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函数的概念及其表示
2-1
1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
2-1 函数的概念及其表示..........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：函数的概念.......................................................2
考点2：函数的三要素.....................................................2
考点3：函数定义域及其求法...............................................2
考点4：函数值域及其求法.................................................2
考点5：函数的表示法.....................................................3
考点6：函数解析式的求解及常用方法.......................................3
考点7：分段函数.........................................................3
【常用结论归纳】.........................................................4
二、分类题型................................................................5
题型一 函数的定义域......................................................5
命题点1 具体函数的定义域............................................5
命题点2 抽象函数的定义域............................................5
命题点3 复合函数的定义域............................................6
命题点4 已知函数的定义域求参数......................................7
题型二 函数的解析式......................................................9
题型三 分段函数.........................................................11
三、课堂总结：知识图谱.....................................................16
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................17一、主干知识
考点1：函数的概念
A B f A x B y
一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中唯一确定的
A B A B x→y=f(x)
与之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数.记作： ，
¿ ¿
x∈A A D x∈A¿¿ C
.集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合 ， 叫做值域，记为 .
考点2：函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
考点3：函数定义域及其求法
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
⑤已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域；
⑥指数为零时，底数不为零；
⑦实际问题中函数的定义域。
考点4：函数值域及其求法
函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析
能力和数学建模能力．
考点5：函数的表示法
1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．
2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之
满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．
3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．
图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质．
考点6：函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
考点7：分段函数
分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，
可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此
函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．
【解题方法点拨】
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解
决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．
【常用结论归纳】
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并
集，值域等于各段函数的值域的并集．二、分类题型
题型一 函数的定义域
命题点1 具体函数的定义域
【例题精析1】 （2023·广东梅州·统考二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】集合 ，即 ，
，则 ，所以 .故选：B
【例题精析2】 （2023·上海普陀·统考二模）函数 的定义域为______．
【解答】 ， ， 或
所以定义域为： .故答案为：
命题点2 抽象函数的定义域【例题精析3】 （2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则
函数 的定义域是________ .
【解答】解：因为函数 的定义域是 ，即 ，所以 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，即函数 的定义域为 ，
故答案为：
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
___________.
【解答】因为 ，所以 ，所以 的定义域为 ，
要使 有意义，需满足 ，解得 .故答案为：
命题点3 复合函数的定义域
【例题精析5】 函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解答】由已知可得 ，解得 ，
当 时，解得不等式组 ，所以函数的定义域为 .故选：A.【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是_______．
【解答】令 ，
则 ，
在 上单调递增， ， ， ，
的定义域为 .故答案为： .
【点睛】思路点睛：已知 的定义域，求解 定义域的基本思路为： 的值域即为 的定
义域.
命题点4 已知函数的定义域求参数
【例题精析7】 （2023·北京延庆·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围
是_______．
【解答】由 ，可知 ，解得 ，故答案为： .
【例题精析8】 （2022·全国·高三专题练习）对于函数 ,其中 ,若 的定义域与值域相
同,则非零实数a的值为______________.
【解答】函数 ，其中
若 ，由于 ，即 ，∴对于正数b， 的定义域为: ，
但 的值域 ，故 ，不合要求.
若 ，对于正数b， 的定义域为 .
由于此时 ，故函数的值域 .
由题意，有 ，由于 ，所以 .
故答案为：﹣4
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.
（1）求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
（2）求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
【对点精练1】 （2023·陕西渭南·统考二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】函数 有意义，则有 ，即 ，可得 ，由不等式 ，解得
，可得 ，则 .故选：B.
【对点精练2】 （2023·山东聊城·统考模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解析：由题意得 ， ，
所以 ，故选：C．
【对点精练3】 （2023·江西九江·统考二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】由 ，或 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故选：A
【对点精练4】 （2021·陕西渭南·统考二模）函数 的定义域为__________.
【解答】函数 的定义域为
，解得： .故答案为： .
【对点精练5】 （2023·河南郑州·统考二模）若函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． B． C． D．
【解答】由图象知， 的两根为2，4，且过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，故选：A
题型二 函数的解析式
【例题精析9】 （2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】对于 ，令 ，则 ，所以， ，
因此， .故选：C.
【例题精析10】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 是一次函数，且 恒成立，则
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】设 ， ，
则
因为 恒成立，所以 且 ，解得 ，
所以 ，即有 .故选：D.【例题精析11】 若 对于任意实数 都有 ，则 __________.
【解答】解： 对于任意实数 都有 ，
，解得 ， ．
故答案为： ．
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
【对点精练6】 若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，
所以 .从而 ，当 时， 取得最小值，且最小值为 .故选：
D
【对点精练7】 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；② ；
③任取 ， ， ， ．
【解答】由题设， 在 上单调递增且为偶函数， ，结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知： 或 等符合要求.
故答案为： （答案不唯一）
【对点精练8】 若 ，则 ________.
