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5.1 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1 个单位长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
三角形法则
平行四边形法则
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
几何意义
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λ a|＝|λ||a|；
当λ>0 时，λa 的方向与a 的
方向相同；
当λ<0 时，λa 的方向与a 的
方向相反；
当λ＝0 时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】λ，μ 为实数．
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
【注意】当a≠0 时，定理中的实数λ 才唯一．
[常用结论]
1．P 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点⇔OP＝( OA
＋
OB
) .
2．若OP＝vOA＋μOB(μ，v 为常数)，O 不在直线AB 上，则P，A，B 三点共线的充要条件是μ ＋
v ＝
1 .
3．若G 为△ABC 的重心，则有
(1)GA＋GB＋GC＝0；(2)AG＝( AB
＋
AC
) .
4．对于任意两个向量a，b，都有
||a|
－
|b||
≤|a±b|≤|a|
＋
|b|
(向量三角不等式)
考点一 平面向量的概念
考点二 向量的线性运算
考点三 根据向量的线性运算求参数
考点四 向量共线定理的应用
考点一 平面向量的概念
1．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量的长度是0
B．向量是有向线段
C．若
，则
D．若
是共线的单位向量，则
【答案】AC
【详解】对于A，由零向量的定义可知，A 正确；
对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B 错误；
对于C，由向量相等的定义可知，C 正确；
对于D，若
是共线的单位向量，则
或
，D 错误．
2．（25-26 高三上·上海·期中）下列说法：
①加速度是向量；
②若向量
且
，则
；
③若向量
，则直线
与直线
平行；
④若向量
，
满足
，且
与
同向，则
；
⑤若两个非零向量
，
满足
，则
，
为相反向量；
⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同；
其中错误的有（ ）个.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确；
②若
，则
与不一定平行，②错误；
③若向量
，则直线
与直线
平行或共线，③错误；
④两个向量不能比较大小，④错误；
⑤若两个非零向量
，
满足
，则
，
为相反向量，⑤正确；
⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误；
所以其中错误的有4 个.
3．（25-26 高三上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若
，
，则
C．若
为非零向量，则
与
同向
D．已知
，
为实数，若
，则
与
共线
【答案】BD
【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A 正确；
选项B：当
时，
和可以是任意向量，不一定平行，B 错误；
选项C：
是与
同向的单位向量，C 正确；
选项D：当
时，
恒成立，此时
和
可以是任意向量，不一定共线，D 错误.
4．（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两个向量一定是相等向量B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量
C．零向量没有方向
D．平行向量的方向一定相同
【答案】B
【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A 错误；
对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B 正确；
对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C 错误；
对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D 错误.
5．（25-26 高三上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“
”的充要条件是
且
C．若
与
共线，
与
共线，则
与
共线
D．向量
与
不共线，则
与
都是非零向量
【答案】ABC
【分析】利用共线向量，向量的模，充分必要条件的定义进行判定．
【详解】对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A 错误；
对于B，
充要条件是
且方向相同，故B 错误；
对于C，当
时，
与
共线不一定成立，故C 错误；
对于D，向量
与
不共线，则
与
都是非零向量，故D 正确．
6．（25-26 高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．平行向量一定是共线向量
C．两个单位向量的和一定不是单位向量
D．若
，
是不共线向量，则向量
，
都是非零向量
【答案】BD
【分析】应用向量的定义判断A，应用平行向量的定义判断B，D，应用特殊向量的加法及单位向量判断C.
【详解】由向量的定义可知A 错误；
由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B 正确；
当两个单位向量的夹角为
时，这两个单位向量的和还是单位向量，C 错误；
因为零向量与任何向量平行，所以当
，
是不共线向量时，向量
，
都是非零向量，D 正确.
考点二 向量的线性运算
7．（26-27 高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形
内接于
，
为线段
的中点，
为线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用平面向量线性运算法则，结合等边三角形外心与重心重合的性质，将
用不同基底表示，逐一验证
选项.
【详解】选项A、B：等边三角形
中，
为
中点，外心
在中线
上，
且满足
，因此
，
是
中点，故
.
则
，故A 正确、B 错误；
选项C、D：由上述推导过程可得
，故C 正确、D 错误.
8．（25-26 高三上·广西河池·期中）如图所示，D，E 分别为AB，CD 的中点，若向量
，
用
表示向
量
．
【答案】
【分析】利用向量的加法和中线向量公式即可求解.
【详解】
由D，E 分别为AB，CD 的中点，利用中线向量公式可得：
，
则
，
因为
，
，所以
，
，
则代入
可得：
.
