3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、导数定义与几何意义....................................................................................................................3
二、导数的计算....................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：导数的运算............................................................................................................................6
题型二：求切线方程............................................................................................................................9
题型三：以值代参解决切线问题...................................................................................................... 11
题型四：利用切线方法解决距离最值问题......................................................................................14
题型五：切线条数..............................................................................................................................18
题型六：切线问题之弦长问题..........................................................................................................22
题型七：公切线问题..........................................................................................................................27
题型八：切线新定义问题..................................................................................................................32
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................41
05 数学思想方法.................................................................................................................................43
①数形结合..........................................................................................................................................43
②转化与化归......................................................................................................................................46
③分类讨论..........................................................................................................................................47
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................50
基础过关篇..........................................................................................................................................50
能力拓展篇..........................................................................................................................................64
1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2、通过函数图象，理解导数的几何意义.
3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
一、导数定义与几何意义
1、①函数
从
到
的平均变化率为：
.
变式：
.
②函数
在
处附近的平均变化率为：
.
③平均变化率的几何意义：割线的斜率；
平均变化率的物理意义：平均速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间
的函数）.
2、函数
在
处的瞬时变化率（导数）：
.
几何意义：切线的斜率；
物理意义：瞬时速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间
的函数）.
变
式
：
①
，
②
，
③
3、导数的几何意义：函数
在
处的导数
就是曲线
上的点
处切线
的斜率
即
，因此切线方程是：
.
二、导数的计算
1、基本初等函数的导数公式：①若
，则
，简记为
为常数)
②若
，则
，简记为
③若
，则
，简记为
④若
，则
，简记为
⑤若
，则
，简记为
⑥若
，则
，简记为
⑦若
，则
，简记为
⑧若
，则
，简记为
2、和差积商法则：①
；②
；
③
；④
．
3、复合函数的求导法则：
复合函数
的导数与函数
，
的导数间的关系是
常用二级结论
1、切线问题
(1)在某点的切线方程
思路：函数
在点
处的切线方程为：
，关键
(2)过某点的切线方程
思路：设切点为
，则斜率
过切点的切线方程为
，又因为切线方程过点
所以
然后解出
的值带入切线方程即可．（
有几个值，就有几条切线）
过点
与在点
处的区别
在点
处的切线指的是
为切点的切线．
过点
的切线是指切线过点
，点
是否切点均可，切线可多条．
(3)公切线问题
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，求公切线
思路：设直线
与
和
的切点分别为
和
，
写切线
，
，
化斜截：
，
斜率相等，截距相等：
两个方程解两个未知数，解出
，
带入所写切线即可．
(4)切线求参
①已知切线的斜率
，则由
，可求出切点坐标．
②若
在点
处的切线过点
，则
．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．
题型一：导数的运算
【典例1-1】（2025·江苏盐城·三模）若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
所以
，
则
.
故选：C.
【典例1-2】已知函数
，其中
，此函数在区间
上的平均变化率为3，则实数
的
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题意，函数
在区间
上的平均变化率为：
，
所以
.
故选：B.
【解题总结】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法
则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【变式1-1】（2025·高三·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体
积相等，若容器内水面的高度
与注水时间
的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据函数图象可知，随着注水时间
的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度
的增加量越
来越大，即
的变化率逐渐增大，
故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C 中容器符合要求.
故选：C.
【变式1-2】求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
．
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
（5）
．
【变式1-3】求下列函数的导数.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【解析】（1）
.
（2）
（3）
（4）
，
由
，
.
【变式1-4】已知函数
满足
,求
的解析式
【解析】
，
令
得：
，故
，
故
，令
得
，
故
，
故
.
题型二：求切线方程
【典例2-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数
，则曲线
在点
处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求导得：
，则
，
又因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，
则与
轴相交于点
，与
轴相交于点
，
所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为
，
故选：C.
【典例2-2】（2025·甘肃白银·二模）已知函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意有
，
所以切线方程为
，即
，
故选：C.
【解题总结】
理与切
有关的
，关
是根据曲
、切
、切点的三个关系列出参数的方程：
处
线
问题
键
线
线
①切点
的
数是
处
导
切
的斜率；
线
②切点在切
上；
线
③切点在曲
上
线
.
(2)注意区分“在点P
的切
处
线”与“
点
过
P 的切线”.
【变式2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线
与倾斜角为
且横截距为
a 的直线l 相切，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】倾斜角为
且横截距为a 的直线l 为
，即得
，
曲线
与直线l 相切，
设切点为
，因为
，
所以
且
，
所以
，
所以
，
设
，
因为
，所以
，
所以当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
所以
，所以
所以
，即得
.
故选：B.
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则
的图象在点
处的切线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对
求导：
.
