反函数y= f −1(x)关于y = x对称. 3.函数y= f (x) 与其反函数y= f −1(x)定义域与值域互相做调换. 4.若函数y= f −1(x)是函数y= f (x) 的反函数，则有 f −1f (x) = x, f f −1(x) = x.     ( ) 【例1.6】求反双曲正弦函数y =ln x+ x2 +1 的反函数.2026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点6】基本初等函数 基本初等函数包括：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数. 1. 三角函数 （1）正（余）弦函数 正弦函数：y=sinx 余弦函数：y =cosx 图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 有界性 （2）正（余）切函数 正切函数：y=tanx 余切函数：y =cotx 图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 102026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 （3）正（余）割函数 正割函数：y =secx 余割函数：y =cscx 图像 周期性 奇偶性 重点 公式 （4）诱导公式 ① 关于周期性 sin(2k+x)= , cos(2k+x) , tan(k+x)= , cot(k+x)= . (k) ② 关于奇偶性 sin(−x)= , cos(−x)= , tan(−x)= , cot(−x)= . ③ 奇变偶不变，符号看象限 sin(+x)= , cos(+x)= , sin(−x)= , cos(−x)= ,   sin( +x)= , cos( +x)= , 2 2 112026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫   sin( −x)= , cos( −x)= , 2 2 tan(+)= , tan(−)= ,   tan( +)= , tan( −)= . 2 2 （5）重点特殊函数值速记    0 6 4 3 12 2  sinx cosx tanx cotx secx cscx （6）二倍角公式（与降幂公式） ① 二倍角公式 sin2x= , cos2x= = = . ② 降幂公式 sin2x= , cos2x= . ③ 两角和、两角差公式 sin(x+ y)= , sin(x− y)= , cos(x+ y)= , cos(x−y)= .2026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 2.反三角函数 （1）反正（余）弦函数 y=arcsinx y =arccosx    y=sinx 在区间 − , 内的反函 y =cosx在区间 0, 内的反函数，记    2 2 定义 为y =arccosx. 数，记为y=arcsinx. 图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 等式  3  【例1.7】思考：y=sinx在 ,  内的反函数.   2 2  132026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例1.8】求解y =arcsin(sinx) . （2）常见函数值 1 arcsin0= , arcsin1= , arcsin = , 2 2 3 arcsin = , arcsin = ，arcsin(−1)= , 2 2 1 arccos0= , arccos1= , arccos = , 2 2 3 arccos = , arccos = ,arccos(−1)= . 2 2 （3）反正（余）切函数 y =arctanx y=arccotx    y=tanx 在区间 − , 内的反函 y =cotx在区间 (0,) 内的反函数，记  2 2 定义 为y=arccotx. 数，记为y =arctanx. 图像 定义域 142026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 值域 单调性 奇偶性 lim arctanx= lim arccotx= 常用 x→− x→− 极限 lim arctanx= lim arccotx= x→+ x→+ （4）常见函数值 arctan0= , arctan1= , arctan 3 = , 3 ( ) arctan = , arctan(−1)= ,arctan − 3 = . 3 3.指数函数 定义 函数y =ax(a0且a1)叫做指数函数 a 1 0a1 图象 定义域 值域 过定点 单调性 152026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 lim ax = _____ lim ax = _____ , , x→+ x→+ 极限 lim ax = _____ lim ax = _____ . . x→− x→− 【小课堂】指数函数中常考y=ex ，图像与性质如下： 图象 极限 4.