文档文本内容
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、导数定义与几何意义....................................................................................................................3
二、导数的计算....................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：导数的运算............................................................................................................................6
题型二：求切线方程............................................................................................................................7
题型三：以值代参解决切线问题........................................................................................................8
题型四：利用切线方法解决距离最值问题........................................................................................9
题型五：切线条数..............................................................................................................................10
题型六：切线问题之弦长问题.......................................................................................................... 11
题型七：公切线问题..........................................................................................................................12
题型八：切线新定义问题..................................................................................................................13
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................16
05 数学思想方法.................................................................................................................................17
①数形结合..........................................................................................................................................17
②转化与化归......................................................................................................................................17
③分类讨论..........................................................................................................................................17
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................19
基础过关篇..........................................................................................................................................19
能力拓展篇..........................................................................................................................................21
1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2、通过函数图象，理解导数的几何意义.
3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
一、导数定义与几何意义
1、①函数
从
到
的平均变化率为：
.
变式：
.
②函数
在
处附近的平均变化率为：
.
③平均变化率的几何意义：割线的斜率；
平均变化率的物理意义：平均速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间的函数）.
2、函数
在
处的瞬时变化率（导数）：
.
几何意义：切线的斜率；
物理意义：瞬时速度（将
视为作直线运动时位移
关于时间的函数）.
变式：
①
，②
，③
3、导数的几何意义：函数
在
处的导数
就是曲线
上的点
处切线
的斜率
即
，因此切线方程是：
.
二、导数的计算
1、基本初等函数的导数公式：①若
，则
，简记为
为常数)
②若
，则
，简记为
③若
，则
，简记为
④若
，则
，简记为
⑤若
，则
，简记为
⑥若
，则
，简记为
⑦若
，则
，简记为
⑧若
，则
，简记为
2、和差积商法则：①
；②
；
③
；④
．
3、复合函数的求导法则：
复合函数
的导数与函数
，
的导数间的关系是
常用二级结论
1、切线问题
(1)在某点的切线方程
思路：函数
在点
处的切线方程为：
，关键
(2)过某点的切线方程
思路：设切点为
，则斜率
过切点的切线方程为
，又因为切线方程过点
所以
然后解出
的值带入切线方程即可．（
有几个值，就有几条切线）
过点
与在点
处的区别
在点
处的切线指的是
为切点的切线．
过点
的切线是指切线过点
，点
是否切点均可，切线可多条．
(3)公切线问题
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，求公切线
思路：设直线
与
和
的切点分别为
和
，
写切线
，
，
化斜截：
，
斜率相等，截距相等：
两个方程解两个未知数，解出
，
带入所写切线即可．
(4)切线求参
①已知切线的斜率，则由
，可求出切点坐标．
②若
在点
处的切线过点
，则
．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．
题型一：导数的运算
【典例1-1】（2025·江苏盐城·三模）若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
【典例1-2】已知函数
，其中
，此函数在区间
上的平均变化率为3，则实数
的
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题总结】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法
则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【变式1-1】（2025·高三·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体
积相等，若容器内水面的高度
与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
．
【变式1-3】求下列函数的导数.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【变式1-4】已知函数
满足
,求
的解析式
题型二：求切线方程
【典例2-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数
，则曲线
在点
处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2025·甘肃白银·二模）已知函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
理与切
有关的
，关
是根据曲
、切
、切点的三个关系列出参数的方程：
处
线
问题
键
线
线
①切点
的
数是
处
导
切
的斜率；
线
②切点在切
上；
线
③切点在曲
上
线
.
(2)注意区分“在点P
的切
处
线”与“
点
过
P 的切线”.
【变式2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线
与倾斜角为
且横截距为
a 的直线l 相切，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则
的图象在点
处的切线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线
在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积
为（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型三：以值代参解决切线问题
9．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线
是函数
的图象的一条切线，则实数k 的值为
（ ）
A．1
B．
C．e
D．
【典例3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【解题总结】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【典例3-2】（2025·河南郑州·三模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最小值为 ．
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知曲线
的一条切线的方程为
，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．
【变式3-2】若曲线
在点
处的切线斜率为3，则a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．1 或
【变式3-3】（2025·陕西咸阳·三模）若曲线
与曲线
相切，则的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【变式3-4】（2025·广东佛山·一模）若直线
与曲线
相切，则
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式3-5】（2025·新疆·模拟预测）已知函数
图象过点
且在该点处的切线的斜率为1，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型四：利用切线方法解决距离最值问题
【典例4-1】（2025·安徽·三模）已知
且
，若定义
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【典例4-2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
利用导数的几何意义求最值问题
【变式4-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小
值为 ．
【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知
，
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为 .
