文档文本内容
3．3 导数与函数的极值、最值
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的极值....................................................................................................................................3
二、函数的最值....................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：根据函数图象判断极值........................................................................................................5
题型二：求已知函数的极值................................................................................................................7
题型三：已知极值(点)求参数.............................................................................................................8
题型四：不含参函数的最值................................................................................................................9
题型五：含参函数的最值..................................................................................................................10
题型六：极最值综合问题..................................................................................................................12
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................15
05 数学思想方法.................................................................................................................................16
①数形结合..........................................................................................................................................16
②转化与化归......................................................................................................................................16
③分类讨论..........................................................................................................................................17
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................18
基础过关篇..........................................................................................................................................18
能力拓展篇..........................................................................................................................................20
1、借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
2、会用导数求函数的极大值、极小值．
3、掌握利用导数研究函数最值的方法．
4、会用导数研究生活中的最优化问题．
一、函数的极值
极小值：若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，
，
而且在点
附近的左侧
，右侧
，则把点
叫做函数
的极小值点，
叫做
函数
的极小值．
极大值：若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则把点
叫做函数
的极大值点，
叫做函数
的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点（
的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值．
二、函数的最值
1、函数
在区间
上有最值的条件：
如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2、一般地，求函数
在区间
上的最大值和最小值的步骤如下：
⑴求函数
在区间
上的极值；
⑵将函数
的各极值与端点处的函数值
比较，其中最大的一个是最大值，其中最小
的一个是最小值．
常用二级结论
1、一般地，求函数
的极值的方法是：解方程
．当
时：
⑴如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值；
⑵如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极小值．
2、利用导数研究函数极值的步骤
第一步：确定函数
的定义域
第二步：求
，并可适当整理；尽量将
整理成
之积商的形式
第三步：解出方程
在定义域内的所有实数根
第四步：将函数
，
随
的变化情况分段标注在数轴上
第五步：确定
的极值．
3、函数
在
有最值
在
有极值
在
有解．
4、函数
关于直线
对称，则必有
；连续函数
关于点
对称，则必有
．
题型一：根据函数图象判断极值
【典例1-1】（2025·广东·一模）已知函数
的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
是
的极大值点
C．当
时，
D．
在区间
上单调递减
【典例1-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数
的导函数
的部分图象如图，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
有三个零点
D．
有三个极值点
【解题总结】
原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿
越 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找
极小，下坡抬头找极大．
【变式1-1】（2025·广西河池·二模）已知函数
，则以下最不可能是其图像的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如图所示，则函数
在
开区间
内有极小值点（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-3】函数
的定义域为
，它的导函数
的部分图象如图所示，则下列结论错误的是
（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
上有极大值
D．
是函数
的极小值点
【变式1-4】（2025·上海青浦·二模）如图，已知直线
与函数
的图象相切于两
点，则函数
有（ ）．
A．2 个极大值点，1 个极小值点
B．3 个极大值点，2 个极小值点
C．2 个极大值点，无极小值点
D．3 个极大值点，无极小值点
题型二：求已知函数的极值
【典例2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求函数
的极值；
(3)若函数
在
上单调递增，求实数a 的取值范围．
【典例2-2】已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)求
的极小值．
【解题总结】
利用导数研究函数极值的步骤
第一步：确定函数
的定义域
第二步：求
，并可适当整理；尽量将
整理成
之积商的形式
第三步：解出方程
在定义域内的所有实数根
第四步：将函数
，
随
的变化情况分段标注在数轴上
第五步：确定
的极值．
【变式2-1】已知函数
.
(1) 若
，当
时，
，求的取值范围；
(2) 若
，求
的极值；
(3)若
是
的极小值点，求
的取值范围．
【变式2-2】已知函数
.
(1)若
在
处的切线斜率为2，求切线方程.
(2)求
的单调区间；
(3)当
时，求函数
的极值.
【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求
单调区间
(2)讨论
极值点的个数.
【变式2-4】已知函数
.当
时，证明:
有唯一极值点.
题型三：已知极值(点)求参数
【典例3-1】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【典例3-2】（2025·重庆·三模）已知函数
的一个极小值点为
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
【变式3-1】（2025·河南安阳·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【变式3-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是函数
的极值点，则函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【变式3-4】（2025·江西·模拟预测）已知函数
恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-5】（2025·甘肃·模拟预测）已知
是函数
的极值点，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【变式3-6】已知函数
在
处取得极小值，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
题型四：不含参函数的最值
【典例4-1】（2025·陕西安康·三模）函数
的最小值为 ．
【典例4-2】（2025·甘肃兰州·一模）函数
在
上的最小值为 ．
【解题总结】
求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
【变式4-1】函数
在
上的最大值是 ，最小值是 ．
【变式4-2】函数
的值域是 ．
【变式4-3】函数
在
上的最大值为 .
【变式4-4】（2025·甘肃白银·二模）若曲线
恒在直线
的上方，则实数a 的取值范围
是 ．
【变式4-5】（2025·山东聊城·三模）函数
的最小值为 ．
题型五：含参函数的最值
【典例5-1】（2025·辽宁·三模）已知函数
．
(1)当
时，判断过点
且与曲线
相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求
的最值．
【典例5-2】（2025·广东中山·模拟预测）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．
通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图象，类比三角函数的三种性质：①平
方关系：①
，②和角公式：
，③导数：
定
义双曲正弦函数
．
(1)直接写出
具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）：
(2)若当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围：
(3)求
的最小值．
【解题总结】
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，
从而得到函数f(x)的最值.
【变式5-1】已知函数
，
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有最小值，且
的最小值大于
，求实数a 的取值范围.
