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5.3 平面向量的数量积及其应用
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量a 与b 的
夹角，向量夹角的取值范围是[0，π].
当θ＝时，a 与b 垂直，记作a⊥b；
当θ＝0 时，a 与b 共线且同向；
当θ＝π 时，a 与b 共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫做向量a 与b 的数量积(或内
积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.
规定：0·a＝0.
3．投影向量
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的
起点A 和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向
量a 向向量b 投影，A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量，记为|a|cos θ e.
【注意】设a，b 是非零向量，它们的夹角为θ，则a 在b 上的投影向量为|a|cos θ＝.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量a 与b 的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
(4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且a，b 不共线；
两个向量a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且a，b 不共线.
考点一 平面向量数量积的运算
考点二 利用数量积求投影向量的问题
考点三 利用数量积求夹角问题
考点四 利用数量积求模长的问题
考点五 向量的平行与垂直问题
考点六 平面向量的实际应用
考点一 平面向量数量积的运算
1．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知
和
的夹角为60°，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】C
【详解】因为
和
的夹角为60°，且
，
所以
.
2．（2026·河南·模拟预测）已知等边
的边长为2，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
所以
分别为
的三等分点，
因此
，
，
所以
.
3．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）平面向量
，
同向，
，
，则
的坐标是______.
【答案】
【分析】设
，结合题意建立关于
的方程并求解即可.
【详解】因为
与
同向，可设
；
已知
，代入得
；
所以
，解得
；
故
的坐标为
.
4．（25-26 高三上·广西河池·期中）在
中，已知点
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．18
D．12
【答案】C
【分析】根据平行四边形性质结合向量加法及数量积坐标公式计算求解.
【详解】在
中，
，
已知点
，
，
，
则
，
则
.
考点二 利用数量积求投影向量的问题
5．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知向量
，
．
(1)求
，
的坐标；
(2)求
与
夹角的余弦值；
(3)求
在
上的投影向量．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算；
（2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解；
（3）根据投影向量的计算公式即可求解．
【详解】（1）
．
．
（2）
．
（3）
在
上的投影向量为
。
6．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量
，
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，因此
，
向量
在向量
上的投影向量
，
故B 正确.
7．（2026·河南·三模）已知向量
在向量
方向上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由投影向量公式求出
，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解.
【详解】设
，
由题意得
，解得
，
则
.
8．（25-26 高三上·江苏泰州·阶段检测）已知
，
，若
与
的夹角为
，则
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先计算
，然后计算
，再求
，最后代入投影向量公式求解即可.
【详解】计算
：由
，得
，因此
；
计算
：根据向量数量积的定义，
；
计算
：由数量积运算律得
；
计算投影向量：根据投影向量公式，向量
在
上的投影向量为
，代入得所求投影向量为
.
9．（25-26 高三上·广东珠海·阶段检测）已知
，
，
，若
，则
在方向上的投影向
量的坐标为______．
【答案】
【详解】已知
，则
，解得
，
，
在方向上的投影向量坐标为：
．
10．（25-26 高三上·吉林延边·期中）已知向量
，且
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)若
与
平行，求实数
的值；
(3)求
与
上的投影向量.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得
的值，结合模的计算公式，即可求解；
（2）先求得
，且
，结合
与
平行，列出方程，即可求解；
（3）根据题意，结合向量的投影向量的公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，可得
且
，
又因为
与
的夹角为
，可得
，
解得
或
，
因为
，所以
，所以
，
则
，所以
.
（2）解：因为
，
所以
，
，
又因为
与
平行，所以
，解得
.
（3）解：因为
，可得
，
可得
，且
，
所以
在
上的投影向量为
.
考点三 利用数量积求夹角问题
11．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）若平面向量
模长相等，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将给定向量等式变形后两边平方，结合三个向量模长相等的条件，利用向量数量积运算及夹角公式求解
余弦值．
【详解】设
。
由
，
等式两边同时平方，
，
等式两边同时除以
，
．
12．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量
与
的夹角为
，设
，
.
(1)求
最小值；
(2)若
与
的夹角为钝角，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得
，
，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数
的最小值即可；
（2）由题意得
且
，
不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解.
【详解】（1）由题意
，
因为
，
，所以
所以
，
所以
，等号成立当且仅当
，
所以
最小值是
；
（2）因为
，
，
所以
，
设
，
共线，即设
，
因为向量
与
不共线，
所以
，解得
，
若
与
的夹角为钝角，
则
，且
，
解得的取值范围是
.
13．（25-26 高三上·广东广州·期中）已知非零向量
，
满足
在
方向的投影向量是
，且
，则
与
的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
与
的夹角为
，
.
由
，得
，即
，
因为
为非零向量，故
.