【变式4-3】（2025·山西·模拟预测）已知点
，
，定义
为
的
“镜像距离”，若点
在曲线
上，则
的“镜像距离”的最小值为 .
【变式4-4】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为 ．
【变式4-5】（2025·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y 满足
，则
的最小值为 ．
题型五：切线条数
【典例5-1】已知函数
若过点
存在条直线与曲线
相切，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】（2025·山东潍坊·三模）过点
有条直线与函数
的图像相切，当取
最大值时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值，有多少个解对应有多少条
切线．
【变式5-1】（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，
则的取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
，且
的图象在
处的
切线与曲
相切，符合情况的切线（ ）
A．有条
B．有条
C．有条
D．有条
【变式5-3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
，直线是曲线
的切线，如果切
线与曲线
有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
题型六：切线问题之弦长问题
【典例6-1】（2025·河南·三模）已知函数
点
，
在曲线
上（
在第一
象限），过
，
的切线相互平行，且分别交
轴于
，
两点，则
的最小值为 ．
【典例6-2】已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两
条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是 ．
【解题总结】
利用导数的几何意义进行转化
【变式6-1】若直线与函数
和
的图象分别相切于点
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式6-2】（2025·高三·湖北·期末）已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交轴于
两点，则
，
的取值范围是 ．
【变式6-3】（2025·高三·江苏无锡·期末）已知函数
，若函数
的图象在点
和点
处的两条切线相互平行且分别交
轴于
、
两点，则
的取值范围为 .
【变式6-4】设函数
，曲线
在点
和点
的两条切线相互
垂直，且分别交
轴于
两点，则
；
的取值范围是 .
【变式6-5】已知曲线
在点
处的切线与
轴相交于点
，曲线
在点
处的切线与
轴相交于点
，
，则
，当
时，
的取值范围是 .
题型七：公切线问题
【典例7-1】（2025·河北·模拟预测）若函数
与
的图象有两条公切线，则实
数的取值范围是 .
【典例7-2】若直线
既与曲线
相切，又与曲线
相切，则
.
【解题总结】
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横
坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
【变式7-1】已知曲线
与
有公共切线，求实数a 的取值范围是
【变式7-2】（2025·辽宁·二模）若曲线
与曲线
存在公切线，则的取值范围是 ．
【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线
在点
处的切线与曲线
相切于点
，则
.
【变式7-4】一条直线与函数
和
的图象分别相切于点
和点
，则
的值为 ．
【变式7-5】（2025·安徽黄山·二模）已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，过
分别作曲线
与
的切线
，且与
关于轴对称，求证:
.
题型八：切线新定义问题
【典例8-1】若函数
和
的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该
直线为函数
和
的“隔离直线”.已知
，
，若
和
在公共定义域
上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
【典例8-2】（多选题）（2025·吉林·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法
——牛顿法．具体步骤如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在横坐
标为
的点处作
的切线
与轴交点的横坐标为
；用
代替
重复上面过程得到
；一直进行
下去，得到
，使得当很大时，
很小，我们可以把
的值作为的近似值．已知函数
是函数
的一个零点，取
，则下列说法正确的是（ ）
A．切线的方程为
B．
C．
D．若
，则
【解题总结】
数形结合处理
【变式8-1】已知曲线
：
，第一象限内的点
和第二象限内的点
都在曲线
上，
且直线
过点
．按照如下方式依次构造点
（
）：过点
作曲线
的切线与轴交于点
，过点
作轴的垂线与曲线
相交于点
，设点
的横坐标为
．用同样的方式构造点
（
），设点
的坐标为
，则数列
的前项和为 ．
【变式8-2】（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在
世纪提出的一种用导数求方
程近似解的方法，其过程如下：如图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切线
，
的方程为
.如果
，则
与轴的交点的横
坐标记为
，称
为的一阶近似值.再过点
作曲线
的切线，并求出切线与轴的交点
横坐标记为
，称
为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：
、
、
、
，根据已有精
确度，当
时，给出近似解
.已知函数
，其中
.