将
代入
中，可得切线的斜率
.
已知切线过点
，斜率为
，根据点斜式方程，可得切线方程为
.
将其化简为一般式：
，
的图象在点
处的切线方程是
.
故选：D.
【变式2-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线
在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积
为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】设函数
，则
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，直线在坐标轴上的截距为
.
故曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
.
故选 ：A
题型三：以值代参解决切线问题
9．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线
是函数
的图象的一条切线，则实数k 的值为
（ ）
A．1
B．
C．e
D．
【答案】A
【解析】
，
，
设切点坐标为
，则
，
消去k，得
，所以
.
故选：A
【典例3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】设直线
与曲线
的切点为
，
对
求导，得
，直线
的斜率为1，
导数的几何意义知，在切点处
，即
．
又切点
既在直线上又在曲线上，
且
，即
．
将
代入
，得：
，即
．
故选：A
【解题总结】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【典例3-2】（2025·河南郑州·三模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，
设直线
与曲线
相切于点
，则
且
，
解得
，所以
，从而得
，所以
，
设
，
，
令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知曲线
的一条切线的方程为
，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．
【答案】B
【解析】
与
的图象相切，设切点为
，
则
，故
，
由
，即
，将
代入上式，得
，故
.
故选：B.
【变式3-2】若曲线
在点
处的切线斜率为3，则a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．1 或
【答案】D
【解析】
，当
时，
，解得：
或
.
故选：D
【变式3-3】（2025·陕西咸阳·三模）若曲线
与曲线
相切，则
的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】当
时，
；
当
时，
.
因为
的定义域为
，
所以两曲线的切点在
上.
对
求导得
.
因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即
.
解方程
，解得
.
把
代入
得
，所以切点坐标为
.
把切点
代入
得
，即
.
因为
，所以
.
故选：B.
【变式3-4】（2025·广东佛山·一模）若直线
与曲线
相切，则
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】设直线
与曲线
的切点为
.
对
求导，根据
，可得
.
因为直线
的斜率为，由导数的几何意义可知，
在切点处
，即
.
又因为切点
既在直线上又在曲线上，
所以
且
，即
.
将
代入
可得：
，即
.
将
代入
可得：
，
所以当
，
时，
取得最小值为
.
故选：A
【变式3-5】（2025·新疆·模拟预测）已知函数
图象过点
且在该点处的切线的斜率为1，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意有
，
，
又
，即
，
，
，
.
故选：D.
题型四：利用切线方法解决距离最值问题
【典例4-1】（2025·安徽·三模）已知
且
，若定义
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】
设
，
，
，
垂直于直线
，
为垂足，
为抛物线
的焦点，
易得曲线
过点
的切线为
，与之垂直的直线方程为
，恰好通过点
，
所以
.
故选：D.
【典例4-2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
因
，则
，
故曲线
和直线
无交点，
，则
，令
，解得
，
则曲线
上的点
到直线
的距离
，
则
的最小值为
.
故选：A
【解题总结】
利用导数的几何意义求最值问题
【变式4-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小
值为 ．
【答案】
/
【解析】易知点
在函数
上,
设
,化简得
,即
则点
在以
为圆心,半径为1 的圆周上,
如图所示,可知
两点间的最小值,即为点
到圆心
得最小值减去半径即可.
设圆心为
,可知
,
设函数
,求导得
易知
为单调增函数,且
,
所以当
时，
,
在
单调递减, 当
时，
,
在
单调
递增,
在
上有最小值,最小值
,
所以
的最小值为
.
故答案为:
.
【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知
，
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为 .
【答案】
/
【解析】由题意得
的最小值为曲线上点
到直线
距离的最小值，
此时点
就是曲线与直线
相切的切点，
对
求导有
，由
可得
，即
，
故
.
故答案为：
.
【变式4-3】（2025·山西·模拟预测）已知点
，
，定义
为
的
“镜像距离”，若点
在曲线
上，则
的“镜像距离”的最小值为 .
【答案】
【解析】设
，
，
易知函数
的反函数为
，
由点
在曲线
上可知点
在函数
上，
所以
相当于
上的点
到曲线
上点
的距离，
又
与
的图象关于
对称，所以
的“镜像距离”的最小值为点
到
的距离的最小值的2 倍.
由
，得
，令
，解得
，
又点
到直线
的距离
，
所以
的“镜像距离”的最小值为
.
故答案为：
【变式4-4】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得
，即圆心
在
上，半径为
，
故
的最小值等于
的最小值减去半径
，
设
，由于
与
关于
对称，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，
由
，可得
，令
，解得
，
故
在点
处的切线与
平行，此时
到
的距离最小，
最小值为
，
故
的最小值为
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
【变式4-5】（2025·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y 满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
即求曲线
上一点到
距离最小值，
又因为
在直线
上，
所以当切线与直线
平行时，距离取得最小值，
令
，解得
或
（舍去），
当
时，点
到直线
距离为
，
即所求曲线
上一点到
距离最小值为
.