9．（25-26 高三上·四川成都·期中）如图，在梯形
中，
，
，
．
(1)用
，
表示
；
(2)若
与
交于点
，用
，
表示
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可；
（2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得；
方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得.
【详解】（1）由图，
．
（2）设
，则
．
设
，则
，则
，解得
，
所以
．
方法二：
（方法一）延长
，交
的延长线于
.
易证
，则
，得
，
易证
，则
，
设
，则
，
，得
，
得
，
所以
.
10．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）在
中，点
在线段
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：根据向量的运算法则，先用
、
表示
，再用
、
表示
，整理化简即可；
法二：取
中点
，根据向量的运算法则，先用
、
表示
，再用
、
表示
，整理化简即可.
【详解】（法一）根据题意，因为
，根据平面向量的运算法则，可得
.
（法二）取
中点
，由题意可知，
为
中点，如图，
则
.
11．（25-26 高三上·江苏·期中）在
中，
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可.
【详解】如图所示：
因为
，
所以
，
又
，所以
.
12．（25-26 高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形
中，
，
，
分别为
，
的中点，
为线段
的四等分点（靠近点
），记
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形法则，将
表示为
，结合已知条件求出
和
关于基底
向量
的表达式，代入计算即可.
【详解】由题意可知，在梯形
中，
，
又因为
，
，
，
所以
，即
，
则
，
，
又因
为
的中点，则
，
因
为线段
的四等分点（靠近点
）， 则
。
因为
为
的中点，所以
，
所以
.
考点三 根据向量的线性运算求参数
13．（2026 高一·全国·专题练习）在平行四边形
中，
分别是
的中点，若
，
则
______，
______．
【答案】
/0.4
【分析】如图设
与
相交于点
，根据共线可得
，又
，可得
，再利用
向量线性运算即得.
【详解】设
与
相交于点
，如图，
设
，又
，
所以
，即
，
所以
，解得
，
，
即
，
所以
，
．
故答案为：
；
14．（25-26 高三上·天津南开·阶段检测）如图，在
中，
，
分别在线段
，
上，且
，
，
，
交于点
，若
，则
_______.
【答案】2
【分析】由已知可得向量
与向量
共线，设
，根据向量线性运算法则可得
，
，由此可得
，根据平面向量基本定理可得
，
，由此可得
结论.
【详解】由已知向量
与向量
共线，故可设
，
所以
，
因为
，所以
，
故
，
所以
，
又
，
，
不共线，
由平面向量基本定理可得，
，
，
所以
，
故答案为：
15．（25-26 高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在
中，
是
的中点，点N 在边
上，且
，
与
相交于点
，设
，则
_________；
_________.（注：用
和
来表示）
【答案】
【分析】根据中线的向量表示求出
，设
，
，再由平面向量基本定理列出方程即可求出
得解.
【详解】因为
是
的中点，
，
所以
，
设
，
则
，
设
，则
，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：
；
16．（25-26 高三上·四川雅安·阶段检测）在
中，
是
边上靠近
的一个三等分点，若
与
平行，则实数
__________．
【答案】4
【分析】利用定比分点将
化简，由平面向量共线定理计算可得结果.
【详解】根据题意可得
，
所以
，
由
与
平行可得
，
即
，又
不共线，
所以
，解得
.
故答案为：4
17．（25-26 高三上·广东中山·期中）（多选）如图， 在
中，
为
的中点，
，
与
交于
点
，若
，则下面对于
的描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算，结合三点共线的向量性质，即可得出.
【详解】
，
因为
，所以
，即
，
由
三点共线，所以
，即
，故A 正确；
又
为
的中点，所以
，即
，
由
三点共线，所以
，即
，故C 正确；
则由
，可解得
，
，故B 错误；
，故D 错误.
故选：AC
18．（25-26 高三上·云南·阶段检测）在平行四边形
中，
，则
______．
【答案】
/0.25
【分析】根据平面向量线性运算及平面向量基本定理可得结果.
【详解】如图，因为在平行四边形
中，
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，则
，所以
．
故答案为：
.
考点四 向量共线定理的应用
19．（2026·湖南长沙·三模）已知
是不共线的向量，且
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】C
【详解】假设存在实数
，使得
，则
三点共线，
，而
不共线，故
，无解，所以假设不成立，故A 错误；
假设存在实数
，使得
，则
三点共线；
，同理得
，无解，所以假设不成立，故B 错误；
C：
，
假设存在实数
，使得
，则
三点共线；
，同理得
，解得
，所以假设成立，故C 正确；
D：
，
假设存在实数
，使得
，则
三点共线；
，同理得
，无解，所以假设不成立，故D 错误．
20．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在
中，
边上的中线为
的中点为
，过点
的一条直线
与
分别交于点
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得.
