文档文本内容
第12 讲 导数的运算与几何意义
易错分析
易错点一 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的
切线方程
题型方法
题型一 导数的计算
题型二 切线的方程
题型三 公切线问题
题型四 多切线问题
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|
.
f′(x0)＝lim ＝lim .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)
＝f′(x0)(x－x0)．
题型梳理
知识清单
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导
数与u 对x 的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)
【易错点一】混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
【例1】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，
所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故选：C
【举一反三】【变式1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
易错分析
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切
线.由此可知
.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法
【变式2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，则此切
线的方程为 ．
【答案】
或
【分析】分点P 为切点和点P 不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】因为
，
当点P 为切点时，则切线的斜率为
，
所以所求切线方程为
，即
；
当P 点不为切点时，设切点坐标为
，
切线的斜率为
，
则切线方程为
，
因为切线过点
，且
，
所以
，
整理，得
，解得
或1（舍去），
则
，
所以切点坐标为
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
所以所求切线的方程为或
或
．
故答案为：
或
．
【变式3】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数
.
(1)求曲线
过点
的切线方程；
(2)若
，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解，设切点为
，对函数求导后可得切线的斜率为
，然后利用点
斜式求出切线方程，再将
代入切线方程可求出
，从而可求出切线方程；
（2）由
，得
，构造函数
，利用导数求出其最大值即可.
【详解】（1）设切点为
，则
，得
，
则切线的斜率
，
所以切线方程为
，即
，
因为切线过点
，所以
，化简得
，
解得
，
所以切线方程为
，即
；
（2）由
，得
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
，
所以
，
即的取值范围为
.
【题型一】导数的计算
【例1】（2024·福建漳州·三模）已知函数
是函数
的导函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】计算
的导数，得到
，代值即可.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
.
题型方法
故选：D.
解题技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
【举一反三】【变式1】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．
(a 为常数)
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
【详解】A：因为a 为常数，所以
，故A 错误；
B：
，故B 正确；
C：
，故C 错误；
D：
，故D 错误.
故选：B
【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
图象的一条切线的方程为
，则
．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可求出切点的横坐标，进而可求得切点的纵坐标，将切点的坐标代入切线方程，可得出
关于
的等式，解之即可.
【详解】对函数
求导得
，
直线
的斜率为
，由
，可得
，
显然
，解得
，
若切点横坐标为
，则
，
则切点
在直线
上，
可得
，解得
；
若切点横坐标为
，
，
则切点
在直线
上，
可得
，无解.
综上所述，
.
故答案为：.
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
为
的导函数，
．
(1)求
的值;
(2)求
在
上的零点个数．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）求导，利用
可解；
（2）设
，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数.
【详解】（1）由
则
又
，所以
即
；
（2）由（1）可知
设
则
，
则当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以当
时，
，
又
，
，
所以
在
上无零点，在
上有一个零点；
从而
在
上有1 个零点.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调
性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩．
【题型二】切线的方程
【例2】（2020·全国I 卷·高考真题）函数
的图像在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得函数
的导数
，计算出
和
的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
解题技巧
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数
是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．
【举一反三】【变式1】（2024·江西景德镇·一模）过点
且与曲线
相切的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【详解】
，点
不在曲线上，
设切点为
，则
，
解得：
，得切点
，则
切线方程为：
，
故选：
．
【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数
在
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出在一点的切线方程.
【详解】
，当
时，切线的斜率
，
，
所以切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·辽宁·三模）已知函数
．
(1)当
时，判断过点
且与曲线
相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求
的最值．
【答案】(1)只有1 条，
(2)当
时，
，没有最大值；当
时，
，没有最小值．
【分析】（1）分
是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结
合已知点在切线上可得
，进而求解判断即；
（2）分
与
两种情况，可得
的单调性，进而可求最值.