又
在
方向的投影向量为
，故
，
即
，
解得
，结合
，得
.
14．（25-26 高三上·四川泸州·期中）已知平面向量
，
．
(1)求
和
；
(2)求向量
与
的夹角．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算以及模长的坐标公式即可求解；
（2）根据平面向量夹角的坐标公式结合数量积的坐标公式即可求解.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
，所以
.
（2）
，
，
，
，
设向量
与
的夹角为
，则
，
又因为
，所以
.
15．（2026·河南·三模）已知向量
，
，
，若
与
的夹角为钝角，且
与的夹角
也为钝角，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】分别根据两组向量夹角为钝角的要求，列数量积小于0 且排除共线反向的不等式，取交集得到t 的取值范
围.
【详解】由
可得
，
由
得：
，此时
与
的夹角为
.
所以若
与
的夹角为钝角，则
.
因为
，
由
，得
，
由
，得
，此时
与方向相同，
所以若
与的夹角为钝角，则
.
所以
与
的夹角为钝角，且
与的夹角也为钝角，则
.
16．（25-26 高三上·宁夏银川·期中）已知
求：
(1)
；
(2)
；
(3)
与
的夹角
的余弦值．
【答案】(1)6
(2)54
(3)
【分析】（1）先求出
的坐标，根据求模公式，即可得答案.
（2）求出
的坐标，根据数量积公式，代入求解，即可得答案.
（3）根据向量夹角公式，代入计算，即可得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
.
（2）
，
所以
.
（3）
，
，
所以
，
则
与
的夹角
的余弦值为
.
考点四 利用数量积求模长的问题
17．（25-26 高三上·重庆·期中）已知非零向量
，
，若
，且
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件用
表示
，再根据
，求出
的取值范围，进而求出
的范围，
得到答案.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
因为
，
所以
，解得
，
又
，
所以
，所以
.
18．（2026·广东广州·三模）已知平面向量与
与
满足
，
，且
在
方向上的投影向量为
，则
__________．
【答案】
【分析】利用投影向量的定义求出
，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得
的值.
【详解】因为
在
方向上的投影向量为
，即
，
所以
，则
，
故
.
19．（25-26 高三上·河北唐山·期末）在
中，
，
，
，点
在边
上（不含端
点），延长
到
，若
．且
，则线段
的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出
的值，分析可知
为
的中点，即可求出
的长.
【详解】在
中，
，
，
，则
，
因为
，
则
，
整理可得
，解得
或
，
当
时，则
，此时点
为
的中点，
由题意可知点
为线段
与
的交点，即点
与点
重合，不符合题意，
当
时，
，由题意可知，四边形
为矩形，
因为
为线段
与
的交点，则
为
的中点，
故
，
故选：B.
20．（25-26 高三上·海南·期中）已知向量
,
，则向量
在
方向上的投影向量的模长为
（ ）
A．
B．3
C．
D．−3
【答案】B
【分析】由投影向量的计算公式，结合模长的坐标表示，即可求解.
【详解】由条件可得
，
故向量
在
方向上的投影向量为
，
所以模长为
.
21．（25-26 高三上·北京东城·阶段检测）已知向量
，
满足
，
，
．则
______．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
所以
.
22．（25-26 高二下·贵州·阶段检测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量坐标加减法运算，向量垂直坐标表示，以及向量模的坐标公式分析计算即可.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，即
，解得：
，
所以
，所以
，
所以
.
考点五 向量的平行与垂直问题
23．（25-26 高三上·陕西宝鸡·月考）已知向量
，若满足
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，因为
，
所以
，
，
因为
且
，
所以
且
，解得
.
24．（25-26 高三上·辽宁鞍山·期中）已知向量
，
，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由
，得
，即
，解得
.
25．（2026·山东烟台·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8
【答案】C
【详解】由已知得，
，
因为
，所以
，
则
，即
，解得
.
26．（2026·山东青岛·三模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】通过向量线性运算求出和向量的坐标，利用垂直向量的数量积为零建立方程，求解参数的值.
【详解】由向量线性运算，得
.
由
，得
，即
，
化简得
，解得
.
27．（26-27 高一·全国·暑假作业）已知
，向量
，
，
，若
，则
的
值为（ ）
A．1
B．
C．0
D．0 或
【答案】A
【详解】由题设
，又
，
，
所以
，
由
，所以
28．（25-26 高三上·重庆·期中）已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
．
(1)求
；
(2)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
，
，
则
；
（2）因为
，
所以
，
得
考点六 平面向量的实际应用
29．（25-26 高三·全国·一轮复习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设
行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为
，
，且
，
与
的夹角为θ，则以下结论不正确的
是（ ）
A．
的最小值为
B．θ 的范围为
C．当
时，
D．当
时，
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算法则、数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】如图，对于A，当
、
方向同向时，有
，此时
取得最小值，且
最小值为
，故A
正确；
对于B，当
时，有
，行李包不会处于平衡状态，即
，故B 错误；
对于C，当行李包处于平衡时，
，若
，则有
，变形得，
，即
，故C 正确；
对于D，若
，则有
，变形可得
，故D 正确.