【详解】由题意可得
．
因为
是
的中点，所以
．
因为
三点共线，所以
．
又因为
，所以
，
所以
，消去
，可得
．
21．（25-26 高三上·安徽宿州·阶段检测）在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交射线
，
于
不同的两点
，
．设
，
（
，
），则
的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．8
【答案】A
【分析】先根据向量的性质得到
，再使用基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】由于
是
的中点，故
.
而点
在直线
上，故
，
从而
，
当且仅当
等号成立.
22．（2026·浙江·二模）已知
，
是两个不共线的向量，且
，
，
，则四边形
的形状是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．无法构成四边形
【答案】A
【分析】根据题意求出
，结合
与
的关系分析判断即可.
【详解】
，
所以
，且
，
所以四边形
是梯形.
23．（25-26 高三上·广西梧州·期中）已知
中，
，
，M 为AB 的中点，N 为BD 上靠近B 的三
等分点．
(1)
，
表示向量
，
；
(2)判断M，N，C 三点的位置关系，并证明．
【答案】(1)
，
(2)
，
，
三点共线．证明见解析
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先表示出
，即可得到
，从而得证；
【详解】（1）
，
因为
．
所以
.
（2）
，
，
三点共线．证明如下;
由于
，
所以
，
所以
，
因为
为公共点，
所以
，
，
三点共线．
24．（25-26 高三上·河北沧州·期中）（1）设
，
是不共线的两个向量，如果
，
，
，求证：
三点共线；
（2）若
与
不共线，且
与
共线，求实数
的值.
【答案】（1）因为
，
是不共线的两个向量，且
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
与
共线.
又
与
有公共点
，所以
三点共线.
（2）
【分析】（1）根据向量共线定理证明
与
共线，再由
与
有公共点
，得
三点共线；
（2）由向量共线定理设存在实数
，使得
，根据向量相等，列 出相应方程组，求解可得实数
的值.
【详解】（1）略
（2）若
与
共线，
则存在实数
，使得
，
即
，
因为
与
不共线，所以
，
整理得，
，解得
.
所以
.
25．（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）已知
、
、
三点共线（该直线不过原点
），且
，则
的最小值为______.
【答案】9
【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到
，利用基本不等式中“1”的妙用求解.
【详解】
、
、
三点共线（该直线不过原点
），且
，
，
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，故
的最小值为.
26．（25-26 高三上·四川南充·期中）记直线与
的边
交于
两点，且
．
(1)若
与
交于点
，
（i）请用向量
表示
；
（ii）若
，求
的值；
(2)若直线
恒过
的重心
，试求
的最小值．
【答案】(1)（i）
；（ii）
(2)
【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出
，第二小问先将
用
表示，
再根据
三点共线得到
；
（2）利用
为重心得到
，再根据
三点共线得到
，运用基本不等式知识即可
得到
的最小值．
【详解】（1）（i）因为
，所以
，
则
．
（ii）因为
，所以
，由（i）知
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，所以
．
（2）因直线
恒过
的重心
，连接
并延长交
于点
，
则
为
的中点，所以
，
因为
，所以
，
又因为
三点共线，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
的最小值为3．
1．（25-26 高三上·广东广州·期中）已知
，
为非零向量，则“
”是“存在实数
，使
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】设非零向量
的夹角为
，
对
两边平方，得：
化简得
，即
.
因为
为非零向量，故
，又
，所以
，即
与
同向共线.
若“存在实数
，使
”，则
与
共线（同向或反向）.
充分性：由
可知
与
同向共线，因此两向量必然共线，
即存在实数
，使
成立，故充分性成立.
必要性：举反例，若
与
反向共线，如
，则
，而
，
故
不成立，故必要性不成立.
2．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法不正确的是（ ）
A．单位向量的模一定相等
B．若
，则
C．在等边三角形
中，
与
的夹角为
D．若
，
则平面四边形
一定是平行四边形
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形
的判定判断D．
【详解】对于A，单位向量为模为1 的向量，故A 正确；
对于B，若
，由于
方向不确定，故
不一定相等，故B 错误；
对于C，在等边三角形
中，
与
的夹角为
，故C 正确；
对于D，若
，
则平面四边形
一定是平行四边形，故D 正确．
3．（25-26 高三上·上海·期中）如图，在正方形
中，
为
的中点，
为
的中点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在
中和
中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出
.