故答案为：
题型五：切线条数
【典例5-1】已知函数
若过点
存在条直线与曲线
相切，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为
.
由题意得
，
所以函数
的图像在点
处的切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
则
，由题意可知，这个方程有三个不等实根.
设
，则
，
由
得
，由
得
或
.
所以函数
在
和
上单调递减，
在
上单调递增，又当
趋近于正无穷时，
趋近于
；
当
趋近于负无穷，
趋近于正无穷，且
，
所以
的大致图象如图，
所以要使直线
与函数
的图象有三个交点，
则
.
故选：C
【典例5-2】（2025·山东潍坊·三模）过点
有
条直线与函数
的图像相切，当
取
最大值时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，故当
时，
，
单调递减，且
；当
时，
，
单调递增，结合图象易得，过点
至多有3 条直线与函数
的图像相切，故
.
此时，设切点坐标为
，则切线斜率
，所以切线方程为
，
将
代入得
，存在三条切线即函数
有三个不同的根，又
，易得在
上，
，
单调递增；在
和
上，
，
单调递减，画出图象可得当
，即
时符合题意
故选：B
【解题总结】
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值，有多少个解对应有多少条
切线．
【变式5-1】（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，
则
的取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
设切点为
，则切线方程
，
而过
，将
代入方程得到
，
令
，
，
令
，
，此时
单调递减，
令
，
，此时
单调递增，
故
有极小值
，有极大值
，
则得到
，故A 正确.
故选：A.
【变式5-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
，且
的图象在
处的
切线与曲
相切，符合情况的切线（ ）
A．有
条
B．有条
C．有
条
D．有条
【答案】A
【解析】函数
的导数为
，
故曲线
在
处的切线l 的斜率为
,切点为
，
可得切线的方程为
.
假设l 与曲线
相切,设切点为
，
，
即有
，
消去a 得
,设
，
则
,令
，则
，令
，则
，
所以
在
上单调递减,在
上单调递增，则
，
当
，
所以
在
有唯一零点
,则
，
而
时,
,与
矛盾，所以符合情况的切线不存在，
故选：A.
【变式5-3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
，直线是曲线
的切线，如果切线
与曲线
有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】B
【解析】函数
，对其求导得
.
设切点为
，则切线斜率为
又
，
所以切线方程为
，
化简得
.
将切线方程和曲线
方程联立得：
整理得
，
因式分解得
，
解得
或
，
因为切线与曲线
有且只有一个公共点，
所以
，解得
，
此时切线方程为
，对应唯一一条满足条件的直线，
故选：B.
题型六：切线问题之弦长问题
【典例6-1】（2025·河南·三模）已知函数
点
，
在曲线
上（
在第一象
限），过
，
的切线相互平行，且分别交
轴于
，
两点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】易知
，设
，则
，
设切线斜率为
，则
，所以
，
设
，则
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
的最小值为
，所以
的最小值为
．
故答案为：
【典例6-2】已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两
条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，
，则
，
所以点
和点
，
,
所以
，
所以
，
所以
，
同理
,
所以
.
故答案为：
【解题总结】
利用导数的几何意义进行转化
【变式6-1】若直线与函数
和
的图象分别相切于点
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，
因为
，
，
所以函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
，
函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
，
因为直线是两函数图象的公切线，所以
，
由①可得
，代入②得
，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
.
故选：C．
【变式6-2】（2025·高三·湖北·期末）已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交
轴于
两点，则
，
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，故
，
所以函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
切线方程为
，
所以
，
当
时，
，
，
所以函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
切线方程为
所以
，
因为函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，、
所以
，即
，
所以
，
，
，
所以
，
由于
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
所以
的取值范围是
故答案为：
；
.
【变式6-3】（2025·高三·江苏无锡·期末）已知函数
，若函数
的图象在点
和点
处的两条切线相互平行且分别交
轴于
、
两点，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】当
时，
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
因为函数
的图象在点
和点
处的两条切线相互平行，
则
，即
，则
，
，
，
所以，
，
令
，其中
，则
，
当
时，
，此时函数
在
上单调递减，
当
时，
，此时函数
在
上单调递增，
所以，
，因此，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式6-4】设函数
，曲线
在点
和点
的两条切线相互
垂直，且分别交
轴于
两点，则
；
的取值范围是 .
【答案】 2
【解析】当
时，
；当
时，
，
依题意可知
，且
，
切线分别是
，
，
故
，
由两切线垂直知
，
；
由两点间的距离公式得
，
，
.
