3.3 平面向量的数量积（分层训练）
目录
1
题型一、判断向量夹角的大小.................................................................2
2
题型二、向量的数量积的运算.................................................................2
3
题型三、向量夹角的余弦值.....................................................................2
4
题型四、向量垂直.....................................................................................2
5
题型五、向量的投影和投影向量.............................................................2
1 题型一、判断向量夹角的大小
1．向量⃗a与⃗b的夹角的范围是（ ）
A．[0,π
2 ] B．(0,π)
C．(0,π]
D．[0,π]
【答案】D
【分析】
根据两向量的夹角的定义，即可得到答案.
【详解】根据两向量的夹角的定义，可得向量⃗a与向量⃗b的夹角的范围是
[0,π]，即⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π].
故选：D.
2．已知▱ABCD 中，∠DAB＝60°，则⃑AD与⃑CD的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】C
【分析】利用向量的夹角定义直接得解.
【详解】如图，⃑AD与⃑CD的夹角为∠ABC =120
∘，
故选：C
3．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．⃑AB与⃑BC的夹角是锐角
B．⃑AC与⃑BA的夹角是锐角
C．⃑AC与⃑BC的夹角是锐角
D．⃑AC与⃑BC的夹角是钝角
【答案】C
【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A 选项，⃑AB与⃑BC的夹角为π -∠ABC，为钝角，A 错；
对于B 选项，⃑AC与⃑BA的夹角为π -∠BAC，为钝角，B 错；
对于CD 选项，⃑AC与⃑BC的夹角等于∠ACB，为锐角，C 对D 错；
故选：C.
4．等边三角形ABC中，⃗AB与⃗BC的夹角为（ ）
A．60
∘
B．-60
∘
C．120
∘
D．150
∘
【答案】C
【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果.
【详解】解：延长AB到D，则∠CBD为⃗AB与⃗BC的夹角，所以，⃗AB与⃗BC
的夹角为120
∘．
故选：C．
5．在正六边形ABCDEF中，向量⃗AB与⃗AD的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可.
【详解】如图设AD与BE交于点O，由正六边形的性质可知△AOB为等边三
角形，
所以∠OAB =π
3 ，则向量⃗AB与⃗AD的夹角为π
3 .
故选：B
6．设⃗a，⃗b是两个非零向量，则“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a与⃗b的夹角为钝角”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为180
∘时，数量积⃗a⋅⃗b<0也
成立，即可得出结论.
【详解】若⃗a⋅⃗b<0，则⃗a与⃗b的夹角可能为180
∘，不一定是钝角，因此充分
性不成立；
若⃗a与⃗b的夹角为钝角，则可得cos⟨⃗a,⃗b⟩<0，因此可得⃗
a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos⟨⃗a,⃗b⟩<0，所以充分性成立，
即“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a与⃗b的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
7．已知在△ABC中，⃗AB⋅⃗AC <0，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由向量数量积的定义式可得cos A <0,即可判断
【详解】∵AB⋅AC =|AB|⋅|AC|cos A <0，
∴cos A <0 ,
又∵A 为三角形内角，∴A是钝角，
即△ABC是钝角三角形.
故选：C.
8．满足⃗BA ⋅⃗BC <0的△ABC（ ）
A．一定为锐角三角形
B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形
D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
【答案】C
【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得∠ABC ∈( π
2 ,π )，
即可判断三角形形状.
【详解】由⃗BA ⋅⃗BC =|⃗BA ||⃗BC |cos∠ABC <0，而|⃗BA |,|⃗BC |>0，
所以cos∠ABC <0且∠ABC ∈(0,π )，故∠ABC ∈( π
2 ,π ).
所以△ABC 一定为钝角三角形.
故选：C
2 题型二、向量的数量积的运算
1．若向量⃗a,⃗b,⃗c，满足⃗a∥⃗b且⃗a⊥⃗c，则⃗c·(⃗a+2⃗b)（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0
【答案】D
【分析】利用共线向量的定义可得⃗b= λ⃗a，进而计算可求结果.
【详解】因为⃗a∥⃗b，所以⃗b= λ⃗a，
因为⃗a⊥⃗c，所以⃗a·⃗c =0，
所以⃗c·(⃗a+2⃗b)=⃗c·(⃗a+2 λ⃗a)=⃗c·⃗a+2 λ⃗c·⃗a=0.