【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在
中，
，
在
中，
，又
为
的中点，
为
的中点，
所以
，
，因此
，
又因为
，所以
.
4．（25-26 高三上·河北·期中）在
中，
，
，
，
为
中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出图象，结合图象的几何运算求解即可.
【详解】如图所示：连接
,
因为
为
中点，
所以
5．（25-26 高三上·安徽亳州·期中）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算计算即可.
【详解】由
，得
.
.
6．（25-26 高三上·河南·阶段检测）在
中，
为
边上的中线，
为
上一点，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值.
【详解】
，
则
，
，解得
7．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）在
中，
是边
的中点，
是边
上靠近点
的三等分点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图可得：
.
8．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）如图，在
中，点O 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，过点O 的直线分
别交直线AB、AC 于点M、N．设
，
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线向量定理的推论列式求解.
【详解】在
中，由点O 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，得
，
则
，即
，
而
，
，则
，
由
共线，得
，所以
.
9．（25-26 高三上·重庆·期中）已知点
在线段
上（不含端点），
是直线
外一点，且
，
则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用共线向量的推论建立关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出目标函数的最小值.
【详解】由点
在线段
上（不含端点），
，得
，
则
，因此
，
当且仅当
，即
，
时取得等号，
所以
的最小值为
.
10．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）（多选）在
中，点
在
上，且
，过点
的直线分别
交直线
于不同的两点
，若
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的最小值为9
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，由
得，
，
又
共线，则
，所以
，A 正确；
对于B，由
得，
，
当且仅当
时取等号，即
的最小值为
，B 错误；
对于C，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
，C 正确；
对于D，由
得，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
，D 正确．
11．（25-26 高三上·黑龙江·期中）（多选）已知向量
不共线，
，若
三
点共线，则
的可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】因为
三点共线，所以
.
所以
，即
，解得
或
.
12．（25-26 高三上·四川成都·期中）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．
B．若向量
与
共线，则存在唯一的实数
使
C．若非零向量
与
相等，则
，
重合
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据向量共线定理可判断AB；根据向量的减法可判断C；根据垂直关系的向量表示可判断D.
【详解】对于A：
与共线，
与
共线，而
与不一定共线，所以等式不成立，A 错误.
对于B：若
，
，则不存在实数
使
，B 错误.
对于C：因为
，所以
，即
，所以
，
重合，C 正确.
对于D：由
，得
，则
，不一定有
，D 错误.
13．（2026 高一·全国·专题练习）对于任意三个向量
，下列命题中正确的序号是______.
①若
则
②
③
④若
满足
，且
与
反向，则
【答案】③
【分析】根据零向量的性质、平面向量模的性质逐一判断即可.
【详解】对于①，由于零向量与任意向量均共线，则当
时，不确定
的关系，错误；
对于②，显然若
时，
，错误；
对于③，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知
，
当且仅当两向量共线同向时取得等号，正确；
对于④，由向量的定义知，向量不能比大小，错误.
故答案为：③
14．（25-26 高三上·河南南阳·阶段检测）在
中，
为
上一点且满足
．若P 为线段
上一点，
且
为正实数），则
的最小值为_______．
【答案】
【分析】先根据向量线性运算及三点共线的充要条件推导
与
的等量关系，再利用基本不等式的“1 的代换”求
目标式的最小值．
【详解】由
得
，即
，
则
，
因为
三点共线，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立．
15．（2026 高三·全国·专题练习）设D 是
的边AB 上的点，若
，
，则
______．
【答案】
【分析】利用基底表示平面向量，根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】∵
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，即
．
16．（25-26 高三上·山东·期中）在
中，点
满足
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的
两点
，
，设
，
，则
______________．
【答案】3
【详解】连接
，如图所示，
因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
又因为
三点共线，
所以
，所以
．
17．（2026 高三·全国·专题练习）设向量
和
不共线．若
，
，
，且A，
C，F 三点共线，则实数k 的值为______．
【答案】2
【分析】根据已知得
，利用向量共线的基本定理有
，列方程组求参数值即可得.
【详解】∵
，
，
∴
，
∵A，C，F 三点共线，
∴
，从而存在实数
，使得
，
∴
，又
，
是不共线的非零向量，
∴
，因此
．
18．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）在
中，
是
的中点，
与
交
于点
，若
，则
___________．
【答案】
【分析】将
往
上思考，再根据
与
的关系和三点共线的性质求出m，n 最后得出答案.
【详解】由题知，
，
，
设
,
因为
三点共线，所以
，解得
，则
，
故
.