故答案为：
；
【变式6-5】已知曲线
在点
处的切线与
轴相交于点
，曲线
在点
处的切线与
轴相交于点
，
，则
，当
时，
的取值范围是 .
【答案】
【解析】空1：由
，
，则
，
，
又
，即
，故
，
所以
，
空2：令
，则
，
，
所以
，
，
令
得：
，
，
由上结论及函数图象知，在
与
上两曲线所成图形有轴对称关系，
只需研究
，此时
的范围即可，
令
，则
，即
在
上递增，
所以
，即
.
故答案为：
；
.
题型七：公切线问题
【典例7-1】（2025·河北·模拟预测）若函数
与
的图象有两条公切线，则实
数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设公切线分别切
，
于点
.
则有以下关系式：
①，
②
由①得：
代入②式变形得：
，又
.
令
，原命题化为：
有两解.
，令
，
则
，
为
上的减函数.
又注意到
，则在区间
上，
，
在区间
上递增，
结合
，
，则此时
值域为
；
在区间
上，
，
在区间
上递减，
结合
，则此时
值域为
.
则当
时，存在
，使
.
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
【典例7-2】若直线
既与曲线
相切，又与曲线
相切，则
.
【答案】
/
【解析】设
与
和
的切点分别为
，
由导数的几何意义可得
，得
，
再由切点也在各自的曲线上，可得
，联立上述式子解得
，
从而
得出
.
故答案为：
【解题总结】
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横
坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
【变式7-1】已知曲线
与
有公共切线，求实数a 的取值范围是
【答案】
【解析】由题意可知在
上分别存在两个点
，使得
在
处的切线与
在
处的切线
为同一条直线，
因为
，由同一条切线的斜率相等可得
，
由同一条切线的截距相等，可得
，
即
，
将斜率相等的表达式代入可得
，
即方程
在
上有解，
令
，则
，
令
，得
，当
时，
；当
时，
，
且当
时，
；当
时，
，
所以
存在极大值同时也是最大值
，所以
的值域为
，
若方程
在
上有解，则
，
又
，所以
.
故答案为：
.
【变式7-2】（2025·辽宁·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知
，
，
设公切线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
，
，
所以公切线方程为
，
，
即
，
，所以
，
，
所以
，
令
，
，
，
所以
，由
，得
,由
，得
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，且
时，
，
时，
，
所以
．
故答案为：
.
【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线
在点
处的切线与曲线
相切于点
，则
.
【答案】
/
【解析】曲线
在点
处的切线与曲线
相切于点
，
，
∴曲线
在点
处的切线斜率
，
曲线
在点
处的切线斜率
，
∴曲线
在点
处的切线方程为
，
或
，
，即
，
，易知
，
，
.
故答案为：
.
【变式7-4】一条直线与函数
和
的图象分别相切于点
和点
，则
的值为 ．
【答案】-2
【解析】因为
，
，所以
，
，
则
在点
处的切线方程为
，即
；
在点
处的切线方程为：
，即
，
由已知
，由
得
，故
，
故
，解得
，
所以
，因此
．
故答案为：
．
【变式7-5】（2025·安徽黄山·二模）已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，过
分别作曲线
与
的切线
，且与
关于
轴对称，求证:
.
【解析】(1) 求出
，分五种情讨论，分别令
得增区间，
得减区间；（2）根据导数
的几何意义可求出两切线的斜率分别为
，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于
的两个等式，由
其中一个等式求得
的范围，再根据另一个等式利用导数求得
的范围.
试题解析：由已知得
，所以
.
(1)
. ① 若
，当
或
时，
；当
时，
，所以
的单调递增区间为
；
单调递减区间为
. ②若
，当
时，
；当
时，
，所以
的单调递增区间为
；单调递减区间为
. ③ 若
，当
或
时，
；当
时，
，所以
的单调递增区间为
；单调递
减区间为
.④若
，故
的单调递减区间为
.⑤
若
，当
或
时，
；当
时，
，所以
的单调递增区
间为
；单调递减区间为
.
当
时，
的单调递增区间为
；单调递减区间为
.
当
时，
的单调递增区间为
；单调递减区间为
.当
时，
的单调递增
区间为
；单调递减区间为
.
当
时，
的单调递减区间为
；当
时，
单调递增区间为
；
单调递减区间为
,
；
(2)
,设
的方程为
，切点为
，
则
，所以
.由题意知
，所以的方程为
，设与
的切点为
，则
.
又
,即
，令
，在定义域
上，
，所以
上，
是单调递增函数，又
，所
以
，即
，令
，则
，所以
，故
.