对数函数 定义 函数y =log x (a0且a 1)叫做对数函数 a a 1 0a1 图象 定义域 值域 过定点 单调性 162026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【小课堂】指数函数中常考 y =lnx，图像与性质如下： 图象 定义域 值域 过定点 单调性 运算性质 5.幂函数 名称 幂函数y= x(R) 第一象 限内的 函数图 象 过定点 极限 xa （1）xaxb = ， （2） = ， 运算性 xb n 质 （3） ( xa)b = ， （4）x − m = . 172026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点7】初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的用一个表达式表示的函 数称为初等函数，一般地，不能用一个数学式子表达的函数为非初等函数，例如分段函数 1, x0 sinx, x0  f (x)= ，符号函数sgnx=0, x=0均为非初等函数. ex −1, x0  −1 x0  182026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 零基础 2·函数极限定义 【注】本节零基础提前学阶段要求较低，重点以理解函数极限定义为主，至于函数极限定义 的应用以及函数极限的性质将会在基础阶段重点学习，希望大家注意课程体系的安排。 【考点1】函数极限的定义 【敲重点】类似地，还有以下几种类型的函数极限: ( ) （1）lim f x = A x→x+ 0 ( ) 对于任意0， ，有 f x − A . ( ) （2）lim f x = A x→x− 0 ( ) 对于任意0， ，有 f x − A . （3）lim f (x)= A x→ ( ) 对于任意0， ，有 f x − A . （4） lim f (x)= A x→+ ( ) 对于任意0， ，有 f x − A . （5） lim f (x)= A x→− 对于任意0， ，有 f (x)− A . 192026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 零基础 3·函数极限计算 【考点1】极限定型 x−3 【例3.1】lim . x→3 x2 +1 2x+3ex 【例3.2】lim . x→0 7x+cosx 2x−3 【例3.3】lim . x→1 x2 −5x+4 3x3+4x2 +2 【例3.4】lim . x→7x3+5x2 −3 4x2 +x−1+x+1 【例3.5】（经典题） lim =（ ）． x→− x2 +sinx A.  B. 3 C. −1 D. −3 E. 1 202026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点2】无穷小量 1.定义 若lim f (x)=0，则称 f (x) 为x→ 时的无穷小. x→ 2. 无穷小量比阶 (x) 若lim(x)=0,lim(x)=0,且(x)0，对于lim ， x→ x→ x→ (x) (x) （1）若lim =0，则称(x)为(x)的高阶无穷小，记为(x)=o ( (x)) ； x→ (x) (x) （2）若lim =，则称(x)为(x)的低阶无穷小； x→ (x) (x) （3）若lim = A0，则称(x)为(x)的同阶无穷小， x→ (x) (x) （4）当lim =1时，称(x)与(x)互为等价无穷小，记为(x) (x) . x→ (x) 3. 常见等价无穷小 当x→0时，有： sinx x, arcsinx x, tanx x, arctanx x, 1 ln(1+x) x, ex −1 x , 1−cosx x2, (1+x) −1 x. 2 【敲重点】 212026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例3.6】当x→0时，确定下列无穷小量的等价无穷小. （1）sinx2(1−cosx) . （2） 1−x2 −1 . arctanx3 （3） . ex2 −1 （4）tanx−sinx . 4.利用等价无穷小替换求极限 ln(1+ x3) 【例3.7】计算lim = . ( ) x→0 x 1−cosx 【例3.8】求下列极限： xtan2 x ln ( 1+ 3 x−1 ) （1）l x i → m 0 ( e2x −1 )(1−cosx) ； （2）lim x→1arcsin23 x2 −1 222026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 arctanxsin2 x ( e2x −1 ) 【例3.9】计算lim = . ( ) x→0 1−x3 −1 (1−cosx) arctanln ( 1+xex)   【例3.10】计算lim = . x→0 sinx x2 +5− 5 【例3.11】计算lim = . x→0 ex2 −1+sinx2 232026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例3.12】考虑下列式子 sinx x ①lim =1. ②lim =0. x→ x x→0sinx 1 1 1 ③limxsin =1 ④lim sin =1. x→ x x→ x x 其中正确的个数为（ ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【例3.13】x→0时，下列无穷小中哪项是其它三个的高阶无穷小量（ ）. A．