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5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只
有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|
＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[常用结论]
1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P 的坐标为.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G 的坐标为.
考点一 平面向量基本定理的应用（基底）
考点二 平面向量线性运算的坐标表示
考点三 由向量线性运算结果求参数
考点四 利用坐标求向量的模
考点五 利用向量共线求参数
考点六 由坐标解决线段平行和长度问题
考点一 平面向量基本定理的应用（基底）
1．（25-26 高三上·重庆·期中）设
，
是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）（多选）已知
，
是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能
作为该平面一组基底的有（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
3．（25-26 高三上·广东·期末）如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形
中，
，
，
，E 为
的中点，若
，则
（ ）
A．65
B．
C．2
D．
5．（25-26 高二下·山西长治·阶段检测）在
中，
，
，
，点
为
的中点，
为
上的点，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026 高三·全国·专题练习）如图，已知
中，点
是以
为中点的点
的对称点，
是将
分为
的
一个内分点，
和
交于点
，设
，
．
(1)用
和
表示向量
、
；
(2)若
，求实数
的值．
考点二 平面向量线性运算的坐标表示
7．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知
，则
____________．
8．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知平面向量
，则向量
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·山东·阶段检测）已知
，
，
，则点
的坐标为________．
10．（2026·湖南·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．1
B．8
C．
D．2
11．（25-26 高三上·四川绵阳·期中）已知点
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为______.
12．（25-26 高三上·黑龙江牡丹江·期中）
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 由向量线性运算结果求参数
13．（2026 高三·全国·专题练习）平面内给定两个向量
，
，若
与
（其中
）共线，求
的值．
14．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
15．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，且
，则
___________．
16．（25-26 高三上·山西阳泉·期中）设向量
，
，
.
(1)求
，
与
夹角
的余弦值；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若
，
，
，求证：A，
，
三点共线.
17．（25-26 高三上·山西晋中·期中）在复平面内，
是坐标原点，复数
，
，
，所对应
的点分别是
，
，
．若
，则
的值是___________．
18．（25-26 高三·广东中山·阶段检测）在△ABC 中，已知
与
的夹角是90°，
，
，M 是BC 上
的一点，且
，且
，则
的值为________．
考点四 利用坐标求向量的模
19．（25-26 高三上·河北衡水·期末）已知向量
满足
，
，
，若
，则实数
的值为________．
20．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
21．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知平行四边形
中，
．则对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
22．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量
与向量
的方向相反，
，点
坐标为
，
则点
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2026·广东佛山·二模）设向量
，
，则
（ ）
A．5
B．8
C．15
D．17
24．（25-26 高三上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点
，
，
，
．
(1)若
，
，求的值；
(2)求
的最小值．
考点五 利用向量共线求参数
25．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知向量
，若
．则
____________．
26．（25-26 高三上·上海·期中）若
，若
，则实数
=__________.
27．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知向量
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)已知
、
、
三点共线，若
，
，求实数
的值.
28．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
29．（2026·上海·模拟预测）已知向量
，
，
．若
，
，
三点共线，则
_________．
30．（25-26 高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形
，
，
，过点
作
于点
，
为
的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明：
(1)
；
(2)
三点共线．
考点六 由坐标解决线段平行和长度问题
31．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）已知
、
满足
，
.
(1)设
，
的夹角为
，求
；
(2)若
，求
的最小值.
32．（25-26 高三上·湖北孝感·期中）已知
，点P 在直线
上，且
，则点P 的坐标是
_______．
33．（2026·山东·二模）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，
．
(1)求
；
(2)若
，求
边上的高的最大值．
34．（25-26 高三上·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
交
于点
，求线段
的长
1．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知
是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·吉林·期中）已知
为
所在平面内一点，并且满足
，过
的直线与
，
边分别交于
，
点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
3．（25-26 高三上·河南·阶段检测）在
中，点
满足
，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·湖北·期中）设
是平面内一组基底，平面向量
，
．若存在实数
使
得
，且
，则
（ ）
A．－2
B．
C．
D．2
5．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）已知点
与点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
6．（25-26 高二上·河北·期中）已知平行四边形
满足
，
，
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·云南曲靖·二模）已知
，若点D 满足
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知平面向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
9．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知向量
，若点
不能构成三角形，则实数
应满足的条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知向量
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（25-26 高三上·浙江绍兴·阶段检测）（多选）已知点
，
，
，若点G 与点A，B，C 四
点构成平行四边形，则点G 的坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高二·全国·暑假作业）（多选）已知
分别为
的边
中点，且
，
，
则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在
中，
是
的中点，
为
上的点，且
，
若
，
，则
用
，
表示，则
____________________.
14．（2026·陕西咸阳·三模）在
中，D 是
边上的一点，且
，E 是
上的一动点.若
，则
__________.
15．（25-26 高二下·上海静安·阶段检测）已知向量
，若
与
平行，则实数
______．
16．（25-26 高三上·浙江宁波·期中）已知
，若
，则
点坐标为_________．
17．（25-26 高三上·广东茂名·期中）已知向量
，
，
，若A，B，D 三点共线，
则
______.
18．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知点
，
，
，
为坐标原点，则
与
的交点
的坐
标为________．
19．（25-26 高三上·北京丰台·期中）已知平面向量
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)设
，若
三点共线，求m 的值.
20．（25-26 高三上·重庆·期中）如图，在
中，
为线段
上靠近点
的三等分点，
是线段
上一点，
过点
的直线与边
分别交于点
，设
，
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若点
为线段
的中点，求
的最小值．