故选：D.
2．如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（ ）
A．⃗AB =⃗CD B．⃗AC =⃗BD
C．⃗AC ⋅⃗BD =0
D．⃗AB+⃗AD =⃗BD
【答案】C
【分析】对A 和B 由图即可判断；对C 根据菱形性质即可判断；对D，根
据向量加法和图形即可判断.
【详解】对A，因为四边形ABCD是菱形，则⃗AB =-⃗CD，故A 错误；
对B，由图知⃗AC ≠⃗BD，故B 错误；
对C，因为四边形ABCD是菱形，则AC ⊥BD，则⃗AC ⋅⃗BD =0，故C 正确；
对D， ⃗AD +⃗AB =⃗AC ≠⃗BD，故D 错误；
故选：C.
3．已知⃗a和⃗b的夹角为150°，且|⃗a|=2,|⃗b|= ❑√3，则(⃗a+2⃗b)⋅⃗b=（ ）
A．-9
B．-3
C．3
D．9
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】(⃗a+2⃗b)⋅⃗b=⃗a⋅⃗b+2|⃗b|
2
=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cos150°+2|⃗b|
2
=2⋅❑√3⋅(-
❑√3
2 )+2⋅(❑√3)
2=3
故选：C
4．已知单位向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，则⃗a⋅(2⃗b-⃗a)=（ ）
A．-1
B．- 1
2
C．0
D．1
【答案】C
【分析】根据数量积运算性质展开，结合数量积定义即可得解.
【详解】由题知|⃗a|=|⃗b|=1,⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosπ
3 = 1
2，
所以⃗a⋅(2⃗b-⃗a)=2⃗a⋅⃗b-⃗a
2=2× 1
2 -1=0.
故选：C
5．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=3，|⃗a+⃗b|=3，则|⃗a-⃗b|=（ ）
A．❑√11
B．❑√10
C．3
D．2
【答案】A
【分析】将|⃗a+⃗b|,|⃗a-⃗b|分别进行平方，借助2⃗a⋅⃗b的值联系起它们的关系，
从而求解.
【详解】由题知，|⃗a+⃗b|
2=⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=9=1
2+2⃗a⋅⃗b+3
2，
则2⃗a⋅⃗b=-1，
|⃗a-⃗b|
2=⃗a
2-2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=1
2-(-1)+3
2=11，
则|⃗a-⃗b|= ❑√11.
故选：A
6．已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=1，⟨⃗a,⃗b⟩=60
∘，则|⃗a+2⃗b|=（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．❑√7
【答案】D
【分析】由题意，结合|⃗a+2⃗b|
2=⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2计算即可求解.
【详解】由题意知，|⃗a|=|⃗b|=1,⟨⃗a,⃗b⟩=60
°，
|⃗a+2⃗b|
2=⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+ 4|⃗a||⃗b|cos60
°+ 4 =7，
所以|⃗a+2⃗b|= ❑√7.
故选：D
7．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗a+⃗b|=2，且(⃗b-⃗a)⊥⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】A
【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解.
【详解】由已知|⃗a+⃗b|=2，即⃗a
2+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=1+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b= 4，
又(⃗b-⃗a)⊥⃗b，则(⃗b-⃗a)⋅⃗b=⃗b
2-⃗a⋅⃗b=0，
解得⃗b
2=1，|⃗b|=1，
故选：A.
8．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,⃗a⋅⃗b=1，则⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】根据向量的数量积运算律计算即可.
【详解】因为|⃗a|=2,⃗a⋅⃗b=1，
所以⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=⃗a
2+2⃗a⋅⃗b=6.
故选：C.
9．若⃗AB⋅⃗CD =0，则直线AB 与CD 的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．相交或异面
【答案】D
【分析】根据垂直直线的向量表示可知直线AB 与CD 垂直，即可求解.
【详解】因为⃗AB⋅⃗CD =0，所以直线AB 与CD 垂直，
所以AB 与CD 相交或异面．
故选：D
10．在 △ABC 中， a=5，b=8，C =60
∘ ，则 ⃗BC ⋅⃗CA 的值为（ ）
A．20
B．-20
C．20 ❑√3
D．-20 ❑√3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解.