ln ( 1−x2) B．1−cosx C． 1−x2 −1 D．x−tanx 【例3.14】设 = x(cos x−1)， = xln(1+ 3 x)， = 3 x+1−1．当x→0+时，以上 1 2 3 3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）. A．, ,． B． , ,． 1 2 3 2 3 1 C． ,,． D． , ,． 2 1 3 3 2 1 242026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 5. 无穷小的重要性质 无穷小与有界变量乘积仍是无穷小. 6. 高阶无穷小运算法则 设m,n为正整数， （1）加减法的低阶吸收原则 o(xm)o(xn)=o(xl),l =min  m,n ．．．．．． o(xm)o(xn)=o(xm+n) （2）乘法的叠加原则 ．．．． xmo(xn)=o(xm+n) （3）数乘的无关原则 o(xm)=o(kxm)=ko(xm) ，(k 0) ．．．． 【例3.15】当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小量，则下列式子中错 ． 误 ． 的 ． 是（ ）. A．xo(x2) =o(x3) . B．o(x)o(x2) =o(x3) . C．o(x2)+o(x2) =o(x2) . D．o(x)+o(x2)=o(x2) 7. 等价无穷小充分必要条件 252026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点3】利用泰勒公式求极限 1 【例3.16】证明：x→0时，x−sinx x3. 6 1 1 【例3.17】证明：x→0时，x−tanx − x3,x−ln(1+x) x2 3 2 sinx−sin(sinx)sinx   【例3.18】求极限lim . x→0 x4 262026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【敲重点】务必记住由泰勒公式推出的6个等价无穷小公式（理解） 当x→0时，有 （1）x−sinx . （4）x−arcsinx . （2）x−tanx . （5）x−arctanx . （3）x−ln(1+x) . （6）ex −1−x . 【例3.19】已知当x→0时， f(x)=3sinx−sin3x与cxk 是等价无穷小量，则（ ）. （A）k =1,c=4. （B）k =1,c=−4. （C）k =3,c=4. （D）k =3,c=−4. （E）k =2,c=−4. arctanx−arcsinx 【例3.20】求极限lim . x→0 tanx−sinx 272026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点4】洛必达法则 【注意】（1）洛必达法则的要求是极其严格的，虽然在大学学习过程中我们广泛地利用该方 法求解函数极限，但经过多年教学发现这其实是很多同学的短板，很多同学对洛必达法则的 理解只是浅显地停留在第一个基本要求上. （2）要想学习洛必达法则，就不得不使用到基本的函数的导数计算，在微积分教材的 编排上导数极限将会在第二章进行学习，但作为考研的同学，一开始的学习不掌握洛必达法 则这一方法，函数极限计算的基本体系就难以形成，大家也不用担心，在零基础阶段适用洛 必达法则都是一些非常基本的导数计算，大家都可以直接入手！ （3）要注意，这一定义在基础阶段我们将会更加深入地进行探讨. 0 1. 法则1：（ 型） 0 若满足 （1）lim f (x)=0，limg(x)=0， x→ x→ （2）在x→ 时， f( x ) ，g( x ) 均存在且g(x)0， f(x) （3）lim = A（或）， x→ g(x) f (x) 则lim = A（或）. x→ g(x)  2. 法则2：（ 型）  若满足 （1）lim f (x)=，limg(x)=， x→ x→ （2）在x→ 时， f( x ) ，g( x ) 均存在且g(x)0， f(x) （3）lim = A（或）， x→ g(x) f (x) 则lim = A（或）. x→ g(x) f(x) f (x) 【敲重点】若极限lim 是不存在，且不是无穷大量的情形时，则不能得出lim g(x) x→ g(x) 不存在且不是无穷大量情形. 282026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 e3x −e2x −ex +1 【例3.21】lim x→0 3 (1−x)(1+x)−1 x2 【例3.22】 lim = . x→+ ex lnx 【例3.23】 lim = . x→+ x3 x3+x2+1 【例3.24】 lim (sinx+cosx)=____________. x→+ 2x +x3 A．0 B．1 C．2 D．