文档文本内容
第11 讲 函数模型及其应用
题型方法
题型一 已知函数模型求解实际问题
题型二 构造函数模型求解实际问题
1．三种函数模型的性质
2．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
题型梳理
知识清单
【题型一】已知函数模型求解实际问题
【例1】（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R0，T 近似满足R0 =1+rT.有学者基于已
有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
（ ）
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
【答案】B
【分析】根据题意可得
，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
根据
，解得
即可得结果.
【详解】因为
，
，
，所以
，所以
，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
则
，所以
，所以
，
所以
天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
解题技巧
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【举一反三】【变式1】（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对
题型方法
新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率
（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间
（单位：小时）的函数关系式为
，
当记住的单词仅剩25 个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：
）
A．100 小时
B．300 小时
C．1000 小时
D．3000 小时
【答案】C
【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案.
【详解】由题意得
，所以
，即
，
两边同时取以10 为底的对数，得
，所以
.
故选：C.
【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数
来测定在时间
内能够记忆的量
，其中
表示需要记忆的量，
表示记忆率.假设一个学生有200 个单词要记忆，心理学家测定在
后该学生记忆
了20 个单词.该学生记忆38 个单词大约需要
.
【答案】10
【分析】根据已知条件求出记忆率
，再据此求出记忆38 个单词所需的时间.
【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率
已知函数
，其中
表示需要记忆的量，
表示记忆率，表示时间（min），
表示在时间内能够记
忆的量.
已知
，当
时，
，将这些值代入函数
中，可得：
，
可得：
，即
，可得：
，
两边同时取自然对数可得：
可得：
，则
.
步骤二：求出记忆38 个单词所需的时间
当
，
，
时，代入函数
中，可得：
可得：
，即
，
可得：
，两边同时取自然对数可得：
可得：
因为
，所以
，可得：
，解得
.
故该学生记忆38 个单词大约需要10min.
故答案为：10.
【变式3】（2024·江苏苏州·模拟预测）生物学中，我们常用Sigmoid 型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌
且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依
据定义在R 上的函数
来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等．
(1)记
的导数为
，若
，求
；
(2)若
是
的渐近线，则我们称
为该生态系统的
值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid
模型，其
值为
．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即
瞬时变
化率最大）．
【答案】(1)
(2)当种群数量为
时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量
【分析】（1）求出函数导数
，将
与
代入
中化简求解即可；
（2）根据题意要函数
瞬时变化率最大，即转化为求
的最大，利用函数导数求解分析即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
此时
因为
，
所以
即
，由
，
所以
，解得
．
（2）由（1）知
，
要函数
瞬时变化率最大，
即求
的最大值，
则令
，
令
，则
，
解得
（舍），
，解得
．因此可列表：
x
＋
－
↗
↘
因此可得
是
的极大值点，
因此在
时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，
因此
．
而
，
因此可知当种群数量为
时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量．
【题型二】构造函数模型求解实际问题
【例2】（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有
多次的
棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5 微米的
棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，
主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层
棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若
过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则
棉滤芯的层数最少
为（参考数据：
，
）（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【分析】首先由条件抽象出经过
层
棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量
的函数，再结合指对运算，解不等式.
【详解】设经过
层
棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为
，则
，
令
，解得
，两边取常用对数得
，即
即
，因为
，
，
所以
，解得
，因为
，所以
的最小值为9．
故选：A
解题技巧
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，
得到实际问题的解．
【举一反三】【变式1】（2021·江西·模拟预测）一超市对某种原价55 元每箱的酸奶进行促销活动，促销方案如下表
所示，若顾客甲买该酸奶共用去360 元，则顾客甲共购买酸奶____________箱.
购买量
促销价
不超过2 箱的部分
52 元/箱
超过2 箱但不超过4 箱的部分
48 元/箱
超过4 箱的部分
40 元/箱
【答案】8
【分析】设顾客甲购买了x 箱酸奶，根据顾客甲花费的题意和钱数可得答案.
【详解】设顾客甲购买了x 箱酸奶，因为共用去360 元，根据题意可得
，
所以
，解得
，
则顾客甲共购买酸奶8 箱.