【详解】依题意，⃗
BC ⋅⃗CA =|⃗BC ||⃗CA |cos(180
∘-C )=-abcos60
∘=-5×8× 1
2 =-20.
故选：B
3 题型三、向量夹角的余弦值
1．已知|⃗a|=1，|⃗b|=1，|⃗a+⃗b|= ❑√3，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
6
D．5π
6
【答案】A
【分析】由数量积的运算律结合夹角的计算代入即可.
【详解】设⃗a与⃗b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
由题意可知，|⃗a|=1，|⃗a+⃗b|= ❑√3，
则⃗a
2+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=3，即1+1+2×1×1×cosθ =3，故cosθ = 1
2，结合θ∈[0,π]，
解得θ =π
3 .
故选：A
2．已知非零向量⃗a,⃗b满足|⃗b|=2|⃗a|，(⃗a+⃗b)⊥⃗a，则〈⃗a,⃗b 〉=（ ）
A．2π
3
B．π
4
C．3π
4
D．π
3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量夹角公式求解.
【详解】由|⃗b|=2|⃗a|，(⃗a+⃗b)⊥⃗a，
得(⃗a+⃗b)⋅⃗a=⃗a
2+⃗a⋅⃗b=⃗a
2+|⃗a||⃗b|cos〈⃗a,⃗b 〉=|⃗a|
2+2|⃗a|
2cos〈⃗a,⃗b 〉=0，
而|⃗a|>0，因此cos〈⃗a,⃗b 〉=- 1
2，又0≤〈⃗a,⃗b 〉≤π，
所以〈⃗a,⃗b 〉=2π
3 .
故选：A
3．已知非零向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2|⃗b|，且(⃗a-⃗b)⊥⃗b，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．π
6
C．5π
6
D．2π
3
【答案】A
【分析】由已知可得(⃗a-⃗b)⋅⃗b=0，结合已知计算可求得cos⟨⃗a,⃗b⟩= 1
2，进而
可求夹角.
【详解】因为(⃗a-⃗b)⊥⃗b，所以(⃗a-⃗b)⋅⃗b=0，所以⃗a⋅⃗b-⃗b
2=0，
所以|⃗a|⋅|⃗b|cos⟨⃗a,⃗b⟩-|⃗b|
2=0，因为|⃗a|=2|⃗b|,|⃗b|≠0，
所以cos⟨⃗a,⃗b⟩= 1
2，又因为0≤⟨⃗a,⃗b⟩≤π，所以⟨⃗a,⃗b⟩=π
3 .
所以⃗a与⃗b的夹角为π
3 .
故选：A.
4．已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，|⃗b|=1，⃗a⋅⃗b= ❑√3，则向量⃗a与⃗b的夹角为
（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【分析】根据cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
，结合向量夹角的范围可得结果.
【详解】由题意得， cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=
❑√3
2×1 =
❑√3
2
，
∵⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π]，∴⟨⃗a,⃗b⟩=π
6 .
故选：A.
5．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2且⃗a⊥(⃗a+⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．2π
3
C．3 π
4
D．5 π
6
【答案】B
【分析】利用⃗a⊥(⃗a+⃗b)得出⃗a⋅⃗b=-1，再利用向量夹角公式即可.
【详解】∵⃗a⊥(⃗a+⃗b)，|⃗a|=1
∴⃗a⋅(⃗a+⃗b)=⃗a
2+⃗a⋅⃗b=1+⃗a⋅⃗b=0，
∴⃗a⋅⃗b=-1，
∴cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=-1
1×2 =- 1
2
，
又⃗a，⃗b∈[0，π ]，
∴⃗a与⃗b的夹角为2π
3 .
故选：B.
6．已知|⃗b|=2|⃗a|，(⃗a-⃗b)⊥⃗a，则⟨⃗a,⃗b⟩=（ ）
A．5π
12
B．π
4
C．3π
4
D．π
3
【答案】D
【分析】根据垂直关系的向量表示可得cos⟨⃗a,⃗b⟩= 1
2，即可得出结果.