【详解】（1）当
时，
，则
，
由题意可知点
在曲线
上，
①所以当
是切点时，则切线斜率为
进而切线方程为
，即
，
②当
不是切点时，设切点为
，且
，
则切线斜率为
，
进而切线方程为
，
化简得
，
将
代入上式，得
，
化简得
，解得
（舍），进而此时没有切线，
综上所述，过点
且与曲线
相切的直线只有1 条，切线方程为
．
（2）
，
当
时，由
解得
，由
解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，没有最大值；
当
时，由
解得
，由
解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，没有最小值．
综上，当
时，
，没有最大值；
当
时，
，没有最小值．
【题型三】公切线问题
【例3】（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去
后构造函数
，求导分析单
调性可得最值.
【详解】设公切线与函数
及函数
的切点分别为
，
，且
，
，
故两切线方程为
，
，
即
，
，
与
存在公切线，所以
有解，消去
后得：
，
令
，
，
易得
在
上单调递增，且
时，
；
时，
，
故
在区间
上递减，在
上递增．
所以
，
的最小值为
，即
的最小值为
，即实数
的最小值为
．
故选：B
解题技巧
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标
的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【举一反三】【变式1】（2025·湖南·三模）若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，
则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【分析】解法一：先对
求导得
，设与直线
切点为
，写出切线方程，根据直
线
得到关于
和
的方程组，求出
.
再对
求导，设其与直线
切点为
，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，
求出
.
解法二：设两条曲线的切点分别为
，
，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，
求解得到
，
，再同理求出
，进而得到
.
【详解】解法一：令
，
，则
，
设直线
与
的切点为
，
则切线方程为
，即
，
又因为
，所以
，解得
，
，所以切线方程为
，
令
，则
，
设直线
与
的切点为
，所以
①，
又因为切点
在直线
上，所以
，即
②，
由①和②可得
，所以
，解得
．
解法二：设切点分别为
，
，
．∴
，
．
同理
．∴
，∴
，∴
．
故选：B．
【变式2】（2025·河北·模拟预测）若函数
与
的图象有两条公切线，则实数
的取值范
围是 .
【答案】
【分析】由题设公切线分别切
，
于点
，由题可得
，据
此可将问题化简为
有两解，据此可得答案.
【详解】设公切线分别切
，
于点
.
则有以下关系式：
①，
②
由①得：
代入②式变形得：
，又
.
令
，原命题化为：
有两解.
，令
，
则
，
为
上的减函数.
又注意到
，则在区间
上，
，
在区间
上递增，
结合
，
，则此时
值域为
；
在区间
上，
，
在区间
上递减，
结合
，则此时
值域为
.
则当
时，存在
，使
.
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·山东聊城·三模）已知函数
.
(1)若曲线
与
有一条斜率为2 的公切线，求实数
的值；
(2)设函数
，讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）先利用导数的几何意义求出函数
的切线，再与抛物线联立，判别式法求解参数；
（2）求导函数，根据
、
、
分类讨论，即可求出函数的单调区间.
【详解】（1）由
得
，设公切线与曲线
的切点坐标为
，
由已知得
，解得
，
所以公切线方程为
，即
，
由
得
，
由已知得
，解得
.
（2）由已知
，则
，
当
时，
，令
，得
，令
得
，
这时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，令
，得
，令
得
，
这时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
得
或
，
，
①当
时，
，这时
在
上单调递减；
②当
时，
，令
，得
，
令
得
或
，
这时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
③当
时，
，令
，得
，
令
得
或
，
这时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
综上，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
【题型四】多切线问题
【例4】（2022·河南洛阳·三模）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【分析】设切点为
，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点
建立方程，求得切
点的个数即为切线的条数.
【详解】设切点为
，由
，所以
，得
，
所以切线方程为
，即
．
因为切线过点
，所以
，解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条.
故选：C
【举一反三】【变式1】（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切
线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.
【详解】由
，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为
，且
若
，则
恒成立，不符合题意，可排除A 项；
所以
，此时易知
单调递增，
要满足题意则需
.
故选：D
【变式2】（2025·黑龙江·模拟预测）若过点
可作出曲线
的三条切线，则
的取值范围是
【答案】
【分析】由导数法得过
的切线方程为
，由过点
可作曲线
的三条切线得
有3 个不等实根，令
，由导数法讨论单调性与极值，由数形结合得出范围即可.
【详解】
，则过
的切线为
，即
.
由过点
可作曲线
的三条切线得
有3 个不等实根.
