第17 讲 平面向量的线性运算基本定理及坐标运算
题型方法
题型一 向量的线性运算及共线定理的应用
题型二 平面向量基本定理的应用
题型三 向量的坐标运算
题型四 奔驰定理与三角形的“四心”
知识点01 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1 个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点02 向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
题型梳理
知识清单
加法
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0 时，λa 的方向与a
的方向相同；
当λ<0 时，λa 的方向与a 的方向相
反；
当λ＝0 时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点03 向量共线定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋
A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．
3．若A，B，C 是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP＝(AB＋AC)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
知识点04 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1
＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点05 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点06 平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.
知识点07 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0
【题型一】向量的线性运算及共线定理的应用
【例1】（2025·浙江嘉兴·三模）在
所在平面内，点
满足
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.
【详解】由向量的线性运算可知
.
故选：C.
解题技巧
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
利用共线向量定理解题的策略
题型方法
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a 与b 不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为常数)，则A，B，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
【举一反三】【变式1】（2024·河北·模拟预测）在平行四边形
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示
即可.
【详解】因为在平行四边形
中，
，所以
，
因为
是
的中点，所以
，即
，
，
根据向量的加法法则，
，
故选：B.
【变式2】（2024·陕西西安·一模）已知平面向量
，若
与
共线，则实数
．
【答案】2
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】
，
若
与
共线，则
，
解得
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·山西朔州·一模）已知
的内角
的对边分别为
，向量
，且
．
(1)求
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得
，结合余弦定理可求
；
（2）利用基本不等式可求最小值.
【详解】（1）因为
，所以
，
由正弦定理可得
即
，
故
，所以
，
而
为三角形内角，故
.
（2）结合（1）可得：
,
，当且仅当
时等号成立，
故
的最小值为
.
【题型二】平面向量基本定理的应用
【例2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
解题技巧
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向
量的形式，再通过向量的运算来解决．
【举一反三】【变式1】（2025·天津河北·模拟预测）如图，在
中，D 是边AB 上一点，且
，点E 是
CD 的中点．设
，
，则
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用
，
表示出
即可.
【详解】由题设，
，
所以
.
故选：B
【变式2】（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形
中，
，
，
，E 是
的中点，若
，则
.
【答案】
【分析】首先用
将向量
表述出来，然后化简原等式，从而可求出
的值，从而得到答案.
【详解】
，
而
，所以
，解得
.
所以
.
故答案为：1.
【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在
中，角
的对边为
，设
的面积为
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，过
的重心点
的直线与边
的交点分别为
，
，请计算
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数基本关系式以及面积公式和三角形的内角和即可求解；（2）根据重心性
质和向量的共线关系即可求解.
【详解】（1）在
中，根据正弦定理
结合条件
，可得：
.
因为
，所以
，可得
，
即有
，又
，故
.
又因为
，
可得
，即可得
.根据
，
由此即可得
.
（2）解法一：
以点
为原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系.则可得点
.
根据重心的坐标公式可得：点
.
可设过点
的直线的方程为：
，
由此可得点
的坐标为：
.
根据
可得
.
由此即可得
.
解法二：设
的中点为
，连接
，利用“重心”的性质可得
，
根据三点共线的性质可得：
，
根据条件
，
可得：
，
等价于
，
又因为点
在一条直线上，
从而可得：
，即可得
成立.
【题型三】向量的坐标运算
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
即
，故
，
故选：D.
解题技巧
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅
当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们
熟知的数量运算．
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b 的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【举一反三】【变式1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量
，
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【详解】由
，
，
则
.
故选：A.
【变式2】（2024·湖北武汉·二模）已知点
为平面内不同的四点，若
，且
，则
【答案】
【分析】利用向量的线性运算，即可得解.
【详解】由
得：
，即
，
又因为
，所以
,
故答案为：
.
【变式3】（2020·山东·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，向量
，
，
．
（1）求角
的大小；
（2）若
的面积为
，且
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）根据向量平行的坐标计算，结合正弦定理实现边角互化，逆用正弦的和角公式，即可求得结果；
（2）利用三角形面积公式，根据（1）中所求，即可求得
.
【详解】（1）因为
，所以
，
由正弦定理得
，
得
，即
，
因为
，所以
，
又
，所以
．
（2）由（1）得
，又
，所以
，
又
，得
，所以
．
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及正弦和角公式的应用，平面向量平行的坐标表示，属综合中档题.
【题型四】奔驰定理与三角形的“四心”
【例4】（2022·安徽·三模）平面上有
及其内一点O，构成如图所示图形，若将
，
，
的面
积分别记作
，
，
，则有关系式
．因图形和奔驰车的
很相似，常把上述结论称
为“奔驰定理”．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理可得
，
，延长
交
于
，延长
交
于
，根据面积比推出
，结合角平分线定理推出
为
的平分线，同理推出
是
的平分线，根据内心的定义可
得答案.
【详解】由
得
，
由
得
，
根据平面向量基本定理可得
，
，
所以
，
，
延长
交
于
，延长
交
于
，
则
，又
，所以
，
所以
为
的平分线，
同理可得
是
的平分线，
所以
为
的内心.