3 292026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点5】极限四则运算 若lim f (x)= A，limg(x)= B，则： （1）lim  f (x)g(x)  =lim f (x)limg(x)= AB； （2）lim  f (x)g(x)  =lim f (x)limg(x)= AB f (x) lim f (x) A （3）lim = = (B0). g(x) limg(x) B 【例3.25】判断下列命题的正确性. （1）若limf (x)+g(x)存在，则lim f (x)与limg(x)均存在. （ ）   （2）若limf (x)+g(x)存在，且limg(x)存在，则lim f (x)存在. （ ）   1 1   【例3.26】若lim  −  −a  ex  =1，则a= x→0x  x   A．0 B．1 C．2 D．3 302026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 3sinx+x2cos x 【例3.27】lim = x→0 (1+cosx)ln(1+x) 1 3 A． B． 2 2 C．2 D．3 零基础 4· 七种未定式极限专题 【考点1】方法体系（先定型后定法，定法之前先四化） 312026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点2】七种未定式专题讲解 0 （1） 型未定式 0 lncosx 【例4.1】lim = ． x→0 x2 1 sinx 【例4.2】限lim ln . x→0 x2 x etanx −ex 【例4.3】lim x→0 x(1−cosx) 1+tanx − 1+sinx 【例4.4】lim . x→0 x3 322026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫  （2） 型未定式  ln ( 1+ex) 【例4.5】 lim . x→+ x ln ( x4 +x3+2 ) 【例4.6】 lim . x→+ln ( x8+5x4 +1 ) （3）−型未定式 1 1 【例4.7】lim( − ) x→0 x2 xtanx  1  【例4.8】lim  x2(ex −1)−x  x→  332026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 （4）1型未定式（重要） 【大招总结】 1 lim(cosx)ln(1+x2) 【例4.9】 . x→0 1 ln(1+x)ex−1 【例4.10】lim .   x→0 x  cotx 1+ex  【例4.11】lim  = ． x→0 2  342026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 （5）0型未定式 【例4.12】求极限lim xlnx. x→0+ （6）0型未定式 （7）00型未定式 【例4.13】求极限lim xsinx x→0+ 【考点3】左右开弓法求极限 （1）lim f (x)=a lim f (x)= lim f (x)=a. x→x 0 x→x 0 + x→x 0 − （2）lim f (x)=a lim f (x)= lim f (x)=a x→ x→+ x→− 【注】常见的需要分左右极限的形式 352026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫  1 arctan ,x1 【例4.14】设 f(x)= x−1 ，若lim f(x)存在，则a= .  ax, x1 x→1 1 ex +1 1 【例4.15】lim arctan = . x→0 1 x ex −1 x2 −1 1 【例4.16】lim ex−1 = . x→1 x−1 362026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 零基础 5·连续与间断 【考点1】函数连续的定义 ( ) 设函数y = f x 在点x 的某个领域内有定义，若 0 ( ) ( ) lim f x = f x 0 x→x 0 ( ) 则称函数y = f x 在点x 处连续. 0 (cosx)x−2，x0 【例5.1】 f(x)= ，在x=0处连续，则a= . a， x=0 1−cos x  , x0 【例5.2】若函数 f(x)= ax 在x=0处连续，则  b, x 0 1 1 A．ab= B．ab=− 2 2 C．ab=0 D．ab=2 372026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1−etanx , x0   x 【例5.3】设函数 f(x)=arcsin 在 x=0 处连续，则a= . 2  ae2x, x0 【考点2】闭区间函数连续 【考点3】初等函数的连续性 sin2x+e2ax −1  ,x0 【例5.4】若 f(x)= x ，在(−,+)上连续，则a= .  a,x=0 382026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点4】函数的间断点及其分类 【例5.5】求下列函数的间断点，并判定间断点的类型. sinx 1 （1） f (x)= ； （2） f (x)=ex； x 1 1 ex + 1 （3） f (x)= 2 ； （4） f (x)=sin . 