30．（25-26 高三上·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东
．一艘小货船准备从河岸边
地出发，航行到河对岸的
处，（
与河的方向垂直），已知船的速度为
，过河需要的时间为
，船的行驶方向与水流方向的夹角为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】设船速为
，水速为
，船的合速度为，
则
，即
，解得
，
因为
，所以
，
则船的合速度为
，
则过河需要的时间为
.
31．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为
，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需
赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为
，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出
，最后代入目标式，用基本不等式求最小值．
【详解】已知传令兵的行进速度为
，
则传令兵从排尾到排头所需时间为
，从排头到排尾所需时间为
，
则往返共用时间
，即
①，
由传令兵回到排尾时，全队正好前进了
，得
②，
由①②得
，解得
，
（舍去），
所以
，当且仅当
时等号成立．
32．（25-26 高三上·浙江·期中）（多选）两名同学共提一个旅行包，作用在旅行包上的拉力分别为
，
，已知
，旅行包所受的重力为
，
.设
，
的夹角为
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
越小时，
越大
B．
的最小值大于
C．当
时，
D．当
时，
与
夹角的余弦值为
【答案】BC
【分析】由
，通过平方结合，
，再逐项判断即可.
【详解】由两名同学提包时受力平衡，因此
，
两边取模平方得：
，
设
，由题设
，
，
代入整理得：
，
选项A：
越小，
越大，分母
越大，因此
越小，A 错误；
选项B：因为
，
因此
的最小值为：
，
而
，且
，B 正确；
选项C：当
，
，代入得：
，
因此
，C 正确，
选项D：当
，设
与
的夹角为
，
则
， D 错误.
1．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）已知平面向量
，
满足
，
，则
在
上的投影数量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由投影数量的公式结合条件即可求解.
【详解】由题意得
在
上的投影数量为
.
2．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知两个单位向量
，
互相垂直，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据向量数量积的运算律求解即可.
【详解】因为向量
，
都为单位向量且互相垂直，
所以
，
，
，
所以
.
所以
.
3．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知平面向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据向量数乘与加法的坐标运算法则，计算
的坐标，进而结合垂直向量的数量积为0 建立关于
的
方程并求解.
【详解】由
，
，可得：
，
所以
.
由
，得：
，
代入坐标计算：
，
解得
.
4．（25-26 高三上·四川绵阳·阶段检测）已知向量
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
和
两边分别平方，解方程组即得
的值.
【详解】由
，得
，即
，①
由
，得
，即
，②
由①②得
.
5．（2026·山东济南·模拟预测）设向量
，
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解.
【详解】因为
，
，
所以
.
6．（2026·福建泉州·模拟预测）设
为
的外接圆圆心.若
，且
，则
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量等式推出外心
是
中点，因此
为直径，角
为直角，再由线段相等得出
是等边三角
形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果.
【详解】如图所示，由
知，
为
中点，即
为外接圆直径，
故
，
为直角三角形.
又
，且
为
中点，故
，
为等边三角形，
，
.
过点
作
，垂足为点
，则向量
在向量
上的投影向量为
，
又因为点
为线段
的中点，则
，向量
在向量
上的投影向量为
.
7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【详解】因
，
，
，
则
，
代入可得即
．解得
．
8．（25-26 高二下·云南大理·期中）已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用向量垂直的条件可计算出
，再利用夹角公式即可求解.
【详解】
设
与
的夹角为
，
，
，
，
，
又
，
.
9．（25-26 高三上·四川泸州·期中）（多选）已知平面向量
，
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
与
的夹角为
C．
在
方向上的投影向量为
D．若向量满足
，则
【答案】ABC
【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；
根据向量平行的坐标关系可判断D.
【详解】对于A，
，
，则
.所以A 正确；
对于B，
，则
与
的夹角为
.所以B 正确；
对于C，由B 可知，
，则
在
方向上的投影向量为
.所以C 正确；
对于D，
，若
，也满足
，但
.所以D 错误.
10．（25-26 高三上·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若
与
是共线向量，则点
、
、
共线B．若
为非零向量，则
与
反向
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】ACD
【详解】对于A，∵
与
为共线向量，且两向量有公共端点
，则
、
、
共线，故A 正确.
对于B，∵
为非零向量，
，
的方向与
的方向相同，不可能反向，故B 错误.
对于C，当
、
均为非零向量时，
等价于两向量夹角为
，即
；
根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直，
∴ 对任意向量
、
，若
，则
，故C 正确.