(1)当
时，试用牛顿迭代法求方程
满足精度
的近似解；（取
，且结果保
留小数点后第二位）
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线
与轴正半轴的交点为
，曲线在点
处的切线方程为
，当
时，比较
与
的大小；
（ii）当
时，若关于的方程
的两个根分别为
，证明：
.
（参考数据：
，
时，
）
【变式8-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Isaac
Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步
骤如下：设r 是函数
的一个零点，任意选取
作为r 的初始近似值，在点
处作曲线
的切线，设与x 轴交于点
，并称
为r 的1 次近似值；在点
处作曲线
的切线，设与x 轴交于点
，称
为r 的2 次近似值．一般地，在点
处作曲线
的切线
，记
与x 轴交于点
，并称
为r 的
次近似值．
(1)若函数
，取
作为r 的初始近似值，求r 的2 次近似值；
(2)若函数
，取
作为r 的初始近似值，点
，数列
是由
，
，
，…，
构成的，
记：
，
．回答以下问题：
①请将
的长度用n 表示；
②求证：
．
1．（2025 年高考全国一卷数学真题）若直线
是曲线
的切线，则
.
2．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
①数形结合
1．已知曲线
：
与曲线
在第一象限交于点A，在A 处两条曲线的切线倾
斜角分别为
，则
A．
B．
C．
D．
2．过点
有n 条直线与函数
的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范为
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，曲线
上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线
垂直，则实数m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．若直线
与曲线
相切，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．2
5．若过点
可以作曲线
的两条切线，则
A．
B．
C．
D．
6．若
是
的切线，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知函数
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数
a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
8．已知
，使得命题“曲线
在点
处的切线与曲线
没有公共点”成立
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．直线
是曲线
和
的公切线，则
A．
B．0
C．0 或
D．
基础过关篇
1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线与C 交于M，N 两点，C
在M，N 两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF 中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线
形成的
空隙（如图），曲线
可以近似看作函数
的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠
直径的取值范围应为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
4．（2025·云南·模拟预测）若存在
，函数
与
的图象在公共点处的切线相同，
则b 的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
5．（2025·湖南·三模）若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，则实数a
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
6．（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数
，则曲线
在点
处的切
线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）（2025·山东·三模）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则（ ）
A．当
时，
B．函数
有2 个零点
C．函数
在点
处的切线方程为
D．
，都有
10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，则（ ）
A．函数
仅有一个零点
B．若函数
在点
处与x 轴相切，则
C．
D．若
为增函数，则
11．（2025·福建福州·模拟预测）已知曲线
在A，B 两点处的切线垂直于y 轴．若直
线AB 的斜率为
，则实数c 的取值范围为 ．
12．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～
1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为
的点
处作
图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为
；在横坐标为
的点处作
图象的切线，该
切线与轴的交点的横坐标为
；一直继续下去，得到
，它们越来越逼近
的
零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
，
近似值相等时，该值可作为函数
的一个零
点．用“牛顿法”求方程
的近似解，可以构造函数
，若
，则用牛顿
法得到的近似值
约为 ．（结果保留两位小数）
13．（2025·广东·三模）若函数
是偶函数，
是奇函数，已知存在点
，
，使函数
在
、
点处的切线斜率互为倒数，那么
.
14．（2025·上海杨浦·三模）若
有唯一解，则的范围是
15．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线
在
处的切线与直线
平行，则
．
16．（2025·天津北辰·三模）设函数
，若存在唯一的整数
，使得
，则的取值范围是 .
17．（2025·河南·模拟预测）已知对于
，过点
可作曲线
的3 条不同的切线，则实数
的取值范围为 .
18．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线，则
.
19．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
20．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
能力拓展篇
21．（2025·山东德州·三模）已知曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
．
22．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
为奇函数，且当
时，
取得极小
值
，过点
至少能作出曲线
的两条切线，且
恒成立，则实数
的取
值范围为 ．
23．（2025·河北·模拟预测）已知P 是曲线
上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H，Q 是曲
线
上任意一点，则
的最小值为 ．
24．（2025·安徽·模拟预测）已知点
不在函数
的图象上，且过点
有三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为 ．