故答案为：8.
【变式2】（2023·四川绵阳·模拟预测）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用
电量划分为三挡：月用电量不超过200 度的部分按
元/度收费，超过200 度但不超过400 度的部分按
元/度收费，
超过400 度的部分按
元/度收费.
(1)求某户居民月用电费
（单位：元）关于月用电量
（单位：度）的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1 月份100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频
率分布直方图，若这100 户居民中，今年1 月份用电费用不超过260 元的占
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件，分段列出函数解析式即可；
（2）将
代入（1）中解析式得到
的值，再结合频率分布直方图求
的值；
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
当
时，
，
所以
与
之间的函数解析式为
，
（2）由（1）可知：当
时，
，则
，
结合频率分布直方图可知：
，
∴
【变式3】（2020·辽宁沈阳·三模）某快餐连锁店，每天以200 元的价格从总店购进早餐，然后以每份10 元的价格出
售．40 份以内，总店收成本价每份5 元，当天不能出售的早餐立即以1 元的价格被总店回收，超过40 份的未销售的
部分总店成本价回收，然后进行环保处理．如果销售超过40 份，则超过40 份的利润需上缴总店．该快餐连锁店记录
了100 天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：
日销售
量
25
3
0
35
4
0
45
50
频数
10
1
6
28
2
4
14
8
完成下列问题：
（1）写出每天获得利润
与销售早餐份数
（
）的函数关系式；
（2）估计每天利润不低于150 元的概率；
（3）估计该快餐店每天的平均利润．
【答案】（1）
；（2）0.74；（3）
元．
【分析】（1）按
和
分类，其中
，利润都是200 元，
时，需扣除未销售部分的损失，由此可
得函数关系式；
（2）根据表中数据计算利润，可得获利不低于150 元的频数，然后可计算出概率；
（3）利用统计表所统计的频数估算出平均利润．
【详解】解：（1）
，即
.
（2）根据（1）中函数关系完成统计表如下：
日销售量
25
30
35
40
45
50
频数
10
16
28
24
14
8
获得利润
65
110
155
200
200
200
所以获利不低于150 元的概率为
.
（3）
，
所以快餐店每天平均利润为
元.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查统计图表的应用、用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．本题
考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在
神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中M 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习
好题必刷
率，E 表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16 时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的训
练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：
）
A．75
B．77
C．79
D．81
【答案】C
【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解.
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为
，
当
时，
，代入得
，解得
，
当学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）时，
，
则
，即
，
则
，
所以所需的训练迭代轮数至少为79．
故选：C.
2．（2021·云南昆明·模拟预测）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.
检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
，小于
的驾驶行为；
醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒
精含量平均每小时比上一小时降低
.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为
，若经过
小时，
该人血液中的酒精含量小于
，则
的最小值为（参考数据：
）（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】先求经过
小时，该人血液中的酒精含量，由此列出关于
的不等式，利用指数不等式与对数的运算
求解即可.
【详解】经过
小时，该人血液中的酒精含量为
，
由题意得，
，即
，
解得：
，
所以
的最小值为8.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的实际应用，解题的关键是弄清题意，得出数学模型，考查学生的逻辑思维与运
算求解能力，属于基础题.
3．（2023·四川内江·一模）习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一
百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展
和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为
，排放前每过滤一次，该
污染物的含量都会减少
，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过
，若要使该工厂的废气
达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）
（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知关系可构造不等式
，利用指数与对数互化可得
，结合换底公式和对
数运算法则可求得
的最小值.
【详解】设排放前需要过滤
次，则
，
，
，
又
，
，即排放前需要过滤的次数至少为
次.
故选：C.
4．（2020·全国·一模）中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事政治评论性较强的一个节目，坚持用
､
“事实说话”，深受广大人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”.即晚上7 点半到8
点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事政治的“焦
､
点”，则这个时刻大约是（ ）
A．7 点36 分
B．7 点38 分
C．7 点39 分
D．7 点40 分
【答案】B
【分析】根据题意，找出时针每分钟与分针每分钟转过的角度，列方程即可求解.