【详解】由(⃗a-⃗b)⊥⃗a可得⃗a⋅(⃗a-⃗b)=⃗a
2-⃗a⋅⃗b=|⃗a|
2-|⃗a|⋅|⃗b|⋅cos⟨⃗a,⃗b⟩=0，
由于|⃗b|=2|⃗a|，可得|⃗a|
2-|⃗a|⋅2|⃗a|⋅cos⟨⃗a,⃗b⟩=0，
解得cos⟨⃗a,⃗b⟩= 1
2，
由于0≤⟨⃗a,⃗b⟩≤π，因此⟨⃗a,⃗b⟩=π
3 ．
故选：D
7．若向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= ❑√2，|⃗b|= ❑√6，且⃗a⋅⃗b=3，则向量⃗a与⃗b夹角的大小
是（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．2π
3
【答案】C
【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可．
【详解】设向量⃗a与⃗b的夹角是θ，则cosθ =⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=
3
❑√2×❑√6 =
❑√3
2
，
又因为0≤θ≤π，所以θ =π
6 ．
故选：C．
8．已知平面向量⃗a,⃗b，若|⃗a|=3,|⃗a-⃗b|= ❑√13,⃗a⋅⃗b=6，则向量⃗a与向量⃗b的夹
角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】对式子|⃗a-⃗b|= ❑√13两边同时平方，得到|⃗b|= 4，再利用两个向量的
数量积代入数值即可求得结果.
【详解】因为|⃗a-⃗b|= ❑√13，所以(⃗a-⃗b)
2=⃗a
2-2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=13，
又因为|⃗a|=3，⃗a⋅⃗b=6，
即9-12+⃗b
2=13，解得
|⃗b|= 4 ,∴⃗a⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|cos〈⃗a,⃗b 〉=3×4×cos〈⃗a,⃗b 〉=6，
解得cos〈⃗a,⃗b 〉= 1
2.又因为〈⃗a,⃗b 〉∈[0,π]，故向量⃗a与向量⃗b的夹角为π
3 .
故选：B
9．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|⃗b|=2,⃗a⋅⃗b=- 3
2，则（ ）
A．-
❑√2
4
B．-
❑√2
2
C．
❑√2
4
D．
❑√2
2
【答案】A
【分析】先用模长公式求出|⃗a+⃗b|，再用夹角公式即可得到答案.
【详解】由模长公式
|⃗a+⃗b|=
❑√(⃗a+⃗b)
2=
❑√|⃗a|
2+2⃗a·⃗b+|⃗b|
2= ❑√
1+2×(- 3
2)+ 4 = ❑√2，
由夹角公式
cos⟨a,⃗a+⃗b⟩=⃗a⋅(⃗a+⃗b)
|⃗a||⃗a+⃗b|
= a
2+⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗a+⃗b|
=
1- 3
2
1×❑√2 =-
❑√2
4
.
故选：A.
10．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=1，且|⃗a-2⃗b|= ❑√3，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】C
【分析】利用数量积的运算律求出⃗a⋅⃗b，进而求出夹角.
【详解】由|⃗a-2⃗b|= ❑√3，得⃗a
2- 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=3，而|⃗a|=|⃗b|=1，则⃗a⋅⃗b= 1
2，
cos〈⃗a,⃗b 〉=⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
= 1
2
，而0≤〈⃗a,⃗b 〉≤π，
所以⃗a与⃗b的夹角〈⃗a,⃗b 〉=π
3 .
故选：C
4 题型四、向量垂直
1．已知⃗a，⃗b均为平面上的单位向量，若(2⃗a+⃗b)⊥⃗b，则|⃗a+3⃗b|=（ ）
A．2
B．❑√5
C．❑√7
D．2❑√2
【答案】C
【分析】首先根据向量垂直得到⃗a⋅⃗b=- 1
2，再根据向量数量积的运算律即
可得到答案.
【详解】因为(2⃗a+⃗b)⊥⃗b，则(2⃗a+⃗b)⋅⃗b=0，则2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=0，
即2⃗a⋅⃗b+1=0，所以⃗a⋅⃗b=- 1
2，
所以|⃗a+3⃗b|=
❑√(⃗a+3⃗b)
2=
❑√⃗a
2+6⃗a⋅⃗b+9⃗b
2= ❑√
1
2+6×(- 1
2)+9= ❑√7.