1 x 2ex +1 1 【例5.6】求函数 f(x)= 的间断点，并判定间断点的类型. x ex−1 −1 392026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 提前学 6·导数的定义 【考点1】导数的定义 若函数y= f (x)在点x = x 的某个邻域内有定义，若极限 0 y f (x +x)− f (x ) lim = lim 0 0 x→0x x→0 x 存在，则称 f (x)在点x 处可导，并称此极限值为 f (x)在点x 处的导数，记为 f(x )，即 0 0 0 f (x +x)− f (x ) f(x )= lim 0 0 ， 0 x→0 x dy 也记做 . dx x=x 0 【敲重点】导数定义也可取不同的形式，在解题中常用的有： f (x +h)− f (x ) （1）增量定义： f(x )=lim 0 0 0 h→0 h f (x)− f (x ) （2）计算型定义： f(x )= lim 0 . 0 x→x x−x 0 0 f (x)− f (x ) （3）若判定函数 f (x)在x = x 处是否可导，仅需判定极限lim 0 是否 0 x→x x−x 0 0 存在.  1 cosx  − ,x0 【例6.1】已知函数 f (x)=sinx x ，则 f(0)= .  0, x=0 402026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例6.2】设函数 f(x)=(ex −1)(e2x −2) (enx −n)，其中n为正整数,则 f(0)= . f(x) 【例6.3】设 f(x)在x = 2处连续，且lim =1，求 f(2)= . x→2 x2 −4 【考点2】单侧导数 y f (x +x)− f (x ) f (x)− f (x ) 右导数： f(x )= lim = lim 0 0 = lim 0 + 0 x→0+ x x→0+ x x→x+ x−x 0 0 y f (x +x)− f (x ) f (x)− f (x ) 左导数： f(x )= lim = lim 0 0 = lim 0 − 0 x→0− x x→0− x x→x− x−x 0 0 【敲重点】 （1）定理： f(x )=A f(x )= f(x )=A. 0 + 0 − 0 （2）若判定函数 f (x)在x = x 处是否可导，仅需判定 f(x )与 f(x )是否均存 0 + 0 − 0 在，且相等. 412026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 2  x3,x1 【例6.4】设 f (x)=3 ，则 f (x)在x=1处的（ ）.   x2, x1 A．左、右导数都存在 B．左导数存在、右导数不存在 C．左导数不存在、右导数存在 D．左、右导数都不存在 【考点3】函数的可导性与连续性之间的关系 若函数 f (x)在x = x 处可导，则 f (x)在x = x 处连续，反之不成立. 0 0 【例6.5】判断下列命题的正确性. （1）若 f (x)在x = x 处存在，则 f (x)在x = x 处连续. 0 0 （2）若 f (x)在x = x 处可导，则 f(x)在x= x 处连续. 0 0 （3）若 f(x )存在，则 f (x)在x= x 处连续. 0 0 （4）若 f(x )存在，则 f(x)在x = x 处连续. 0 0 若 f(x )存在，则 f(x)在x = x 处连续. 0 0 若 f(x )存在，则 f (x)在x = x 处连续. 0 0 422026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫  x2, x 1 【例6.6】设函数 f ( x ) =  ，试确定a、b的值，使 f ( x ) 在点x =1处可导. ax+b, x 1 x2 +b,x2, 【刻意练习】设 f (x)= ，若 f (x)在x=2可导，则（ ）. ax+1,x 2, A．a=4,b=7 B．a=4,b=1 C．a=4,b=5 D．a=2,b=3 432026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 提前学 7·导数的计算 【考点1】必备知识 （1）导数表【必背】  ( ) ( c ) = 0 x = x−1 （实常数） (sinx) =cosx ( cosx )  = −sin x   ( tanx ) =sec2 x ( cot x ) = −csc2 x   ( ) ( ) secx =secxtanx cscx = −cscxcot x ( log x )  = 1 ( a  0,a 1 ) ( lnx )  = 1 a xlna x ( ax ) = ax lna ( a  0,a 1 ) ( ex) =ex  1  1 ( ) ( ) arcsinx = arccosx = − 1−x2 1−x2 ( arctanx )  = 1 (arccotx) =− 1 1+ x2 1+x2  ( ) 1  1 ln x+ x2 +a2 =  ln(x+ x2 −a2)  =   x2 +a2 x2 −a2 （2）求导法则  f ( x )  g ( x ) = f ( x )  g( x )  f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g( x )   f ( x ) f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g( x ) ( ( ) )  g ( x )  = g2( x ) g x  0 442026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点2】复合函数求导 ( ) ( ) ( ) ( ) 设 y = f u ，u =x ，如果x 在x处可导， f u 在对应点u处可导，则复合函数 dy dy du y = f   ( x ) 在x处可导，且有 = = f  ( x ) ( x ) . dx du dx 【例7.1】求下列函数的导数 （1）y =tanex3 ( ) （2）y = 1+x2 ln x+ 1+x2 1 【例7.2】设y =cosx2sin2 ，求y. x 【例7.3】已知 f(x)=ln (x−1)(x−2)(x−3) ，求 f(x) . 【例7.4】设y = f(lnx)ef(x)，其中 f 可微，求y. 452026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例7.5】设y =(1+sinx)x，求y. 【例7.6】设 f (x)=x 1−x2 +arcsinx，求 f(x) . 【例7.7】设 f (x)= x ， f (x)= f ( f ( f (x))) （n个 f ），求 f(x) . n n 1+x2 【考点3】隐函数求导法则 462026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 dy 【例7.8】函数y= y(x)由方程sin(x2 + y2)+ex −xy2 =0所确定，则 = . dx dy 【例7.9】设函数y= y(x)由方程y =1−xey 确定，则 = . dx x=0 d2y 【例7.10】设y= y(x)是由方程x2 − y+1=ey 所确定的隐函数, = . dx2 x=0 472026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点4】参数方程求导（数一、二） x=sint d2y 【例7.11】设 （t为参数），则 = ． y =tsint+cost dx2 t= π 4 【考点5】分段函数求导 sinx,x 0 【例7.12】设 f (x)=  ，求 f(x). x ,x 0 482026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例7.13】设 f (x)= max  x,x2,x3 ，求 f(x) . sinx  x0 【例7.14】已知函数 f(x)= x ，则 f(0)+ f(1)= .   1 x=0  2 ln ( 1+x2) x, x0 【例7.15】设 f(x)= ，则（ ）.  0, x=0 （A） f(x)在x=0处不连续. （B） f(x)在x=0处连续，但不可导. （C） f(0)不存在. （D） f(x)在x=0处连续. 492026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 提前学 8· 不定积分 【考点1】原函数的定义 若对xI ，有F(x)= f (x)，则称F(x)为 f (x)在区间I 上的一个原函数． 1 【例8.1】（1）证明：ln(x+ 1+x2)是 的一个原函数； 1+x2 1 （2）证明：ln x 是 的一个原函数. x 【考点2】不定积分定义 函数 f (x)在区间I 上的全体原函数F(x)+C（C为任意常数）称为 f (x)在区间I ．．．．． 上的不定积分，记为 f (x)dx，即 f (x)dx= F(x)+C． 【例8.2】判断下列不定积分是否正确. 1 （1）sinxcosxdx= sin2 x+C； 2 1 ( ) （2） dx=ln x+ 1+x2 +C . 1+x2 （3） f(ax)dx= f (ax)+C. 502026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.3】已知 f (x)dx=esinx +C ，则 f (x)= . 【例8.4】利用不定积分定义求下列不定积分.（多动脑想！） （1）x3dx= . 1 （2） dx= . x （3）axdx= . （4）exdx= . （5）sinxdx= . （6）cosxdx = . （7）sec2 xdx . （8）csc2 xdx= . （9）secxtanxdx . （10）cscxcotxdx= . 1 （11） dx . 1−x2 1 （12） dx= . 1+x2 1 （13） dx . x2 +a2 1 （14） dx . x2 −a2 512026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【考点3】不定积分运算性质 （1）数乘：kf (x)dx=k f (x)dx （2）加减法：f (x)g(x)dx= f (x)dxg(x)dx.   