【详解】
设7 点t 分(
)时针
与分针
重合.在7 点时，时针
与分针
所夹的角为
，时针每分钟转
，
分针每分钟转
，则分针从
到达
需旋转
，时针从
到达
需旋转
，于是
，解得
(分).
故选B.
5．（2023·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条100 米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）
水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100 元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资
金3 万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据：
）
A．0.58 米
B．0.87 米
C．1.17 米
D．1.73 米
【答案】B
【分析】如图设横截面为等腰梯形
，
于
，求出资金3 万元都用完时
，设
，再
根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图设横截面为等腰梯形
，
于
，
，
要使水横断面面积最大，则此时资金3 万元都用完，
则
，解得
米，
设
，则
，故
，且
，
梯形
的面积
，
当
时，
，
此时
，
即当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为0.87 米.
故选：B.
二、多选题
6．（2025·重庆·二模）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每
血液中乙醇含量大于或等
于
，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于
则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其
血液中的乙醇含量
（单位：
）与酒后代谢时间
（单位：
）的数量关系满足
．则张师傅此次饮
酒后（ ）
A．当代谢时间
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间
的增函数，然后是代谢时间
的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后
接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
【答案】BD
【分析】整理可得
，结合对勾函数性质分析单调性和最值，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，则
，
由对勾函数可知：
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
在
内单调递增，在
内单调递减，故B 正确；
当
时，
取到最大值1，
即当代谢时间
时，血液中的乙醇含量最高为
，
即每
血液中乙醇含量为
，故A 错误；
因为
，可知饮酒后
接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
7．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.
在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强
.但在实际生活中，
常用声音的声强级
来度量，声强级
与声强
的关系近似满足
，经过多次测定，得
到如下数据：
声强
声强级
10
20
30
已知烟花的噪声的声强级一般在
，其声强为
；鞭炮的噪声的声强级一般在
，其声强为
；飞机起
飞时发动机的噪声的声强级一般在
，其声强为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】首先代入表格数据中的前2 组数据，求
，判断A，再根据解析式，代入
求
，判断B，根据解析
式，结合
，求
的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D.
【详解】由题意可得
.即
，解得
.所以
，故A 正确；
因为
，所以
，解得
，故B 错误；
由
，得
，故C 正确；
设烟花噪声鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为
､
，由题意知
，
，
，所以
，所以
，所以
，即
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．（2023·海南·模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整
车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量
（辆）与创造的价值
（万元）之间满足一次函数关系.已知产量
为时，创造的价值也为；当产量为
辆时，创造的价值达到最大，为
万元.若这家工厂希望利用这条流水
线创收达到
万元，则它应该生产的新能源汽车数量是 .
【答案】
【分析】设
，根据已知条件可求得
，代入
即可求得结果.
【详解】由题意可设：
，则
，解得：
，
，
则当
时，
，即应生产的新能源汽车
辆.
故答案为：
.
9．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫
汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关
系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深
与时间
之间的关系，该函数的表达式为
．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要有2.25 米的安全间隙（船底与洋底的
距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为 小时（保留整数）．
时刻
水深m
时刻
水深m
时刻
水深m
0：
00
5.0
9：18
2.5
18：36
5.0
3：
06
7.5
12：24
5.0
21：42
2.5
6：
12
5.0
15：30
7.5
24：00
4.0
【答案】
4
【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出
，再由最值计算出A 和b，最后由
最大值处的数据计算出
，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，
求出解集的宽度即为安全停留时长.
【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为
，
由表中数据可知，一个周期为12 小时24 分，即744 分钟，
所以
，
，
，
则该函数的表达式为：
.
由题可知，水深为
米以上时安全，
令
，
解得
，
即安全时间为
分钟，约4 小时.
故答案为：
；4.
10．（2023·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30 秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上
能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员
的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出
假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度
都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆
车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写
出一个即可）
【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分
析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.
【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前
后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.