题型八：切线新定义问题
【典例8-1】若函数
和
的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该
直线为函数
和
的“隔离直线”.已知
，
，若
和
在公共定义域
上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
【答案】
【解析】
由题意
和
的公共定义域为
，结合大致图象可知，在
上，
.
设直线
，直线与
在
上的图象切于点
，与
在
上的图象切于点
，
，
，则
，
则
，且
，联立解得
，
，
所以公切线的斜率
，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为
.
故答案为：
.
【典例8-2】（多选题）（2025·吉林·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法
——牛顿法．具体步骤如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在横坐
标为
的点处作
的切线
与
轴交点的横坐标为
；用
代替
重复上面过程得到
；一直进行
下去，得到
，使得当
很大时，
很小，我们可以把
的值作为的近似值．已知函数
是函数
的一个零点，取
，则下列说法正确的是（ ）
A．切线的方程为
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】
，
，
，所以切线的方程为
，故A 正确；
令
，得
，
，
，所以
，令
，有
，故B 错误；
在横坐标为
的点处的切线斜率为
，
所以
在横坐标为
的点处的切线方程为
，令
，则
，故C 正确；
因为
在
上恒成立，所以
在
上单调递增．
，则
．
由零点存在性定理可知，
在
上存在唯一零点，且
．
，则
．
．
要证
，只需证
，
只需证
，即证
，
，
成立．
，故D 正确．
故选：ACD.
【解题总结】
数形结合处理
【变式8-1】已知曲线
：
，第一象限内的点
和第二象限内的点
都在曲线
上，
且直线
过点
．按照如下方式依次构造点
（
）：过点
作曲线
的切线与
轴交于
点
，过点
作
轴的垂线与曲线
相交于点
，设点
的横坐标为
．用同样的方式构造点
（
），设点
的坐标为
，则数列
的前
项和为 ．
【答案】
【解析】因为第一象限内的点
和第二象限内的点
都在曲线
上，且直线
过点
，
设直线
方程为
，联立方程
消去
得
，
所以
，
由
求导可得
，
由题意可得点
在曲线
上，则
，
过点
的切线方程为
，代入
整理得
，
令
解得
，根据题意可得
，即
，
所以数列
是公比为
的等比数列，同理可得
也是公比为
的等比数列，
所以
，
，所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以数列
的前
项和
，
故答案为：
【变式8-2】（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在
世纪提出的一种用导数求方
程近似解的方法，其过程如下：如图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切线
，
的方程为
.如果
，则
与
轴的交点的横
坐标记为
，称
为的一阶近似值.再过点
作曲线
的切线，并求出切线与
轴的交点
横坐标记为
，称
为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：
、
、
、
，根据已有
精确度
，当
时，给出近似解
.已知函数
，其中
.
(1)当
时，试用牛顿迭代法求方程
满足精度
的近似解；（取
，且结果保
留小数点后第二位）
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线
与
轴正半轴的交点为
，曲线在点
处的切线方程为
，当
时，比较
与
的大小；
（ii）当
时，若关于
的方程
的两个根分别为
，证明：
.（参考数据：
，
时，
）
【解析】（1）当
时，令
，
则
，
曲线
在
处的切线为
，
令
，得
，则
.
，
，
曲线
在
处的切线为
，
令
，得
，则
.
故用牛顿迭代法求方程
满足精度
的近似解为
.
（2）（i）设点
的坐标为
，则
，
，则
曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
令
，即
，则
.
因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
又因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以对任意的正实数
都有
，
即当
时，都有
.
（ii）证明：因为
在
上单调递增，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
在
的极小值点，也是
在
的最小值点，
即
.
又
，所以当方程
有两个根时，
必满足
，且
，
曲线
过点
和点
的割线方程为
.
下面证明：
.
设
，
则
，令
，得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，
，
在
上单调递增，
，
所以当
时，
，即
.
因为
，所以
，解得
①.
曲线
过点
和点
的割线方程为
.
下面证明：
.
设
，
则
，即
在
上单调递增，
，
.
因为
，
所以
，即
，
所以
，即
.
由零点存在性定理可知，存在
，使得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，
，
在
上单调递增，
，
所以当
时，
，即
.
因为
，所以
，解得
②.
由②
①，得
，
即证得
.