故选：C.
2．已知向量⃗a,⃗b，其中|⃗a|= ❑√2 ，|⃗b|=2，且(⃗a-⃗b)⊥⃗a，则向量⃗a与⃗b的
夹角是（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
2
D．π
3
【答案】B
【分析】由垂直关系结合数量积公式计算即可.
【详解】因为(⃗a-⃗b)⊥⃗a，所以(⃗a-⃗b)⋅⃗a=⃗a
2-⃗a⋅⃗b=0，即
2-2❑√2cos⟨⃗a,⃗b⟩=0，
cos⟨⃗a,⃗b⟩=
❑√2
2 ，因为向量⃗a与⃗b的夹角范围为[0,π ]，所以向量⃗a与⃗b的夹角是
π
4 .
故选：B
3．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，|⃗a+2⃗b|=2，且(2⃗a+⃗b)⊥⃗a，则|⃗b|=（ ）
A．2❑√3
B．2❑√2
C．2
D．1
【答案】B
【分析】由(2⃗a+⃗b)⊥⃗a可得(2⃗a+⃗b)⋅⃗a=0，再将|⃗a+2⃗b|=2两边平方，结合
数量积的运算律计算可得.
【详解】因为|⃗a|=2，|⃗a+2⃗b|=2，所以(⃗a+2⃗b)
2=⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2= 4，
又(2⃗a+⃗b)⊥⃗a，所以(2⃗a+⃗b)⋅⃗a=0，即2⃗a
2+⃗b⋅⃗a=0，
所以⃗b⋅⃗a=-2⃗a
2=-2×2
2=-8，
则2
2+ 4×(-8)+ 4|⃗b|
2= 4，解得|⃗b|=2❑√2（负值已舍去）.
故选：B
4．已知平面向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，满足|⃗a|=1,(⃗a-2⃗b)⊥⃗a，则|b
→|=（ ）
A．-1
B．1
C．1
5
D．- 1
5
【答案】B
【分析】根据向量垂直得出向量数量积为0，再应用数量积定义计算即可.
【详解】因为(a
→
-2b
→)⊥a
→，
可得(a
→
-2b
→)· a
→
= a
→
2-2a
→
· b
→
=|a
→|
2
-2|a
→|·|b
→|cosπ
3 =1-2×1×|b
→|× 1
2 =0，
可得|b
→|=1.
故选：B.
5．设λ∈R，已知向量⃗a与⃗b的夹角为π
4 ，|⃗a|=2，|⃗b|= ❑√2，且
( λ⃗b-⃗a)⊥⃗a，则λ =（ ）
A．1
2
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【答案】C
【分析】直接根据( λ⃗b-⃗a)⋅⃗a=0计算求解即可.
【详解】由( λ⃗b-⃗a)⊥⃗a得( λ⃗b-⃗a)⋅⃗a= λ⃗b⋅⃗a-⃗a
2=2×❑√2×
❑√2
2 λ - 4 =0，
解得λ =2.
故选：C.
6．已知边长为1 的正方形ABCD，点E，F 分别是BC，CD 的中点，则
⃗
AE⋅⃗EF =（ ）
A．3
4
B．1
4
C．- 3
4
D．- 1
4
【答案】D
【分析】以⃗AB ,⃗AD为基底，根据平面向量的线性运算及数量积的运算律计
算⃗AE⋅⃗EF即可.
【详解】边长为1 的正方形ABCD，⃗AB⋅⃗AD =0，|⃗AB|=|⃗AD|=1，⃗
AE =⃗AB+⃗BE =⃗AB+ 1
2⃗AD
，⃗
EF = 1
2⃗BD = 1
2 (⃗AD -⃗AB)
，
所以⃗AE⋅⃗EF =(⃗AB+ 1
2⃗AD)⋅(
1
2⃗AD - 1
2⃗AB)= 1
4⃗AD
2- 1
2⃗AB
2=- 1
4
.
故选：D.
7．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，且(⃗b-2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
【答案】B
【分析】由(⃗b-2⃗a)⊥⃗b得⃗b
2=2⃗a⋅⃗b，结合|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，得
1+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+6⃗b
2= 4，由此即可得解.