【解答】设 ， ，则 ，所以 ， ，
令x=t，所以 ，故答案为：
题型三 分段函数
【例题精析12】 （2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【解答】由分段函数知：当 时，周期 ，
所以 ，
所以 ．故选：A
【例题精析13】 （2019·天津·高考真题）已知函数 若关于 的方程
恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，
或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求．即 ，即 ，
或者 ，得 ， ，即 ，得 ，
所以 的取值范围是 ．故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此
法．
【例题精析14】 （2023·福建漳州·统考三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且
，则 _________.
【解答】由函数 是定义在 上的奇函数，则 ， ，由
，则 .
故答案为： .
【例题精析15】 （2022·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则实数 的取值范围为
______．【解答】 在 上单调递增，
∴ ，当 时， ，此时
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ，若函数 有最小值，
则 ，即 ，故答案为
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的范围，利用导数法和数形结合判断函数的取值范
围是解决本题的关键．
【例题精析16】 （2022·全国·高三专题练习）若函数 （ 且 ）的值域为 ，
则 ________；实数 的取值范围为________.
【解答】因为 ，所以 .当 时， 是减函数，所以 .若 ，
函数 是减函数，显然当 时， ，不符合题意；若 ，函数 是增
函数，所以 ，要想函数 的值域为 ，只需 ，即
，所以 ，实数 的取值范围为 .
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要代入检验．【对点精练9】 （2023·青海西宁·统考二模）已知 ，若 ，则实数 的值
为（ ）
A． B． 或 C． D．不存在
【解答】由题意， ， ，即 .
当 ，即 时， ，解得 ，满足题意；
当 ，即 时， ，解得 ，满足题意.
所以 或 .故选：B.
【对点精练10】 （2023·山西·统考模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”
它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 ，则下列实数不属
于函数 值域的是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】由题意可知
所以 ， ， ，而 无解.
故选：C.
【对点精练11】 （2023·江西上饶·统考一模）若函数 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【解答】由函数 得 ，
.故选：A.
【对点精练12】 （2023·福建·统考模拟预测）已知函数 .若 ，则a的
取值范围是___________.
【解答】当 时， 恒成立；
当 时，此时应有 ，即 .
令 , ，则 .
设 ，则 恒成立，
所以 ，即 单调递增.
又 ，则要使 在 上恒成立，
应有 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
又 时， ，所以 ；
当 时，此时应有 ，即 .
令 ，则 .
令 ，则 恒成立，
所以 ，即 单调递减.又 ，则要使 在 上恒成立，
应有 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
因为， 在 上单调递减，所以 ，
所以 .
综上所述，a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：当 时， ，根据 ，可推得要使 在 上恒
成立，应有 在 上恒成立，进而推得a的取值范围.
【对点精练13】 （2023·陕西·统考二模）已知函数 ，则 的解集为________．
【解答】因为当 时， ，当 时， ，
所以 等价于 ，此时 ，即 ，解得 ，
所以 的解集为 ,故答案为：
【对点精练14】 （2023·全国·高三专题练习）设函数 则满足 的x的取值范围
是______．【解答】函数 的图象如图所示，
满足 可得 或 .解得 .故答案为： .
三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•海南一模）函数 的定义域为
A． ， B． ， ， C． ， D． ，
【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得 且 ．
函数 的定义域为 ， ， ．
故选： ．
2．（2022•临潼区一模）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ，
由 ，得 ，
则 ．故选： ．
3．（2022•海淀区校级模拟）若函数 ，则函数 的值域为
A． ， B． ， C． ， ， D．
【解答】解： 时， ； 时， ，
的值域为： ．
故选： ．
4．（2022•丰台区校级三模）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由 时， ， ，
当 时， ，
分两种情况：
（1）当 时， ，
所以只需 ，得 ，即 ；
（2）当 时， ，
所以只需 显然成立，得 ．
综上， 的取值范围是 ， ．
故选： ．
5．（2022•赤峰一模）已知函数 ，若 （a） ，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，函数 ，则 ，则 ，
则有 ，
又由 （a） ，则 ；
故选： ．
6．（2021•浙江模拟）函数 的定义域为
A． ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【解答】解：由题意得： ，
解得： 且 ，
故选： ．
7．（2023•东城区一模）函数 的定义域为 ， ．
【解答】解：要使 有意义，则 ，解得 ．
所以原函数的定义域为 ， ．
故答案为 ， ．