【变式8-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Isaac
Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步
骤如下：设r 是函数
的一个零点，任意选取
作为r 的初始近似值，在点
处作曲线
的切线，设与x 轴交于点
，并称
为r 的1 次近似值；在点
处作曲线
的切线
，设
与x 轴交于点
，称
为r 的2 次近似值．一般地，在点
处作曲线
的切线
，记
与x 轴交于点
，并称
为r 的
次近似值．
(1)若函数
，取
作为r 的初始近似值，求r 的2 次近似值；
(2)若函数
，取
作为r 的初始近似值，点
，数列
是由
，
，
，…，
构成的，
记：
，
．回答以下问题：
①请将
的长度用n 表示；
②求证：
．
【解析】（1）由
得，
，又
，得
，
在
处的切线的方程为：
，令
，得到
，
所以
，得到
，所以
，
在
处的切线
的方程为：
，
令
，得到
，故r 的2 次近似值为
；
（2）①由
，得
，
，
，
，得
，
，
同理：在点
处的切线斜率为
，
，将
代入得
，
所以
或
，若
，则
，
，…，
重合，与题设矛盾，故舍去，
，故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，得到
，
由抛物线的定义：
，故
；
②由题意得：
，
由①知：
，
，
，
得
，
而
，
时，
，
得
，故
，
所以
，将
代入，
得
，故命题得证．
1．（2025 年高考全国一卷数学真题）若直线
是曲线
的切线，则
.
【答案】
【解析】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
2．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，
当
时同理可得；
因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
因为
是偶函数，图象为：
所以当
时的切线，只需找到
关于y 轴的对称直线
即可.
①数形结合
1．已知曲线
：
与曲线
在第一象限交于点A，在A 处两条曲线的切线倾
斜角分别为
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设
，
，
解得
或
舍去，则
，
设曲线
在点A 处的切线斜率为
，曲线
在点A 处的切线斜率为
，
由
，得
，
圆：
，
，
则
，即
，
故
，
设
，
，则
，
所以
，
即
，
因为
，
所以
，即
．
故选：
2．过点
有n 条直线与函数
的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点为
，
因为
，
所以切线斜率
，切线方程为
，
又切线过点
，
所以
由于有n 条直线与函数
的图像相切，
所以
有n 个不相等的实根，
令
，则
，
令
得
或
，
当
或
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当x 趋近于
时，
趋近于0，
，
，
当x 趋近于
时，
趋近于
，
所以函数
的图像大致如图，
由图象可知，直线
与
的图象最多有3 个交点，即n 取最大值3，
m 的取值范围为
3．已知函数
，曲线
上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线
垂直，则实数m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
令
，整理得
，由题意得此方程有两个不同的解；
设
，则函数
的图象与直线
有两个交点；
易知
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，其图象如下图所示：
又当
时，
，当
时，
，
当x 趋近于
时，
趋近于0，所以
，解得
，
即实数m 的取值范围是
故选：
②转化与化归
4．若直线
与曲线
相切，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】
设切点的坐标为
，
由
，得
，
则
，即
，
则
，
则
，
则
当
时，
的最小值为
故选
5．若过点
可以作曲线
的两条切线，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设切点为
根据两点之间斜率和导数的几何意义，
易知
，整理得：
有两解，
令
，
，易知
最大值为
即
，
解得
，
又因为当x 趋近正无穷时
，
当x 趋近负无穷时，
趋近
，则
综上，
故选
6．若
是
的切线，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为
，所以
，设切点为
，则
，
，可得
，
，
令
，求导可得
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
所以当
处取得最小值，且为
，
即
，
故选：
③分类讨论
7．已知函数
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数a
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
函数
的导数为
，
可得在点
处的切线的斜率为
，
则切线的方程为
，即
，
由切线
与曲线
只有一个公共点，
可得当
时，由
，解得
，成立；
当
时，可得
，即
有两个相等的实数根，
即
，解得
或9，
综上，可得
故选：
8．已知
，使得命题“曲线
在点
处的切线与曲线
没有公共点”成立的
一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为
，
所以
，
则曲线
在点
处的切线斜率
，
由点斜式得切线方程为
，即
，
联立
，得
，
因为切线
与曲线
没有公共点，
所以方程
没有实数解，
当
时，方程
有唯一解，不满足题意，
当
时，
，可得
综上所述，
，
由
，符合题意．
故选
9．直线
是曲线
和
的公切线，则
A．
B．0
C．0 或
D．
【答案】C
【解析】
对于
，求导得
，设切点为
，
则在该点处的斜率为
，
则切线方程为
，即
，
对于
，求导得
，设切点为
，
则在该点处的斜率为
，
则切线方程为
，即
，
因为
是公切线，
所以
，即
，
所以
，即
，所以
，
即
或
，解得
或
，
当
时，此时
，
，所以
；
当
时，此时
，
，所以
，
所以
或
，
故选：
基础过关篇
1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线与C 交于M，N 两点，C
在M，N 两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF 中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设
，
，
，
由
可得
，则
，
于是
在点
处的切线方程为
，
又
，化简方程得
，
同理得C 在点N 处的切线方程为
，
又两切线交于点
，故得
，
即点
，
都在直线
上，也即直线MN 的方程为
，
因为点
在直线MN 上，代入得
，得
，故线段PF 的中点为
，
故选项中可以为线段PF 中点是
.