【详解】因为(⃗b-2⃗a)⊥⃗b，所以(⃗b-2⃗a)⋅⃗b=0，即⃗b
2=2⃗a⋅⃗b，
又因为|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，
所以1+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+6⃗b
2= 4，
从而|⃗b|=
❑√2
2 .
故选：B.
8．若|⃗a|=1,|⃗b|=2,(⃗a-⃗b)⊥⃗a，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【分析】根据(⃗a-⃗b)⊥⃗a，得(⃗a-⃗b)⋅⃗a=0，结合数量积的运算律求出⃗a⋅⃗b，
再根据向量的夹角公式即可得解.
【详解】因为(⃗a-⃗b)⊥⃗a，所以(⃗a-⃗b)⋅⃗a=0，
即⃗a
2-⃗a⋅⃗b=0，所以⃗a⋅⃗b=⃗a
2=1，
所以cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
= 1
2
，
又0°≤⟨⃗a,⃗b⟩≤180°，
所以向量⃗a与⃗b的夹角为60°.
故选：B.
9．若向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2❑√3，|⃗b|= 4，⃗a⊥(⃗a-⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
6
D．5π
6
【答案】C
【分析】结合⃗a⊥(⃗a-⃗b)，则由数量积为0 结合数量积的定义以及运算律即
可求解夹角.
【详解】设⃗a与⃗b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
∵|⃗a|=2❑√3，|⃗b|= 4，⃗a⊥(⃗a-⃗b)，
∴⃗a
2-⃗a⋅⃗b=12-|⃗a|⋅|⃗b|cosθ =12-8 ❑√3cosθ =0，
∴cosθ =
❑√3
2 ，∴θ =π
6 ，
故选：C.
5 题型五、向量的投影和投影向量
1．已知⃗a,⃗b为单位向量，且|⃗a-⃗b|= ❑√3，则⃗a在⃗b上的投影向量为（ ）
A．- 1
2
B．1
2⃗b
C．- 1
2⃗b
D．- 1
2⃗a
【答案】C
【分析】根据模长公式可得⃗a⋅⃗b=- 1
2，即可利用投影向量的计算公式求解.
【详解】由|⃗a-⃗b|= ❑√3且⃗a,⃗b为单位向量，平方可得⃗
a
2+⃗b
2-2⃗a⋅⃗b=3⇒1+1-2⃗a⋅⃗b=3，故⃗a⋅⃗b=- 1
2，
所以⃗a在⃗b上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗b|
2⃗b=
- 1
2
1⃗b=- 1
2⃗b，
故选：C．
2．已知单位向量⃗a，⃗b满足|⃗a-⃗b|=2，则⃗a在⃗b上的投影向量为（ ）
A．⃗b
B．-⃗b
C．⃗a
D．-⃗a
【答案】B
【分析】由|⃗a-⃗b|=2得到⃗a⋅⃗b=-1，再由投影向量的计算公式代入计算即可.
【详解】设向量⃗a与⃗b的夹角为θ，则所求投影向量为(|⃗a|cosθ)⃗b
|⃗b|
=(⃗
a⋅⃗b
|⃗b|
2)⃗b．
因为|⃗a-⃗b|=2，所以⃗a
2-2⃗a⋅⃗b+⃗b
2= 4，又因为|⃗a|=1，|⃗b|=1，所以⃗a⋅⃗b=-1，
所以(⃗
a⋅⃗b
|⃗b|
2)⃗b=-⃗b，
故选：B
3．已知⃗e是单位向量，且|⃗e -⃗a|= ❑√3，⃗a+⃗e在⃗e上的投影向量为1
2⃗e，则⃗a与⃗e
的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，求得⃗a⋅⃗e =- 1
2，又由|⃗e -⃗a|= ❑√3，求得
|⃗a|=1，即可由夹角公式求得夹角.