故选：B
【举一反三】【变式1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具
体内容是：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
.若
为
的垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
和
得
，从而可以得出
，设
，
，得
，
，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.
【详解】
如图，延长
交
于点
，延长
交
于点
，延长
交
于点
.
由
为
的垂心，
，且
，
得
，所以
，
又
，则
，同理可得
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到
，从而利用对顶角相等得到
，由此得解.
【变式2】（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理
与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则M 为
的重心
B．若M 为
的内心，则
C．若
，
，M 为
的外心，则
D．若M 为
的垂心，
，则
【答案】ABD
【分析】A 选项，
，作出辅助线，得到
，
，
三点共线，同理可得
为
的重心；B 选
项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到
；C 选项，设外接圆半径，由三角形面
积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到
，作出辅助线，由面积关系得到线段比，
设
，
，
，表示出
，
，
，结合三角函数得到
，
，进而求出余
弦值；
【详解】对A 选项，因为
，所以
，
取
的中点
，则
，所以
，
故
，
，
三点共线，且
，
同理，取
中点
，
中点
，可得
，
，
三点共线，
，
，
三点共线，
所以
为
的重心，A 正确；
对B 选项，若
为
的内心，可设内切圆半径为，
则
，
，
，
所以
，
即
，B 正确；
对C 选项，若
，
，
为
的外心，则
，
设
的外接圆半径为
，故
，
，
，
故
，
，
，
所以
，C 错误；
对D 选项，若
为
的垂心，
，
则
，
如图，
，
，
，相交于点
，
又
，
，即
，
，即
，
，即
，
设
，
，
，则
，
，
，
因为
，
，
所以
，即
，
，则
，D 正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐
项判断.
【变式3】（2021·四川凉山·三模）如图，
为
内任意一点，角
，
，
的对边分别为
，
，.总有优美等
式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若
是
的重心，则有
；
②若
成立，则
是
的内心；
③若
，则
；
④若
是
的外心，
，
，则
.
则正确的命题有 .
【答案】①②④
【分析】对于①:利用重心的性质
代入
即可.
对于②:利用三角形的面积公式结合
与
可知点
到
的距离相等.
对于③:利用
将
表示出来，代入
.化简即可表示出
的关系式，用
将
表示出来即可得处其比值.
对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将
两边平方，化简可得
，结合
的取
值范围可得出答案.
【详解】对于①：如图所示：因为
分别为
的中点，
所以
,
，
同理可得
、
，
所以
，又因为
所以
.①正确.
对于②：记点
到
的距离分别为
，
，因为
，则
，即
，又
因为
，所以
，所以点
是
的内心.②正确.
对于③：因为
，所以
,
,
,
所以
,
化简得：
，
又因为
不共线.
所以
，
.③错误.
对于④：因为
是
的外心，
，所以
,
，
,
因为
，则
，
化简得：
,由题意知
不同时为正.
记
,
则
，
因为
所以
.④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解
本类题型常用的方向.
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】
，由
得
，解得
．
故选：A．
好题必刷
2．（2025·广东广州·三模）已知向量
不共线，
与
共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．6
D．
【答案】A
【分析】由向量共线得到
，求解即可.
【详解】因为
与
共线，
所以
，
解得：
，
故选：A
3．（2025·辽宁·一模）已知
，点D 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由图形结合向量的加法法则可得.
【详解】
.
故选：B
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知菱形
的边长为
分别是边
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算化简，再根据模长与数量积的关系求解长度即可得结论.
【详解】
由
分别是边
的中点，得
，
则
，
又菱形
的边长为
，
所以
，
故
.
故选：A.
5．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，且对任意的
，
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解.
【详解】如图，
设
，则
恒成立，等价于
恒成立，
从而有
，
故
．
设
，
，则
．
作点E 关于直线
的对称点F，连接
由题可知
，
，
,
则
，
当且仅当
三点共线时取等号．
故选：D.
6．（22-23 高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O 是
内的一点，若
的面积分别记为
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交
于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得
，再利用
和
可得
，不妨设
，利用
可求出
的值，从而可求出
的值.
【详解】延长
交
于点P，
是
的垂心，
，
．
同理可得
，
．
又
，
．
又
，
．
不妨设
，其中
．
，
，解得
．
当
时，此时
，则A，B，C 都是钝角，不合题意，舍掉．
故
，则
，故C 为锐角，
∴
，解得
，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质
得
，再结合已知条件得
，设
，再
利用两角和的正切公式可得
，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知向量
.若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】AC
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示列式计算即得.
【详解】向量
，则
，
，
由
，得
，即
，解得
，
所以
或
.
故选：AC
8．（2024·辽宁·二模）
的重心为点
，点O，P 是
所在平面内两个不同的点，满足
，
则（ ）
A．
三点共线
B．
C．
D．点
在
的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点
为
的重心，
所以
，所以
，
所以
三点共线，故A 正确，B 错误；
，
因为
，
所以
，即
，故C 正确；
因为
，
所以点
的位置随着点
位置的变化而变化，故点
不一定在
的内部，故D 错误；
故选：AC．
9．（2024·福建厦门·三模）已知等边
的边长为4，点D，E 满足
，
，
与CD 交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出
为
中点，
为
上靠近点
的四等分点，对选项
进行判断，得出答案.