【考点4】基本积分表（不定积分运算基础，必记！） x+1 1 1．xdx = +C (  −1，实常数 ) 2． dx =lnx +C +1 x 1 3．axdx = ax +C (a 0,a 1) 4. exdx =ex +C lna 5．sin xdx = −cosx+C 6．cosxdx =sin x+C 7．tanxdx = −lncosx +C 8．cot xdx =lnsin x +C 9．secxdx = lnsecx+tanx +C 10．cscxdx =lncscx−cot x +C 11．sec2 xdx = tanx+C 12．csc2 xdx =−cotx+C 13．tanxsecxdx =secx+C 14．cot xcscxdx = −cscx+C dx x dx 1 x 15． =arcsin +C (a 0) 16． = arctan +C a2 −x2 a a2 + x2 a a dx 1 x−a 17． = ln +C (a 0) x2 −a2 2a x+a dx ( ) 18． =ln x+ x2 +a2 +C (a 0) x2 +a2 dx 18． =ln x+ x2 −a2 +C (a 0) x2 −a2 522026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.5】求不定积分 ( x3+ex +3sinx ) dx.  1  【例8.6】求不定积分  1−  x xdx.  x2  (1−x)2 【例8.7】求不定积分 dx. x 【例8.8】求不定积分 ( 2x −3x)2 dx. 532026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.9】求不定积分tan2 xdx. 1+cos2 x 【例8.10】求不定积分 dx. 1+cos2x 1 【例8.11】求不定积分 dx. x2(1+x2) 【考点5】第一类换元积分法（凑微分法） 1.内容 已知 f(u)du = F(u)+C，且(x) 可导，则 u=(x)  f((x))(x)dx= f((x))d(x) =  f(u)du =F(u)+C= F((x))+C. 542026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 2.常见的凑微分形式 1 （1） f(ax+b)dx=  f(ax+b)d(ax+b) a 1 −1 1 1 （2） f( ) dx= f( )d x x2 x x 1 （3） f( x) dx= f( x)d x 2 x （4）ex f(ex)dx=  f(ex)dex 1 （5）xn−1f(xn)dx=  f(xn)dxn, n0 n 【例8.12】求下列不定积分. （1）sin2xdx （2）e5x−7dx 【例8.13】求下列不定积分. 1 1 sin sec2 x x （1） dx （2） dx x2 x2 552026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.14】求下列不定积分. lnx （1）cosexexdx （2） dx x 【例8.15】求下列不定积分. e x sin 2x−1 （1） dx （2） dx x 2x−1 【例8.16】求下列不定积分 x （1）x 1−x2dx （2） dx 1+x2 562026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.17】求下列不定积分 （1）cos2 xdx （2）sin3 xdx. 【考点6】第二类换元积分法 已知x=(t)可导，且(t)0，若 f((t))(t)dt =G(t)+C，则 令x=(t)  f(x)dx  f((t))(t)dt =G(t)+C=G(−1(x))+C. 其中，t =−1(x)为x=(t)的反函数. 【例8.18】求不定积分 9−x2dx. 572026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 【例8.19】求不定积分 dx x2 +4 1 【例8.20】 dx. x x2 −1 dx 【例8.21】计算不定积分 . x 1+ x 582026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 【例8.22】 dx. 1+ 2x 【考点7】分部积分法 【例8.23】求下列不定积分 （1）xexdx （2）x2exdx 592026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.24】求下列不定积分 （1）xcosxdx （2）xcos2 xdx 【例8.25】求下列不定积分 （1）xlnxdx （2）xxlnxdx 【例8.26】求下列不定积分 （1）xarctanxdx （2）x2arctanxdx 602026周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（最新版） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【例8.27】求下列不定积分 （1）lnxdx （2）arctanxdx 61