四、解答题
11．（2022·上海黄浦·一模）某地区2020 年产生的生活垃圾为20 万吨，其中6 万吨垃圾以环保方式处理，剩余14 万
吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020 年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增
长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5 万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列
问题：
(1)求2021 年至2023 年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1 万吨）
(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？
【答案】(1)
；
(2)2025.
【分析】（1）由题利用等差数列及等比数列求和公式可求该地区
年通过填埋方式处理的垃圾总量为
，即求；
（2）由题得
，即得.
【详解】（1）设从2021 年起该地区每年产生的生活垃圾量（单位：万吨）构成数列
，每年通过环保方式处理的
垃圾量（单位：万吨）构成数列
，该地区
年通过填埋方式处理的垃圾总量为
（单位：万吨），则
，
当
时，
，
2021
∴
年至2023 年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约
万吨.
（2）由
得，
，
∴即
，
∴
，
，
，
，
所以该地区在2025 年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.
12．（2023·贵州六盘水·模拟预测）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有
机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用
的水泡制，再等到茶水温度降至
时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始
温度是
，室温是
，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度
（单位：
）满足
，其
中k 为正常数.该研究小组在
的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL 初始温度为
的水的温度
降至相应温度所需时间如下表所示：
从
降至
所需时间
3.4 分钟
从
降至
所需时间
5.0 分钟
(1)从上表中选取一组数据求出k 的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t 关于冷却后水温
的函数
解析式；
(2)在（1）的条件下，现用200mL 水在
的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？
（精确到0.1 分钟）
（参考数据：
，
，
，
）
【答案】(1)
(2)
分钟
【分析】（1）根据所选择数据代入解析式，利用对数运算公式和参考数据可得；
（2）将
代入（1）中解析式计算可得.
【详解】（1）由题可知
，有
，
若取第一组数据，则有
，得
，
此时解析式为
；
若取第二组数据，则有
，解得
，
此时解析式为
.
综上，所求解析式为
（2）由（1）知，
，
令
，则
，解得
.
所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要
分钟.
13．（2020·福建三明·模拟预测）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省
环保局于
年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，
年
月底测得蒲草
覆盖面积为
，
年月底测得蒲草覆盖面积为
，蒲草覆盖面积
单位：
与月份
单位：月的关系
有两个函数模型
与
可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若
年年底测得蒲草覆盖面积为
，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少
到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到
？参考数据：
【答案】(1)
．
(2)
年
【分析】（1）将点
，点
分别代入两个函数模型的解析式，即可求解．
（2）将
分别代入两个函数模型，将所得的结果与20 进行比较，求出合适的函数模型，令
，结合对
数的公式，即可求解．
【详解】（1）若选择模型
，
则
，解得
，
故函数模型为
．
若选择模型
，
则
，解得
，
，
故函数模型为
．
（2）把
代入
，可得
，
把
代入
，可得
，可知
与
相差比较大，
故选择模型
更合适．
令
，可得
，
两边取对数可得
，
即
，
所以
，
至少到
年
月底蒲草覆盖面积能达到
．
14．（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重
要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看
作函数
的图象，且正好与直线
相切，而岛屿海岸线可近似看作函数
的图
象．每单位代表十万米
(1)试求
的值及切点坐标．
(2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过
，试问高铁能否在半小时内穿过高速
通道？请说明理由．
【答案】(1)
，
；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意可设切点为
，求出函数的导数，求出切点的斜率，得到切点的横坐标，求出纵坐标，得
到结果.
（2）利用同底的指数函数、对数函数互为反函数，结合函数图象平移，将问题转化为两个函数图象间最短距离大于
直线
与直线
之间的距离求解.
【详解】（1）依题意，设切点为
，由函数
求导得
，
则
，即
，解得
，
而
，则
，解得
，
，
所以
，切点坐标为
.
（2）由（1）及函数
与函数
互为反函数，且
的图象与
相切，
得函数
的图象与函数
的图象有且只有一个公共点，
而
的图象可由
的图象向右平移个单位而得到，
因此函数
与
的图象之间的最短距离大于直线
与直线
之间的距离，
即
（十万米）
．则高铁穿过通道的时间
.
所以高铁不能在半小时内穿过高速通道.