故选：A
2．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线
形成的
空隙（如图），曲线
可以近似看作函数
的图象，要使圆珠通过空隙，则圆
珠直径的取值范围应为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
与
的图象关于直线
对称，
设与直线
平行，且
相切的直线方程为
，切点为
，
设与直线
平行，且
相切的直线方程为
，切点为
，
由
解得
，可得
，
由
解得
，可得
，
则
，
则圆珠直径的取值范围应为
.
故选：A.
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【解析】设直线与
相切于
，
则直线：
，
直线与
相切于
，
则直线：
，
因为曲线
与
有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故
，
则
.
令
，
，
则
在
单调递增，且
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，于是有
，
即
.
故选：D.
4．（2025·云南·模拟预测）若存在
，函数
与
的图象在公共点处的切线相同，
则b 的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题意有：设切点为
，
所以
，所以
，解得
，
，
令
，所以
，
令
有
，由
有
，
有
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，所以
，故b 的最大值为1.
故选：A.
5．（2025·湖南·三模）若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，则实数a
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【解析】解法一：令
，
，则
，
设直线
与
的切点为
，
则切线方程为
，即
，
又因为
，所以
，解得
，
，所以切线方程为
，
令
，则
，
设直线
与
的切点为
，所以
①，
又因为切点
在直线
上，所以
，即
②，
由①和②可得
，所以
，解得
．
解法二：设切点分别为
，
，
．∴
，
．
同理
．∴
，∴
，∴
．
故选：B．
6．（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设公切线与函数
及函数
的切点分别为
，
，且
，
，
故两切线方程为
，
，
即
，
，
与
存在公切线，所以
有解，消去
后得：
，
令
，
，
易得
在
上单调递增，且
时，
；
时，
，
故
在区间
上递减，在
上递增．
所以
，
的最小值为
，即
的最小值为
，即实数
的最小值为
．
故选：B．
7．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数
，则曲线
在点
处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
8．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，
所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故选：C
9．（多选题）（2025·山东·三模）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则（ ）
A．当
时，
B．函数
有2 个零点
C．函数
在点
处的切线方程为
D．
，都有
【答案】ACD
【解析】对于A，当
时，则
，
,因为
是定义在R 上的奇函数,所以
，故A 对.
对于B，
时，令
,解得
，由
是定义在R 上的奇函数，所以
时
，又
；故函数
有3 个零点，故B 不对.
对于C，对
求导得
，
所以
，故所求切线为
，即
，所以C 对.
对于D，当
时，
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，当
时，
，函数
在
上单调递减，
且当
时，
，
时，
所以
由
是定义在R 上的奇函数，故当
时，
，因此对
，都有
，故D 对.
故选：ACD.
10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，则（ ）
A．函数
仅有一个零点
B．若函数
在点
处与x 轴相切，则
C．
D．若
为增函数，则
【答案】BCD
【解析】由题意得
的定义域为
，
．
函数
在点
处与x 轴相切，则
，得
，故B 正确；
当
时，
，
，
函数
在
上单调递增，则
，
则
，即
，故C 正确；
若
为增函数，则
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，
在
上恒成立，
即
（当且仅当
时取等），解得
，故D 正确；
令
，则
，解得
或
，
若
，
，
，易知
均大于0，则
在
上有两个零点
，
不妨设
，则
，易知
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
时，
，此时函数
有三个零点，故
A 错误．
故选：BCD
11．（2025·福建福州·模拟预测）已知曲线
在A，B 两点处的切线垂直于y 轴．若直
线AB 的斜率为
，则实数c 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由函数
，可得
，
令
，可得
，设
,
则
，可得
，
故
，
化简得：
，
所以
，解得
，所以实数的取值范围为
.
故答案为：
12．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～
1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为
的点
处作
图象的切线，该切线与
轴的交点的横坐标为
；在横坐标为
的点处作
图象的切线，该
切线与
轴的交点的横坐标为
；一直继续下去，得到
，它们越来越逼近
的
零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
，
近似值相等时，该值可作为函数
的一个零
点．用“牛顿法”求方程
的近似解，可以构造函数
，若
，则用牛顿
法得到的近似值
约为 ．（结果保留两位小数）
【答案】
【解析】由
，
，
，
，
所以在
处的切线方程为：
．
令
，得
，
可得
，
，
所以在
处的切线方程为：
，
令
，得
.
故答案为:
．
13．（2025·广东·三模）若函数
是偶函数，
是奇函数，已知存在点
，
，使函数
在
、
点处的切线斜率互为倒数，那么
.