【详解】
对于A 选项，
，故A 正确；
对于B 选项，因为
为等边三角形，
，
为中点，所以
，
所以
，即
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，设
，
由（1）得
，所以
，
又
三点共线，所以
，解得
，所以
为
上靠近点
的四等分点，故C 错误；
对于D，
，设
，则
，
所以
，又
三点共线，所以
，解得
，
所以
为
中点，所以
，故D 正确，
故选：ABD.
三、填空题
10．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形
中，
，若
为
边上靠近
的三等分点，且
，则
.
【答案】
【分析】结合图形，根据平面向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】如图所示：
因为在梯形
中，
，若
为
边上靠近
的三等分点，
所以
,
，
所以
.
又因为
，
则
.
故答案为：
11．（2025·江苏·二模）已知平面向量
，
，若
，则实数
的值为 .
【答案】
【分析】先求出
，根据向量平行得到方程，求出实数
的值.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：
12．（2025·山东枣庄·二模）已知向量
，则
的值为 .
【答案】
/
【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为
，
所以
.
因为
，
所以
，解得
.
故答案为：
13．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形
中，
,
,
．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算.
【详解】由平行四边形ABCD,
，
可知
，则
，
整理得
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
14．（2025·海南·模拟预测）已知
内角
的对边分别为
，
为
的中点，
为
的中点，延长
交
于点
，若
，
，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求出
的面积为
，设
的面积为
，利用向量共线定理，
平面向量基本定理得出
即可求解．
【详解】
的面积为
，
根据正弦定理：
，
所以
，
因为
三点共线，所以设
，
而点
是
中点，点
是
中点，
所以
，设
，所以
，
因为
，
不共线，所以
，
解得
，
，因为
，
设
的面积为
，则
．
故答案为：
．
15．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形
中，
，
是
上中线
的三等分点满足
，记
，则
.
【答案】1
【分析】结合图形，由平面向量线性运算和平面向量的基本定理求解即可.
【详解】如图，
，所以
，所以
.
故答案为：1.
四、解答题
16．（2021·江西鹰潭·模拟预测）若向量
的起点为同一点，证明这三个向量的终点在一条直线上.
【答案】证明见解析
【分析】设
，
，
，欲证
三点共线，只需证明共起点的两个向量
与
共线.
【详解】设
，
，
，
因为
，
，
所以
，所以
与
共线，又
与
有公共起点
，
所以
三点共线，即这三个向量的终点在一条直线上.
【点睛】方法点睛：共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
17．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形
中,角
的对边分别为
,向量
,
,且
.
(1)求角
的大小;
(2)若
的面积为
,求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标形式,得到
中边和角之间的等式关系,根据正弦定理将角化为边,解得边之间关
系,再根据余弦定理即可求得角
;
（2）由于
为锐角三角形,画出图形找到临界条件,再根据
,求出边与边之间的不等式关系,根据
可得
,将等式代入不等式中,即可得边长的范围,将
代入
中,构造新函数求导求单调性,求出范围即可.
【详解】（1）解:由题知
,
,
,
所以有:
,
①
在
中,由正弦定理可得:
,
代入①中有:
,
展开移项后可得:
,
即
,
因为
是
的三边,
所以上式可化为:
,
在
中,由余弦定理可得:
,
因为
,所以
;
（2）在
中,过点
向
作垂线,垂足为
,
过点
作
的垂线,交
延长线于点
,如图所示:
因为
为锐角三角形,
所以点
在线段
上（不含端点）,
即
,
由（1）可得
,且
,
所以
,所以
,
因为
,
所以
,即
,
由
,所以
,
解得:
,
所以
,
令
,
,由对勾函数的性质可得
在
上单调递减,
故
,
即
.
18．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
，
.
(1)求B；
(2)D 为AC 的中点，
,求
的面积.
【答案】(1)
(2)
或,
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出
.
（2）由D 为AC 的中点，求出
关系,
可得
，最后求出面积即可.
【详解】（1）
（2）D 为AC 的中点，
,
,
,
,
,
或
,
当
时,
，
时,
所以
的面积为
或
.
19．（2023·四川南充·一模）在
中，设角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知向量
，
，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据平面向量平行的判定条件得
，即可求出
的值，进而求出角
；
（2）首先利用正弦定理进行角换边的转化，得
，然后利用余弦定理求出
，的值，然后利用面积公式进行求
解即可.
【详解】（1）已知
，
，
，
，得
，
，
.
（2）已知
，根据正弦定理得
，即
.
根据余弦定理得
，
将
代入得
，解得
，即得
.
.
20．（2024·吉林长春·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理可解；
（2）根据题意，设
，则
，在
、
与
中，利用余弦定理得到与
的方程，从而求
解.
【详解】（1）
.
由正弦定理，可得
又
,
.
（2）
，设
，则
，
在
中，
.
在
与
中，
.
.