令
，
，由
得
或
.
当
或
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减；
故当
时，函数
取得极大值为
；当
时，函数
取得极小值为
.
要使
有3 个不等实根，则
，即得
，即所求m 的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·山东威海·三模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，若曲线
有三条过点
的切线，求
的取值范围；
(3)设
为非负实数，
为正实数，若
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，通过
和
讨论函数单调性，即可求解；
（2）设切点为
，求的切线方程，代入
，问题转换成方程
有三个根，构
造函数
，则
有3 个零点，进而求解即可；
（3）不妨设
，通过
或
时，或
，三种情况分类讨论即可.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，所以
无极值；
当
时，令
，解得
，所以
在
上单调递增，
令
，解得
，所以
在
上单调递减，
所以
的极大值为
，
综上可知，当
时，
无极值；
当
时，
的极大值为
，无极小值．
（2）设切点为
，因为
，
所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
整理得
，
因为曲线
有三条过点
的切线，
所以关于
的方程
有3 个解，
令
，则
有3 个零点，
因为
，
令
，解得
，所以
在
上单调递增，
令
，解得
，所以
在
上单调递减，
所以
，可得
，
所以
（3）不妨设
，
当
时，左边
，右边
，所以左边
右边，
当
时，左边
，右边
，所以左边=右边，
当
时，
因为s，t 为正实数，
，所以
，
要证
，即证
，即证
，
即证
，
令
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以当
时，
，所以
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，
所以
，所以
，即
，
综上可知，
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
好题必刷
【答案】A
【分析】由奇函数性质可知，函数的定义域关于
轴对称，求得
，进而通过导数公式计算可得结果.
【详解】易知
的定义域为
．
因为函数
为奇函数，所以
，显然
是奇函数，满足题意，
所以
，故
，
故选:A．
2．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求
，进而求
，即切线方程为
即可求解.
【详解】由题意有
，
所以切线方程为
，即
，
故选：C.
3．（2024·宁夏银川·二模）已知点
不在函数
的图象上，且过点
仅有一条直线与
的图象
相切，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线和曲线相切得到
，结合导数及函数零点的个数可得答案.
【详解】点
不在函数
的图象上，
则
，即
，
设过点
的直线与
的图象相切于
，
则切线的斜率
，整理可得
，
则问题可转化为
只有一个零点，且
，
令
，可得
或
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
即当
时，
有极大值，当
时，
有极小值，
要使
仅有一个零点，
或
故选：B
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，
则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】求导可得
，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
则
，
因为曲线
在点
处的切线与直线
平行，
且直线
的斜率为
，即
，解得
.
故选：A
5．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，若曲线
与
有两条公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助
导数求出范围.
【详解】设公切线与曲线
、曲线
相切的切点分别为
，
而
，依题意，
，则
，因
，则
，
消去
得
，令函数
，
由曲线
与
有两条公切线，得函数
有两个不同的正零点，
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，
，
而当从大于0 的方向趋近于0 时，
，当
时，
，
则当且仅当
，即
时，函数
有两个不同零点，
所以
的取值范围是
.
故选：C
二、多选题
6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线
与
存在公切线，则正实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将
用
表示，再构造函数解决函数最值即可．
【详解】设切线与两曲线
与
的切点分别为
，
，
由
，得
，由
，得
，
则两切线方程分别为
与
，
化简得
，
又两条切线为同一条，可得
，得
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
，∴
所以实数
的取值可能是1，，
．
故选：ABD.
7．（2025·河北保定·一模）已知曲线
，则（ ）
A．直线
与曲线
相切
B．若直线
与曲线
相切，则
C．当曲线
与曲线
都相切时，
D．当
时，若过原点可作曲线
的两条切线，则
或
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义可得.
【详解】选项A：联立
和
2，得
，
所以直线
与曲线
相切，故A 正确；
选项B：由
，得
，由
，得
，故B 错误；
选项C：由
，得
，令
，得
，
则
，所以切线方程为
，即
，则
，
令
，得
，则
，
所以切线方程为
，即
，则
，
所以
，故C 正确；
选项D：当
时，
，令
，
则
，设过原点的直线与曲线
切于点
，
则切线方程为
，
将原点
代入得
，整理得
，
则
，解得
或
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
的直线与曲线
相切，则与直线垂直
的直线为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为
，即可表示出切线方程，再将
代入方程，即可得到关
于
的方程，解得
，从而求出切线的斜率，再一一判断即可.