【答案】
【解析】函数
是偶函数，
可得
，
即有
，①
是奇函数，
可得
，
，
即为
，②
由①②可得
，
，
，使得函数
在点
，
处的切线斜率互为倒数，
可得
，
可得
，
即为
，
即为
，即有
，
可得
，
，
.
故答案为：
.
14．（2025·上海杨浦·三模）若
有唯一解，则
的范围是
【答案】1
【解析】因为
有唯一解，
所以
的图象上只有一个点在直线
上或者在直线下方，
直线
过定点
，
画出
的图象上与直线
的图象如图，
由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；
当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；
当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，
设切点坐标为
，因为
，
所以
，
故答案为：1.
15．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线
在
处的切线与直线
平行，则
．
【答案】1
【解析】函数
的定义域为
，由已知
，故
，
函数
的导函数
，所以
，
因为函数
在
处的切线与直线
平行，
所以
，所以
，经验证，此时满足题意．
故答案为：1
16．（2025·天津北辰·三模）设函数
，若存在唯一的整数
，使得
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】存在唯一
使
的整数解唯一，
令
，则有
有解，而绝对值不等式知
，
当且仅当
同号时等号成立，故此时
异号，
，
图象如下所示：
①当
时，
，即
有唯一整数解，
（i）若
，知
过定点
，
，
令
与
相切，切点为
，其中
，
，
易得
，即
，解得
，
时，
无解.
时，若使
有唯一解，而
，故该解只能为
或
，
若解为
，则有
，即
，解得
，如图2 所示，
若解为
，有
，即
，无解，故舍去.
（ii）若
，知整数解为
，此时有
，即
，解得
，
②当
时，
，即
有唯一整数解，由图（1）中①知该整数解为
，
此时有
，即
，解得
，即
.
综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
.
17．（2025·河南·模拟预测）已知对于
，过点
可作曲线
的3 条不同的切线，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为
，则
，即
，
整理得
，令
，
依题意，函数
有3 个不同的零点，求导得
，当
时，
，
在
上单调递减，值域为
；
当
时，
，
在
是单调递增，值域为
；
当
时，
在
上单调递减，值域为
，
由函数
有3 个零点，得
，即
，
解得
，又
，则
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
18．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线，则
.
【答案】
【解析】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
19．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
【答案】
【解析】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
20．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
【解析】（1）由题意知，
，
，
，则
在点
处
的切线方程为
，
即
，设该切线与
切于点
，
，则
，解得
，则
，解得
；
（2）
，则
在点
处的切线方程为
，整理得
，
设该切线与
切于点
，
，则
，则切线方程为
，整
理得
，
则
，整理得
，
令
，则
，令
，解得
或
，
令
，解得
或
，则
变化时，
的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则
的值域为
，故
的取值范围为
.
能力拓展篇
21．（2025·山东德州·三模）已知曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
．
【答案】
【解析】因为
和
互为反函数，其图象关于直线
对称，
且反比例函数
的图象也关于直线
对称，
可知点
关于直线
对称，
设
，则
，
设
，则
，
由题意可得：
，解得
或
(舍去)，
可得
，代入
可得
，所以
．
故答案为：
．
22．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
为奇函数，且当
时，
取得极小
值
，过点
至少能作出曲线
的两条切线，且
恒成立，则实数
的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
为奇函数，
所以
，解得
，
所以
，
.
因为当
时，
取得极小值
，
所以
，即
，
即
，即
，解得
，
此时
，
经验证可得
在
处取得极小值，符合题意，
所以
.
设过点
的切线与
切于点
，
因为
，
所以切线方程为
，即
,
所以
，即
.
由题意可得方程
至少有两个不等的实数根.
设
，
则
.
令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增,
且
时，
；
时，
.
要方程
至少有两个不等的实数根，
则
，且等号不同时成立.
由
，可得
，
故
，
所以
恒成立.
因为
恒成立，所以
恒成立.
由
，可得
，所以
恒成立.
设
，
所以
.
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以
.
又
时，
，
所以
，所以
，
故实数
的取值范围为
.
故答案为:
.
23．（2025·河北·模拟预测）已知P 是曲线
上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H，Q 是曲
线
上任意一点，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】如图，
设抛物线的焦点为F，则
，由抛物线的定义知
，
所以
，当且仅当
三点共线时，等号成立，
设
，则
，令
，
则
，由复合函数单调性知，
在
上单调递增，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
，所以
的最小值为
.
故答案为：
24．（2025·安徽·模拟预测）已知点
不在函数
的图象上，且过点
有三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】点
不在函数
的图象上，则
，即
，
设过点
的直线与
的图象相切于
，
则切线的斜率
，整理可得
，
则问题可转化为
有三个零点，
且
，令
，可得
或
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
即当
时，
有极大值，当
时，
有极小值，
要使
有三个零点，
则
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