8．（2022•北京）函数 的定义域是 ， ， ．
【解答】解：要使函数 有意义，
则 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．9．（2023•鼓楼区校级模拟）设函数 ，若 在区间 ， 上的值域为 ，
，则实数 的取值范围为 ， ．
【解答】解：函数 的图象如图所示，结合图象易得
当 ， 时，
， ．
故答案为： ， ．
10．（2022•漳浦县校级学业考试）函数 的定义域是 ， ， ．
【解答】解：由 ，得 且 ．
函数 的定义域为： ， ， ；
故答案为： ， ， ．
11．（2022•海淀区校级三模）求函数 的值域 ， ， ．
【解答】解： 函数 ，定义域 ，
图象如下：由上图可以知道 或 ，
故答案为： ， ， ；
12．（2022•广南县校级学业考试）函数 的定义域是 ， ．
【解答】解：因为函数 要有意义，
则 且
求出解集为
故答案为 ，
1．（2022•河南模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了
纪念数学家高斯，人们把函数 ， 称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，例如：， ．那么函数 的值域内元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：令 ，
则
，
①当 时， ，
故 ；
②当 时， ，
；
③当 时， ，
；
④当 时， ，
；
⑤当 时， ；
⑥当 时， ，
；
⑦当 时， （1） ；
⑧当 时， ，
；⑨当 时， ；
故共有4个值 ， ，1，2；
故选： ．
2．（2020•新乡三模）函数 的定义域是
A． ， ， B． ， C． D． ，
【解答】解：函数 中，
令 ，得 ，
解得 ，
即 且 ；
所以函数 的定义域是 ， ， ．
故选： ．
3．（2020•石嘴山二模）数学老师给出一个定义在 上的函数 ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这
个函数的一条性质：
甲：在 ， 上函数单调递减；乙：在 ， 上函数单调递增；
丙：函数 的图象关于直线 对称；丁： 不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：假设甲，乙两个同学回答正确，
在 ， 上函数单调递增； 丙说“在定义域 上函数的图象关于直线 对称”错误．此时 是函数的最小值， 丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾．
只有乙回答错误．
故选： ．
4．（2019•全国四模）设函数 的定义域为 ，值域为 ，则
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】 ，
，
解得： ，
而 中， ， ，
故 ， ，
解得： ， ，
， ，
故选： ．
5．（2022•岳麓区校级二模）写出一个具有性质①②③的函数 （答案不唯一） ．
① 的定义域为 ；
② ；
③当 时， ．
【解答】解：① 的定义域为 ；
② ；
③当 时， ；由①②知 是对数函数，由③知 是定义域上的单调增函数，
所以写出一个具有性质①②③的函数为 ，并且答案不唯一．
故答案为： （答案不唯一）．
6．（2021•蜀山区校级模拟）存在函数 ，对于任意 都成立的下列等式的序号是 ④ ．
① ；② ；③ ；④ ．
【解答】解：①令 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符合；
②令 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符合；
③当 时， （6） ，当 时， （6） ，与函数定义矛盾，不符合；
④令 ，则 ，令 ， ， ， ，
，符合．
故答案为：④．
7．（2021•天河区三模）已知函数 的值域为 ， ，则 的定义域可以是 ，
（写出一个符合条件的即可）
【解答】解：由函数 ，得 ，
令 ，解得 ，
所以 时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增；
计算 ， （1） ，画出函数 的图象，如图所示：
因为 的值域为 ， ，所以 的定义域可以是 ， ．
故答案为： ， ．
8．（2020•南通模拟）函数 的定义域为 ， ．
【解答】解：要使函数有意义，则需
即 ，
即有 ，解得， ．
则定义域为 ， ．
故答案为： ， ．
9．（2020•宝鸡二模）若 ，则 （3） ．
【解答】解： （3）
（3）
故答案为 ．10．（2021•市中区校级模拟）已知函数 ，数列 满足 ，且 是
递增数列，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： 数列 是递增数列，
又
，
且 （7） （8）
解得 ，或
故实数 的取值范围是
故答案为：
1．（2021•雨花区校级模拟）已知函数 ， ，且 ，函数 ， 的图象绕坐标
原点顺时针旋转 所得新的函数图象与原函数图象重合，其中 可以取任意正整数，则 的值不可能
为A．0 B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 若 ， 则 通 过 连 续 顺 时 针 旋 转 ， 依 次 可 得
,
，此时 对应 ,不符合函数概念，所以 选项不可能对，
同理 选项也不可能对，而 有可能成立，
故选： ．
2．（2019•濮阳模拟）对于函数 ，若存在区间 ， ，当 ， 时， 的值域为 ，
，则称 为 倍值函数．若 是 倍值函数，则实数 的取值范围是
．
【解答】解： ，定义域为 ， 在定义域为单调增函数，
因此有： （a） ， （b） ，即： ， ，即 ， 为方程 的两个
不同根．
，令 ，令 ，可得极大值点 ，故 的极大值为： （e）
，
当 趋于0时， 趋于 ，当 趋于 时， 趋于1，
因此当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点，方程 有两个解．
故所求的 的取值范围为 ，故答案为 ．
3．（2017•河东区校级模拟）函数 ，若关于 的方程
有五个不同的实数解，则 的取值范围是 ， ， ．
【解答】解： 题中原方程 有且只有5个不同实数解，
即要求对应于 等于某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出 的简图：
由图可知，只有当 时，它有三个根．
所以有： ①．
再根据 有两个不等实根，
得：△ ②
结合①②得： 或 ．
故答案为： ， ， ．