【详解】
，则
，
设切点坐标为
，则
，所以切线方程为
，
又切线过点
，所以
，
即
，故
，解得
或
，
所以直线的斜率为
或
，
对于A：直线
的斜率为
，符合题意，故A 正确；
对于B：直线
的斜率为
，不符合题意，故B 错误；
对于C：直线
的斜率为
，不符合题意，故C 错误；
对于D：直线
的斜率为
，符合题意，故D 正确；
故选：AD
三、填空题
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设
，若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线，则
．
【答案】
/0.5
【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对
求导，根据斜率值和切点的函数值求出
的值.
【详解】因为
，所以
.
所以曲线
在点
的切线方程为：
.
因为
，设曲线
与该切线的切点为
.
所以
，所以
，即
.
又
，
所以
.
故答案为：
.
10．（2025·山西忻州·模拟预测）记函数
的导函数为
，若
，则
．
【答案】
/
【分析】首先求函数的导数，再代入自变量，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
．
故答案为：
11．（2025·四川巴中·三模）已知函数
，若函数
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】应用导数的几何意义求切线方程.
【详解】求导得
，则
，又
，
所以切线方程为
，整理得
.
故答案为：
四、解答题
12．（2025·重庆·二模）已知函数
在
时取得极值.
(1)求函数
的单调性；
(2)已知点
，求过点
且与曲线
相切的切线条数.
【答案】(1)函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
(2)2
【分析】（1）求出函数
的导数，由给定的极值点求出
，进而求出函数的单调性.
（2）设出切点坐标，求出切线方程，由经过的点确定解的个数即可.
【详解】（1）函数
，求导得
，由
在
时取得极值，
得
，解得
，
，
当
或
时，
；当
时，
，则
为
的极值点，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知，
，设切点为
，
则切线方程
，而切线过点
，
由
，整理得
，解得
或
，
所以过点
且与曲线
相切的切线有2 条.
13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，写出曲线
的两条相互垂直的切线方程，并说明理由．
(2)设
，当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求曲线
在点
处的切线方程，进而求得另一条切线方程；
（2）令
，即当
时，
即可，利用导数研究单调性，验证
即可求解.
【详解】（1）两条切线方程可以是
，
（答案不唯一）．
理由如下：当
时，函数
的定义域为
，
，
令
，
，
，曲线
在点
处的切线方程为
；
由题意，另一切线与直线
垂直，则其斜率为-1，
令
，解得
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，整理得
．
（2）令
，由题意，当
时，
．
，由
，得
或
，
若
，则
，当
时，
，
单调递增，
，不合题意；
若
，则
，
单调递减，
，不合题意；
若
，则
，当
时，
，
单调递减，此时只需
，解得
，满足题意．
综上，
的取值范围为
．
14．（2025·河北·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
是
的极小值点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导，可得
，进而分
，
进行讨论求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
则
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）由
，
则
，
当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
取得极大值，不满足题意；
当
时，令
，等价于
，
解得
或
，
当
，即
时，
，
此时函数
在
上单调递增，无极值，不满足题意；
当
，即
时，
令
，得
或
；令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
取得极大值，不满足题意；
当
，即
时，
令
，得
或
；令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
取得极小值，满足题意.
综上所述，a 的取值范围为
．
15．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数
，
．
(1)当
时，求
在
上的值域；
(2)证明：曲线
与
在点
处存在公切线.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）当
时，则
，通过求导判断函数的单调性，即可求解；
（2）根据导数的几何意义，分别求出
与
在点
处得切线方程，即可证明.
【详解】（1）若
，则
，得
，
令
，解得
，
所以当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以当
时，
有最大值，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上的值域为
．
（2）证明：由
，得
，则
，
又
，故
在点
处的切线方程为
．
同理，由
，得
，则
，
又
，故
在点
处的切线方程为
，
所以
与
在
处存在公切线
．