对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由
，
，可得
，故D 正确.
11．（2026·湖北·模拟预测）（多选）已知点
，
，
，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据向量共线判断即可；对于B，根据向量的模的坐标表示求解即可；对于C，根据垂直关系的
向量表示求解即可；对于D，根据向量夹角的计算公式求解即可.
【详解】对于A，
，
，又
为公共点，所以
三点共线，故A 正确.
对于B，
，
，所以
，故B 错误.
对于C，
，所以
，即
，故C 正确.
对于D，
，
，所以
，故D 正
确.
12．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知平面向量
，
，下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
在
上的投影向量为
，则
D．若
与
夹角为锐角，则
【答案】ABD
【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系
判断选项
；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项
；根据向量夹角为锐角可得数量积大于
，验
证共线时的
的取值，即可判断选项
.
【详解】解：选项A，
，
，
又
，
，
，
解得
，A 正确；
选项B，
，
，
，解得
，B 正确；
选项C，
在
上的投影向量为
，则
，所以
，
代入坐标得
，化简得
，易知方程无解，C 错误；
选项D，
与
夹角为锐角，
，解得
，
若
与
共线，则
，解得
，
而当
时，
取不到
，因此
与
夹角为锐角时，
，
正确.
13．（25-26 高三上·上海·期中）已知向量
，
，
．若
与
的夹角为锐角，则
的
取值范围是________________．
【答案】
【分析】先计算出
与
的坐标，利用两向量夹角为锐角等价于两向量数量积大于0 且两向量不共线，列
出不等式求解后取交集得到
的取值范围.
【详解】已知
，
，则
，
，
由
，可得
，整理得
，解得
，
又两向量共线满足坐标关系
解得
，此时
，需舍去，
综上，
的取值范围是
.
14．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知向量
、
满足
，若
为单位向量，则
_________．
【答案】
/
【分析】由条件
平方求出
.
【详解】由已知
，故
由
两边平方得
，
所以
.
15．（2026·河北邢台·三模）已知向量
满足
，且
，则
_______________.
【答案】
【详解】∵
，对等式两边同时平方得
.
展开得
①，
∵
，
∴
，
展开得
，
整理得
②，
将①中的
代入②，得
，
即
，解得
，
∴
16．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）若平面向量
，
，则
在
上的投影向量为________．（用
表示）
【答案】
【分析】由投影向量计算公式结合题设可得答案.
【详解】根据投影向量定义知：
在
上的投影向量为
.
17．（25-26 高三上·上海·期中）已知向量
，
夹角为
，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)10
(2)17
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义计算
．（2）利用数量积的分配律展开，再代入
、
及
的
值．（3）先求
，再根据向量的模为非负数求出
．
【详解】（1）由平面向量数量积的定义，得
.
所以
.
（2）由数量积的分配律及
，得
.
因此
.
代入已知条件，得
.
（3）因为
所以
.
所以
.
因为向量的模为非负数，所以
18．（25-26 高三上·江西新余·阶段检测）已知三个点
，
，
．
(1)求向量
与
的夹角；
(2)若四边形
是等腰梯形，且
，求点D 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用向量夹角的计算公式；
（2）运用向量平行的相关条件加上等腰梯形求出具体坐标.
【详解】（1）因为
，
，
，
，
，
所以
．
故向量
与
的夹角为
．
（2）设点D 的坐标为
，
则
，
．
由题意得
，
，
，则
，
解得
，故点D 的坐标为
．
19．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知向量
，且
与
的夹角为
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)若
与
垂直，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量
，且
与
的夹角为
，利用数量积的定义求解；
（2）由
求解；
（3）根据
与
垂直，由
求解.
【详解】（1）因为向量
，且
与
的夹角为
，
所以
；
（2）因为向量
，且
，
所以
，
；
（3）因为
与
垂直，
所以
，
，
解得
.
20．（25-26 高三上·江西·阶段检测）如图，在
中，
，
，
．点D，E 分别为边AC 上
的三等分点，点M 满足
，设
，
．
(1)用
，
分别表示向量
，
；
(2)求
；
(3)求
的大小．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的线性运算，结合
和
为
三等分点的条件，将
用
表
示，再通过向量加法得到
和
.
（2）先由已知条件计算
和
，再利用向量模长公式计算
.
（3）利用向量夹角公式
，先计算
和
，再求出
，进而得到
.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
因为点D，E 分别为边AC 上的三等分点，所以
，
，
所以
，
．
（2）由
可知，
的夹角为
，
所以
，
由（1）知，
，
所以
.
（3）由图形可知，
的大小等于
与
的夹角，
由（1）（2）可得，
，
，
所以
，
又
，则
，故
．
