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第 01 讲 平面向量的概念及其线性运算
(精练）
一、单选题
1．（2022·山东烟台·高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．若 ， 都是单位向量，则
B．若向量 ， ，则
C．与非零向量 共线的单位向量是唯一的
D．已知 为非零实数，若 ，则 与 共线
【答案】D
【详解】
单位向量的方向不一定相同，故A错误；
当 时，显然 与 不一定平行，故B错误；
非零向量 共线的单位向量有 ，故C错误；
由共线定理可知，若存在非零实数 ，使得 ，则 与 共线，故D正确.
故选：D.
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． 与 的方向相反 D．若 ，则
【答案】B
【详解】
对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；
对于B选项， ，故B对；
对于C选项， 与 的方向相同，故C错；
对于D选项，若 ，但 、 、 的方向不确定，故D错.
故选：B.
3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一阶段练习）已知点 ， ，则与 同方向的单位向量为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
，设与 同方向的单位向量为
则 ，解之得 或
当 时，所求向量为 ，向量 ，符合题意；
当 时，所求向量为 ，向量 ，不符合题意，舍去.故选：A
4．（2022·四川绵阳·高一期中）化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D
5．（2022·广东·红岭中学高一期中）已知 ，则共线的三点为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
不满足共线定理，A错误；
不满足共线定理，B错误；
，
，
不满足共线定理，C错误；
，D正确.
故选：D.
6．（2022·山东泰安·高一期中）已知 是 的边 上的中点，则向量 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解： ，
故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
， 表示 ， 方向上的单位向量，
由 可知， ， 方向相同，所以 成立；
所以充分性成立，
若 成立，则 ， 方向相同，即 ，得不出
所以必要性不成立，
所以 是 成立的充分不必要条件，
故选：B.
8．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点
的直线与 所在直线分别交于点 ， ，满足 ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
因平行四边形 的对角线相交于点 ，则 ，
而 ，于是得 ，又点M，O，N共线，
因此， ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
故选：B
9．（2022·山东潍坊·高一期中）在 中， ，则P点（ ）
A．在线段BC上，且 B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且 D．在线段BC上，且
【答案】B
【详解】
由题设， ，则 ，
所以 共线且 在 延长线上， .
故选：B
10．（2022·山西运城·高一阶段练习）在平行四边形 中， 分别是 的中点， 交 于点
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图，过点 作 的平行线交 于 ，
则 是 的中点，且 ，
，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，
故选：B
二、填空题
11．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））已知在 中， 为 上一点，且
， 为 上一点，且满足 ，则 取最小值时，向量
的模为__________.
【答案】
【解析】
【详解】
∵ ， ，
∴ m 4n ，
又∵ 为 上一点，
所以 ，
∴ ，
当且仅当 即 且 时，取等号，∴向量 的模为 .
故答案为： ．
12．（2022·上海交大附中高一期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所
示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且 ，若 ，则
______．
【答案】
【详解】
由题意可知， ，
，即 ， ，
，
又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
三、解答题
13．（2022·全国·高一专题练习）如图所示， 中，F为BC边上一点， ，若 ，(1)用向量 、 表示 ；
(2) ，连接DF并延长，交AC于点 ，若 ， ，求 和 的值．
【答案】(1) (2) ，
(1)解：因为 ，
所以 ，即 ，
所以
(2)解：若 ， ，则 ，
所以
由于 ，
所以 ， ，解得 ， ．
所以 ， ．
14．（2022·安徽·高一期中）如图，在 中，点 在边 上，且 ．过点 的直线分别交射
线 、射线 于不同的两点 ， ，若 ， ．
(1)求 的值；(2)若 恒成立，求实数 的最小整数值．
【答案】(1)3(2)2
(1)连接 ．
因为 ， ， ，
所以
．
因为 ， ， 共线，
所以 ， ．
(2)
显然 ，所以 等价于 ，
即 ．
因为 ，当且仅当 ，
即 ， 时， 取到最小值 ．
于是 ，
∴ ．
故实数 的最小整数值是2．