【详解】若⃗a+⃗e在⃗e上的投影向量为1
2⃗e，即(⃗a+⃗e)⋅⃗e
|⃗e|
2
⋅⃗e = 1
2⃗e，
由|⃗e|=1，则有(⃗a+⃗e)⋅⃗e = 1
2，即⃗a⋅⃗e+⃗e
2= 1
2，可得⃗a⋅⃗e =- 1
2，
又由|⃗e -⃗a|= ❑√3，
则有(⃗e -⃗a)
2=⃗e
2-2⃗e⋅⃗a+⃗a
2=1+1+⃗a
2=3，解可得：|⃗a|=1，
设⃗a与⃗e的夹角为θ，则cosθ =⃗a⋅⃗e
|⃗a||⃗e|=- 1
2，
又由0≤θ≤π，则θ = 2π
3 ；
故选：D
4．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2❑√3,⃗b在⃗a上的投影向量为❑√3⃗a，则⃗a·⃗b（ ）
A．12❑√3
B．6 ❑√3
C．12
D．6
【答案】A
【分析】根据投影向量的公式代入已知条件计算即可求值.
【详解】因为⃗b在⃗a上的投影向量为⃗a·⃗b
|⃗a|
2 ·⃗a=⃗a·⃗b
12 ·⃗a= ❑√3⃗a，所以⃗a·⃗b=12❑√3.
故选：A.
5．已知向量⃗a，⃑b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2，⃗a，⃑b夹角为3π
4 ，则⃑b在⃗a上的投影向
量为（ ）
A．- ❑√2
B．❑√2⃗a
C．- ❑√2⃗a
D．-
❑√2
4⃑a
【答案】C
【分析】由投影向量计算公式，可得答案.
【详解】⃑b在⃗a上的投影向量⃗a⋅⃗b
|⃗a|
2⃗a=
|⃗a||⃗b|cos 3π
4
|⃗a|
2⃗
a=
1×2×(-
❑√2
2 )
1
2⃗
a=- ❑√2⃗a
.
故选：C.
6．若向量⃗a,⃗b满足|⃗b|=3，⃗a⋅⃗b=-6，则⃗a在⃗b上的投影向量是（ ）
A．- 1
2⃗b
B．- 1
3⃗b
C．2
3⃗b
D．- 2
3⃗b
【答案】D
【分析】先设投影向量是m b
→，利用a
→
⋅b
→
=m b
→
⋅b
→
=-6解出m即可得出答案.
【详解】设投影向量是m b
→，则a
→
⋅b
→
=m b
→
⋅b
→
=m⋅|b
→|
2
=9m=-6，所以m=- 2
3，
即a
→在b
→上的投影向量是- 2
3 b
→
．
故选：D.
7．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= 4，|⃗b|=2，且⃗b在⃗a上的投影向量为- 1
4⃗a，则
cos⟨⃗a,⃗b⟩的值为( )
A．- 1
2
B．1
2
C．- 1
8
D．1
8
【答案】A
【分析】利用投影向量公式计算可得向量⃗b和⃗a夹角的余弦值.
【详解】因为⃗b在⃗a上的投影向量为- 1
4⃗a，所以|⃗b|cos⟨⃗b,⃗a⟩⋅⃗a
|⃗a|=- 1
4⃗a，
代入|⃗a|= 4，|⃗b|=2，化简得cos⟨⃗a,⃗b⟩=- 1
2.
故选：A.
8．已知平面向量⃗a，⃗b满足⃗a⋅(⃗a+⃗b)=3，且|⃗a|=2，|⃗b|=1，则向量⃗b在向量⃗a
上的投影向量为（ ）
A．-⃗a
B．-⃗b
C．- 1
4⃗a
D．- 1
4⃗b
【答案】C
【分析】利用数量积的运算律求出⃗a⋅⃗b，再利用投影向量的意义求解即得.
【详解】由⃗a⋅(⃗a+⃗b)=3及|⃗a|=2，得⃗a
2+⃗a⋅⃗b=3，则⃗a⋅⃗b=-1，
所以向量⃗b在向量⃗a上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗a|
2⃗a=- 1
4⃗a.
故选：C
9．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2❑√3，|⃗b|=3，且⃗a，⃗b的夹角为π
3 ，则向量⃗b
在向量⃗a方向上的投影向量的模为（ ）
A．❑√3
B．3
2
C．3
D．3 ❑√3
2
【答案】B
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】向量⃗b在向量⃗a方向上的投影向量的模为
|a⃗⋅b⃗|
|a⃗|
=
|2❑√3×3×cosπ
3 |
2❑√3
= 3
2
.
故选：B