【变式5-2】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
的最小值是2，求实数a 的值．
【变式5-3】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求函数
在
的最小值
.
【变式5-4】已知函数
.
(1)当a＝1 时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当a＞0 时，函数
在区间
上的最小值为
，求a 的取值范围；
【变式5-5】已知函数
.
(1)若
，求
在区间
上的最大值；
(2)求
在区间
上的最小值
.
题型六：极最值综合问题
【典例6-1】（2025·河南许昌·三模）已知函数
.
(1)若
①求
的极小值；
②证明：当
时，
；
(2)若
的图象与直线
切于点
，求
的值.
【典例6-2】（2025·湖南益阳·三模）已知函数
，其中
．
(1)若
在点
处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为
，求a 的值；
(2)若
是
的极小值点，试比较
与
的大小．
【解题总结】
分类讨论、数形结合的数学思想方法.
【变式6-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)证明：对于满足不等式
的任意
，均有
.
【变式6-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知
.
(1)若
是
的极值点，求
的值，并判断
是
的极大值点还是极小值点；
(2)设
的最小值为
.
（i）求
的解析式；
（ii）证明：
的最大值为2.
【变式6-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）设
.已知
.
(1)若
，求函数
的值域；
(2)若关于
的方程
有且仅有三个实数解，求实数
的取值范围；
(3)若
且函数
有最小值，求
的取值范围.
【变式6-4】（2025·陕西汉中·三模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若函数
的最小值为1，求实数
的值．
【变式6-5】（2025·北京·二模）已知函数
，其中
．
(1)若曲线
在点
处的切线经过点
，求
的值；
(2)证明：函数
存在极小值；
(3)记函数
的最小值为
，求
的最大值．
【变式6-6】（2025·广东广州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性.
(3)若
存在极大值，且极大值不大于
，求实数
的取值范围.
【变式6-7】（2025·北京朝阳·二模）已知函数
．
(1)若
，求函数
在区间
上的最大值；
(2)若
在区间
上存在单调递减区间，求
的取值范围；
(3)若
存在极值点
，且
，求
的值．
1．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
2．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和极大值点．若
，则a 的取值范围是 ．
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
①数形结合
1．已知函数
在区间
上有极值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
有两个极值点，则实数m 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
3．在同一平面直角坐标系内，函数
及其导函数
的图象如图所示，已知两图象有且仅有
一个公共点，其坐标为
，则
A．函数
的最大值为1
B．函数
的最小值为1
C．函数
的最大值为1
D．函数
的最小值为1
②转化与化归
4．已知正四棱锥的侧棱长为
，当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
5．已知函数
，若
，则
最大值为
A．
B．
C．e
D．
6．已知关于x 的方程
在
上有解，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，若
，
则a 的取值范围是
8．函数
的最小值为 ．
9．已知函数
有两个极值点，则实数m 的取值范围为 ．
基础过关篇
1．（2025·河北·模拟预测）函数
在区间
上所有极值点的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西汉中·一模）在等比数列
中，
，
是函数
的极值点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
在
处有最小值，最小值小于
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）函数
在区间
的最小值、最
大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
6．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
7．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
8．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数
既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2025·江西·模拟预测）函数
在区间
上的极值点个数为（ ）
A．675
B．676
C．2027
D．2028
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
的图象关于原点对称，且在
上单调，
在
处取得极值，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
11．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·海南·模拟预测）已知当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）正实数
满足
，则
=（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
14．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）已知函数
．则下列说法中正确的
是（ ）
A．当
时，
在
上单调递增
B．当
时，
C．当
时，
有一个零点
D．
最多有两个不同的零点
15．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
有极值，且导函
数
的极值点
是
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
16．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．
B．
是
的极小值点
C．当
时，
D．若
在
上有最小值，则
17．（多选题）（2025·江苏苏州·三模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
时，
有唯一的零点
B．
时，
存在极小值
C．
时，
存在极大值
D．若
，则
的范围为
18．（2025 年高考全国二卷数学真题）若
是函数
的极值点，则
19．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数
在
处的切线与直线
垂直，则
的
极小值为 ．
20．（2025·河北邢台·三模）已知函数
的定义域为
，
为
的导函数，且
，
，则
的极大值为 .若
恰有2 个整数解，则实数
的取值范围为
.
能力拓展篇
21．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数
在
处取得极小值，则a 的值为
．
22．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
存在唯一极值点，则实数a 的取值范围为 .
23．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调递减区间；
(3)若函数
在区间
上只有一个极值点，求a 的取值范围．
24．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线与坐标轴所围绕成三角形的面积.
(2)若函数
在区间
内有两个极值点，实数a 的取值范围.
25．英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中
为自然
对数的底数，
．以上公式称为泰勒公式．设
，根据以上信息，
并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，若
是
的极小值点，求实数
的取值范围．
26．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数
，
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求实数
的值；
(2)当
时，讨论函数单调性
(3)当
时，若对任意
，不等式
恒成立，求
的最小值；
(4)若
存在两个不同的极值点
，且
，求实数
取值范围．
27．（2025·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
处取得极大值，求实数
的取值范围.
28．（2025·上海·三模）设定义域为
的函数
在
上可导，导函数为
．若区间
及实数
满足：
对任意
成立，则称函数
为
上的“
函数”．
(1)判断
是否为
上的
函数，说明理由；
(2)若实数满足：
为
上的
函数，求t 的取值范围；
(3)已知函数
存在最大值．求证：对任意正整数
都是
上
的函数的充要条件是对任
意
与
恒成立
29．（2025 年高考上海卷数学真题）已知
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
30．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
31．（2023 年北京高考数学真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
32．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
33．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
